人版八年級數(shù)學(xué)（下冊）電子書-第十一章三角形

第七章三角形

章

第七

三m

三龜形是一種A本的兒何圖形.從古埃及的金字塔到現(xiàn)代的飛機,

從宏偉的建筑物（如圖中的香港中很大度）到微小的分子結(jié)構(gòu),處處

都有三角彩的形象.

為什么在工程建筑，機械制造中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)呢？這與

三角形的性堵有關(guān).在小學(xué)我們通過測量?得知.“三角形中三個內(nèi)角的

和子于180°”.但三角形有無數(shù)多個.要說明任意一個三角形三個內(nèi)向

的和都是180°就不能只靠測量，而必須通過推理論證.另外.一個三

角形有三條邊，三個角，那么三條邊的大小有什么關(guān)系呢？三個角還

有別的什么關(guān)系嗎？……要了解這些.就需要對三角取作進一步的

研究.

三角形是最前止的平面圖形,也是認識許多其他圖形的取應(yīng).本

章將學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的線段和向.并借助三角形中三個角的和等于

i8（r探究多邊形的內(nèi)向和.學(xué)習(xí)本章后.不僅可以進一步認識三角

%,而且還可以了解一些幾何中研究問題的基本思想方法.

7.1與三角形有關(guān)的線段

即與三角形有關(guān)的線段

7.1.1三角形的邊

在本章引言中?我們提到許多三角形的實際例子.

由不在同條衣紋上.的?:條線段首陋順次相接所組成人

的圖形叫做：(triangle).

在圖7.1-1中，線段A8.3C,CA是三角形的邊./\

點A,8.C是三角形的頂點./A./B./('是相鄰兩B"C

邊組成的用，叫做三角形的內(nèi)角.簡稱三角影的角.圖“I

頂點是A.B,C的三角形，記作“△ABC”，讀作

“三角形ABC'.

△ABC的三邊,有時也用°,6,c來表示.如圖7.1-1.頂點A所對的邊

HCJ|J?表示，頂點13所對的邊AC]\]b表示?頂點C所對的邊ABJlk衣示.

我們知道.按照三個內(nèi)用的大小，可以將三角形分為銳角三角形、直角三

角形和鈍ffj三角形.那么，如何按照邊的關(guān)系對：角形進行分類呢？

以“有幾條邊相籌”，可以將三角形分為三類:

三邊都相等的：珀形叫做寫邊：角形(如圖7.1-2(1))；

仃兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形(如圖7.1-2(2?；

加都不相等的：角形叫做不等邊：角形(如圖7.1-2(3)).

在等腰三角形中.相等的兩邊都叫做腰,另?邊叫做底.兩腰的夾角叫做

頂角,腰和底邊的夾角叫做底角.

第七章角形63

等邊；角形是特殊的等腰■:角形?即底邊和腰相等的等腰?:角形.

綜I：.三角形按邊的相等關(guān)系分類如F：

不等邊三角形

■:角形〈公問.〃，「底邊和腰不相等的等腰：角形

等腰二角圖等邊三角形

卜面探究：角形：邊之間的大小關(guān)系.

任意畫一個△ABC,假設(shè)一只小蟲從點B出發(fā)，沿三角形的邊爬

到點C,它有幾條戰(zhàn)路可以選擇？各條段路的長一樣嗎？

對尸任意一個ZMBC,如果把其中任意兩個頂點（例如/3.C）看成定

點，由“兩點的所有連線中.線段最短“可得

AB^AOBC.①

同理有

AC+BOAH.②

AB+BOAC.③

一般地.我們行

三角形兩邊的和大于第三邊.

用一條長為18cm的細繩闈成一個等腰51形.

（1）如果腰長是底邊的2倍,那么各邊的長是多少?

（2）能圍成有邊的長為4cm的等腹三角形嗎?為什么？

（1）設(shè)底邊長為丁cm.則腰長為2工cm.

.r-2jr+2x=18.

解得了=3.6.

所以.三邊長分別為3.6cm.7.2cm.7.2cm.

（2）因為氏為1cm的邊可能是腰.也可能是底邊,所以需要分情況討論.

如果1cm氏的邊為底邊.設(shè)腰K為.rem.則

4+21=18,

64第七章.角形

7.1.2三角形的高、中線與角平分線

解得.r=7.

