湖南省郴州市萬(wàn)華園中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

湖南省郴州市萬(wàn)華園中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知條件p：關(guān)于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解；條件q：f（x）=（7﹣3m）x為減函數(shù)，則p成立是q成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】條件p：由于|x﹣1|+|x﹣3|≥2，即可得出m的取值范圍；條件q：f（x）=（7﹣3m）x為減函數(shù)，可得0＜7﹣3m＜1，解得m范圍即可得出．【解答】解：條件p：∵|x﹣1|+|x﹣3|≥|3﹣1|=2，而關(guān)于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解，∴m＞2；條件q：f（x）=（7﹣3m）x為減函數(shù)，∴0＜7﹣3m＜1，解得．則p成立是q成立的必要不充分條件．故選：B．2.在封閉直三棱柱ABC﹣A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，則V的最大值是（）A． B． C． D．36π參考答案：B【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】要使球的體積V最大，必須使球的半徑R最大．因?yàn)椤鰽BC內(nèi)切圓的半徑為2，所以由題意易知球與直三棱柱的上、下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1內(nèi)切球半徑即可【解答】解：要使球的體積V最大，必須使球的半徑R最大．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC內(nèi)切圓的半徑為r=3，所以由題意易知球與直三棱柱的上、下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值為．此時(shí)球的體積為πR3=，故選：B．3.將函數(shù)f（x）=cos2ωx的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在上為減函數(shù)，則正實(shí)數(shù)ω的最大值為（）A． B．1 C． D．3參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得實(shí)數(shù)ω的最大值．【解答】解：將函數(shù)f（x）=cos2ωx的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）=cos2ω（x﹣）=cos（2ωx﹣）=﹣sin2ωx的圖象，若y=g（x）在上為減函數(shù)，則sin2ωx在上為增函數(shù)，∴2ω?（﹣）≥﹣，且2ω?≤，求得ω≤1，故正實(shí)數(shù)ω的最大值為1，故選：B4.若橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為６，則點(diǎn)Ｐ到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）Ａ．２

Ｂ．４Ｃ．６

Ｄ．８參考答案：B5.如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上．過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于，．設(shè)，，則函數(shù)的圖象大致是（

）參考答案：B6.已知a，b∈R，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A7.如圖，在△ABC中，，P為CD上一點(diǎn)，且滿足，若△ABC的面積為，則的最小值為（

）A. B. C.3 D.參考答案：B【分析】設(shè)，，由三角形ABC的面積為，可得，由C，P，D三點(diǎn)共線可知，以AB所在直線為軸，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AB的垂線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可以表示出的坐標(biāo)，從而得到的表達(dá)式，進(jìn)而求出最小值。【詳解】設(shè)，，則三角形ABC的面積為，解得，由，且C，P，D三點(diǎn)共線，可知，即，故.以AB所在直線為軸，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AB的垂線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，則，，，則（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”）.故的最小值為.

【點(diǎn)睛】三點(diǎn)共線的一個(gè)向量性質(zhì)：已知O、A、B、C是平面內(nèi)的四點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)、，使，且.

8.若全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，N={2，3}，則（?UM）∩N=（）A．{3，5} B．{2，3，5} C．{2，5} D．{2，3}參考答案：D【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】由全集U及M，求出M的補(bǔ)集，找出M補(bǔ)集與N的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，N={2，3}，∴?UM={2，3，5}，則（?UM）∩N={2，3}，故選：D．9.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=15，a2=5，則公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出方程組，能求出公差d．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=15，a2=5，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故選：B．10.設(shè)m為實(shí)數(shù)，若，則m的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.求值：___________．參考答案：略12.設(shè)a＞0，b＞0．若是3a與32b的等比中項(xiàng)，則的最小值為

