河南省洛陽市水資源勘察設(shè)計(jì)院高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

河南省洛陽市水資源勘察設(shè)計(jì)院高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”問此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由S6=378求得首項(xiàng)，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得該人第4天和第5天共走的路程【解答】解：記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知{an}是公比q=的等比數(shù)列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故選：C．2.復(fù)數(shù)的虛部為 (

)A.2

B.

C.

D.參考答案：B3.已知函數(shù)f（x）=，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（），n∈N*．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(

)A．a(chǎn)n=n+ B．a(chǎn)n=n﹣ C．a(chǎn)n=n+ D．a(chǎn)n=n+參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由函數(shù)f（x）的解析式，化簡整理可得an+1=an+，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求．【解答】解：由函數(shù)f（x）=，可得an+1=，即為an+1=an+，則數(shù)列{an}為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，即有an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）=．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(0,2)

B．(0,1)

C．(0,3)

D．(1,3)參考答案：B作圖，則滿足條件實(shí)數(shù)的取值范圍是，選B

5.將正方體(如圖(a)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖(b)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為 (

)

參考答案：B略6.已知拋物線的一條過焦點(diǎn)F的弦PQ，點(diǎn)R在直線PQ上，且滿足，R在拋物線準(zhǔn)線上的射影為S，設(shè)，是△PQS中的兩個(gè)銳角，則下列四個(gè)式子

①

②

③

④

中一定正確的有

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】拋物線

H7C

解析：由于△PQS是直角三角形，則，故①②③都對(duì)，

當(dāng)PQ垂直對(duì)稱軸時(shí)，故選C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線的概念與性質(zhì)，可求出三角形的性質(zhì)，再判定結(jié)果.7.已知點(diǎn)A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A，B的另外一點(diǎn)，且△ABP是頂角為120°的等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)M在雙曲線的左支上，由題意可得M的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得a=b，再由雙曲線的漸近線方程即可得到所求值．【解答】解：設(shè)P在雙曲線線的左支上，且PA=PB=2a，∠PAB=120°，則P的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得，﹣=1，可得a=b，∴該雙曲線的漸近線方程為x±y=0．故選：C．8.如圖，圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB=，若向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲300個(gè)點(diǎn)，則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為（）A．450 B．400 C．200 D．100參考答案：C【考點(diǎn)】模擬方法估計(jì)概率．【分析】本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的包含的事件對(duì)應(yīng)的是扇形AOB，滿足條件的事件是圓，根據(jù)題意，構(gòu)造直角三角形求得扇形的半徑與圓的半徑的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)面積的求法求得扇形OAB的面積與⊙P的面積比，可得概率，即可得出結(jié)論．．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，設(shè)圓C的半徑為r，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的是扇形AOB，滿足條件的事件是圓，其面積為⊙C的面積=π?r2，連接OC，延長交扇形于P．由于CE=r，∠BOP=，OC=2r，OP=3r，則S扇形AOB==；∴⊙C的面積與扇形OAB的面積比是．∴概率P=，∵向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲300個(gè)點(diǎn)，∴落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為300×=200．故選C．9.對(duì)于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)，下列函數(shù)中是準(zhǔn)奇函數(shù)的是（把所有滿足條件的序號(hào)都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）參考答案：③④考點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的判斷．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 判斷對(duì)于函數(shù)f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)的主要標(biāo)準(zhǔn)是：若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)．解答： 解：對(duì)于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)①使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，不存在f（x）=﹣f（2a﹣x）所以f（x）不是準(zhǔn)奇函數(shù)②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣f（2a﹣x），而題中的要求是a≠0，所以f（x）不是準(zhǔn)奇函數(shù)③當(dāng)a=時(shí)使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=﹣f（π﹣x），則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)．④當(dāng)a=π時(shí)使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=﹣f（2π﹣x），則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)故選：③④點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)：新定義的理解和應(yīng)用．10.已知，，，則它們的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C因?yàn)?，，故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_________。

