高考數(shù)學(xué)考點與題型突破(大題)

高考數(shù)學(xué)考點與題型突破(大題)

一、(函數(shù)、導(dǎo)數(shù))與不等式

例1.已知函數(shù)/(x)=In--ax2+x(a>0).

x

(I)若/(x)是單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍；

(II)若/(x)有兩個極值點斗,工2,證明：/(%)+/(冗2)>3-21n2.

例2.2010全國I理已知函數(shù)/(x)=(x+l)ln冗一x+l.(I)若葉'(JOWV+QX+L求

〃的取值范圍；(II)證明：*一1)/(元)20.

例3.已知/(x)=(/+x)”,且正整數(shù)n滿足C：=C：,A={0,l,2,…〃}.

(1)求n;

(2)若是否存在，當后川寸,恒成立.若存在，求出最小的/,若不存在,

試說明理由：

(3)kwA,若/(x)的展開式有且只有6個無理項，求k.

例4.設(shè)函數(shù)/(x)=e*+l,g(x)=(e—l)x+2(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)判斷函數(shù)〃(x)=/(x)—g(x)零點的個數(shù)，并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列{4}滿足:qe(0,l),.W(a,)=g(%),〃eN+；

①求證：0<%<1;②比較a與(e-1)。,源的大小，

解：(DH(x)=e'—(e—l),令H'(x)=0,xo=ln(e-l)

當xw(-8,x。)時，H(x)<0,”(x)在(-8,幾)單調(diào)遞減

當xw(x0,+oo)時，H'(x)>0,”(x)在(幾,+8)單調(diào)遞增

故H(x)而1,="(/)=e*-(e-l)xo-1=e-l-(e-l)ln(e-l)-l

令l=e-l>l,函數(shù)=,因為k/(f)=l-lnf-l=-lnf<0,所以函數(shù)

=f——l在(l,+oo)單調(diào)遞減，故人(。4乂1)=0,又e—故”(4)<0,

從而“(X)有兩個零點.

⑵①因為〃a”)=g(%+J，即e°"+l=(e-l)%+2,所以=—~(ea"-1)

e-1

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明*6(0,1)

1?當萬=1時，七丘(0,1)成立

2?假設(shè)當萬=小時，a%e(0,1),則=-L(e〃-1)

e-1

故Ice01<e,從而0<e“T<e-1

則0=」一(e%-1)<1故當％=上+1時不等式成立

e-1

從而對％eN+,a*6(0,1)...........................................11分

②因為(e-l)%+i-a*=e%-1-%

考慮函數(shù)p(x)=e*-1-芯(0<x<1)

因為d(x)=e*—1>0,所以p(x)在(0,1)上是噌函數(shù)

故2⑶>p(0)=0

從而(e-1)%+1-%>0?即(e-l)a*+i>an......................16分

例5.(安徽文)設(shè)函數(shù)f(x)=-COSZA^4fsin—cos—+4t2+Z2-31+4,%￡R,

22

其中卜|41,將f(x)的最小值記為g(f).

(1)求儀力的表達式；(0)討論g(f)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

例6.數(shù)列｛七｝滿足q=1且%+|=(1+一一

n2+n2"

(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>2(n>2)

(II)設(shè)仇,=a"+l~a",證明數(shù)列出,｝的前n項和S“<工

44

3

(HI)已知不等式In(1+x)<x對x>0成立，證明：a?<(nNl)(其中無理數(shù)

e=2.71828…)

6436/

4(3n*2+4)2+3(3n2+4)2解得，n=0.

即MN的斜率不存在時，T(2,0)。當MN的斜率為0時，T不存在。...........13分

22、證明：(I)①當n=2時，%=2，不等式成立。

②假設(shè)當n=k(k22)時不等式成立，即422,

那么a』=(1+一一)4+二>4N2。即當n=k+l時不等式成立。

k+k2

根據(jù)①②可知：an>2對〃>2成立。...........4分

1

(H)嗅=1+，故a二

―---n----1--------n

Q”2an%n~+n2a

,1111

當n=l時，3="2二"L=i,當”22時，a>2,h=----------1----------?-------------1-------,

n22,,+I

a."n+nTann+n2

+-^)+(二+[+...+工)

