專題10 特殊三角形（講義）（解析版）

專題10特殊三角形核心知識(shí)點(diǎn)精講1.了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會(huì)識(shí)別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定；2.能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；3.會(huì)運(yùn)用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】考點(diǎn)一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.性質(zhì)：(1)具有三角形的一切性質(zhì).(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角).(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.考點(diǎn)二、直角三角形1.直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.2性質(zhì)：(1)直角三角形中兩銳角互余.(2)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3．判定：(1)有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對(duì)的角是直角，這個(gè)三角形是直角三角形.(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.【題型1：等腰三角形】【典例1】如圖，在等腰中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，垂足為C，且，連接，若，則的面積為（）A．16 B．24 C．32 D．8【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)；過(guò)作于，過(guò)作于，由“三線合一”得，再由“”可判定，從而由全等三角形的性質(zhì)得，再，即可求解；掌握性質(zhì)及判定方法，能根據(jù)題意作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，，，，，，，，在和中，，（），，；故選：A．1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（

）A．或 B． C． D．以上答案均不對(duì)【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出、的值是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷，再分4是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解．【詳解】解：∵，∴且，解得：，，①4是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為4、4、8，∵，∴不能組成三角形；②4是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為4、8、8，能組成三角形，周長(zhǎng)，∴三角形的周長(zhǎng)為，故選：B．2．已知等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4，另一邊長(zhǎng)等于10，則它的周長(zhǎng)是（）A．17 B．18 C．24 D．18或24【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4和10，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)腰為4時(shí)，，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為10時(shí)，，，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：．故選C．3．如圖，在中，，，，點(diǎn)D在的邊上，，以為直角邊在同側(cè)作等腰直角三角形，使，連接，若則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，證明是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)E作于F，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，如圖所示：∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，整理得：，∴，∵，∴，即；故選A4．如圖，是等腰三角形底邊上的中線，平分，交于點(diǎn)，，，則的面積是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝DE＝2，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作EF⊥BC于F，∵AC＝BC＝6，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面積＝×BC×EF＝6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【題型2：等邊三角形】【典例2】如圖，和都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)共線，與、分別交于點(diǎn)F、M，與交于點(diǎn)N，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（

）個(gè)：①；②；③；④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，求出，根據(jù)推出，得到，繼而證明，即可判斷①；根據(jù)，得出，找不出邊相等證明，可判斷②；根據(jù)角的關(guān)系可以求得，可求得，根據(jù)，即可判斷③，根據(jù)，，可求得，可判定，即可判斷④，【詳解】解：①∵和都是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，即；故①正確，②∵，∴，∴，∵，∴找不出邊相等證明的條件；故②不正確③∵，∴，∴，∴，∵，∴；故③正確④∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，故④正確；綜上所述：正確的結(jié)論是①③④，錯(cuò)誤的是②．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．1．如圖，是等邊三角形，已知，于，與交于點(diǎn)，下列結(jié)論中不一定成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，再利用邊角邊證明和全等．然后得到，結(jié)合角的關(guān)系，得到；根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)，得到，即可證明．由和全等對(duì)應(yīng)邊相等得到；再結(jié)合邊的關(guān)系，得到；即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：是等邊三角形，，，在和中，，，，，，故A正確；，，，，，，，，．故B正確；．，，，故D正確，無(wú)法判斷，故C錯(cuò)誤，故選：C．2．如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且和均是等邊三角形，那么（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平角的定義；由等邊三角形的性質(zhì)和平角的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵和均是等邊三角形，∴，∵，，，∴，∵，∴；故選：D．3．已知，如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接，以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等邊三角形；③；④平分．其中正確的結(jié)論是（

