蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3 第六章《統(tǒng)計(jì)》全部講義

第6章統(tǒng)計(jì)

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

重點(diǎn):

三種常見(jiàn)抽樣方法；總體分布的估計(jì)；總體特征數(shù)的估計(jì)；線性回歸。

難點(diǎn)：

三種常見(jiàn)抽樣方法的區(qū)別和特點(diǎn)；頻率分布表；頻率分布直方圖、頻率分布折線

圖、莖葉圖的制作方法；平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算；變量之間的相關(guān)關(guān)系及

線性回歸方程的求法。

6.16樣方法

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

第16課時(shí)6.1.1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

I.明白樣本、總體、樣本容量等基本概念；

2.體會(huì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的的概念及抽簽法的基本步驟；

3.體會(huì)隨機(jī)數(shù)表法也是等可能性抽樣，感受用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣的基本步驟，并能熟運(yùn)

用。

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1.基本概念：總體、個(gè)體、樣本、樣本的容量、總體平均數(shù)、樣本平均數(shù)。

在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，我們把所要考察對(duì)象的全體叫做總體,其中的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體，

從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本的容量.總

體中所南個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，樣本中所直個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù).

2.統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想方法：

統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想方法是用樣本估計(jì)總體,即通過(guò)從總體中抽取一個(gè)樣本，根據(jù)樣本的

情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況.因此，樣本的抽取是否得當(dāng)，對(duì)于研究總體來(lái)說(shuō)就十分關(guān)鍵.究

竟怎樣從總體中抽取樣本？怎樣抽取的樣本更能充分地反映總體的情況？下面，我們就通過(guò)

案例來(lái)學(xué)習(xí)一種常用的基本的抽樣：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

案例1為了了解高一(1)班50名學(xué)生的視力狀況，從中抽取10名學(xué)生進(jìn)行檢查.如何抽取

呢？

【分析】

在這個(gè)案例中，總體容量較小，顯然可以用同學(xué)們最常見(jiàn)的抽簽法來(lái)抽取樣本.關(guān)鍵

問(wèn)題在于：抽簽法能使每一個(gè)人被抽到的機(jī)會(huì)均等嗎？對(duì)每一個(gè)人都公平嗎？

好吧，讓我們一起實(shí)踐一次抽簽的過(guò)程。在實(shí)踐中思考抽簽法需要哪些必要的步驟。

3.抽簽法

用抽簽法從個(gè)體個(gè)數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為k的樣本的步驟為：

(1)將總體中的所有個(gè)體編號(hào)(號(hào)碼可以從1到N)；

(2)將1到N這N個(gè)號(hào)碼寫(xiě)在形狀、大小相同的號(hào)簽上(號(hào)簽可以用小球、卡片、紙條等

制作；

(3)將號(hào)簽放在同一箱中，并攪拌均勻；

(4)從箱中每次抽出1個(gè)號(hào)簽，并記錄其編號(hào)，連續(xù)抽取k次；

(5)從總體中將與抽得的簽的編號(hào)相一致的個(gè)體取出。

注意：對(duì)個(gè)體編號(hào)時(shí)，也可以利用已有的編號(hào)，如從全班學(xué)生中抽取樣本時(shí)，利用學(xué)生的學(xué)

號(hào)作為編號(hào)；對(duì)某場(chǎng)電影的觀眾進(jìn)行抽樣調(diào)查時(shí)，利用觀眾的座位號(hào)作為編號(hào)等。

【小結(jié)】用抽簽法抽取樣本過(guò)程中，每一個(gè)剩余個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的,這也是一個(gè)樣

本是否具有良好的代表性的關(guān)鍵前提.沒(méi)有每個(gè)個(gè)體機(jī)會(huì)均等，就沒(méi)有樣本的公平性和科學(xué)

性.當(dāng)然，抽簽法簡(jiǎn)單易行.適用于總體中的個(gè)體數(shù)不多的情形.

在案例1中，還可以用另一種方法——隨機(jī)數(shù)表法來(lái)抽取樣本，它可以有效地簡(jiǎn)化抽簽

法的過(guò)程。

先讓我們一起體會(huì)一下隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的過(guò)程，再完成下面的空格。

2/71

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

4.隨機(jī)數(shù)表法(randomnumbertable)

隨機(jī)數(shù)表中的每個(gè)數(shù)都是用隨機(jī)方法產(chǎn)生的(稱為隨機(jī)數(shù))。

按一定規(guī)則到隨機(jī)數(shù)表中選取號(hào)碼，從而獲得樣本的方法就稱為隨機(jī)數(shù)表法

隨機(jī)數(shù)表的制作方法有抽簽法、拋擲骰子法、計(jì)算機(jī)生成法等等。

用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的步驟：

(1)對(duì)總體中的個(gè)體進(jìn)行編號(hào)(每個(gè)號(hào)碼位數(shù)一致)；

(2)在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開(kāi)始；

(3)從選定的數(shù)的始按一定的方向讀下去，得到的數(shù)碼若不在編號(hào)中，則跳過(guò)；若在編

號(hào)中，則取出；如果得到的號(hào)碼前面已經(jīng)取出，也跳過(guò)；如此繼續(xù)下去，宜到取滿為止；

(4)根據(jù)選定的號(hào)碼抽取樣本。

5.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

從個(gè)體數(shù)為N的總體中逐個(gè)不放回地取出n個(gè)個(gè)體作為樣本(n<N),每個(gè)個(gè)體都有相同

的機(jī)會(huì)被取到,這樣的抽樣方法叫簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(simplerandomsampling)

