新教材 人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊 第一章 集合與常用邏輯用語 課時練習(xí)題及章末測驗 習(xí)題含解析

第一章集合與常用邏輯用語

1.集合的含義...........................................................-1-

2.集合的表示..........................................................-5-

3.集合間的基本關(guān)系....................................................-9-

4.并集與交集.........................................................-13-

5.補集................................................................-17-

6.充分條件與必要條件.................................................-21-

7.全稱量詞與存在量詞.................................................-25-

章末綜合測驗...........................................................-29-

L集合的含義

一、選擇題

1.下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）

A.擁有手機的人B.2019年高考數(shù)學(xué)難題

C.所有有理數(shù)D.小于n的正整數(shù)

B[B選項中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，所以選B.]

2.集合〃是由大于一2且小于1的實數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系式正確的是（）

A.^5e#B.(W

JI

C.le#D.一5

D[十＞1,故A錯；一2〈0〈l,故B錯；1不小于1,故C錯；一2〈一會1,

故D正確.]

3.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是（）

A.3.14B.-5

C.|D.木

D[由題意知a應(yīng)為無理數(shù)，故a可以為小.]

4.已知集合。中的三個元素m,A分別是△/回的三邊長，則△力回一定

不是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

D[因為集合中的元素是互異的，所以1,m,〃互不相等，即△力笈不可能是

等腰三角形，故選D.]

5.下列各組中集合P與0,表示同一個集合的是()

A.夕是由元素1,y[3,Ji構(gòu)成的集合，。是由元素口，1,1—十1構(gòu)成的集

合

B.夕是由口構(gòu)成的集合，0是由3.14159構(gòu)成的集合

C.。是由2,3構(gòu)成的集合，。是由有序數(shù)對⑵3)構(gòu)成的集合

D.P是滿足不等式一IWxWl的自然數(shù)構(gòu)成的集合，0是方程*=1的解集

A[由于A中R。的元素完全相同，所以夕與0表示同一個集合，而B,C,

D中R。的元素不相同，所以P與。不能表示同一個集合.故選A.]

二、填空題

6.若1?/,且集合/與集合8相等，貝ij1以填“?”或“生”).

￡[由集合相等的定義可知，

7.設(shè)集合4是由1,2為元素構(gòu)成的集合，則實數(shù)4的取值范圍是.

[k\k^±l}[V1EJ,A2?4結(jié)合集合中元素的互異性可知解得

斤±1.]

8.用符號“弓”或“生”填空：

⑴設(shè)集合8是小于冊！的所有實數(shù)的集合，則2^3瓦1+也

________B；

(2)設(shè)集合。是滿足方程x=//+l(其中n為正整數(shù))的實數(shù)x的集合，則

3C,5C；

(3)設(shè)集合。是滿足方程y=*的有序?qū)崝?shù)對(x,力組成的集合，則一

1D,(-1,1)D.

⑴在e⑵生e⑶莊e[(1)'：2y[3=yll2>yjn,：.2事&B；V(1+

娟)2=3+2隹<3+2X4=11,1+72<711,：.1+書GB.

(2)'."是正整數(shù)，：.n+1^3,?..3生C；當(dāng)〃=2時，n+l=5,：.5&C

(3)?.?集合。中的元素是有序?qū)崝?shù)對(x,力，一1是數(shù)，

1初;又(一1)2=1,.?.(—1,1)?〃]

三、解答題

9.設(shè)N是由滿足不等式木6的自然數(shù)構(gòu)成的集合，若a?N且3a?/,求a的

值.

［解］?.^ae/且3ae/,

a<6,

?！苯獾胊<2.又aGN,

、3a<6,

...a=0或1.

10.已知集合力中含有兩個元素x,y,集合8中含有兩個元素0,/,若/=

B,求實數(shù)x,y的值.

［解］因為集合48相等，則x=0或y=0.

(1)當(dāng)x=0時，/=0,則不滿足集合中元素的互異性，故舍去.

(2)當(dāng)y=0時，x=x,解得x=0或x=l.

由(1)知x=0應(yīng)舍去.

綜上知：x=l,y=0.

H.(多選題)集合力中含有三個元素2,4,6,若且6—aGN,那么a為

()

A.2B.-2

C.4D.0

AC［若a=2,則6—2=4G4

若a=4,則6—4=2G4

若a=6,貝!J6——6=0生4故選AC.］

12.已知集合〃是方程/—x+〃=0的解組成的集合，若2?弘則下列判斷

正確的是()

A.le#B.0e#

C.—D.—

C［由2G"知2為方程x+勿=0的一個解，所以2?—2+R=0,解得加=

-2.