故S=b,++........+bW1+(-------1-----------F

2*33?4n(n+l)23242n+l

11117

=1+-------1-------------F...H-------9分

2334244

1)%+/4(1+11、

(III)當〃N2時,由(1)的結(jié)論知：a=(1+

n+ln+n

故ln%+]<111(1+—^—11

+廣)+】n%<lnan++聲，(vln(l+x)<x)

n+nn2+九

故六+擊"22)

1111

求和口J得In—Ina、<-----1--------F…+---------------1—rH-T+…H

"-2?33?4"(〃—1)23242"

J___1_3

2-n+27-F<4

a3-3

而〃2=2,In—〈二，:.*<21(/t>2),而4=1<2”

224

3

故對任意的正整數(shù)n,有.,.為<2e;。14分

例7.已知函數(shù)/(x)=plnx+(p-l)x2+1

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；(2)當p=l時，/a)?區(qū)恒成立，求實數(shù)人的取值范圍;

(3)證明：ln(n+1)<1+—+-+??■+—(neA^^).

23n

解：(1)/(x)的定義域為(0,+8),

/(X)J+2(pT)-*+P

XX

當pNl時，/'（X）>0,故/（x）在（0,+8）單調(diào)遞增;

當p?0時，f\x）<0,故/（x）在（0，+8）單調(diào)遞減;

當0<p<1時，令/'(x)=0,解得x=

XG+8時，f'(%)<0.

7

單調(diào)遞增，在P+8單調(diào)遞減

7

(2)因為x>0,所以當〃二1時，于(X)Wkx恒成立=l+=1+lnx

x

令/?(x)=l+lnx,則左2%(x)max，因為/z'(x)=",由力'(x)=0得x=l,

XX

且當XG(O,1)時,h'(x)>0;當xw(l,+oo)時，〃'(x)<0.

所以h（x）在（0,1）上遞增，在（l,+<x>）上遞減.所以力（X）max=4⑴=1，故攵21

(3)由(2)知當％=1時，有當x>l時，/(x)<x即lnx<x-l,

^x=^-,則即ln("+D—In〃〈!

nnnn

-21.31［屋+11

所以In—V—,In—<一>…，In----<—>

1122nn

_L7012.3.71+1.11

相力口彳可In—hIn—F??,In----<1H----F,,—

12n2n

23〃+1,(23及+1、

而In—+In—+…In----=In..............=ln(n+1)

12n(12n)

所以也(〃+1)<1+工+,+…+！，(〃eN*)

23n

例8.2010課標全國I、設(shè)函數(shù)/(x)=e、—l—x—a/。(I)若a=0,求/(x)的單調(diào)區(qū)

間；（II）若當xNO時/（x）20,求。的取值范圍

解：(1)a=0時，/(x)=ex-l-x,f(x)=e*-l.當xw(-~O)時，f'(x)<0；當

xw。他)時，尸(x)>0.故f(x)在(一40)單調(diào)減少，在(0,+x)單調(diào)噌加

(II)/'(x)=/-l-24由(I)知e'21+x,當且僅當x=0時等號成立.

/'(x)>x-2ax=(l-2a)x?從而當1一2a20,即aW：時，/'(x)>0(x>0)?而

/(0)=0,

于是當x?O時，f(x)>0.由e*>l+x(xW0)可得0-*>l-x(xH0).從而當a>g

時，

f'(x)<e'-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-l)(eA-2a),故當xw(0,ln2a)時,f(x)<0,而

/(0)=0,

于是當xe(0,ln2a)時，f(x)<0.綜合得a的取值范圍為(一叫；].

例9.2010北京、已知函數(shù)/(x)=In(l+x)-x+|^2(攵》°)。(I)當左=2時，求曲線

y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；(II)求/(x)的單調(diào)區(qū)間。

解：(I)當k=2時，f(x)=ln(l+x)-x+x2,f'(x)=--l+2x

1+x

由于f(l)=ln3/1(1)=|>所以曲線J=/(x)在點(L/(I))處的切線方程為

y-ln2=[(x-l)即3x-2y+21n2-3=0

(II)(3二武』：+1),xe(-l.+x).當k=0時，f(x)=-一—.

1+x1+x

所以，在區(qū)間(-L0)上，f\x)>Q；在區(qū)間9+8)上，/,(x)<0.

故/(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(-10),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+x).

