高考數(shù)學卷(天津理)含詳解

20XX年高考數(shù)學卷（天津.理）含詳解

2011天津理

第I卷

本卷共8小題，每小題5分，共40分

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

A..i是虛數(shù)單位，復數(shù)

2.設，則且是的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出i的值為（）.

A.3

B.4

C.5

D.6

4.已知為等差數(shù)列，其公差為，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為的

前n項和，，則S10的值為（）.

A...90D.110

.在的二項展開式中,x的系數(shù)為（）..C.4884

6.如圖，在中，D是邊AC上的點，且

AD,2AB,，貝UsinC的值為（）.

A

6B

1

C

.7.

D

.36

log30.3

B,則().

Iog23.4

log43.6

A

D

c

A..C?.

8.對實數(shù)a和b,定義運算：

設函數(shù)

，.若函數(shù)■圖象與x軸恰有兩個公共點,

則實數(shù)c的取值范圍是（）.

A..

C.

第II卷

二、填空題：本答題共6小題，每小題5分，共30分.

9.一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人.若用分層抽樣的方法從該隊的全體運

動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為.

10.一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為m.

正視圖

俯視圖

側視圖

3

11.已知拋物線C的參數(shù)方程為為參數(shù)）.若斜率

2

22

為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓相切，則

2

12.如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F,E是AB

延長線上一點，且若CE與圓相切，則線段CE的長為.

13

己

知

集

合

C

,則集合

14.已知直角梯形ABCD中，AD//BC,,

,,P是腰DC上的動點，則的最小值

為.

三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）已知函數(shù)I）求函數(shù)的定義域與最小正周期;

（II）設

,若

,求的大小.

16.(本小題滿分13分)學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球，2個

黑球，乙箱子里裝有1個白球，2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱

子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個.則獲獎.(每次游戲結束后將球放回原

箱)

(I)求在1次游戲中，(i)摸出3個白球的概率；

3

(ii)獲獎的概率；

(II)求在2次游戲中，獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望

17.(本小題滿分13分)如圖，在三棱柱中中，

H

是正方形的中心，AA1B1B,且，平面

AAC1H

(I)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值;

(II)求二面角的正弦值；

11(111)設N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1BC11,求線段1B1B已知，函數(shù)

,.(的圖象

連續(xù)不斷)

(I)求的單調(diào)區(qū)間；

(II)當時，證明：存在，使

4

（HI）若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明:

.In2

【解】（I，.XX

令

0,則當x變化時,的變化情況如下表:

所以的單調(diào)增區(qū)間是H）當,單調(diào)減區(qū)間是.

時，，88

由（I）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.令

,因而由于在單調(diào)遞增，則

,取,則

所以存在,使，即存在，使

.III）由及的單調(diào)性知.從

而在區(qū)間上的最小值為.又由，，貝1」

5

所以

即

所以.53

20.（本小題滿分14分）已知數(shù)列與滿足

,,，且，.I）求a3,

a4,a5的值；（H）設，，證明是等比數(shù)列.（III）設

a2k,,證明

^奇數(shù),【解】（I）因為，,

所以卷偶數(shù)

又，當時，，由，得；

當時.，，由，得；當時，，

由，得.（II）對任意有

,①匚

②.③②一③得

④④代入①得，

6

即，⑤又,由⑤式，

對所有，.因此所以是等比數(shù)列.,cn

III）解法1.由（H）可得

于是，對任意且，有

kk將以上各式相加，得

所以

此式對也成立.

由④式a2得..從而

所以對任意

7.6

對于，不等式顯然成立.

解法2.由（II河得

貝IJ.

所以是公差為的等差數(shù)列,

所以

以下同解法1..此式對也成立.

2011天津理

第I卷

本卷共8小題，每小題5分，共40分

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

A..i是虛數(shù)單位，復數(shù)

8

【解】.故選B..設，

則且是的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解】因為且，則且，因而，所以且是

的充分條件，

取，但不滿足且，所以且不是的必

要條件.

因此且是的充分而不必要條件.故選A.

3.閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出i的值為（）.

A.3

B.4

C.5

D.6

【解】運算過程依次為:

當時，，

當時，，

當時，，

當B寸，.所以輸出的.故選B.

4.已知為等差數(shù)列，其公差為，且a7是a3與a9的等比中項，2

Sn為的前n項和，，則S10的值為（）.