所以方程為H—x—2=0,解得》=-1,尼=2.

故方程的另一根為一1.選C.］

13.已知集合P中元素x滿足：x?N,且2〈x〈a,又集合尸中恰有三個元素,

則整數(shù)a=.

6[?.3GN,2〈x〈a,且集合尸中恰有三個元素，

...結(jié)合數(shù)軸(圖略)知a=6.]

Ia\Al

14.(一題兩空)若a,3GR,且aWO,力#0,則的可能取值所組成

ab

的集合中元素的個數(shù)為,所有元素的和為.

30[當(dāng)a,6同正時，-+^=-+|=1+1=2.

abab

MZ入閂啟口5向jJ引—a—b

當(dāng)a,6同負(fù)時，—+-r=—+=一=一1一1=-2.

abab

當(dāng)a,6異號時，—+^=0.

ab

???同十萼的可能取值所組成的集合中元素共有3個.

ab

且3個元素的和為2+(-2)+0=0.]

15.設(shè)集合N中的元素均為實數(shù)，且滿足條件：若ad,則;G/(aWl).

求證：(1)若2?N,則/中必還有另外兩個元素；

(2)集合/不可能是單元素集.

[證明](1)若aG/,則11w4

1—a

又因為2GA,所以^~-=-l￡A

因為一1?/,所以^---------

因為;GN,所以△y=2G4

—5

所以/中另外兩個元素為一1,1.

(2)若/為單元素集，

即a?—a+l=0,方程無實數(shù)解.

所以aNp

所以集合力不可能是單元素集.

2.集合的表示

一、選擇題

1.已知集合/=建?用木6},則下列關(guān)系式不成立的是()

A.OejB.1.5H

C.-1在/D.6GJ

D[,.—={X￡N|A<6}={0,1,2,3,4,5},

??.6也4,故選D.]

2.把集合{x|f—3x+2=0}用列舉法表示為()

A.{x=l,x=2}B.{x\x=l,x=2}

C.{x-3x+2=0}D.{1,2}

D[解方程*—3x+2=0得x=l或x=2,所以集合3半―3葉2=0}用列舉

法可表示為{1,2}.]

3.下列四個集合中，不同于另外三個的是（）

A.{y|y=2}B.{x=2}

C.{2}D.{x\x2—4x+4=0}

B[{x=2}表示的是由一個等式組成的集合.]

"x+y=l,

方程組的解集是（

4.22_八

〔X—y—9

A.(-5,4)B.(5,-4)

C.{(—5,4)}D.{(5,-4)}

x-\-y=l,x=5,

D[解方程組得《故解集為（）選

22c{5,—4},D.]

〔X—y—9,J=-4,

5.下列集合的表示方法正確的是()

A.第二、四象限內(nèi)的點集可表示為{(x,y)|xjWO，x?R,yGR}

B.不等式x—1〈4的解集為{x〈5}

C.{全體整數(shù)}

D.實數(shù)集可表示為R

D［選項A中應(yīng)是xy〈O；選項B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法

的規(guī)范格式，缺少了豎線和豎線前面的代表元素x；選項C的“{}”與“全體”意

思重復(fù).］

二、填空題

6.能被2整除的正整數(shù)的集合，用描述法可表示為.

{x1x=2〃，〃?N*}［正整數(shù)中所有的偶數(shù)均能被2整除.］

7.設(shè)集合力={1,-2,a2-l},B={1,成一3a,0},若8相等，則實數(shù)a

a—1=0,

1［由集合相等的概念得20°解得a=L］

由-3a=-2,

8.設(shè)一5?{x|于―ax—5=0},則集合{x|x2+ax+3=0}=.

{1,3}［由題意知，一5是方程ax—5=0的一個根，

所以(-5)2+5a—5=0,得a=-4,

則方程系+ax-\-3=0,

即f—4x+3=0,

解得x=l或x=3,所以{x|x?—4x+3=0}=所,3}.］

三、解答題

9.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)由方程x(/-2x-3)=0的所有實數(shù)根組成的集合；

(2)大于2且小于6的有理數(shù)；

(3)由直線y=-x+4上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點組成的集合.