如果1cm長的邊為腰?設(shè)底邊長為.rcm.則

2X44-T=18,

解得.r=10.

因為4+IV10,出現(xiàn)兩邊的和小「笫三邊的情況，所以不能闈成腰長是

?Icm的等腰三角形.

由以匕討論可知.可以可成底邊長是4cm的等腰三角形.

練習(xí)

1.圖中有幾個三角形？用符號表示這些三角形.

2.(口蘇)下列長度的三條線段能否組成三角影?

為什么？

(5

3)6.10.

7.1.2三角形的高、中線與角平分線

我們巳經(jīng)學(xué)過三角形的鳥.如圖7.1-3.從△ABC

的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線.垂足

為D,所得線段AD叫做AABC的邊BC上的(ahi-

tude).

圖7.13

我們再來再兩種與三角形有關(guān)的線段.

如圖7.1-1,連接ZXABC的頂點A和它所對的邊

BC的中點D.所得線段AD叫做AABC的邊BC上的

k(median).

第七章：用影I65

AA

0

羊練習(xí)

豐1.如圉.(1)(2)和(3)中的三個NB有什么不同？這三個ZiAB('的邊伙?上

的尚AD在各自三角形的什么位見？你能說出其中的規(guī)瓊嗎？

聿

豐

丁

羊

豐

聿

2.填空：

豐

(1)如圖(1).AD.BE.CF是ZiABC的三條中線.財人8—2.BD-

豐

不(2)如圖(2)?八D.BE.CF是AABC的三條角平分線.時/I

?ZACB=2_

豐N3T

壬

壬

聿

(第2版)

66|第七章：角形

7.1.3三角形的穩(wěn)定性

圖7.18

四邊形的不稔定性也有廣泛的應(yīng)用,圖7.1-9表示其中四例子.

下列曲形中哪些具有穩(wěn)定性？

68第七章：用心

復(fù)習(xí)鞏固

I.圖中有幾個三角形?用符號我示這些?:角形.

長為10,7,5.3的四根木條,選其中三根組成三角形.有幾種選法?為什么?

對卜卜面每個三角形.過頂點八畫出中線.角平-分線和高.

(2)

(第3收)

如圖.在△.入?(?中，AE是中線..W是向平分線，AF昆高.填空?

(1)HE——/__?

(2)ZB.AD=一;

(3)NAFB--90%

⑷S&wc=?

選擇廖

下列圖形中外穩(wěn)定性的是()

(A)正方形.(B＞長方形.

(C)直角三%形.(D)平行四邊形.

一個?:角形有兩條邊槽等.周長為20cm.三角形的?邊氏6cm.求共他兩邊長.

第七章：角形

信息技術(shù)應(yīng)用

（1）已知等腰形的邊等于5.?邊等j6.求它的周氏:

⑵巳知等腹三角形的一邊等于4.一邊等『9.求它

的周長.

如圖.AAftC中.AB-2cm.cm.AABC的

高AD與CE的比足多少？

（提示：利川三角形的面積公式.）

拓廣探索

如圖?AD是△ABC的角平?分線.DE〃AC.DE交

Ali^E.DF^AIi./”?'交AC于F.圖中Nllj

N2有什么美系？為什么？

耍使四邊形木架011I根木條釘成）不變形.至少

信息技術(shù)應(yīng)用

F選學(xué)

畫圖找規(guī)律

i.在計算機上用《幾何西城J，軟件西一個任意三角形.再昌出它的三條中線.你發(fā)

現(xiàn)了什么說瓊？然后隨愈改變所豳三角影的形狀，看舟這個規(guī)律是否改變.三角影的三條

高有這個規(guī)律嗎？三條用平分級呢？

70第七章三角形

2.在計算機上用（幾何西扳，軟件百任意一個三角形.量出它的各內(nèi)角并計算它們

的和.然后隨意改變所&三角形的形狀.再寵出變化后的各內(nèi)角.計算內(nèi)角和.由此.你

能得出什么轉(zhuǎn)論？

3.在計算機上用《幾何露板。軟件區(qū)任意一個四邊學(xué).量出它的各內(nèi)角并計算它們

的和.然后隘港改變所畫四邊形的影狀.再量也變化后的各內(nèi)向.計界內(nèi)用和.由此.你

能得出什么結(jié)論？

第七章三角形|71

7.2與三角形有關(guān)的角

國與三角形有關(guān)的角

7.2.1三角形的內(nèi)角

我們已經(jīng)知道.任意一個三角形的三個內(nèi)角和等「180°.怎樣證明這個

結(jié)論呢？

通過度量的方法，可以驗證?些具體的三角形的內(nèi)角和等「180°.但是.