A..90D.110

【解】因為等差數(shù)列的公差為，則，，，

2因為a7是a3與a9的等比中項，所以，

即，2

,所以，于是

.故選D.

2

9

.在的二項展開式中，x的系數(shù)為（）.C.4884

r【解

令，則..168

3,故選C.8

D是邊AC上的點，6.如圖，在中，且

AD,所以，x的系數(shù)

,,貝UsinC的值為（）.

A

B

.36

D

.36ABADCC

?【解】解法1.取BD的中點E,因為，所以

BD,因為

所以上

AB.于是

在中，由正弦定理得

,所以.故選D.sinC6解法2.設

1，由題設在中，由余弦定理得

10

所以

在中，由正弦定理得

BADsinCsinC

3

所以.故選D.6

■|,則（）,

A....

【解】解法1.og3103,

下面比較，和

因為，，，則最小.10的大小.3

10

，31g21g31g

因為，，所以，31g21g3

10

.所以，因而.因此

由于函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以.故選C.

解法2.

下面比較，和

因為，，，則最小.因為的大小.

3

所以

，因而.1g21g3311

由于函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以.故選C.

解法3.由解法2,.4,3

畫出函數(shù)和的圖象，比較的縱坐

標，可得，于是.因而

.3

由于函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以.故選c.

.對實數(shù)a和b,定義運算設函數(shù)

,.若函數(shù)的圖象與x軸恰有兩個公共點，則

實數(shù)c的取值范圍是（）.

A..

【解】由題設或

畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象的四個端點（如圖）為，

，，，

從圖象中可以看出，直線穿過點C,點A之間時，直

線與圖象有且只有兩個公共點，同時，直線穿過點B

及其下方時，直線與圖象有且只有兩個公共點，所以實數(shù)c的取值范圍是

.故選B.

第n卷

12

二、填空題：本答題共6小題，每小題5分，共30分.

9.一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人.若用分層抽樣的方法從該隊的全體運

動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為.

【解】12.

2121

（人）.

10.一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位：m）,則該幾何

抽取男運動員的人數(shù)為體的體積為m.

【解】

幾何體是由一個長方體與一個圓錐組合的.體積為

正視圖

3

側視圖俯視圖

12

3

11.已知拋物線C的參數(shù)方程為

2

（t為參數(shù)）.若斜率

2

22

為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點，且與圓相切，則

【解

拋物線C的普通方程為，其焦點為.直線方程為

22

因為直線與圓切，則圓心到直線的距離等于半徑，即

2

12.如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F,E是AB延

長線上一點，且

,若CE

與圓相切，則線段CE的長為

C

【解

因為AF:FB:BE,所以設

由相交弦定理，

所以

117,,.222

2

因為CE與圓相切，由切割線定理,

13

.所以

224

13.已知集合

則集合

【解】

解集合A.

當時，不等式化為,解得.所以解為當

時，不等式化為,即.所以解為；當時，

不等式化為，解得，所以解為.綜合以上，.解

集合B.

因為

0,所以所以，因而

腰DC上的動點，則的最小值為.

【解】5.

14.已知直角梯形ABCD中，AD//BC,,,,P是

x

解法1.以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立如圖的直角

坐標系.

由題設，，設，，貝I.

當且僅當時，等號成立，于是，當時，有最小值5.

44

解法2.以相互垂直的向量DP,DA為基底表示，得

2

DP

又P是腰DC上的動點，即與共線，于是可設，有

5

2

14

所以

即

由于P是腰DC上的動點，顯然當，即時,

33

所以有最小值5.

解法3.如圖,,設E為AF的中點，Q為AB的

中點，則

2

①

D

F

因為

則

.②

（實際上，就是定理：“平行四邊形的對角線的平方和等于各邊的平方和“）設T為DC

的中點，則TQ為梯形的中位線，設P為CT的中點，且設，

13

.22

則，，，

44

代入式②得

于是，于是當且僅當時，等號成

立.

由式①，，

所以有最小值5.

三、解答題:本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本

小題滿分13分）已知函數(shù)I）求函數(shù)的定義域與最小正周期；（II）設

.若

,求的大小.

15

【解】(I)函數(shù)的定義域滿足

所以函數(shù)的定義域為，，解得

.最小正周期為.

(II)解法1.因為，所以

,所以

于是，

因為

,所以，所以，

11,,22因而因為

,所以，所以，.___________解法2.因為

,所以，

所以

因為

,所以，

22于是，整理得

162

所以

1,所以

解法3.