［解］(1)方程的實數(shù)根為一1,0,3,故可以用列舉法表示為{—1,0,3},當(dāng)然

也可以用描述法表示為U|x(y—2x—3)=0}.

(2)由于大于2且小于6的有理數(shù)有無數(shù)個，故不能用列舉法表示該集合，但

可以用描述法表示該集合為{x?Q12〈水6}.

⑶用描述法表示該集合為

M={(x,力|y=—x+4,x?N,yeN}；

或用列舉法表示該集合為

{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)).

f4'

10.已知集合力—GZk

6~x

⑴用列舉法表示集合4

⑵求集合/的所有元素之和.

4

［解］⑴由二GZ,得3一x=±l,±2,±4.解得x=—1,1,2,4,5,7.

又,.,xdZ,?"={—1,1,2,4,5,7}.

(2)由⑴得集合/中的所有元素之和為一1+1+2+4+5+7=18.

11.設(shè)集合4={1,2,3},B={4,5},M={x\x=a^rb,a^A,bG*,則〃中

的元素的個數(shù)為()

A.3B.4

C.5D.6

B［當(dāng)a=l,力=4時，x=5；當(dāng)a=l,6=5時，x=6；當(dāng)a=2,人=4時，

x=6；當(dāng)a=2,6=5時，x=7；當(dāng)a=3,6=4時，x=7；當(dāng)a=3,6=5時，x

=8.由集合元素的互異性知〃中共有4個元素.］

12.（多選題）若集合/=3我+4狂4=0,x?R}只有一個元素，則實數(shù)N

的值為（）

A.0B.1

C.2D.3

AB［集合A中只有一個元素，即方程加+4升4=0只有一個根.當(dāng)仁0時,

方程為一元一次方程，只有一個根；當(dāng)NW0時，方程為一元二次方程，若只有一

個根，則/=16—164=0,即N=1.所以實數(shù)A的值為?；騆］

13.已知集合力={a—2,2a?+5a,10},若一3@N,貝Ua=.

3

—5［因為一304所以a—2=—3或24+5a=-3,當(dāng)a—2=—3時，a—

—1,

此時2a?+5a=—3,與元素的互異性不符，所以aW—1.

當(dāng)2a,+5a=-3時，即2a2+5a+3=0,

3

解得a=—l或a=--顯然a=-1不合題意.

當(dāng)a=一|時，a—2=—滿足互異性.

綜上，a=］

14.(一題兩空)設(shè)aGN,力GN,a+b=2,A={(x,力|(x—a)2+(y—a)2=56},

⑶2)e/,則&=,b=.

11［由a+力=2,得b=2—a,

代入(x—a)2+(y—a)2=56得：

(x—a)2+(y—a)2=5(2-a)①，

又因為(3,2)?N,將點代入①，可得

(3—a)2+(2—a)2=5(2—a),

整理，得2a5a+3=0,

得a=l或1.5(舍去，因為a是自然數(shù))，

所以a=l,所以6=2—a=l,綜上，a=l,b=l.］

15.對于任意兩個正整數(shù)勿，n,定義某種運算“X”如下：當(dāng)加，〃都為正偶

數(shù)或正奇數(shù)時，睬n=m+n,當(dāng)山，〃中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，加※〃

=mn,在此定義下，求集合〃={(a,6)|a※力=12,aGN*,右GN*}中的元素有多少

個？

［解］若a,，同奇偶，有12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6,前

面的每種可以交換位置，最后一種只有1個點(6,6),這時有2X5+1=11(個)；

若a,6一奇一偶,有12=1X12=3X4,每種可以交換位置，這時有2X2=

4(個).

所以共有n+4=i5(個).

3.集合間的基本關(guān)系

一、選擇題

1.①0?{0};②峰{0};③{0,1}。{(0,1)}；④{(a,6)}={(Qa)}.上面

關(guān)系中正確的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

B[①正確，0是集合{0}的元素；②正確，。是任何非空集合的真子集；③錯

誤，集合{0,1}含兩個元素0,1,而{(0,1)}含一個元素點(0,1),所以這兩個集合

沒關(guān)系；④錯誤，集合{(a,6)}含一個元素點(a,6),集合{(6,a)}含一個元素

點(6,a),這兩個元素不同，所以集合不相等.故選B.]

2.已知集合[={—1,0,1},則含有元素0的/的子集的個數(shù)為()

A.2B.4

C.6D.8

B[根據(jù)題意，含有元素0的人的子集為{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1),

共4個?]