）A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④【答案】D【分析】根據(jù)“等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)角都是”可以證明與全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，可判斷①；對(duì)應(yīng)角相等可得，然后證明與全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，從而得到是等邊三角形，可判斷②；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以找出相等的角，可求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出不是，即可判斷③；根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)角平分線性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：∵和均是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故①正確；∴，∵，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形，故②正確；如圖：過(guò)C作于M，于N，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴平分，故④正確；當(dāng)時(shí)，平分，則，此時(shí)，則，故③不正確；綜上，正確的有①、②、④．故選：D．4．如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為3的等邊的邊上一點(diǎn)，作于，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連交邊于，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．無(wú)法確定【答案】B【分析】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，過(guò)作交于，得出等邊三角形，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，證，推出，推出即可．【詳解】解：過(guò)作交于，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，，故選：B．【題型3：等腰直角三角形】【典例3】如圖，在中，以，為腰作等腰直角和等腰直角，其中，連接，為邊上的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．有下列結(jié)論：①；②；③；④為中點(diǎn)．其中正確的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，則，可判斷①的正誤；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，可判斷②的正誤；如圖，作于，的延長(zhǎng)線于，證明，則，，同理，可證，則，，同理可證，則，，即為中點(diǎn)，可判斷④的正誤；由，可判斷③的正誤．【詳解】解：∵以，為腰作等腰直角和等腰直角，∴，由題意知，，∴，①正確，故符合要求；同理，，由題意知，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，②錯(cuò)誤，故不符合要求；如圖，作于，的延長(zhǎng)線于，

∵，，，∴，∴，，同理，，，，∴，∴，，∵，，，∴，∴，，∴為中點(diǎn)，④正確，故符合要求；∴，③正確，故符合要求；故選：C．1．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N，連接DM、MC．下列結(jié)論：①DF＝DN；②△ABE≌△MBN；③AD＝CD；④AE＝CN；，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】①正確．證明△FBD≌△NAD（ASA）即可判斷．②錯(cuò)誤，根據(jù)AB＞BM，對(duì)應(yīng)邊不相等，即可判斷．③正確．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD＝CD，由直角三角形斜邊上的中線即可判斷．④正確，證明AF＝CN，AE＝AF即可判斷．【詳解】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ADN＝∠ADB＝90°，AD＝BD＝CD，③正確；∴∠BAD＝45°＝∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，∴AF＝AE，∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，∴AM⊥BE，∴∠AMF＝∠AME＝90°，∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，在△FBD和△NAD中，，∴△FBD≌△NAD（ASA），∴DF＝DN，故①正確；∵AM⊥BE，∴AB＞BM，∴△ABE與△MBN顯然不全等，故②錯(cuò)誤，∵AD⊥BC，AD＝CD，∴∠CAD＝45°，∵AF＝AE，∴∠CAN＝22.5°，∴∠ABF＝∠CAN，在△AFB和△△CNA中，，∴△AFB≌△CAN（SAS），∴AF＝CN，∵AF＝AE，∴AE＝CN，故④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．2．如圖，與都是等腰直角三角形，，，，連接BD，CE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，F(xiàn)的直線交CE于點(diǎn)G，若，，則的面積為．【答案】【分析】延長(zhǎng)，取點(diǎn)H，使，連接，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，證明，得出，，證明，得出，證明，得出，求出，根據(jù)F為的中點(diǎn)，得出．【詳解】解：延長(zhǎng)，取點(diǎn)H，使，連接，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，如圖所示：∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵F為的中點(diǎn)，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，余角的性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．3．如圖，在中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且，則．【答案】/6厘米【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．利用等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件證明即可得到．【詳解】解：∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，，∴，在和中，，∵，，，∴，∵，∴．故答案為：【題型4：特殊三角形綜合運(yùn)用】【典例4】如圖，在四邊形中，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，且．(1)°；(2)求證：；(3)連接，且平分交于點(diǎn)，探究的形狀并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)是等腰三角形，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定定理．（1）由，得到從而得到．（2）由，得到，由，可得到，從而得到，再利用，得到，從而．（3）由平分得，由，，得由得，從而得到，最后證出，得到答案即可．【詳解】（1）（2），，，

，，

，，在和中，，，，（3）平分，

，，，，．，，

∴，，

，

，∴是等腰三角形1.如圖，在等腰中，于，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若，則下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④，其中正確的是