當0<女<1時，由f'(x)="c~—=0,得演=0,X,=~~~->0

1+xk

1-Jc1-1-

所以，在區(qū)間(-L0)和(二：+X)上，/'(x)>05在區(qū)間(0：-)上，/'(x)<C

kk

故f(x)得單調(diào)遞噌區(qū)間是(-L0)和(曰:+x),單調(diào)遞減區(qū)間是(0.—).

kk

當k=1時，/'(x)=--故/(x)得單調(diào)遞噌區(qū)間是(-L+X).

1+x

...〃,/、x(kx+k-1)_1—k1rxx八

當我>l時，f(x)=-----------=0,得％=-----€(z-1,0),x,=0.

1+xk

所以沒在區(qū)間(一1,二)和(0,+8)上，/r(x)>0;在區(qū)間(一,0)上，f\x)<0

KK

|-k

故/(1)得單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,—-)和(0,+00),單調(diào)遞減區(qū)間是(——,0)

kK

例10.2010天津、已知函數(shù)/(x)=xerxwR).(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(II)

已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，證明當x>l時，

/(x)>g(x)(in)如果％產(chǎn)上2,且/(尤|)=/(%)，證明X]+%2>2

【解析】(I)解：4")=(1一xW令/(%)=0,解得x=l

當X變化時，/'(x),f(x)的變化情況如下表

X(fl)1(L+x)

-

/'(X)+0

/(X)二極大值口

所以/(X)在(-X」)內(nèi)是噌函數(shù)，在(L+X)內(nèi)是減函數(shù).函數(shù)/(X)在X=1處取得極大值

”1)且/(1)=:

(II)證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e~~2

令F(x)=〃x)-g(x),即9(x)=刀/*+(工-2%1于是產(chǎn)(工)=(x-lX/"-De—

當x>l時,2x-2>0,從而-1>0：又e、>0：所以F'(x)>0,從而函數(shù)F(x)在[1,+°°)

是增函數(shù).

F(l)=e1-e-i=0,所以x>l時,有F(x)>F⑴=0,即f(x)>g(x).

Ill)證明：⑴若(X[-l)(x?-1)=0,由(I)及f(xj=f(XJ則再=與=1與項HX：矛盾。

(2)若(X[-1)(X：T)>0油(I)及f(A)=f(xJ得再=々與甬工_>^矛盾。

根據(jù)(1)(2)得(芯-1)a—1)<0,不妨設(shè)X<L%>1.由(II)可知，f(x,)>g(x5),

則g(X2)=f(2-X2),所以f(X2)>f(2-X2),從而f(Xj>f(2-X2).因為々〉1,所以

2—%2<1，

又由(I)可知函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,1)內(nèi)事增函數(shù)，所以占>2—即占+々>2?

[―ciI

例11.2010山東已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+一■-1(〃wR).(I)當aW—時，討論/(%)

x2

的單調(diào)性；(II)設(shè)80)=彳2-2bx+4.當a時，若對任意王e(0,2),存在々e[l,2],

使/(%)Zg(X2),求實數(shù)匕取值范圍.

【解析】(I)原函數(shù)的定義域為(0,+00),因為/(x)=--6Z--^-='ax2+^+a~1,所

XXX

以當Q=0時，

“x)=旻，令"x)=H>0得X>1,所以此時函數(shù)f(x)在(1,+X)上是噌函數(shù)；在

XX

2X2—二],,

(0,1)上是減函數(shù)；當a=L時，"X)=2.：2=-xTx-l=^21?o,

2x*lx2x*

所以此時函數(shù)f(x)在(0,+x)是減函數(shù)；當a<0時，令〃x)=wx-r-a-l>0得

-ax：+x-l-a>0,解得x>l或xvN-1(舍去)，此時函數(shù)f(x)在(1,+x)上是噌函數(shù)；在

a

(0,1)上是減函數(shù)；

當0*<工時，令/⑶=竺二211>0得-ax：r-l+a>0,解得此時函數(shù)

2a

f(x)在(1,1-1)上是增函數(shù)；在(0,1)和()-1,+X)上是減函數(shù)；

aa

當1<avl時，令/⑸=="得-ax：F-l-a>0,解得Ll〈x〈l,此時函數(shù)

2X*a

f(x)在([-1,1)上是噌函數(shù)；在(0,1-1)和(1,+3)上是減函數(shù)；

aa

當時，由于1-140,令/~~:a1>0得-ax'+x-l-aXl,可解得0<x<l,

ax*

此時函數(shù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù)；在(1,+工)上是減函數(shù).