參考答案：12.設(shè)x，y滿足

，令z＝x＋y，則z的取值范圍為

.參考答案：13.如果隨機(jī)變量的概率分布列由下表給出：則=

參考答案：略14.=

。參考答案：．15.某次測量發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)（xi，yi）具有較強(qiáng)的相關(guān)性，并計(jì)算得=x+1，其中數(shù)據(jù)（1，y0）因書寫不清，只記得y0是[0，3]任意一個(gè)值，則該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1的概率為．（殘差=真實(shí)值﹣預(yù)測值）參考答案：【考點(diǎn)】回歸分析．【專題】計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】求出預(yù)測值，再求出該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1時(shí)y0的取值范圍，用幾何概型解答．【解答】解：由題意，其預(yù)估值為1+1=2，該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1時(shí)，1≤y0≤3，其概率可由幾何概型求得，即該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1的概率P==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．16.在△ABC中，若，則∠C=___________.參考答案：【分析】由題意結(jié)合正弦定理和特殊角的三角函數(shù)值可得∠C的大小.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得：，由于，故，則.

17.已知n=3dx，在（x+2+1）n的展開式中，x2的系數(shù)是（用數(shù)字填寫答案）參考答案：15【考點(diǎn)】DC：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；67：定積分．【分析】利用查定積分求得n的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得x2的系數(shù)．【解答】解：n=3dx=3lnx=3，在（x+2+1）n=（x+2+1）3=（+1）6的展開式中，通項(xiàng)公式為Tr+1=?，令6﹣r=4，可得x2的系數(shù)為=15，故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查定積分的求法，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)x，y∈R，向量分別為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓，P為曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的切線y=kx+m交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，試證：△OAB的面積為定值．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的定值問題；圓錐曲線的軌跡問題；直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）通過，得到，說明點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F1（，0），F(xiàn)2（，0）的距離之和為4，推出點(diǎn)M的軌跡C是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，然后求解即可．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y=kx+m代入橢圓E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0顯然直線與橢圓C的切點(diǎn)在橢圓E內(nèi)，利用判別式以及韋達(dá)定理求解三角形的面積，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵，，且，∴∴點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F1（，0），F(xiàn)2（，0）的距離之和為4…（2分）∴點(diǎn)M的軌跡C是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，a=2∴b2=a2﹣c2=1…（3分）其方程為…（4分）（Ⅱ）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y=kx+m代入橢圓E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0顯然直線與橢圓C的切點(diǎn)在橢圓E內(nèi)，∴△＞0，由韋達(dá)定理可得：，．…所以…（6分）因?yàn)橹本€y=kx+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m），所以△OAB的面積…（7分）=…（8分）設(shè)將y=kx+m代入橢圓C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0…（10分）由△=0，可得m2=1+4k2即t=1，…（11分）又因?yàn)?，故為定值．…?2分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值問題的處理方法，設(shè)而不求的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．19.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,－5)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，若直線過點(diǎn)P，且傾斜角為，圓C以M為圓心，4為半徑.（1）求直線的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；（2）試判定直線與圓C的位置關(guān)系.參考答案：解析：（1）直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），則（為參數(shù)），點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，圓方程，且，代入得圓極坐標(biāo)方程；（2）直線的普通方程為，圓心到的距離為，∴直線與圓相離．

20.（本小題滿分12分）某城市隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：API空氣質(zhì)量優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115（1）若某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)API（記為ω）的關(guān)系式為：試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元的概率；（2）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？附：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

非重度污染重度污染合計(jì)供暖季

非供暖季

合計(jì)

100

參考答案：（1）；（2）有95%的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān)（Ⅰ）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過600元”為事件A……1分由，得，頻數(shù)為39，……3分……….4分（Ⅱ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：

非重度污染重度污染合計(jì)供暖季22830非供暖季63770