【答案】①③④【分析】連接，首先證明，利用等邊對(duì)等角得，，則，據(jù)此即可判定結(jié)論①；因?yàn)辄c(diǎn)是線段上一點(diǎn)，所以不一定是的角平分線，即可判斷結(jié)論②；證明且，即可證得是等邊三角形，即可判斷結(jié)論③；證明，則，得，即可判斷結(jié)論④．【詳解】解：如圖1，連接，

∵，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，，∴，故①正確；由①知，，∵點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，∴與不一定相等，則與不一定相等，故②不正確；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，故③正確；如圖2，在上截取，

∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴，∴，∴，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④，故答案為：①③④，【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．2．已知四邊形，，．(1)如圖1，若，則________；(2)如圖2，，連接，平分交于，交延長(zhǎng)線于，連接．①求的度數(shù)；②若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①；②【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，角的直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，則，根據(jù)等邊對(duì)等角解題即可；（2）①運(yùn)用等邊對(duì)等角解題即可；②作，為垂足，利用角的直角三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】（1）解：設(shè)，則，∵，∴∴，故答案為：；（2）①解：∵，∴為等邊三角形，∴，又∵，∴，，∴；②解：作，為垂足，∵，平分，∴∵，∴，∴，∴．1．已知a，b，c是等腰三角形ABC的三邊（注：c可能等于，也可能等于），且滿足．設(shè)這個(gè)等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為，則【答案】107【分析】本是考查了配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，整式化簡(jiǎn)求值．解題的關(guān)鍵求出a、b、x的值．先將變形為，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)求出a、b值，再根據(jù)等腰三角形的定義和三角形三邊關(guān)系求得c值，從而求得x值，然后化簡(jiǎn)整式，把x值代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵∴，解得：，，∵a，b，c是等腰三角形ABC的三邊∴或∵，∴，不符合題意，舍去，∴，，∴，∵當(dāng)時(shí)，原式．故答案為：107．2．如圖，在中，，，，是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，度．【答案】60或105或150【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)：分和三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算解題即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；故答案為：60或105或1503．如圖，中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，且，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明，得出，結(jié)合圖形，即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖所示，連接，∵中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，∴，，又∵，∴，∵∴，∴，∴∴，∵，，∴；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示同理可得，則∴故答案為：或．4．如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊、上，且．下列結(jié)論正確的是（填所有正確答案的序號(hào)）．①；②；③；【答案】①②/②①【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等角的余角相等證得，，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可判斷①和②；由是變化的，為定值可判斷③．【詳解】解：，，是的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，故①正確；，，故②正確；是變化的，而為定值，∴不一定成立，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②．1．如圖，等腰的底邊長(zhǎng)為3，面積是6，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)D為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為（

）A． B．5 C． D．6【答案】C【分析】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．如圖，連接，由題意點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，推出的長(zhǎng)為的最小值即可．【詳解】解：如圖，連接．是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，，，∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，的長(zhǎng)為的最小值，∴的周長(zhǎng)最短為，故選：C．2．如圖，在中，，為邊上的高，平分，點(diǎn)F在上連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，若，，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中一定成立的有（

）

A．1個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，平行線的判定和性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)N，證明，得出，說(shuō)明，判斷③正確；根據(jù)，得出，證明，判斷①正確；證明，得出，判斷④正確；證明，根據(jù)，得出，判斷②正確．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)N，如圖所示：

∵，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，故③正確；∵為邊上的高，∴，∴，∴，∴，故①正確；∵在和中，∴，∴，故④正確；∵，，∴，∵，∴，故②正確；綜上分析可知，正確的有4個(gè)，故B正確．故選：B．3．如圖，中，，D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接作，交線段于E，以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，；③當(dāng)為等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到或；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．【詳解】解：①，，，，，故①正確；②為中點(diǎn)，，，，，，，，故②正確；③，，，為等腰三角形，，，，；或?yàn)榈妊切危?，，，，故③錯(cuò)誤；④，，，，，，，，，，故④正確，綜上所述正確的有①②④．故選：．4．如圖，在四邊形中，平分，于點(diǎn)E，，有下列結(jié)論：①；③；③；④．其中正確的是（

