2020-2021學(xué)年廣東省茂名市高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年廣東省茂名市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1,下列哪個函數(shù)的圖象只需平移變換即可得到f。)=s譏久+COSX的函數(shù)圖象()

A.h(x)=42sinx+V2B.%(久)=sinx

C.%(x)=V2(sinx+cosx)D.%(x)=V2cos|(sin+cos

2,若點P(cos0,s譏8)在第二象限，則角。的終邊在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知五=(3,x—1),另=(居2),若云與另的方向相反，則實數(shù)x的值是()

A.-2B.3C.一2或3D.2或一3

4.己知函數(shù)/'(久)=]sin(2x+》若/(無一卬)為偶函數(shù)，貝必可以為()

7r7r

AnC冗-冗

A.TB.--C.-TD.-

Z.36b

5.已知直線％=a(0<a<])與函數(shù)/(%)=s譏%和函數(shù)g(%)=cos%的圖象分別交于M,N兩點，若

-1

\MN\=-,則線段MN的中點縱坐標(biāo)為()

A.1B.AC.,D,

5102550

6.已知五=(1,2),3=(m,-2)，若為13，則m的值為()

A.—4B.—1C.2D.4

a,a-b<1,

7.對實數(shù)a和3，定義運算“<8>”：小=<,,，設(shè)函數(shù)/(x)=(x2—2)8(x—l),xe&。

b,a-b>1.

若函數(shù)y=/(x)-。的圖象與X軸恰有兩個公共點，則實數(shù)C的取值范圍是()

A.(—1,1]U(2,+8)B.(-2,-1]U(l,2]

C.(-8,—2)U(1,2]D.(—2,—1]

8.如圖4BCD為正方形，E是CD的中點，且荏=五，AC=b，則而等于()

A./5+1a

B.K-ja

C.a+^b

D.五管

9.已知點翱笨坍,小，則與向量爭薪同方向的單位向量是()

10.若加曲=煮，則-g的值為()

8COS^tt——J

A.--B.0C.-D.1

I—磔*■翼球，一R婢：吧；題

11.對于實數(shù)誦,和凝，定義運算“*”：詡嗨=??；"'一"設(shè)新宙1=修常-北?臧需-:也

快,一礴，僦*感，，vvv，

且關(guān)于器的方程為.翼礴=瞰毋掰僵履￥恰有三個互不相等的實數(shù)根礴P玲、嗎,，則做-町-碌的

取值范圍是()

A-fL白1如斗BJf-高1叫C.f1D.f.'1%,

\物/k,.lwj?\取胃k..峋y

12.命題“對任意實數(shù)x,都有/一2久+l>0”的否定是()

A.對任意實數(shù)X,都有工2-2x+1<0

B.對任意實數(shù)x,都有尤2-2x+1<0

C.存在實數(shù)x,有/-2x+l<0

D.存在實數(shù)x,有/-2x+1<0

二、單空題(本大題共3小題，共15.0分)

13.已知量落K，滿足五=(,3),(a+K)1(a-b)，\b\=.

14.如圖，在矩形力BCD中，AB=五,BC=2,點E為BC的中點，點尸在邊CD

上，且而=2同，則荏?前的值是.

5

15.關(guān)于數(shù)列有下列四個判斷:

①若僦，機分，礴成等比數(shù)列，則磔帶帆晶普的幻舛播也成等比數(shù)列；②若數(shù)列七碼J既是等差數(shù)

列也是等比數(shù)列，則｛礴J為常數(shù)列；③數(shù)歹叫％｝的前幾項和為.靈，且題.=#—瀚a隹晦，則｛%

｝為等差或等比數(shù)列；④數(shù)歹11｛璃J為等差數(shù)列，且公差不為零，則數(shù)歹我璃J中不會有

州單=網(wǎng)區(qū)解岸喊:，其中正確判斷的序號是.(注：把你認為正確判斷的序號都填上)

三、多空題(本大題共1小題，共5.0分)

16.已知函數(shù)已知函數(shù)/(久)=+2彳“E則/(/(4))_(1)_；函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間

是_(2)一

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.如圖，在AABC中，。為BC的四等分點，且靠近點B,E,F分別為&C,4。的三等分點，且分別

靠近4,。兩點，設(shè)何=五，AC^b.