3.已知集合A=⑵一1},集合B=前一口,一1},且A=B,則實數(shù)力等于()

A.2B.—1

C.2或—1D.4

C:?貨一m=2,「."二？或"=-1.]

y

4.若x,A={{x,y)\y=x\,B=\x,y-=1則集合A,B

X

間的關(guān)系為()

A.A號BB.譯B

C.A=BD.脛B

y

BX，yx=l>={(x,y)y=x,且#0},C.B^A.]

5.已知集合8={-1,1,4},滿足條件。筆庇6的集合〃的個數(shù)為()

A.3B.6

C.7D.8

C[由題意可知集合〃是集合8的非空子集，集合6中有3個元素，因此非

空子集有7個，選C.]

二、填空題

6.集合{(1,2),(—3,4)}的所有非空真子集是.

{(1,2)},{(-3,4)}[{(1,2),(—3,4)}的所有真子集有。，{(1,2)},{(-

3,4)},其非空真子集是{(1,2)},{(-3,4)}.]

7.設(shè)/={x[l<x<2},B={x|x<a],若A年B,則實數(shù)a的取值范圍是.

{a|a>2}[如圖，因為/呈8,所以a》2,即a的取值范圍是{a|aN2}.

8.集合/={x[(a—l)f+3x—2=0}有且僅有兩個子集，則a的取值為

1或一J[由集合有兩個子集可知，該集合是單元素集，當(dāng)a=l時，滿足題

O

意.當(dāng)aWl時，由/=9+8(己-1)=0可得a=-]

O

三、解答題

9.設(shè)/={x|第一8入+15=0},B={x\SA-1=0}.

(1)若a=g試判定集合力與8的關(guān)系；

(2)若比求實數(shù)a組成的集合C

[解]⑴/={x|*—8x+15=0}={5,3},a=；時，B={5},元素5是集合力

={5,3}中的元素，

集合[={5,3}中除元素5外，還有元素3,3不在集合8中，所以方星4

(2)當(dāng)a=0時，由題意6=0,又力={3,5},故醫(yī)4

當(dāng)aWO時,B=~',又4={3,5},醫(yī)4

a

止匕時』=3或5,則有a=；或a=1.

a35

所以40,

O0

10.已知集合力={x|x(一l,或x〉4},6={x|2aW啟a+3},若比N,求實

數(shù)a的取值范圍.

［解］(1)當(dāng)8=0時，2a〉a+3,即a〉3.顯然滿足題意.

(2)當(dāng)屏。時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，

-142aa+3x

a+3三2a,a+322a,

可得<或《

a+3〈一12a>4,

解得水一4或2<aW3.

綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為{a1a〈一4,或a>2}.

11.若集合〃=<xx=]+；,k《Z,,集合7V=<xx=:+；,kJZ),則

()

A.M=NB.N^M

C.癢ND.以上均不對

Jk11J2A+1

C\_M=\xx=~+~,xx=---,N?Z>.

乙qT：

k1A+2

xA-=-+-,A￡Z[=\xx=4,住Z>.

又2A+1,A￡Z為奇數(shù)，A+2,A￡Z為整數(shù)，所以也生兒］

12.(多選題)已知集合P={x|/=l},集合0={x|ax=l},若1P,那么a

的取值是()

A.0B.—1

C.1D.2

ABC［由題意得片{—1,1},

又因為如P,

①若0=。，則a=0,此時滿足&P-,

②若行0,則0=<xx=!>,由題意知，1=1或2=-1,解得a=±l.

aJaa

綜上可知，a的取值是0或±1.故選ABC.］

13.(一題兩空)設(shè)a,力GR,集合/={1,a},B={x\x(x-a){x—b)=0},

若A=B,則a=,b=.

01\_A={1,a},解方程x(x—a)(x—6)=0,

得x=0或a或6,若A=B,則a=0,b=l.]

b

14.集合1,a,-={0,a+b],則才蜜十方期的值為

a

[b\.

—1[*.*j1,a,-'={0,a,a+力},又aWO,

b2

=0,1.3=0.a"=l,a=±1.

a

又aWl,...a=—l,...且2°19+萬°2°=(—1)2°I9+O2—

15.設(shè)集合/={x|—1Wx+1W6},B={x\ffl—KX2/Z7+1}.

(1)當(dāng)x?Z時，求/的非空真子集的個數(shù)；

(2)若/。8求力的取值范圍.