(n)當時，f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對任意王e(0,2),

有f(XI)2f(l)=-；,又已知存在X2e[l,2],使/(X1)Zg(X2),所以-g2g(%),

x2e[l,2],

i9

即存在xw[l,2],使g(x)=x2-2bx+4<--,即2Z?X2/+5,即

9

x24

所以2匕2口，解得人2口，即實數(shù)b取值范圍是[口,+8)。

244

例12.2010北京文設(shè)定函數(shù)/(%)=三X3+"2+以+〃(4>0),且方程f(x)—9x=0的兩

個根分別為1,4。(1)當a=3且曲線y=/(x)過原點時，求/(根的解析式；(II)若/(了)

在(-00,+00)無極值點，求a的取值范圍。

解：由/(x)+芯+cx+d得f'(x)=ax2+2bx+c

a+2b+c-9-0

因為/'(x)—9x=a/+26x+c-9x=0的兩個根分別為1,4,所以?

\6a+Sb+c-36=0

(*)

2b+c-6=0

(I)當a=3時，又由(*)式得<

8b+c+12=0

解得b=—3,c=12又因為曲線y=/(x)過原點，所以d=0故/(x)=x3—3x?+12x

(H)由于a>0,所以"/(x)=；/+cx+d在(-°°,+8)內(nèi)無極值點”等價于

"/'(x)=ax?+2bx+c20在(-°°,+°°)內(nèi)恒成立“。由(*)式得2b=9-5a,c=4a。

又△=(2b)2-4ac=9(a—1)(。一9)解得ae[l,9]即a的取值.范

A=9(a-l)(a-9)<0

圍[1,9]

例13.2010全國I文已知函數(shù)/(x)=3a?-2(3a+l)x2+4x(I)當“=■時，求/(x)的

6

極值；(H)若/(元)在(一1,1)上是增函數(shù)，求。的取值范圍

解：(I)/'(X)=4(X-1)(3〃R2+3ax-l)

當a時，r(x)=2(x+2)(x-l)2,/(x)在(一oo,—2)內(nèi)單調(diào)減，在(一2,+8)內(nèi)單調(diào)

6

增，在x=—2時，/(x)有極小值.所以/(—2)=—12是/(外的極小值.

(II)在上，/CO單調(diào)噌加當且僅當

f1(x)=4(x—1)(3ax2+3ax—1)N0,

即3ax24-3ax-l<0,①

(p當a=O時①恒成立；

(ii)當a>O時①成立，當且僅當3aDP+3a□!-1<0,

解得。M工.

6

(Hi)當a<0時①成立，郎3Hx+孑一本一1Mo成立，

當且僅當一至-1M0.

4

4

解得：aN----o

3

綜上，a的取值范圍是「一3」。

L36」

例14.2010福建文已知函數(shù)f(x)=Lx3-x2+Qx+b的圖像在點p(0,f(0))處的切線方

3

YYI

程為y=3x-2(I)求實數(shù)a,b的值；(H)設(shè)g(x)=f(x)+——是［2,+oo］上的增函數(shù)。(i)

x-1

求實數(shù)m的最大值；(ii)當m取最大值時，是否存在點Q,使得過點Q的直線若能與曲線

y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標；若

不存在，說明理由。

.［f'(0)—3(a=3

解：(I)由/'(x)=/—2x+a及題設(shè)得〈即《。

,/(0)=-2［b=-2

I114

由一/2冗-得2

(II)(i)g(x)=_x+32+------g\x)=x-2x+3---------—o

3x-1(x-1)

???g&)是［2,+8)上的增函數(shù)，.?,g'(x)NO在［2,+8)上恒成立，即

x2-2x+3------r20在［2,+8)上恒成立。設(shè)(x-=，。?.,x￡［2,+oo),：.tG［1,+OO),

(x-1)-

即不等式f+2—'20在［1,+oo)上恒成立。所以機《『+2/在”,+8)上恒成立。令

t

y=t2+2t,rG［l,+oo),可得為歷=3,故加W3,即加的最大值為3.