【經(jīng)典范例】

例1某校共有60個(gè)班級(jí)，為了調(diào)查各班級(jí)中男、女學(xué)生所占比例情況，試抽取8個(gè)班級(jí)組

成的一個(gè)樣本。

【解】按一定的次序?qū)⑷Ｋ邪嗉?jí)編號(hào)：1,2,3…,60,在60張相同的紙片上分別寫(xiě)上上

述號(hào)碼，號(hào)碼向內(nèi)將紙片疊制成統(tǒng)一形狀的號(hào)簽，將號(hào)簽放入紙盒攪勻，每次一張，從中隨

機(jī)抽取8個(gè)紙簽獲得所需樣本(如：2,13,44,14,50,6,37,27)

例2總體有8個(gè)個(gè)體，請(qǐng)用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取一個(gè)容量為5的樣本。如何操作(隨機(jī)數(shù)表

參見(jiàn)教科書(shū)41頁(yè))

【解】

第一步，將全部個(gè)體編號(hào)，可以1,2,3,4,5,6,7,8o

第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任意選擇一個(gè)數(shù)，比如從第一行第25列的數(shù)9作為開(kāi)始

第三步，從選定的數(shù)9開(kāi)始向下讀下去，9不在號(hào)碼范圍內(nèi)，將它去掉，繼續(xù)向下讀，得到

3,將它取出，再向下讀，取出2,再往下又是3,前面已經(jīng)取得，將它去掉，再往下取得7,

再往下又取得8,再往下又是8、7和3,都在前面已經(jīng)取得，去掉，再往下又取得5,于是

抽取的樣本號(hào)碼是3,2,7,8,5

例3某學(xué)校的高一年級(jí)共有200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生的某項(xiàng)身體素質(zhì)達(dá)標(biāo)狀況，請(qǐng)

使用隨機(jī)數(shù)表法從總體中抽取一個(gè)容量為15的樣本

【解】

第一步，將所有學(xué)生編號(hào)：000,001,002,…,198,199。

第二步，選定隨機(jī)數(shù)表中第一個(gè)數(shù)1作為開(kāi)始。

第三步，從選定的數(shù)1開(kāi)始按三個(gè)數(shù)字一組向右讀下去，?行讀完時(shí)按下一行自左向右

繼續(xù)讀，將超過(guò)199或重復(fù)的三位數(shù)去掉，保留下來(lái)的三位數(shù)直到取足15個(gè)為止。得所要

抽取的樣本號(hào)碼是162,175,068,047,176,025,067,016,

050,074,112,155,100,134,094

點(diǎn)評(píng)：1、在隨機(jī)數(shù)表中，每一個(gè)位置上出現(xiàn)某一數(shù)字是等可能的，這就決定了從總體

中抽到任何一個(gè)個(gè)體的號(hào)碼也是等可能的。可見(jiàn)隨機(jī)數(shù)表法屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。

2、該題在用隨機(jī)數(shù)表選號(hào)時(shí)，需要剔除大量不在個(gè)體編號(hào)范圍內(nèi)的號(hào)碼數(shù)，這樣挑號(hào)碼

不太方便，能否避免呢？

(可以規(guī)定所取的三位數(shù)中，凡在200?399者，均減可0,凡400?599者,均減400…,

使所有數(shù)組都小于200)

3/71

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

例4假設(shè)一個(gè)總體有5個(gè)元素，分別記為a,b,c,d,e,從中采用不重復(fù)抽取樣本的方法，抽取

一個(gè)容量為2的樣本，樣本共有多少個(gè)？寫(xiě)出全部可能的樣本。

【解】共有10種樣本：a,b;a,c;a,d;a,e;b,c;b,d;b,e;c,d;c,e;d,e.

追蹤訓(xùn)練

I.某次考試有100()0名學(xué)生參加，為了了解這10000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取I000

名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問(wèn)題中，有以下四種說(shuō)法：(1)1000名考生是總體

的一個(gè)樣本；(2)1000名考生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)是總體平均數(shù)；(3)10000名考生是總體；(4)

樣本容量是1000,其中正確的說(shuō)法有(B)

A.1種B.2種C.3種D.4種

2.關(guān)于簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣，有下列說(shuō)法：

(1)它要求被抽樣本的總體的個(gè)數(shù)有限，以便對(duì)其中各個(gè)個(gè)體被抽取的可能性進(jìn)行分析；

(2)它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，以便在抽樣實(shí)踐中進(jìn)行操作；

(3)它是一種不放回抽樣；

(4)它是一種等可能抽樣，不僅每次從總體中抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)，各個(gè)個(gè)體被抽取的可能性相

等，而且在整個(gè)抽樣過(guò)程中，各個(gè)個(gè)體被抽取的可能性也相等，從而保證了這種方法抽樣的

公平性.其中正確的命題有(D)

A.(1)⑵⑶B.(1)⑵⑷

C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)

3.從100件電子產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為25的樣本進(jìn)行檢測(cè)，試用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本。