18.已知向量同=2,由|=4,a,用勺夾角為小

(1)求1?3的值；

(2)求|2五一3|的大小.

1

19.在A/IBC中，已知cos2c=一歹C為銳角.

(I)求5譏。的值；

(11)若￡1=2,△力BC的面積為迷，求c的值.

20.函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等，請選擇適當(dāng)?shù)奶骄宽樞?

研究函數(shù)/'(x)=71—sinx++s譏x的性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上，作出其在［-兀，捫的草圖.

21.已知函數(shù)/(%)=s譏%+cos%,xER

(I)求/(%)的最小正周期；

(II)右/(仇)=丁求s譏2a的值.

22.已知函數(shù)y=/(%),若在定義域內(nèi)存在&，使得/(-%°)=-/(g)成立，則稱第。為函數(shù)/(%)的局

部對稱點.

⑴若函數(shù)/⑺=2cos久+c在區(qū)間邑爭內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)c的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)=4x-m-2x+1+m2-3在R上有局部對稱點，求實數(shù)小的取值范圍.

(提示：函數(shù)。(久)=x+>0)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(迎,+8)上單調(diào)遞增)

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：/(x)=sinx+cosx=V2sin(x+-),

4

fi⑶=V2sinx+V2,通過向上向左平移即可得到〃久)=sinx+cos久的函數(shù)圖象.

故選：A.

利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，然后判斷選項即可.

本題考查三角函數(shù)的圖象的平移變換，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力.

2.答案：B

解析：

本題主要考查三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)三角函數(shù)在各個象限中的符號，判斷角。的終邊所在的象限.

解：?點P(cos9,s譏。)在第二象限,

cose<0,sine>0,則角。的終邊在第二象限，

故選：B.

3.答案：A

解析：解:a=(3,x-l),b=(x,2).

由云與石共線可得，3X2-(x—1)久=0,即/—久-6=0,解得x=—2或x=3.

又1與B的方向相反，可得x=-2.

故選:A.

由向量共線的坐標(biāo)運算列式求得x,驗證方向得答案.

本題考查向量共線的坐標(biāo)運算，是基礎(chǔ)的計算題.

4.答案:C

解析：

本題主要考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性，誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

由條件利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性以及誘導(dǎo)公式可得￡—20=卜兀+，即9=一：々兀一！fee

Z.再結(jié)合所給的選項，得出結(jié)論.

解：由函數(shù)/(%)=：sin(2%+g),可得/(%一夕)=?sin[2(%-0)+勺=：sin(2%+g-2租)，

26Z626

根據(jù)“X—0）為偶函數(shù)，可得12S=/OT+$即0=—》?！?kez.

再結(jié)合所給的選項，

故選C.

5.答案：B

解析：解：由題意可得|sina-cosa|=，，

兩邊平方得1-sin2a=白，

???sinza=—

設(shè)線段MN的中點縱坐標(biāo)為6>0,

sina+cosa

l+sin2a_49

故選：B.

由題意可得Isina-cosa|=:,平方可得s譏2a,可得MN的中點縱坐標(biāo)為6=四竺產(chǎn)，由平方關(guān)系

可得.

本題考查二倍角公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：解:alb>

■■■a-b=m—4=0>

m=4.

故選：D.

根據(jù)五1石可得出14=0,進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求出小的值.

本題考查了向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：B

解析：由題意得，

——2,(x*—2)—(x—1)W1

/(%)=(x2—2)0(x-1)=<

X-1,(X2-2)-(X-1)>1

x2-2,-1<x<2

即=,

x-l,x<-1或x>2

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=/(乃與丫=c的大致圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)ceu

(1,2］時，兩個函數(shù)的圖象有兩個不同交點，從而方程/'(x)-c=0有兩個不同的根，也就是y=

/(%)-c與x軸有兩個不同交點.