）

A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】本題主要考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一，需要熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，此外找出線段之間的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．在上截取，連接，根據(jù)“平分”和“”證明出，故選項(xiàng)①正確；由①可知，，再根據(jù)線段間的和差關(guān)系可得：，由三角形面積公式及等量代換可得，故選項(xiàng)②④正確．【詳解】在上截取，連接，

∵，∴，，∴，∵，，∴，∵平分，即，在和中，，∴，∴，∴，故①正確；∵，∴，∴，故②正確；根據(jù)已知條件無(wú)法證明，故③錯(cuò)誤；∵，∴，∴，即，故④正確．其中正確的是①②④．故選：C．二、填空題5．如圖，已知點(diǎn)O是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，且，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是.

【答案】或或【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．利用全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)分別得到，，，再分類討論中的底和腰，利用等邊對(duì)等角得到α的度數(shù)．【詳解】解：，，，是等邊三角形，，即，，又，是等邊三角形，，，，，若，則，即解得：；若，則，即解得：；若，則，即，解得：；綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是或或．故答案為：或或．6．如圖，是等邊三角形，邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上，且，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿著射線運(yùn)動(dòng)，連接，將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段DF，連接AF．當(dāng)時(shí)，則線段的長(zhǎng)為．【答案】6或2/2或6【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖所示：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段DF，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)E在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖所示：同理可證：，∴，∵，，∴，∴；綜上分析可知，的長(zhǎng)為6或2．故答案為：6或2．7．如圖，在中，，，點(diǎn)C在直線上，，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為度．【答案】【分析】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短線路問(wèn)題．作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D，連接，，，當(dāng)點(diǎn)P為與的交點(diǎn)時(shí)，的值最?。奢S對(duì)稱易證，結(jié)合證得是等邊三角形，可得，結(jié)合已知根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出，即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D，連接，，，當(dāng)點(diǎn)P為與的交點(diǎn)時(shí)，的值最小．由軸對(duì)稱可得：，，，∴，，∴，即，∵，∴是等邊三角形，∴∵，∴，∴，∵∴，∴．故答案為：三、解答題8．（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．圖中有個(gè)等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個(gè)等腰三角形；與，間的關(guān)系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作交于E，交于F．圖中有個(gè)等腰三角形．與，間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】（1）2，，理由見(jiàn)解析．（2）5，（3）2，【分析】（1）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)得到角相等，再進(jìn)行等量代換得到，，再利用等角對(duì)等邊，得到，，即可解題．（2）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)，再進(jìn)行等量代換得到、、、，再利用等角對(duì)等邊，得到對(duì)應(yīng)線段相等，即可解題．（3）本題解法與（1）類似．【詳解】（1）解：，理由如下：，的平分線交于O點(diǎn)，，，

，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個(gè)等腰三角形．．故答案為：2．（2）解：，即為等腰三角形，，，的平分線交于O點(diǎn)，，，即為等腰三角形，，，，，，，，即為等腰三角形，，，和為等腰三角形，．綜上所述，共有5個(gè)等腰三角形，故答案為：5，．（3）解：的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，，，，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個(gè)等腰三角形．．故答案為：2，．1．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計(jì)算得到a、b、c的值，再由的關(guān)系，可推導(dǎo)得到為直角三角形．【詳解】解∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴為等腰直角三角形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識(shí)，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．2．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)是等邊的邊上的一點(diǎn)，若，則在以線段為邊的三角形中，最小內(nèi)角的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得以線段為邊的三角形，即，最小的銳角為，根據(jù)鄰補(bǔ)角以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，，，∴是等邊三角形，∴，∴以線段為邊的三角形，即，最小的銳角為，∵，∴∴∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）四邊形的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三邊關(guān)系求得，再利用等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在中，，∴，即，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，但不合題意，舍去；若時(shí)，為等腰三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．4．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)求解，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得答案．【詳解】解：∵是等邊的邊上的高，∴，∵，∴，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記等