【解】

第一步,將所有電子產(chǎn)品編號(hào)：00,01,02,…,98,99。

第二步，選定隨機(jī)數(shù)表中第一個(gè)數(shù)1作為開(kāi)始。

第三步，從選定的數(shù)1開(kāi)始按二個(gè)數(shù)字一組向右讀下去，一行讀完時(shí)按下一行自左向右繼

續(xù)讀，將重復(fù)的二位數(shù)去掉，保留下來(lái)的二位數(shù)直到取足25個(gè)為止。

4.為了分析某次考試情況，需要從2000份試卷中抽取100份作為樣本，如何用隨機(jī)數(shù)表法

進(jìn)行抽?。?/p>

【解】

第一步,將所有試卷編號(hào)：0000,0001,0002,-,1998,1999.

第二步，選定隨機(jī)數(shù)表中第一個(gè)數(shù)1作為開(kāi)始。

第三步，從選定的數(shù)1開(kāi)始按四個(gè)數(shù)字一組向右讀下去，一行讀完時(shí)按下一行自左向右繼

續(xù)讀，將超過(guò)1999或重復(fù)的四位數(shù)去掉，保留下來(lái)的四位數(shù)直到取足100個(gè)為止。

4/71

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

第17翼時(shí)系統(tǒng)抽樣

5/71

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

學(xué)習(xí)要求

1.體會(huì)系統(tǒng)抽樣的的概念及如何用系統(tǒng)抽樣獲取樣本；

2.感受系統(tǒng)抽樣也是等可能性抽樣，是否需要用系統(tǒng)抽樣，主要是看總體個(gè)數(shù)的多少.

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

案例1某校高一年級(jí)有20個(gè)班，每班有50名學(xué)生.為了了解高一學(xué)生的視力狀況，

從這1000人中抽取一個(gè)容量為100的樣本進(jìn)行檢查，應(yīng)該怎樣抽樣？

【分

這個(gè)案例的總體中個(gè)體數(shù)較多，生活中還有容量大的多的總體，面對(duì)這樣的總體，采用

抽簽或隨機(jī)數(shù)表等簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法是不科學(xué)的.抽取樣本最關(guān)鍵的就是要保證抽樣過(guò)程的

公平性,要保證總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等.在這樣的前提下，我們可以尋求更好的

抽樣方法.

系統(tǒng)抽樣以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣為基礎(chǔ)，通過(guò)將較大容量的總體分組，只需在某一個(gè)組內(nèi)用

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式來(lái)獲取一個(gè)個(gè)體，然后在一定規(guī)則下就能抽取出全部樣本.

1.系統(tǒng)抽樣

系統(tǒng)抽樣的概念：將總體平均分成幾個(gè)部分，然后按照一定的規(guī)則，從每個(gè)部分中抽取

一個(gè)個(gè)體作為樣本,這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣(systematicsampling)

系統(tǒng)抽樣的步驟為：

(1)采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào):

(2)將整個(gè)的編號(hào)按定的間隔(設(shè)為k)分段，當(dāng)N/n(N為總體中的個(gè)體數(shù)，n為樣本

容量)是整數(shù)時(shí)，k=N/n；當(dāng)N/n不是整數(shù)時(shí)，從總體中剔除一些個(gè)體，使剩下的總體中個(gè)

體的個(gè)數(shù)N,能被n整除，這時(shí)，k=N7n并將剩下的總體革新編號(hào);

(3)在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)L:

(4)將編號(hào)為L(zhǎng),L+k,L+2k,…,L+(n-l)k的個(gè)體抽出.

【小結(jié)】系統(tǒng)抽樣是以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣為基礎(chǔ)的一種抽樣方法，對(duì)于容量較大、個(gè)體差異不明

顯的總體通常采用這種抽樣方法，在保證公平客觀的前提下簡(jiǎn)化抽樣過(guò)程.在用系統(tǒng)抽樣方

法抽取樣本時(shí)，如果總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除，可以從總體中剔除一些個(gè)體，使剩下的

總體中的個(gè)體的個(gè)數(shù)能被樣本容量整除.

【經(jīng)典范例】

例1在1000個(gè)有機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)的號(hào)碼(編號(hào)為000?999)中，在公證部門監(jiān)督下隨機(jī)抽取的方

法確定后兩位數(shù)為88的號(hào)碼為中獎(jiǎng)號(hào)碼，這是運(yùn)用哪種抽樣方法來(lái)確定中獎(jiǎng)號(hào)碼的？依次

寫(xiě)出這10個(gè)中獎(jiǎng)號(hào)碼？

【解】

本題中是運(yùn)用了系統(tǒng)抽樣的方法來(lái)確定中獎(jiǎng)號(hào)碼的，中獎(jiǎng)號(hào)碼依次為：

088,188,288,388,488,588,688,788,888,988

例2某單位在崗職工共624人，為了調(diào)查工人用于上班途中的時(shí)間，決定抽取10%的工人

進(jìn)行調(diào)查.試采用系統(tǒng)抽樣方法抽取所需的樣本.

【分析】因?yàn)?24的10%約為62,624不能被62整除，為了保證“等距”分段，應(yīng)剔除4

人.