I3

(ii)由(i)得g(x)=-x3—/+3x—2+—,將函數(shù)g(x)的圖像向左平移1個長度

3x-1

113

單位，再向下平移一個長度單位，所得圖像相應(yīng)的函數(shù)解析式為。(x)=-d+2x+—,

33x

XG(-OO,0)U(0,+OO)O由于。(r)=W(x),所以。(x)為奇函數(shù)，故。(1)的圖像關(guān)于坐

標原點成中心對稱。由此即得，函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點。(1,；)成中心對稱。這也表明，存

在點。(1,；)，是得過點。的直線若能與函數(shù)g(x)的圖像圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉

圖形的面積總相等。

例15.2010遼寧已知函數(shù)f(x)=(a+Y)\nx+ax2+1(I)討論函數(shù)f(無)的單調(diào)性;(II)

設(shè)“<一1.如果對任意外,》2e(0,+oo),l/(x1)-/(x2)>4lx,-x2I,求a的取值范圍.

解：(I)f(x)的定義域為(0,―)./'(x)=—+2ar=tfT1

xx

當a20時，/,(x)>0,故〃x)在(0,-oo)單調(diào)噌加；

當aST時，/'(x)<0,故f(x)在(0,-oo)單調(diào)減少；

當-IVaVO時，令尸(x)=0,解得x=J-F.

V2a

則當》6(0,/三，)時，尸(x)>o；時，/,(x)<o.

故/(X)在(01-黑)單調(diào)增加，在(J-：口,+工)單調(diào)減少.

V2a72a

(II)不妨假設(shè)巧2近，而aV-L由(I)知在(0,-8)單調(diào)減少，從而

Vxltx,e(0s+x),|/(.xi)-/(七)|之4卜一x］

等價于子與七c?+8)，f(七)+4±2”巧)+4項①

令g(2=/X6+4X，則g'(力~-+2ax+4

x

①等價于g(x)在(0,-8)單調(diào)減少，即-^^+2ax+440.從而

x

々-4x—1(2x—I)2—4x~-2(2x—1)~?納肅括廿國之(ii

a<———=---------s-----------=——\--------2故a的取值氾圍為(-8,-2］.…12分

2X2+12X2+12X2+1

例16.2010廣東省文、已知函數(shù)/(x)對任意實數(shù)x均有/(x)=^(x+2),其中常數(shù)人為

負數(shù)，且/(x)在區(qū)間［0,2］上有表達式/(x)=x(x—2).(1)求/(—1),/(2.5)的值；

(2)寫出f(x)在［-3,3］上的表達式，并討論函數(shù)/(x)在［-3,3］上的單調(diào)性;(3)求出/(x)

在卜3,3］上的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的自變量的取值.

解：⑴

113

/(—1)=4⑴=*.?/(0.5)=4(2.5),/(2.5)=丁"0.5)=:(0.5—2)x0.5=一丁.

kk4k

(2)對任意實數(shù)x,f(x)kf(x+2)

---/(x-2)=依x)二J(x)=if(x-2).

k

當一2Vxv0時，0Wx+2<2：f(x)=//(x+2)=fc<x+2)；

當-3Wx時，-1<x+2<0J(x)=/cf(x+2)=K(x+2)(x+4)；

當2Wx43時，0<x-2<l/(x)=—f(x—2)=—(x-2)(x-4).

:kk

M(x+2)(x+4)5-3<x<-2:

x<

fcc(x4-2)8—2<(h

故/(x)="

x(x-2);0<x<2:

-(x-2)(x-4),2<x<3.

在與上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).

(3)?.?k<0,;J(x)［T-1］［L3］［-U］

(3)由函數(shù)/(x)在［—3,3］上的單調(diào)性可知，/*)在x=—3或x=l處取得最小值

/(-3)=-k2或/(1)=—1,而在x=-l或x=3處取得最大值=或

/(3)=--.故有①女<一1時，/(x)在x=—3處取得最小值/(—3)=—h，在x=—l處

k

取得最大值/(—l)=Tl.②攵=一1時，/(x)在x=—3與x=l處取得最小值

/(—3)=/(I)=—1,在x=—1與x=3處取得最大值/(—1)=/(3)=1.③-1〈人<0時，

/(X)在x=l處取得最小值/⑴=—1,在X=3處取得最大值/(3)=—

k

例17.2010陜西、已知函數(shù)f(x)=、G,g(x)=alnx,a^R。(I)若曲線y=f(x)與曲線

y=g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；(II)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-

g(x),當h(x)存在最小之時，求其最小值°(a)的解析式；對(II)中的夕(〃)，證明：當ae

(0,+oo)時，。⑷<1.