由于形狀不同的二角形有無數(shù)個,我們不可能用的量的方法一驗證所有三角

形.J?是,我們需要J?找一種能證明任意?個三角形的內(nèi)角和等于180°的方法.

在紙上畫一個三角形，并將它的內(nèi)角剪下拼合在一起，就得到一個

平角.從這個操作過程中，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？

上面的拼合中，有不同的方法.你用了圖7.2-1中的哪種方法?

在圖7.2-1(1)/B和/(,分別排在/A的左右,三個角合起來形

成一個平角.出現(xiàn)條過點A的直線-移動后的/B和NC各有一條邊在2

上.思?微?/與ZVWC的邊有什么關(guān)系？由這個圖你能想出證明??三角

形內(nèi)角和等J：180"'的方法嗎?

72第七章：角形

由I?.述拼介過程得到啟發(fā)，過△八3（,的頂點八作代A

5

線/平行于△ABC的邊BC（圖7.2-2）.那么由平行線

的性質(zhì)與平角的定義就能得到證明./\

三角形內(nèi)角和定理"/--------

已知：AABC<187.2-2）.國。22

求證：/A+/B+/C=180°.

如圖7.2-2.過點A作直線L使2〃BC.

因為1//HC.

所以/2=/4（兩H線平行，內(nèi)錯角相等）.

同理/3=/5.

因為/I，N4,N5組成平角?

所以/~/4+/5=180°（平?角定義）.

所以N】一/2+N3=180"（等鼠代換）.

從以上推導(dǎo)過程可以何出?證明是由題設(shè)（已知）出發(fā),經(jīng)過一步步的推

理.最后推出結(jié)論（求證）正確的過程.

I如圖7.2-3.（,島在八島的北偏東50”方

向.〃島在八島的北偏東80°方向.（'島在8島的北

偏西10°方向.從C島看A,8兩島的視角/ACB是

多少度？

A,8,C三島的連線構(gòu)成△ABC,所求圖7.23

的/人（方是/VWC的一個內(nèi)角.如果能求出/（小乩/ABC.就能求出

ZACB.

/CAB=/8/W)/('人/)=80°50°=30*.

HlAL)//HE,可得

/B八/)一/人8E=180".

所以

ZABE=180°Z/MD=180°80°=100",你還能想出其

/AHC=/ABE/EB('=100°-IO°=6O°.他解法嗎？

在/VWS('中.

/ACli=180°/八8C/CAli

=180°60°30°=90°.

第七章.角形73

閱讀與思考

選學(xué)

為什么要證明

李老師：小明.我們知道三角形的內(nèi)角和是180'.你能根據(jù)

已學(xué)的知識證明這個結(jié)論嗎？

小明：我們現(xiàn)雇任意一個三角影.量出它的內(nèi)角.都能用出

它的內(nèi)角和等于180°.為什么還麥?證明這個帖論呢？

李老師：通過琬條、試臉等可以尋找規(guī)律?但是由于觀察可

能有誤是.試臉可能受干擾.考察對象可能不具一般件等原因.

一般說出現(xiàn)察、試膾等所產(chǎn)生的“蚣論”未必正確.附加.讓一

個班的學(xué)生母人任意離一個三角形.再量出它的每個內(nèi)角.計算

三個內(nèi)角的和.得到的結(jié)果未必全是】80",可能有的會比180°

大些.有的會比180°小些.

小明,《，果觀察細致.彳義思相喻,不產(chǎn)生誤房.還需要證明嗎？

李老帥：僅通過觀察、試驗等就下結(jié)論有時也蝶乏說服力.例如,

即使不考慮誤差等因素.當(dāng)上面觀察的所有怙果仝?是180°時.人們還會

有疑問：“不同形狀的三角形有無數(shù)個.我們自出并驗證的只是其中有

限個.其余的三的影的內(nèi)角和是多少呢？娓對所有三角形都遂行胎證

嗎？”步實上.不管我們經(jīng)歷多長時間.禹出多少個三角形.現(xiàn)裕、

試臉的對靠也是有限個.因此.要礴認“三角形內(nèi)角和等于180'”.