【解】第一步將624名職工用隨機(jī)方式進(jìn)行編號(hào)；

第二步從總體中剔除4人(剔除方法可用隨機(jī)數(shù)表法)，將剩下的620名職工重新編

號(hào)(分別為000,001,002,........619),并分成62段；

第三步在第一段000,……，009這十個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始號(hào)碼i0;

第四步將編號(hào)為io,io+10.............io+610的個(gè)體抽出,組成樣本.

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

例3某制罐廠每小時(shí)生產(chǎn)易拉罐10000個(gè)，每天生產(chǎn)時(shí)間為12h,為了保證產(chǎn)品的合格率,

每隔一段時(shí)間要抽取一個(gè)易拉罐送檢，工廠規(guī)定每天共抽取1200個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一

個(gè)抽樣方案。

【解】

每天共生產(chǎn)易拉罐120000個(gè)，共抽取1200個(gè)，所以分1200組，每組100個(gè)，然后

采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法從001?100中隨機(jī)選出一個(gè)編號(hào)，例如選出的是013號(hào)，則從第13

個(gè)易拉罐開(kāi)始，每隔100個(gè)，拿出一個(gè)送檢，或者根據(jù)每小時(shí)生產(chǎn)10000個(gè)，每隔

1(V)

X3600=36S拿出一個(gè)易拉罐送檢。

10000

例4現(xiàn)要從999名報(bào)名者中隨機(jī)選取100名參加某活動(dòng)，請(qǐng)你用系統(tǒng)抽樣法設(shè)計(jì)一種方案,

敘述其步驟。你能找到另外的抽樣方案嗎？比較兩種方案的合理性和易操作性

【解】按系統(tǒng)抽樣法，因?yàn)?00不能整除999,所以首先將999人編號(hào)，采用隨機(jī)數(shù)表法剔

除99名，再將剩下的900名報(bào)名者重新編號(hào)001?900,從001號(hào)順次下去每9人一組，等

分成100組，利用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法，從1?9個(gè)數(shù)中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)，新編號(hào)為該數(shù)字

加上9的倍數(shù)的報(bào)名者入選。例如選出的隨機(jī)數(shù)為3則新編號(hào)為003,012,021,…，894

共100人入選。

還可以采取以下抽樣方法：首先將999名報(bào)名者編號(hào)為001?999,因?yàn)?11可以整除

999,將這999個(gè)編號(hào)從001開(kāi)始順次每9個(gè)一組，然后選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法從1?9的9

個(gè)數(shù)字中隨機(jī)地抽出一個(gè)數(shù)字，編號(hào)為該數(shù)字加上9的倍數(shù)的共111名報(bào)名者先挑選出來(lái)，

例如：隨機(jī)抽到的是7,則編號(hào)為007,016,025,…,988,997共111名，最后,再利用隨機(jī)

數(shù)表從111名中隨機(jī)抽取11名剔除。

點(diǎn)評(píng)：此方法較之系統(tǒng)抽樣法更易操作，因?yàn)殡m然999不能被100整除，但余數(shù)99非常大,

接近于除數(shù)100,而且采用隨機(jī)數(shù)表法從999個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽出99個(gè)數(shù)剔除的工作量也較

大。后一種方法先通過(guò)系統(tǒng)抽樣，隨機(jī)抽取111名，再利用隨機(jī)數(shù)表法，從111個(gè)數(shù)字中隨

機(jī)抽出11個(gè)來(lái)剔除，操作起來(lái)要相對(duì)方便得多。

追蹤訓(xùn)練

I.為了了解參加一次知識(shí)競(jìng)賽的1252名學(xué)生的成績(jī)，決定采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)

容量為50的樣本，那么總體中應(yīng)隨機(jī)剔除個(gè)體的數(shù)目是(A)

(A)2(B)3

(C)4(D)5

2.全班有50位同學(xué)，需要從中選取7人，若采用系統(tǒng)抽樣的方法來(lái)選取，則每位同學(xué)能被

選取的可能性是7,

50

3.一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為0,1,2,99,依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，

組號(hào)依次為1,2,3,...,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第

一組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為機(jī)，那么在第k組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m+k的個(gè)位數(shù)字相

同.若機(jī)=6,則在第7組中抽取的號(hào)碼是63.

4.要從1003名學(xué)生中選取一個(gè)容量為20的樣本，試敘述系統(tǒng)抽樣的步驟。

【解】

第一步將1003名學(xué)生有隨機(jī)方式進(jìn)行編號(hào)；

第二步從總體中剔除3人(剔除方法可用隨機(jī)數(shù)表法)，將剩下的1000名學(xué)生重新編

號(hào)并分成20段；

第三步在第一段000、001、002、003、…、049這十個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

起始號(hào)碼，比如013

第四步將013逐次加上部分的“長(zhǎng)度”（第一部分中個(gè)體的個(gè)數(shù)）的0倍、1倍、2倍、”

19倍得到樣本:013、063、113、163、…963.

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

第18翼時(shí)分層抽樣

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

學(xué)習(xí)要求

I.體會(huì)分層抽樣的的概念及如何用分層抽樣獲取樣本：

2.感受分層抽樣也是等可能性抽樣，它適用于總體由差異明顯的幾部分組成的：

3.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的特點(diǎn)及適用范圍。

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

案例1某校高一、高二和高三年級(jí)分別有學(xué)生1000,800和700名，為了了解全校學(xué)生的

視力情況，欲從中抽取容量為100的樣本，怎樣抽樣較為合理.