〔yfx=aInx

Zfp

解(1)『(x)=―=,g?(x)=—(x>0),由已知得1Q,解德a=一,x=e：??,兩

2v%x—廣=—2

、2vxx

11

條曲線交點的坐標為(e；e)切線的斜率為k=f，9"瓦，?.?切線的方程為y-e=^(x-e2).

(1)當a.>0時，令力69=0,解得x=4〃2,所以當0<x<4a2時h。9<0,h⑨在(0,

41)上遞減；

當x>4/時，h'⑨>0,力⑨在(0,4。2)上遞增。

所以心>41是力㈤在(0,+8)上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是力回的最小

值點。

所以夕(a)=h(4〃2)=2a-aln4a2=2

(2)當a40時，力⑨=(l/2-2a)/2x>0,h(x)在(0,+8)遞增，無最刁'值。故h(x)

的最小值°(。)的解析式為2a(l-ln2a)(a>o)

(3)由(2)知0(a)=2a(lTn2a)則“(a)=-21n2a,令(p'(a)=0解得a=1/2

當0<a<l/2時，”(〃)>0,所以/(“)在(0,1/2)上遞增

當a>l/2時，"(a)<0,所以°(〃)在(1/2,+8)上遞減。所以。(4)在(0,+8)處取得極

大值夕(g)=l

因為火〃)在(0,+8)上有且只有一個極致點，所以夕(；)=1也是0(々)的最大值

所當a屬于(0,+8)時，總有夕(a)<1

例18.2010四川、設(shè);Yx)=±-(?！?且akl),g(x)是/V)的反函數(shù).(I)設(shè)關(guān)于

1-a'

x的方程/og“「_------=g(x)在區(qū)間［2,6］上有實數(shù)解，求t的取值范圍；(II)

(x-l)(7-x)

當a=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，證明：￡g(k)>,=;(III)當0<4《彳時，

金，2〃(〃+-2

試比較—〃］與4的大小，并說明理由.

k=l

解：(1)由題意，得了=2~~>0故g(x)=log?2__1,(-8,-1)U(1,+8)

y+1x+1

由k)g“--——------=log“-~~-得■=(六1)2(7-x),[2,6]

a(x2-l)(7-x)"x+1

貝ij尸=-39+181-15=-3(六1)(片5)歹!|表如下：

X2(2,5)5(5,6)6

e+0-

t5/極大值3225

所以打，卜值=5,外大值=32所以f的取值范圍為[5,32].......5分

./?\,1.231〃—1,123〃一1

(z2)〉g(攵)=ln-+ln—+ln—+....+In----=/，(一x—x—x....x-----)=-

金345n+1345〃+l

〃(〃+l)

In-------

2

令〃(z)=-Inz--——=-2lnz+z-—,z>0則if(z)=--4-14-^-=(1-—)2>0

zzzzz

所以〃(z)在(0,+8)上是增函數(shù)又因為>1>0,

]_9+12

即In，一_2>o即才g(A)>2TL1.......9分

〃(幾+1)n(n+l)My]2n(n+})

(3)設(shè)a=-^—,則R》1,1<〃1)=^^=1+243當〃=1時，|，(1)-II=2.42<4

1+p\-app

當〃》2時設(shè)2,?6〃?時，則f(Jd=<1+叫+1=1+-----

(1+P/-1(1+P/-1

-2

C；P+C浮+…+C：p"

2,4,44

所以1<f(?)41+—:---7=1H---------=1H---------

C：+C；k(k+l)kk+1

?44

從而〃攵)4/2-1+--------=〃+1--------<n+1

k=22〃+1n+1

所以n<⑹<AD+〃+14〃+4綜上所述，總有1七/(幻-3<4

k=\&=1

例19.2010江蘇、設(shè)/(x)使定義在區(qū)間(1,+8)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為r(x).如果存在實

數(shù)〃和函數(shù)h{x},其中h(x)對任意的xG(l,+oo)都有h{x}>0,使得

/'(x)=〃(x)(x2—ax+l),則稱函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P⑷.⑴設(shè)函數(shù)

6+2

/(x)=lnx+——(x>l),其中b為實數(shù).(i)求證：函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P(b);(ii)求函

x+1

數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間.(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)尸(2),給定和馬￡(0,+8),占<々，設(shè)

機為實數(shù)，a=mx[+(1-m)x2,￡=(1-〃?)$+mx2,且a>\,p>1,若

Ig(a)—g(￡)l<lg*|)-g(X2)I，求的取值范圍.

