山東省青島市萊西第七中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析

山東省青島市萊西第七中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.cos215°﹣sin215°的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】將所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出值．【解答】解：cos215°﹣sin215°=cos2×15°=cos30°=．故選C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握二倍角的余弦函數(shù)公式是解本題的關(guān)鍵．2.已知圓O的半徑為2，P，Q是圓O上任意兩點(diǎn)，且，AB是圓O的一條直徑，若點(diǎn)C滿足（），則的最小值為（

）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4參考答案：C因?yàn)?，由于圓的半徑為，是圓的一條直徑，所以，，又，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為，故選C．3.已知[1,3]是函數(shù)y＝－x2＋4ax的單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．

B．

C．

D．參考答案：A4.設(shè)，則(

)A．

B．

C.

D．參考答案：A5.（5分）根式（式中a＞0）的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式為（） A． B． C． D． 參考答案：C考點(diǎn)： 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡(jiǎn)運(yùn)算．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 直接利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可．解答： ═=．故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．．6.已知邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將該菱形沿對(duì)角線AC折起，使BD=a，則三棱錐D﹣ABC的體積為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】三棱錐B﹣ACD是一個(gè)正四面體．過(guò)B點(diǎn)作BO⊥底面ACD，則點(diǎn)O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱錐D﹣ABC的體積．【解答】解：∵邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將該菱形沿對(duì)角線AC折起，使BD=a，∴由題意可得：三棱錐B﹣ACD是一個(gè)正四面體．如圖所示：過(guò)B點(diǎn)作BO⊥底面ACD，垂足為O，則點(diǎn)O是底面的中心，AO==．在Rt△ABO中，由勾股定理得BO===．∴三棱錐D﹣ABC的體積V===．故選：D．7.設(shè)，且，則(A)

(B)(C)

(D)參考答案：A8.對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，，若的運(yùn)算規(guī)則如右圖的程序框圖所示，則的值是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C依框圖，.選C.9.三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC互相垂直，，M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，若直線AM與平面PBC所成角的正切的最大值是，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積是（）A.2π B.4π C.8π D.16π參考答案：B是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，∵互相垂直，∴就是直線與平面所成角，當(dāng)最短時(shí)，即時(shí)直線與平面所成角的正切的最大．此時(shí)，，在直角△中，．三棱錐擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，∴三棱錐的外接球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為．選B.

10.已知集合.求(CRB).參考答案：由得

即,解得:.即.由得，

解得.即

則=.則=

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了了解2100名學(xué)生早晨到校時(shí)間，計(jì)劃采用系統(tǒng)抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取容量為100的樣本，則分段間隔為

．參考答案：21根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征，得：從2100名學(xué)生中抽取100個(gè)學(xué)生，分段間隔為，故答案是21.

12.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

▲

.參考答案：13.觀察下列數(shù)表：

根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)表中第行中所有數(shù)的和為_(kāi)_________。參考答案：14.已知，，函數(shù)，若時(shí)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____________.參考答案：略15.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））滿足f()=f()=0，給出以下四個(gè)結(jié)論：①ω=3；②ω≠6k，k∈N*；③φ可能等于；④符合條件的ω有無(wú)數(shù)個(gè)，且均為整數(shù)．其中所有正確的結(jié)論序號(hào)是

．參考答案：①③【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））滿足，可得ω（）=nπ，ω=n（n∈Z），即可得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））滿足，∴ω（）=nπ，∴ω=n（n∈Z），∴①ω=3正確；②ω≠6k，k∈N*，不正確；③φ可能等于，正確；④符合條件的ω有無(wú)數(shù)個(gè)，且均為整數(shù)，不正確．故答案為①③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．16.若冪函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，則m=

．參考答案：-1【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域；冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系．【分析】利用冪函數(shù)的定義和單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵冪函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴，解得m=﹣1．故答案為﹣1．17.三個(gè)數(shù)從小到大的順序是：

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知集合，，求:（1）；（2）；（3）參考答案：(1)

2分(2)

3分(3)

3分略19.（14分）已知，，α，β∈（0，π），求α，β的值．參考答案：考點(diǎn)： 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 已知兩式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，得到兩個(gè)關(guān)系式，兩式平方相加求出cosα的值，進(jìn)而求出cosβ的值，即可確定出α，β的值．解答： 依題意得：sinα=sinβ①，cosα=cosβ②，將①②平方相加得：sin2α+3cos2α=1﹣cos2α+3cos2α=2，即cos2α=，∴cosα=±，cosβ=±，∵α，β∈（0，π），∴α=或，β=或．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．20.已知數(shù)列{an}滿足：對(duì)于任意n∈N*且n≥2時(shí)，an+λan-1=2n+1，a1=4．（1）若λ=－，求證：{an－3n}為等比數(shù)列；（2）若λ=－1．①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②是否存在k∈N*，使得為數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，且∴為常數(shù)

∴為等比數(shù)列

........3分（2）①當(dāng)時(shí)，

∴…………∴∵

∴又滿足上式，所以．

............8分②假設(shè)存在滿足條件的，不妨設(shè)，∴

（*）∴

............10分∴

即由（1）得且

∴

∴若，代入（*），解得：（舍）

............13分∴即

∴∴

∴

∴∵

∴可取代入（*）檢驗(yàn)，解得：∴存在滿足題意．

............16分.21.（15分）函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，|φ|＜）的圖象如圖所示，把函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．（1）若直線y=m與函數(shù)g（x）圖象在時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為x1，x2，求g（x1+x2）的值；（2）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=3，g（C）=0．若向量=（1，sinA）與=（2，sinB）共線，求a，b的值．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；余弦定理．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： （1）由函數(shù)f（x）的圖象可得周期，可得ω，代點(diǎn)（，0）結(jié)合φ的范圍可得其值，再由圖象變換可得g（x）圖象，由對(duì)稱性可得所求；（Ⅱ）由g（C）=0可得角C，由向量共線可得sinB﹣2sinA=0．由正余弦定理可得ab的方程組，解方程組可得．解答： （1）由函數(shù)f（x）的圖象可得，解得ω=2，又，∴，∴，由圖象變換，得，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性，有；（Ⅱ）∵，∴又∵0＜C＜π，∴，∴，∴，∵共線，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理得，得b=2a，①∵c=3，由余弦定理得，②解方程組①②可得點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，涉及圖象的變換和正余弦定理，屬中檔題．22.某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？參考答案：解：（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為：=12，所以這時(shí)租出了88輛車………