【分析】如果在2500名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，或者在三個(gè)年級(jí)中平均抽取

學(xué)生組成樣本，這樣的樣本是否合理？能否反映總體情況？

由于不同年級(jí)的學(xué)生視力狀況有一定的差異，為準(zhǔn)確反映客觀實(shí)際，不僅要使每個(gè)個(gè)體

被抽到的機(jī)會(huì)均等，而且要注意總體中個(gè)體的層次性，從而使抽取的樣本具有良好的代表性.

對(duì)于這種容量較大、個(gè)體差異較大且明顯分成凡部分的總體，就考慮用分層抽樣來(lái)抽取樣本.

1.分層抽樣

分層抽樣的概念：當(dāng)總體由走異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí),為了使樣本更客觀地反映總體

情況,我們常常將總體中的個(gè)體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分,然后按各部分在

總體中所占的比實(shí)施抽樣,這樣的抽樣方法稱為分層抽樣(stratifiedsampling)

分層抽樣的步驟為：

(1)將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層；

(2)計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比；

(3)按各層個(gè)體數(shù)占總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；

(4)在每?層進(jìn)行抽樣(可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣)。

【小結(jié)】①分層抽樣適用于總體由差異比較明顯的兒個(gè)部分組成的情況，是等可能抽

樣，它也是客觀的、公平的；

②分層抽樣是建立在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的基礎(chǔ)上的，由于它充分利用了己知信

息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時(shí)可以根據(jù)情況采用不同的抽樣方法，因此

在實(shí)踐中有著非常廣泛的應(yīng)用.

2.三種抽樣方法的比較

相互聯(lián)適用范共同

類別特點(diǎn)

系圍點(diǎn)

簡(jiǎn)單總體中抽樣

從總體中

隨機(jī)的個(gè)體過(guò)程

逐個(gè)抽取

抽樣數(shù)較少中每

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

將總體平個(gè)個(gè)

在起始

均分成兒體被

部分抽

部分，按事總體中抽到

系統(tǒng)樣時(shí)，采

先確定的的個(gè)體的可

抽樣用簡(jiǎn)單

規(guī)則分別數(shù)較多能性

隨機(jī)抽

在各部分相同

樣

中抽取

各層抽

將總體分總體由

樣時(shí)采

成幾層，按差異明

分層用簡(jiǎn)單

各層個(gè)體顯的幾

抽樣隨機(jī)抽

數(shù)之比抽部分組

樣或系

取成

統(tǒng)抽樣

【精典范例】

例1某政府機(jī)關(guān)有在編人員100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部70人，工人20

人，上級(jí)機(jī)關(guān)為了了解政府機(jī)構(gòu)改革意見(jiàn)，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，試確定用何

種方法抽取，請(qǐng)具體實(shí)施抽取。

【解】

因?yàn)闄C(jī)構(gòu)改革關(guān)系到各種人的不同利益，故采用分層抽樣方法為妥。

所以從副處以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工作中抽取4人。

例2某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目的喜愛(ài)程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為

12000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示：

很喜愛(ài)喜愛(ài)一般不喜愛(ài)

2435456739261072

電視分為進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見(jiàn)，打算從中抽取60人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查,

應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣？

分析：因?yàn)榭傮w中人數(shù)較多，所以不宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，又由于持不同態(tài)度的人數(shù)差異較

大，故也不宜用系統(tǒng)抽樣方法，而以分層抽樣為妥。

【解】

可用分層抽樣方法，其總體容量為12000,

「2435487會(huì)口,八487,

“很喜愛(ài)”占------=------,應(yīng)取60x-----212人

1200024002400

,4567./八4567.

“喜愛(ài)”占------，應(yīng)取w60x------乏23人

1200012000

,3926…。3926”.

“一搬”占------，應(yīng)取60x------x20人

1200012000

,1072+而1072一

“不喜愛(ài)”占------，應(yīng)取60x------p5人

1200012000

因此，采用分層抽樣的方法在“很喜愛(ài)”、“喜愛(ài)”、“一般”和“不喜愛(ài)”的2435人、

4567人、3926人和1072人中分別抽取12人、23人、20人和5人。

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

例3某所學(xué)校有小學(xué)部、初中部和高中部，在校小學(xué)生、初中生和高中生之比為5：2：

3,且已知初中生有800人，現(xiàn)要從這所學(xué)校中抽取一個(gè)容量為80的樣本以了解他們對(duì)某一

問(wèn)題的看法，應(yīng)采用什么抽樣方法？從小學(xué)部、初中部及高中部各抽取多少名？總體上看，

平均多少名學(xué)生中抽取到一名學(xué)生？

【解】

因?yàn)榭傮w由三類差異明顯的個(gè)體構(gòu)成，所以應(yīng)采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取。

由于樣本容量為80,小學(xué)生、初中生、高中生之比為5：2：3,

所以就抽取

小學(xué)生為80x2=40(人)，

10

2

初中生為80x—=16(人)

10

3

高中生為80x±=24(人)