．參考答案：8【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得3a×32b=（）2，變形化簡(jiǎn)可得a+2b=1，進(jìn)而有+=（a+2b）（+）=4+（+），結(jié)合基本不等式可得+的最小值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若是3a與32b的等比中項(xiàng)，則有3a×32b=（）2，即3a+2b=3，則有a+2b=1；則+=（a+2b）（+）=4+（+）≥4+2=8；即+的最小值為8；故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的運(yùn)用，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出a+2b=1．13.若雙曲線﹣=1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣4），則此雙曲線的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的漸近線方程，代入點(diǎn)（3，﹣4），可得b=a，再由c=，e=，即可得到所求值．【解答】解：雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=±x，由漸近線過(guò)點(diǎn)（3，﹣4），可得﹣4=﹣，即b=a，c===a，可得e==．故答案為：．14.已知正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為

參考答案：15.數(shù)列滿足，且，是數(shù)列的前n項(xiàng)和。則=______參考答案：略16.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1的圖象過(guò)原點(diǎn)，則不等式的解集為

．參考答案：（0，+∞）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=，研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解【解答】解：設(shè)g（x）=（x∈R），則g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞減∵f（x）＜ex∴g（x）＜1∵y=f（x）﹣1的圖象過(guò)原點(diǎn)，∴f（0）=1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故答案為（0，+∞）【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．17.函數(shù)的圖象與的圖象（且）交于兩點(diǎn)（2,5），（8,3），則的值等于

；參考答案：10三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（1）；

(2).略19.（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中，已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，．（Ⅰ）求的對(duì)稱中心的坐標(biāo)及其在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若，，求的值。參考答案：解：，，則…………2分………………4分（Ⅰ）由，即對(duì)稱中心是當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞減是……6分在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為.………8分(Ⅱ)……10分?！?2分20.設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，已知(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)證明：對(duì)任意，都有．參考答案：理）(1)∵，∴當(dāng)時(shí)，．兩式相減得，

∴

…………2分∵，∴，

又，∴∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

………1分∴

………1分(2)由(1)知，

∴

…………2分于是，

…………2分

∴

…………2分(3)結(jié)論成立，證明如下：

…………1分[來(lái)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則于是

………2分將代入得，，

∴

…………2分又

…………2分∴．

…………1分（文）(1)∵，∴當(dāng)時(shí)，．

兩式相減得，

∴

…………2分

∵，∴，又，∴

∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．……2分

∴

…………1分

(2)由(1)知，

…………2分假設(shè)正整數(shù)滿足條件，

則

∴，

解得；

…………3分

(3)

…………2分

于是

…………2分

…………3分

∴

………………略21.已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx+b，a，b為實(shí)數(shù)．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x+3，求a，b的值；（Ⅱ）若|f′（x）|＜對(duì)x∈[2，3]恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f′（1）=2，f（1）=5，列方程組解出a，b即可；（II）分離參數(shù)得出x﹣＜a＜x+，分別求出左側(cè)函數(shù)的最大值和右側(cè)函數(shù)的最小值即可得出a的范圍．【解答】解：（I）f′（x）=1﹣，∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x+3，∴f′（1）=2，f（1）=5，∴，解得a=﹣1，b=4．（II）∵|f′（x）|＜對(duì)x∈[2，3]恒成立，即|1﹣|＜對(duì)x∈[2，3]恒成立，∴|x﹣a|＜對(duì)x∈[2，3]恒成立，∴x﹣＜a＜x+對(duì)x∈[2，3]恒成立，設(shè)g（x）=x﹣，h（x）=x+，x∈[2，3]，則g′（x）=1+＞0，h′（x）=1﹣＞0，∴g（x）在[2，3]上是增函數(shù)，h（x）在[2，3]上是增函數(shù)，∴gmax（x）=g（3）=2，hmin（x）=h（2）=．∴a的取值范圍是[2，]．22.如圖，四邊形是矩形，沿對(duì)角線將折起，使得點(diǎn)在平面上的射影恰好落在邊上.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.參考答案：（I）設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，連接則平面，所以.因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，所以平面，所?又，所以平面，而平面，所以平面平面.………………5分（II）方法1：在矩形中，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連結(jié).因?yàn)槠矫?，又DM∩DE=D所以平面，所以為二面角的平面角.