就不能依蠡度量的手段和現(xiàn)匏、試臉、臉證的方法.而必然遺行推理

論證從道理上科出“無論三角形的具體形技如何.它的內(nèi)向和一

定等于1805.

小明：完覺什么是證明？它起什么作用？

李老師：一個命題是否正碟.需要經(jīng)過理由充足，使人信服

的執(zhí)理論證才艙得出觸論,這樣的推理過程叫做“證明”.現(xiàn)察、

試臉等是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的立要途任.而證明則是瑜認規(guī)律的必.曼步JR.

78|第七章二角形

7.2與三角形有關(guān)的角

答：從C島看A,8網(wǎng)島的視角NACB是901

練習(xí)

1.如圖.從A處現(xiàn)測C處時仰角NCAD-30".從8處現(xiàn)測C處時仰角

Z<B/；-l5,.從（?處現(xiàn)測八.H兩處時視南NACB走多少？

（第I電（第2心

2.如圖.一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCZ）.其中NA-150*.

N8=ND-m*.求NC的度數(shù).

7.2.2三角形的外角

如圖7.2-1.把AABC的邊B如延長,得到

/ACQ像這樣,：珀形的一邊。力一邊的延長線

組成的角.叫做；.

W7.24

如圖7.2-5./MBC中./A=70°./B=

60°./AC/）是zM皮、的一個外角.能由/A.

/B求出/A（7）嗎？如果能./A（Y）與/A,

/B有什么關(guān)系？

任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的

兩個內(nèi)角是否都有這種關(guān)系？

74第七章.角形

?般地?牙卜面的結(jié)論（請同學(xué)們自己給出證明）:

三篇形的一個外角等于與它不相輔的兩個內(nèi)維的和.

由上面的結(jié)論.可以得到：

三蒯形的一個外角大于與E不相鄰的任何一個內(nèi)角.

如圖7.2-6,//ME.ZCBF,NACD是

△ABC的三個外角.它們的和是多少？

如圖7.2-6,

因為N8AE=/2+/3,/（'8尸=/1十/3.

/ACD=/】+/2（三角形的一個外角等J：和它不[87.2-6

相鄰的兩個內(nèi)角的和),

所以/BAK+/CBF+/AC/)=2(/l+/2+

Z3).

因為/1-/2+/3=180°,

所以/8八￡+/?！?；一/八('/)=2><180°=360°.

第七章.角形75

■即2

復(fù)習(xí)鞏固

求出卜列圖中上的值:

（第1曜）

（1）個W角形最多狗兒個直用？為什么？

（2）一個三加形故多行兒個鈍來？為什么？

⑶克角三角形的外角可以是銳角嗎?為什么?

△ABC>|>.ZB-ZA-h10\NC=NB+IO°,求

的各內(nèi)角的度數(shù).

InS，AD±BC,Nl=N2.NC=65’.超BAC

綜合運用

如圖，八8〃（力，ZA-450.NC-NE,求NC

76第七章：角形

如圖.，處在A處的南偏西156方向,C處在A處的南偏東15°方向.的處在3處

的北偏東80°方向.求ZACR

如圖.D貶AB上,點.卜：是AC匕?點.BE.CD播交F點E/八一620?

NACD-35\ZABE-20*.求/8DC和/8FQ的度數(shù).

拓廣探索

如圖.AB//CD.NBAE-NDCE-45：填空:

因為AH//CD.

以

所

Nl+45*+N2+45°=...

以

所

N1+N2N.

為

因

】+

以NN2+NE=.

所

ZE-?

n）如圖,CE是△ABC的外角NACD的平分線.且CE交5A的小長線F點E,證

WZBAOZB.

第七章三角形77

閱讀與思考

閱讀與思考

選學(xué)

為什么要證明

李老師：小明,我們知道三角形的內(nèi)角和是180、你能根據(jù)

已學(xué)的知識證明這個結(jié)論嗎？

小明：我們現(xiàn)親任通一個三角形.量出它的內(nèi)向.都能捋出

它的內(nèi)角和等于出0:為什么還要證明這個結(jié)論呢？

李老師：通過觀察、認臉等可M尋找規(guī)律.但是由于規(guī)格可

能有誤展.試齡可能受干擾.考察時卻可能不具一般性孑原因.