10

800名初中生抽取16人，—=50,所以平均50名學(xué)生中抽取一名學(xué)生。

16

例4下列問(wèn)題中，采用怎樣的抽樣方法較為合理？

(1)從10臺(tái)冰箱中抽取3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查；

(2)某電影院有32排座位，每排有40個(gè)座位，座位號(hào)為1?40。有一次報(bào)告會(huì)坐滿了聽(tīng)眾，

報(bào)告會(huì)結(jié)束以后為聽(tīng)取意見(jiàn)，需留下32名聽(tīng)眾進(jìn)行座談；

(3)某學(xué)校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解

教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開(kāi)方面的意見(jiàn)，擬抽取一個(gè)容量為20的樣本。

分析：(1)用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法。

(2)總體容量比較大，用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法比較麻煩。由于人員沒(méi)有明顯差異，且剛

好32排，每排人數(shù)相同，可用系統(tǒng)抽樣。

(3)由于學(xué)校各類人員對(duì)這一問(wèn)題的看法可能差異較大，故應(yīng)采用分層抽樣方法。

【解】

(1)用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法。

(2)將每排的40個(gè)人組成一組，共32組，從第一排至第32排分別為第1?32組，先在

第一排用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽出一名聽(tīng)眾，再將其各排與此聽(tīng)眾座位號(hào)相同的聽(tīng)眾全部取

出。

(3)總體容量為160,故樣本中

教師人數(shù)應(yīng)為20x坦120=15名，

160

行政人員人數(shù)為20x也=2

160

后勤人員人數(shù)為20x24'=3

160

追蹤訓(xùn)練一

1.某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛、2000輛。為檢驗(yàn)該公

司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車應(yīng)分別抽取

630和10輛。

2.某商場(chǎng)想通過(guò)檢查發(fā)票及銷售記錄的2%來(lái)快速估計(jì)每月的銷售總額，采取如下方法：

從某本50張的發(fā)票存根中隨機(jī)抽取一張，如15號(hào),然后按順序往后將65號(hào)、115號(hào)、165

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

號(hào)、…發(fā)票上的銷售額組成一個(gè)調(diào)查樣本。這種抽取樣本的方法是（B）

（A）抽簽法（B）系統(tǒng)抽樣

（0分層抽樣（D）隨機(jī)數(shù)表法

3.某班有50名學(xué)生，（其中有30名男生，20名女生）現(xiàn)調(diào)查平均身高，準(zhǔn)備抽取10%,

問(wèn)應(yīng)如何抽樣？如果已知男女身高有顯著不同，又應(yīng)如何抽樣？

解：（1）可用系統(tǒng)抽樣的方法：

第一步先將這50名學(xué)生從00到49隨機(jī)編號(hào)，并分成5段；

第二步在第一段00、01、02、03、…、09這十個(gè)編號(hào)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始號(hào)

碼,比如03

第三步將003逐次加上部分的''長(zhǎng)度”（第?部分中個(gè)體的個(gè)數(shù)）的。倍、1倍、2倍、…、

9倍得到樣本：

03、13>23、33、43

（2）因%總.由油類'差異明顯的個(gè)體構(gòu)成，所以應(yīng)采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽?。浩渲?/p>

男生抽三名，女生抽兩名。

4.某單位有2000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術(shù)開(kāi)發(fā)、營(yíng)銷、生產(chǎn)各部

門中，如下表所示:

技

管術(shù)營(yíng)

人數(shù)生產(chǎn)小計(jì)

理開(kāi)銷

發(fā)

老年40404080200

中年80120160240600

青年401602807201200

小計(jì)16032048010402000

（1）若要抽取40人調(diào)查身體情況，則應(yīng)該怎樣抽樣？（2）若要開(kāi)?個(gè)25人的討論單位發(fā)展

與薪金調(diào)整方面的座談會(huì)，則應(yīng)怎樣抽選出席人？（3）若要抽20人調(diào)查對(duì)北京奧運(yùn)會(huì)籌備情

況的了解，則應(yīng)怎樣抽樣？

【解】

（1）因?yàn)樯眢w狀況主要與年齡有關(guān)，所以應(yīng)按老年、中年、青年分層抽樣法進(jìn)行抽樣，

要抽取40人，可以在老年、中年、青年職工中分別抽取4,12,24人.

（2）因?yàn)槌鱿@樣的座談會(huì)的人員應(yīng)該代表各個(gè)部門，所以可用按部門分層抽樣的方法進(jìn)

行抽樣.要抽取25人，可以在管理、技術(shù)開(kāi)發(fā)、營(yíng)銷、生產(chǎn)各部門的職工中分別隨機(jī)抽取

2,4,6,13人.

（3）對(duì)北京奧運(yùn)會(huì)籌備情況的了解與年齡、部門關(guān)系不大，可以用系統(tǒng)抽樣或簡(jiǎn)單隨機(jī)抽

樣進(jìn)行.

