北京第四十二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

北京第四十二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若目標(biāo)函數(shù)在約束條件下僅在點(diǎn)處取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略2.已知且f（0）=2，f（﹣1）=4，則f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣3參考答案：A【考點(diǎn)】3T：函數(shù)的值．【專題】11：計(jì)算題；33：函數(shù)思想；4O：定義法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由f（0）=2，f（﹣1）=4，列出方程組，求得a=，b=1，從而，進(jìn)而f（﹣2）=（）﹣2+1=10，f（f（﹣2））=f（10），由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵且f（0）=2，f（﹣1）=4，∴，解得a=，b=1，∴，∴f（﹣2）=（）﹣2+1=10，f（f（﹣2））=f（10）=﹣lg10=﹣1．故選：A．3.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a為（A）2

（B）-2

（C）-（D）參考答案：A

本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，難度較小。法一：為純虛數(shù)，所以；法二：為純虛數(shù)，所以.故選A。4.已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若與（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向參考答案：D【考點(diǎn)】平行向量與共線向量；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】直接利用向量關(guān)系，判斷即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以兩個(gè)向量共線，反向．故選：D．5.平面向量與夾角為，，則（

）

A.

B.

C.7

D.3參考答案：A6.復(fù)數(shù)=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1參考答案：C考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式即可得到選項(xiàng)．解答：解：復(fù)數(shù)===i．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，注意共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．7.（5分）（2015?浙江模擬）設(shè)α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，下列判斷正確的是（）A．若α⊥β，則β⊥γ，則α∥γB．若α⊥β，l∥β，則l⊥αC．若則m⊥α，n⊥α，m∥nD．若m∥α，n∥α，則m∥n參考答案：C【考點(diǎn)】：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：利用面面垂直、線面平行、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理對四個(gè)選項(xiàng)分別分析選擇．解：對于A，若α⊥β，β⊥γ，則α與γ可能相交；故A錯(cuò)誤；對于B，若α⊥β，l∥β，則l可能在α內(nèi)；故B錯(cuò)誤；對于C，若m⊥α，n⊥α，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及空間線線關(guān)系的確定，可以判斷m∥n；故C正確；對于D，若m∥α，n∥α，則m與n可能平行、相交或者異面．故D錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了面面垂直、線面平行、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用，熟記定理是關(guān)鍵．8.某汽車的使用年數(shù)x與所支出的維修費(fèi)用y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：使用年數(shù)x（單位：年）12345維修總費(fèi)用y（單位：萬元）0.51.22.23.34.5根據(jù)上表可得y關(guān)于x的線性回歸方程=x﹣0.69，若該汽車維修總費(fèi)用超過10萬元就不再維修，直接報(bào)廢，據(jù)此模型預(yù)測該汽車最多可使用（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年參考答案：D【分析】計(jì)算、，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程，據(jù)此模型預(yù)測該汽車最多可使用年限．【解答】解：計(jì)算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.5+1.2+2.2+3.3+4.5）=2.34；代入回歸方程=x﹣0.69得2.34=×3﹣0.69，解得=1.01；∴回歸方程為=1.01x﹣0.69，令=1.01x﹣0.69≥10，解得x≥10.6≈11，據(jù)此模型預(yù)測該汽車最多可使用11年．故選：D．9.設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意的都有，則滿足上述條件的可以是(

▲

)A． B．

C． D．參考答案：C10.已知點(diǎn)P（x，y）在不等式組，表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則x-y的取值范圍是

A．[-2，-1]

B．[-2，1]

C．[-1，2]

D．[1，2]參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足,又是以為公比的等比數(shù)列,則使得不等式成立的最小整數(shù)為__________.參考答案：6依題意是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，兩邊平方得，所以，兩式相除得，故是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，所以.是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，所以.所以，由，，經(jīng)檢驗(yàn)可知，符合題意.即的最小值為.