8.答案：B

解析：解：A8CD為正方形，E是CD的中點，且血=區(qū)AC=b，

則麗=芯+方=正一同一之用=而一?荏=另一|區(qū)

故選：B

根據(jù)向量的加減的幾何意義即可求出.

本題考查了平面向量的加減運算問題，是基礎(chǔ)題.

9.答案：C

解析：試題分析：與向量％蕃=黑-3.緲同方向的單位向量是

考點：單位向量的求法.

10.答案:A

2

解析：解：,?,tana=麻,

8

,九、7T71.n1-----ir'tan—

cos(tz+-)cosacos--sinasin-1-tanatan-tan^*81-2_1

~~it-T~~7n一~2n

cos(a噎cosacos-+sinasin-1+tanatan-1+——^tan-1+2-3

888tan^8

故選:A.

由已知利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可計算得解.

本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)

用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：A

解析：試題分析：當(dāng)黝K—：!唯簟一：1時，即當(dāng)客三電時，

皤斕=-iffe-rf玨2if酶-晞=一既，

謫*v??yv.v￥.v

當(dāng)舐-L海雷T時，即當(dāng)K,：>?時，皤姍=I隆K一裔阿氏,一:=1『客一病一『普蠡'-琉般:一北=-B昔簟，

V.VVVV.>>VVVV*V

……：修/x,<?__,f『T"『qi

所以唧爭,如下圖所不，當(dāng)富即峋時，施'蝴i=-藍￥#弟=T富,一二j#—<

'，[一/普瑞，或,粉領(lǐng)'-i[&y4

當(dāng)客工峋時，.翼礴=-舐逆領(lǐng)，當(dāng)直線般=微與曲線/=.翼礴有三個公共點時，如:版*:=,設(shè)

故選A.

考點：1.新定義；2.分段函數(shù)；3.函數(shù)的圖象與零點

12.答案：D

解析：解：命題是全稱命題，則命題的否定是：存在實數(shù)久，有/—2x+lW0,

故選：D.

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可.

本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ).

13.答案：V10

解析：解：V(a+b)1(a-b)，

|b|=|a|=Vl2+32=VlO.

(a+b)-(a-K)=，

答案為：VlO.

根向量垂向量數(shù)量積的關(guān)系可得@+石)?①―3)=0故|3|=|行|.

本考查平面向量的量積運算，模長計算屬于基題.

14.答案：

解析：

本題考查平面向量數(shù)量積運算，考查數(shù)形結(jié)合，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

通過以4為原點，4B為%軸、AD為y軸建系，利用向量的坐標(biāo)形式計算即可.

解：以4為原點，4B為x軸、為y軸建系如圖,

AB=V2,BC=2,

???4(0,0),B(VXO),C(V2,2),0(0,2),

???點E為BC的中點，

???F(V2,1)-

?.?點/在邊CD上，且加=2而，

???F(|V2,2),

.?,AF=(V2,l)>麗=(一！/,2),

：.AE-~BF=2--=-,

33

故答案為：

15.答案：②④

解析：試題分析：①對于數(shù)列一1,1,-1,1,滿足a,b,c,d成等比數(shù)列，但a+b=0,b+c=0,

c+d=O,所以a+6,b+c,c+d不是等比數(shù)列，所以①錯誤.②若數(shù)列既是等差數(shù)列又是

等比數(shù)列，則數(shù)列｛5｝必是非零的常數(shù)列，所以廝=冊+1成立，所以②正確.③當(dāng)a=0時，數(shù)列｛冊｝

既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以③錯誤.④在等差數(shù)列中，若am=an，則的+(爪-l)d=

+(n-l)d,因為d40,所以m=n,與mHri矛盾，所以④正確.故答案為：②④.

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.

16.答案:1

口，2］

解析：解：/(4)=log24-1=1；

???/(/(4))=/(1)=-12+2X1=1；

x<2時，/(x)=—X2+2x,對稱軸為X=1；

???/(%)在［1,2］上單調(diào)遞減；

???/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為［1,2］.

故答案為：1,［1,2］.