因為,所以s

.故得

于是

.所以.4312

16.(本小題滿分13分)學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球，2個

黑球，乙箱子里裝有1個白球，2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱

子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個.則獲獎.(每次游戲結束后將球放回原

箱)

(I)求在1次游戲中，

(i)摸出3個白球的概率；

(ii)獲獎的概率；

(II)求在2次游戲中，獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望

【解】(I)(i)設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件，則

2C3C11.

(ii)設“在1次游戲中獲獎”為事件B,則，

,C5C3C5C32

因為A2和A3互斥，所以

(II)X的所有可能值為.2510

17

2

所以X的分布列是

數(shù)學期望.100501005

17.(本小題滿分13分)如圖，在三棱柱中中,

H

是正方形的中心，AA1B1B,且平面

AAC1H

(I)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(II)求二面角的正弦值;

11(111)設N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1BC11,求線段1B1B內(nèi)，且平面

ABM的長.

【解】解法1.如圖所示，建立空間直角坐標系，其中點B為坐標原點，BA所在直線為

x軸，BB1所在直線為y軸.

C由題意，B

,A

A

1,B

(I

,c.

Ill

所以

II

設平面AAC的法向量為，則即

令

0,

設平面A1B1C1的法向量為

,則

即

令

0,

于是

,所以所以二面角

B1的正弦值為.7

III）由N為棱B1C

1的中點，得,設點

則

因為平面A,則

即

解得

故.向量

所以線段BM

的長與A1B1所成的角.解法2.(I)由于AC//AC11,故是異

面直線

19

H

是正方形的中心，因為平面AA1B1B,

C

1

1

所以

1

Bl

此

(H)連接AC1,因為及H是AB1的中點.則，又AA1

,所以

S

R,連B1R,于是過點A作，11于

所以為二面角的平面角.

在中，，連AB1,在中，

,從而

所以二面角的正弦值為

.7

D,連接ND.(Ill)因為平面A1BC11,所以，取HB1的中點

由于N為棱B1C1的中點，所以ND//C1H,且又平面AA1B1,1B1B,故

.22

MD并延長交A1B1于點E,因為，所以平面MND,連接

則.故NE//AA1.

20

由

,得，連接NE.2

2延長EM交AB于F

,可得在中，ME,由直角三角形的射影定理,

ND2所以

DE44

連接BM,在

BFM中，.18.（本小題滿分13分）在平面直角坐標系xOy中，點

為動點，F(xiàn)1,

x2y2

F2分別為橢圓的左右焦點，已知為等腰三角形.ab

（I）求橢圓的離心率e；

是直線PF2上的點，（H）設直線PF2與橢圓相交于A,B兩點，

滿足，

求點M的軌跡方程.

【解】（I）設F1PF2為等腰三角形，，.因為

P在y軸上，與矛盾，若，則點

若

F1F2由，,C122,有，即

或，不合題意，a2所以

F1F2由，，C122,有,即

（舍去）或.a2

1所以橢圓的離心率為?2

1222(11)解法1.因為，所以a

,.所以橢圓方程為.2

,則直線

PF2的方程為.直線PF2

的斜率

B兩點的坐標滿足方程組

21

2

消去y并整理得.則

8c.

5

于是不妨設,B0,.

設點M的坐標為

.則

由

得

y.貝iJ

由,得

化簡得

，所以.將

代入得

16x3因此點M

的軌跡方程為解法2.因為

2

1

,所以

2c,.2

2

2

x

橢圓方程為

b

,則直線PF2的方程

為直線PF2的斜

率

A,B

兩點的坐標滿足方程組

消去y并整理得.則

8c.

5

于是不妨設，B0,.

22

因而點B為橢圓短軸的下頂點.

如圖，因為，所以點M在線段AB的①

,5

23

則②

因為，所以

③

將①，②代入式③得

529

,@5

將并整理得

y代入④

3

，所以.將

代入得因此點M

的軌跡方程為，

219.(本小題滿分14分)已知，函數(shù)，.(的圖象

連續(xù)不斷)

(I)求的單調(diào)區(qū)間；

(II)當時，證明：存在，使

（in）若存在屬于區(qū)間的，且，使f

,證明：

.In2

【解】（I，.XX

令

0,則

當x變化時，，的變化情況如下表:

24

所以的單