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

6.2總體分布的估計(jì)

第19翼時(shí)演率分布表

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

學(xué)習(xí)要求

1.感受如何用樣本頻率分布表去估計(jì)總體分布；

2.自己親自體驗(yàn)制作頻率分布表的過(guò)程，注意分組合理并確定恰當(dāng)?shù)慕M距；

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

案例1為了了解7月25日至8月24日北京地區(qū)的氣溫分布狀況，我們對(duì)往年份這段時(shí)間

的日最高氣溫進(jìn)行抽樣，并對(duì)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.我們隨機(jī)抽取近年來(lái)北京地區(qū)7月25

日至8月24日的舊最高氣溫，得到如下樣本（單位:C）:

7月25日至8月41.937.535.735.437.238.1

10日34.733.733.332.534.633.0

30.831.028.631.528.8

8月8日28.631.528.833.232.530.3

至8月24日30.229.833.132.829.425.6

24.730.030.129.530.3

怎樣通過(guò)上表中的數(shù)據(jù)，分析比較兩時(shí)間段的高溫（》33℃狀況呢？

【分析】

要比較兩時(shí)間段的高溫狀況，最直接的方法就是分別統(tǒng)計(jì)這兩時(shí)間段中高溫天數(shù).如

果天數(shù)差距明顯，則結(jié)論顯然，若天數(shù)差距不明顯，可結(jié)合其它因素再綜合考慮.上面兩樣

本中的高溫天數(shù)的頻率用下表表示：

時(shí)間總天數(shù)高溫天數(shù)（頻數(shù)）頻率

7月25日至8月10日17110.647

8月8日至8月24日1720.118

由此表可以發(fā)現(xiàn)，近年來(lái)，北京地區(qū)7月25日至8月1（）日的高溫天氣的頻率明顯高

于8月8日至8月24日.

上例說(shuō)明，當(dāng)總體很大或不便于獲得時(shí)，可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分

布.我們把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表.

案例2從某校高一年級(jí)的1002名新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為100的身高樣

本，數(shù)據(jù)如下（單位：cm）。試作出該樣本的樣本的頻率分布表。

168165171167170165

【分析】該組數(shù)據(jù)中最小值為151,165170168169171166

最大值為180,它們相差29,可取區(qū)170155166158155160

間［150.5,180.5］,并將此區(qū)間分成10160170168164174171

個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為3,再180174173159163172

統(tǒng)計(jì)出每個(gè)區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)并計(jì)算相應(yīng)151168158168176155

的頻率，我們將整個(gè)取值區(qū)間的長(zhǎng)度177158175165169151

稱為全距，分成的區(qū)間的長(zhǎng)度稱為組178165158170169159

167163164158168167

距。

161165174156167166

【解】

（1）在全部數(shù)據(jù)中找出最大值180和最小小151,則兩者之差為22，確定全距為30,決定

以組距3將區(qū)間［150.5,180.5］分成由個(gè)組;

（2）從第一組［150.5,153.5）開(kāi)始，分別統(tǒng)計(jì)各組中的頻數(shù)，再計(jì)算各組的頻率，并將結(jié)果

填入下表：

分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率

150.5,153.5)440.04

153.5,156.5)1280.08

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

156.5,159.5)2080.08

159.5,162.5)31110.11

162.5,165.5)53220.22

165.5,168.5)72190.19

168.5,171.5)86140.14

171.5,174.5)9370.07

174.5,177.5)9740.04

]77.5,180.5]10030.03

合計(jì)1001

【小結(jié)】編制頻率分布表的步驟如下：

（1）求全距，決定組數(shù)和組距，組距=全距/組數(shù)；

（2）分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；

（3）登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.

在分組時(shí)，為了容易看出規(guī)律，一般分組使每組的長(zhǎng)度相等，組數(shù)不宜太多也不宜太

少.一般地，稱區(qū)間的左端點(diǎn)為為下組限，右端點(diǎn)為上組限。我們可以采用下組限在內(nèi)而

上組限不在內(nèi)的分組方法，也可采用下組限不在內(nèi)而上組限在內(nèi)的分組方法。如果取全距

時(shí)不利于分組（如不能被組數(shù)整除），如何處理可適當(dāng)增大全距，如在左、右兩端各增加適當(dāng)

范圍（盡量使兩端增加的量相同.

精典范例

例1某鑄件廠從規(guī)定尺寸為25.40mm的一堆零件中任取100件,測(cè)得它們的實(shí)際尺寸如下:

25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.39

25.4125.4325.4425.4825.4525.4325.46

25.4025.3925.4125.3625.3825.3125.56

25.3725.4425.3325.4625.4025.4925.34

25.3525.3225.4525.4025.2725.4325.54

25.4025.4325.4425.4125.5325.3725.38

25.3625.4225.3925.4625.3825.3525.31

25.4125.3225.3825.4225.4025.3325.37

25.4725.3425.3025.3925.3625.4625.29

25.4025.3525.4125.3725.4725.3925.42

25.4225.2425.4725.3525.4525.4325.37

25.4025.3425.5125.4525.4425.4025.38

25.4325.4125.4025.3825.4025.3625.33

25.4225.4025.5025.3725.4925.3525.39

25.3925.47

1）這100件零件尺寸的全距是多少？

2）如果將這100個(gè)數(shù)據(jù)分為11組，則如何分組？組距為多少?