一般說由觀察、試臉等所產(chǎn)生的“結(jié)論”未必正確.例如,讓一

個班的學(xué)生毋人任意豳一個三角影.再量出它的每個內(nèi)角.計算

三個內(nèi)向的和.掙到的結(jié)杲未必全是1801可能有的會比180°

大些.有的會比180,小些.

小明：未果現(xiàn)察細致.儀器枕瑜.不產(chǎn)生誤基.還需要證明嗎？

李老師：僅通過觀?家、試驗等就下結(jié)論有時也塊乏說服力.例如,

即使不考慮誤差等國*.當(dāng)上面現(xiàn)察的所有結(jié)果仝是180°時,人們還會

有疑問：“不同形狀的三角學(xué)有無效個.我們畫出外臉■證?的K是其中有

限個.其余的三角影的內(nèi)角和是多少呢？能對所有三角形都it行驗證

嗎？”手實上.不管我們經(jīng)歷多長時間.畫出多少個三角形.觀察、

試胎■的對望也是有限個.因此.要稿認“三角形內(nèi)角和等于180°”.

就不能依靠度量的手段和現(xiàn)盡、試懿.臉證的方法.而必須遺行推理

論證從道理上纖出“無論三角影的具體形狀如何.它的內(nèi)向和一

定等于180f.

小明：競克什么是證明？它起什么作用？

李老帥：一個命題是否正碎，需要經(jīng)過理由充足.使人信服

的推理論證才能件出站論.這樣的推理過貍叫做“證明”.現(xiàn)法、

試臉等是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的支要途徑,而證明則是確認妮律的必要步獴.

78|第七章三角形

7.3多變形及其角和

郎多邊形及其內(nèi)角和

7.3.1多邊形

你能從圖7.3-1中找出幾個山些線段附成的圖形嗎?

田

圖7.31

我們學(xué)過三角形.類似地./E平面內(nèi)?由一些線段首尾順次相接組成的圖

形叫做(|x>lygon).

多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三

角形、四邊形、五邊形……三角形是最笳

唯的多邊形.如果一個多邊形山?條線段

組成.那么這個多邊形就叫做，，邊形.如

圖7.3-2,修故底面的邊緣可以設(shè)計為六邊

形.也可以設(shè)計為八邊形.

多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.圖7.3-3中的/八.NB.

/C/〉/E是花邊形A8CDE的5個內(nèi)角.多邊形的邊與它的鄰邊的延

長線組成的角?叫做多邊形的外角.圖7.3-4中的/I是五邊形A8CDE的一個

外角.

第七章：角形79

圖7,3-3五邊形ABCDE

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段.叫做多邊共有幾條對角然/請

形的(diagonal).圖7.3-5中，AC,AD是五包出它的其他對角線.

邊形ABCDE的兩條對角線.

圖7.3-6

如圖7.3-6(D,廊出四邊形ABCD的任何?條邊(例如(TO所在直線,

蛾個四邊形都在這條酉線的同?側(cè).這樣的四邊形叫做凸四邊形.而圖7.3-6(2)

中的四邊形ABCD就不是凸四邊形，因為畫出邊CD(DtDC)所在宜線,整

個四邊形不都在:這條H線的同一側(cè).類似地,畫出多邊形的任何一條邊所在if

線，如果整個多邊形都在這條直線的同?側(cè),那么這個多邊形就是凸多邊形.

本節(jié)只討論凸多邊形.

我們知道,正方形的各個角都相等,各條邊都相等.像正方形這樣.各個

角都相等.各條邊都相等的多邊形叫做(regularimlygon).圖7.3-7是

正多邊形的?些例子.

圖7.37

80第七章：角形

—m

練習(xí)

;

對角線

的全部

多邊形

出下列

I.畫

u

IK)

(HS1

-

發(fā).

點出

個頂

的一

邊形

從五

形？

三角

幾個

分成

邊形

將四

角線

條對

的一

邊形

2.西

形？

個三角

分成幾

五邊彩

它們將

線？

條對角

離出幾

可以

和

內(nèi)角

形的

多邊

2

7.3.

和

內(nèi)角

形的

長方

形、

：正方

180°

等于

角和

的內(nèi)

角形

.三

知逋

我們

呢？你

60''

等于3

否也

和是

內(nèi)息

形的

四邊

一個

任意

么，

0°.那

于36

部等

？

60°嗎

箸干3