【解析】：(1)①/(x)=!一^U=—

x(x-1)-x(x-l)-

時，〃(x)=——>0恒成立，二函數(shù)f(x)具有性質(zhì)產(chǎn)。)；

x(x-l)

②設(shè)<xx)=x:-ix+1,則f'(x)與dx)同號，當bw[-2/]時，(Xx)=x:-5x+l>0恒

成立，

/(X)在(L+X)上單調(diào)遞噌；當5w(-X-2)時，儀x)=x:-ix+l>0恒成立，

..?/(X)在(L+X)上單調(diào)遞噌；當6W(2,+H)時，/(X)在L"±1一-上單調(diào)遞激,

2)

在婦亞三,+工；上單調(diào)遞增.

I2J

(2)由題：g\x)=Z?(x)(x-1):,故g(x)在(L+X)單調(diào)遞噌，且a+乃=西+七，

a—￡二(2附一1)(為一第)□當且切時，a</3,且

a一演=(加-11甬+(1-加)七，

/?-x>=il-w)Xj+(w-1)^2，故(a-再)(萬一期)=-(“-1)一(內(nèi)-9)-<0

a<xx<x^</3或xx<a<(3<x>若a<jq<x,</?,則

g(a)<gCxJ<g(x2)<g(/3)，

??.Ig(a)-g(￡)l>lg(%])-g(%2)?，不合題意。故再<a</?<%2，則有

x}<mx]+(l-m)x2

(1一in)x}+mx2<x2

解得〃z<l,—<m<\o當加=’時，a=B,此時有0=

22

Ig(a)-g(0)KIg(xi)-g(x2)I成立。

當m<—時，a>P,a-x2=m{xx-x2)，萬一玉=一m(可一x2)，故

(6Z—X))(萬一玉)——(玉一X))~,

X,<(1一〃Z)M+mx.1

,解得加>0,...0<加<—。綜上,

mx+(l-m)x<x2

{x22

mG(0,1)

例20.2010湖南文、已知函數(shù)/(x)=—+x4-(a-l)lnx+15a,其中a<0且a#-l.(I)

x

討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；(II)設(shè)函數(shù)g(x)=［(—2/+3ax-+6ala2_6a)e，,x〈l,(e

e-7(x),x>l

是自然對數(shù)的底數(shù)).是否存在a,使g(x)在［a,-a］上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范

圍；若不存在，請說明理由.

解：(I)函數(shù)/(X)的定義域為(0,+8).其導(dǎo)函數(shù)/,(x)=—二+1+巴士=('+"兒,一|)

XXX

⑴若-1va<0,貝IJ當0<x<-a時，八/>0；當-a<x<1時，f'(,x)<0s>1

時，尸(力>0.故/(幻分別在(0「4)。+8)上單調(diào)遞噌，在(-小1)上單調(diào)述遍.

(2)若a<—l,仿(1)可得八x)分別在(0」),(一2+￡)上單調(diào)遞噌，在(L-a)上單調(diào)遞

減.

(II)存在a,使g(x)在［a,-a］上為減函數(shù).事實上，設(shè)

h(x)=(-2xJ+3ax*+6ax-4a2—6a)e~(xeR)?則

^(x)=［-2r+3(<i-2)x:+12ax-4a:］e*.再設(shè)物(力=一2/+3(a-2)/+12ax-4/

(xwR),則當g(x)在上單調(diào)遞減時，h(x)必在［a,0］上單調(diào)遞減,所以*(a)<0

由于廣>0,因此憶(a)WO.而，%(a)=『(a+2),所以會一2.此時,顯然有?住)在［4-旬

上為減函數(shù)，當且僅當f(x)在［L-a］上為遍函數(shù)，〃(x)在［ql］上為減函數(shù)，且，?(1)三

e-/(l).由(1)知當a4-2時，/(%)在［1,-a］上為減函數(shù).①又力⑴》

,1

e-/(l)<=>4a2+13a+340=-3<a<——.②

4

不難知道，Vxe［<2,l］,h'(x)<0oVxe［a,l］,m(x)<0.

因加'(x)=-6尤