3）畫(huà)出以上數(shù)據(jù)的頻率分布表。

4）如果規(guī)定尺寸在[25.325,25.475）之間的零件為合格產(chǎn)品抽樣檢查，合格品率大于85%,

這批零件才能通過(guò)檢驗(yàn)，則這批產(chǎn)品能通過(guò)檢驗(yàn)嗎？

【解】

1）該組數(shù)據(jù)中最小值為25.24,最大值為25.56,它們相差0.32,故可取區(qū)間

[25.235,25.565],并將此區(qū)間等分成11個(gè)區(qū)間，這100個(gè)零件尺寸的全距為

25.235-25.565=0.33

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

2)組距為0士3吆3=0.03

11

3)

分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率

[25.235,25.265)110.01

25.265,25.295)320.02

25.295,25.325)850.05

[25325,25.355)20120.12

[25.355,25.385)38180.18

[25.385,25.415)63250.25

25.415,25.445)79160.16

[25.445,25.475)92130.13

25.475,25.505)9640.04

[25.505,25.535)9820.02

[25.535,25.565]10020.02

合計(jì)1001

4）尺寸在［25.325,25.475）之間的零件的累計(jì)頻率為0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84<0.85

故這批零件不能通過(guò)抽樣檢驗(yàn)。

追蹤訓(xùn)練一

1.一個(gè)容量為20的數(shù)據(jù)樣本，分組與頻數(shù)為：［10,20］2個(gè)，（20,30］3個(gè)，（30,4。］4個(gè)，

（40,50］5個(gè)，（50,60］4個(gè)，（60,7012個(gè)，則樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間（-8,50］上的可能性為（D）

（A）5%（B）25%（C）50%（D）70%

2.下面是不同廠家生產(chǎn)的手提式電腦的重量（單位:kg）,試列出其頻率分布表

1.92.02.12.42.4

2.61.92.42.21.6

2.83.22.31.52.6

1.71.71.81.83.0

分析：全距3.2T.5=1.7故可取區(qū)間［1.45,3.25］并將此區(qū)間分成6個(gè)小區(qū)間

分組頻數(shù)累頻數(shù)頻率

計(jì)

[1.45,1.75)440.20

[1.75,2.05)950.25

2.05,2.35)1230.15

[2.35,2.65)1750.25

2.65,2.95)1810.05

[2.95,3.25]2020.10

合計(jì)201

3.一本書(shū)中，分組統(tǒng)計(jì)100個(gè)句子中的字?jǐn)?shù)，得出下列結(jié)果：字?jǐn)?shù)1?5個(gè)的15句，字?jǐn)?shù)

6~10個(gè)的27句，字?jǐn)?shù)11-15個(gè)的32句，字?jǐn)?shù)16?20個(gè)的15字，字?jǐn)?shù)21?25個(gè)的8句,

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

字?jǐn)?shù)26?30個(gè)的3句，請(qǐng)作出字?jǐn)?shù)的頻率分布表，并利用組中值對(duì)該書(shū)中平均每個(gè)句子包

含的字?jǐn)?shù)作出估計(jì)。

分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率

1?515150.15

6?1042270.27

11?1574320.32

16?2089150.15

21?259780.08

26?3010030.03

合計(jì)1001

可以估計(jì)，該書(shū)中平均每個(gè)句子子包含字?jǐn)?shù)為：

3x0.15+8x0.27+13x0.32+18x0.15+23x0.08+28x0,0312個(gè).

4.李老師為了分析一次數(shù)學(xué)考試情況，全校抽了50人，將分?jǐn)?shù)分成5組，第一組到第

三組的頻數(shù)10,23,11,第四組的頻率為0.08,那么落在第五組(89.5~99.5分)的頻數(shù)是多少？頻

率是多少？全校300人中分?jǐn)?shù)在89.5-99.5中的約有多少人？

解：頻率是每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值，第四組的頻率是0.08,則第四組的頻數(shù)

是4,從而可求出第五組的頻數(shù)、頻率，并由樣本估計(jì)出全校300人中分?jǐn)?shù)在89.5~99.5之間

的人數(shù).第四組的頻數(shù)為0.08x50=4,第五組的頻數(shù)為50-10-23-11-4=2,頻率為

2

—=0.04,所以全校在89.5-99.5之間的約有0.04x300=12人.

50

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

第20課時(shí)頻率分布直力圖和折線圖

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修3精品講義

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

體

分

總

體

分

布

學(xué)習(xí)要求

1.頻率分布直方圖的作法，頻率分布直方圖更加直觀形象地反映出總體分布的情況；

2.頻率分布折線圖的作法，優(yōu)點(diǎn)是反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，如果樣本容量足夠大，分組的

組距足夠小，則這條折線將趨于一條曲線，稱為總體分布的密度曲線。

【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

案例1下表是某學(xué)校一個(gè)星期中收交來(lái)的失物件數(shù)，請(qǐng)將5天中收交來(lái)的失物數(shù)用條形圖

表示.

星期—>二三四五

件數(shù)62351

累計(jì)68111617

解用EXCEL作條形圖：

(1)在EXCEL工作表中輸入數(shù)據(jù)，光標(biāo)停留在數(shù)據(jù)區(qū)中;

(2)選擇“插入/圖表”，在彈出的對(duì)話框中點(diǎn)擊“柱形圖”；

(3)點(diǎn)擊“完成”，即可看到如下頻數(shù)條形圖.

星期

案例2從某校高一年級(jí)的1002名新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為100的身高樣

本，數(shù)據(jù)如下(單位：cm)。試作出該樣本的頻率分布直方圖和折線圖.

168165171167170165