根據(jù)分段函數(shù)/(%)的解析式，可先求/(4)=1,從而便可得出/(/(4))的值，根據(jù)/(%)解析式可看出

二次函數(shù)y=-%2+2%在［1,2］上單調(diào)遞減，即求出了/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間.

考查已知分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值的方法，對數(shù)的運算，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的單

調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.

17.答案：解：(1)△ABC^p,AB-a,=bf

?*.BC=AC—AB=b—CLf

AD=AB+BD

—>1—>

=AB

4

=方+4(b—五)

=-a+-b

44f

BE=BA+AE

一］一

=-AB+-AC

=—a+

(2)證明：BE——a+-h,

BF=BA+AF

—>2—>

=-AB+-AD

=-a+|(|a+^K)

=—|a+|b=|(—a+|K),

???~BF=-~BE,

2

而與爐共線，且直線BF與直線BE有公共點B,

B,E,F三點共線.

解析：本題考查平面向量的線性表示與共線定理的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)平面向量的三角形合成法則，用而、而表示出向量同、前和前即可；

(2)用胃、石表示出向量而、~BF，證明前與爐共線，從而證明B,E,F三點共線.

18.答案：解：因為向量|五|=2,|6|=4，a,b的夾角為拳

(l)a-K=|a|x|K|cosy=2x4x(-1)=-4；

(2)\2a—b\2=4a2—4a-b+b=4x22—4x(—4)+42=48；

\2a-b\=4V3.

解析：(1)直接代入計算即可得到所求；

(2)運用向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值.

本題考查向量的夾角的求法，注意運用向量的夾角公式，考查向量的模的求法，注意運用向量的數(shù)

量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，屬于中檔題.

19.答案：解：(I)■.-AABCdp,cos2C=1-2sin2C=

sin2c=

9

又c為銳角，

貝IsinC=*

(II),?,a=2,S^ABC=V5,

-absinC=—b=小,即b=3,

23

sinC=—,cosC=V1—sin2C=

33

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=4+9—12x|=5,

則c=V5.

解析：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌

握定理是解本題的關(guān)鍵.

(I)已知等式左邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，即可求出s譏C的值；

（口）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將a,s譏C以及已知面積代入求出b的值，再由s譏C的值求出

cost：的值，利用余弦定理即可求出c的值.

20.答案：解:?V7sinxI°

???/(%)的定義域為R;(2分)

②???/(—x)=yjl—sin(—x)+-Jl+sin(—%)=VT+sinx+V1—sinx=/(x),

???/(久)為偶函數(shù);(4分)

③f(x+TT)=—sin(x+TT)+Jl+sin(久+兀)=V1—sinx+V1+sinx=f(x),

??.f(x)是周期為兀的周期函數(shù)；(6分)

④當(dāng)工€[0,51時'f(x)=J(V1—sinx+V1+sinx)2=+2\cosx\=2cos|>

.?.當(dāng)xe[0,自時，f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)久e礙,兀]時，

/(x)=J(V1—sinx+V1+sinx)2—^/2+2\cosx\—M2—2cosx—2sin^

/Q)單調(diào)遞增；又???/(>)是周期為兀的偶函數(shù)，

.?"⑶在際+方E+捫上單調(diào)遞增，在+勺上單調(diào)遞減(keZ)；(8分)

⑤?.?當(dāng)x6[0,§時，/(x)=2cosj6[V2,2];

當(dāng)xe罩兀|時，/（%）=2sin^G［V2,2］.

.??/（%）的值域為［2a；（io分）

⑥由以上性質(zhì)可得：/⑸在［-兀,兀］上的圖象如圖所示:

（12分）

解析：本題研究的順序為：先研究定義域、奇偶性、周期性，再研究函數(shù)的單調(diào)性、值域，最后畫

出圖形.

本題考查二倍角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及y=4s譏（3尤+0）的圖象及

性質(zhì).

21.答案：解：(I)函數(shù)/(尤)=sinx+cosx=V^sin(x+：)

???函數(shù)f(%)的最小正周期T=—=—=2n.

(II),?,f(a)=即f(a)=sina+cosa=1

又??,sin2a+cos2a=1,

9

???(sina+co