12.（5分）對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（x）叫f（x）的一階導(dǎo)數(shù)，f″（x）叫f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，若方程f″x）=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”．有個(gè)同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)g（x）=x3﹣x2+3x﹣，則g（）+g（）+…+g（）=．參考答案：2014【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】：計(jì)算題；閱讀型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：由題意求導(dǎo)g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，從而得到（，1）是函數(shù)g（x）=x3﹣x2+3x﹣的對稱中心，從而解得．解：∵g（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=2x﹣1=0得，x=；g（）=?﹣×+3×﹣=1，則（，1）是函數(shù)g（x）=x3﹣x2+3x﹣的對稱中心，則g（）+g（）=2，g（）+g（）=2，…，g（）+g（）=2，故g（）+g（）+…+g（）=2014；故答案為：2014．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了學(xué)生對新知識(shí)的接受與應(yīng)用能力及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．13.為了解一大片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)測量其中若干株樹木的底部周長(單位：cm)，其數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖，則估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長在[98，104)中的樹木所占比例為

.

參考答案：75%

略14.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為

。參考答案：的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到，再將所得圖象向左平移個(gè)單位得到，即。15.使不等式（其中）成立的的取值范圍是

．參考答案：16.已知整數(shù)以按如下規(guī)律排成一列：（1,1）、（1,2）、（2,1）、（1,3）、（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），……，則第60個(gè)數(shù)對是；參考答案：（5,7）通過觀察可知數(shù)對按照兩數(shù)之和為2,3，4,5，……依次排列，和為2的有1個(gè)，和為3的有2個(gè)，以此類推可知和為11的有10個(gè)，這之前共有55個(gè)，從第56個(gè)開始為，所以第60個(gè)數(shù)對為17.（4分）（2015?上海模擬）已知函數(shù)f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函數(shù)，則ω的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求ω的最大值；并求此時(shí)f（x）在[0，π]上的取值范圍．解：∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函數(shù)，∴由2kπ﹣≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：≤x≤（k∈Z），∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函數(shù)，∴≤，∴0＜ω≤．∴ωmax=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的周期與單調(diào)性，考查三角綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分12分)已知函數(shù).（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ），

（II），，即，．，，，即的取值范圍是．略19.（12分）

已知函數(shù)，若數(shù)列成等差數(shù)列。

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)數(shù)列，試比較的大小。參考答案：解析：（I）設(shè)已知數(shù)列的公差為d，則有

…………2分又

…………4分

（II）由（I）知當(dāng)時(shí)，

…………8分

…………10分20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且cos∠F1PF2的最小值為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)（﹣2，0）的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，求?的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）依題意|AB|==，∠F1PF2最大時(shí)余弦值為，此時(shí)點(diǎn)P在上頂點(diǎn)處點(diǎn)處，，解出a，b即可；（Ⅱ）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)其方程為x=my﹣2，與橢圓C的方程聯(lián)立得（4m2+5）﹣16my﹣4=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）則y1+y2=，y1y2=?=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣3）（my2﹣3）=（m2+1）y1y2﹣3m（y1+y2）=當(dāng)l與x軸重合時(shí)，M，N即為橢圓左右頂點(diǎn)，?=﹣（a+c）（a﹣c）【解答】解：（Ⅰ）∵過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=，∴，∵點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且cos∠F1PF2的最小值為．即∠F1PF2最大時(shí)余弦值為，此時(shí)點(diǎn)P在上頂點(diǎn)處，∴，解得a=，b=2，c﹣1橢圓C的方程為；…（Ⅱ）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)其方程為x=my﹣2，與橢圓C的方程聯(lián)立得（4m2+5）﹣16my﹣4=0，…設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）則y1+y2=，y1y2=?=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣3）（my2﹣3）=（m2+1）y1y2﹣3m（y1+y2）==﹣4+…當(dāng)l與x軸重合時(shí)，M，N即為橢圓左右頂點(diǎn)，?=﹣（a+c）（a﹣c）=﹣4；綜上，?的取值范圍：[﹣4，]．…21.已知（I）如果函數(shù)，（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)f（x）的解析式；（II）（Ⅱ）在（1）的條件下，求函數(shù)y=f（x）的圖像過點(diǎn)P（1，1）的切線方程；

（III）對一切的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案：略22.

如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)鋪設(shè)水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l1，在路南側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l2，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l1與l2接通．已知AB=60m