[解]化簡集合A得A={x1—2WxW5}.

⑴：xGZ,

：.A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},

即/中含有8個元素，

的非空真子集個數(shù)為2^—2=254(個).

(2)①當(dāng)R—1N2勿+1,即/W—2時，B=0￡A；

②當(dāng)加〉一2時，

B={x\ffl—KX2/Z7+1},

因此，要醫(yī)4,

m-1；：--2,

貝U只要L?即一1W辰2.

2/十1W5,

綜上所述，知山的取值范圍是

{m\—1或勿Wl2}.

4.并集與交集

一、選擇題

1.設(shè)集合4={1,2,3},￡={2,3,4},則”6=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}

C.{2,3,4}D.{1,3,4}

A[?.,/={1,2,3},8={2,3,4},3,4}.

故選A.]

2.已知集合/={1,2,3,4},B={2,4,6,8},則4rl■中元素的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

B「.3={1,2,3,4},B={2,4,6,8},."08={2,4}.

...Nn8中元素的個數(shù)為2.故選B.]

3.已知集合[={x|x+l<0},B={x\x-3<Q},那么集合/U8等于()

A.{x|—lWx〈3}B.{x|x〈3}

C.{x|x〈一l}D.{x|x〉3}

B[\"A={x\jr+l<0}={^|x<—1},B={x\3<0}={x\jr<3},

JUB={x|x<3},選B.]

4.已知集合力={1,3},5={1,2,勿},若4A8={1,3},則力U8=()

A.{1,2}B.{1,3}

C.{1,2,3}D.{2,3}

C[VJn^={1.3},：.3RB,：.m=3,

."={1,2,3},：.AUB={1,2,3}.]

5.設(shè)集合A={(x,y)y=ax+l},B={(x,y)|y=x+6},且4n8=集2,5)},

則()

A.a=3,b=2B.a=2,b=3

C.a=——3,b=~2D.a=——2,力=——3

5=2a+l,

B[VJn^={(2,5)},：.\,解得a=2,b=3,故選B.]

5=2+b,

二、填空題

6.已知集合/={1,2,3},B={y\y=2x~\,xG/},貝lj/n^=.

{1,3}[jn5={l,2,3}n{y|y=2x-Lx^A}

={1,2,3}n{1,3,5)

={1,3}.]

7.(一題兩空)若集合A={x\—l<x<5},B={x\或x24},貝1JAUB=

,AHB=.

R{x|-l<x<L或4Wx〈5}[借助數(shù)軸可知：

4U8=R,Nn8={x|—1〈后1,或4Wx〈5}.]

—i[1-

-1145x

8.已知集合力={x|x25},集合8={x|xW/zz},且4r18={x|5W啟6},則實

數(shù)m=.

B114-

5mx

6[用數(shù)軸表示集合/,8如圖所示.由Nn8={x15WxW6},得加=6.]

三、解答題

3—x>0,

9.已知集合4=］x,,集合夕={x|2x—"3},求4P8,AUB.

3^+6>0

3—x>0,

［解］解不等式組.得一2〈x〈3,

,3x十6>0,

即A={x\—2<^<3}.

解不等式2x—1X3,得x〈2,即￡={x|x〈2},

在數(shù)軸上分別表示集合4B,如圖所示.

n-

則ACB={x\—2<^<2},AUB={x\x〈3}.

10.已知集合/={x|—2〈水4},B={x\x—m<0}.

(1)若/n8=0,求實數(shù)力的取值范圍；

⑵若求實數(shù)勿的取值范圍.

[解](1)?.?/={x|—2〈x<4},B={x\x<ni\,

又NC方=0,?\/W—2.

(2)A={x\—2<X4},￡={x|x〈血，由得Aq8,/三4.

11.若集合4={0,l,2,x},/={l,x2},4U3=4則滿足條件的實數(shù)x有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

B[AUB=A,.,.BQA.A={0,1,2,x},B={1,x},或f=2或

x=x,解得x=0或隹或一鏡或1.經(jīng)檢驗，當(dāng)x=(或一:時滿足題意，故選

B.]

12.(多選題)已知集合[={1,2},B={x\mx-\=Q],若in8=8,則符合條

件的實數(shù)力的值為()

()

A.0B.1

11

C.-D.——

ABC[當(dāng)/=0時，B=0,AC8=8；

當(dāng)"W0時，x=~,要使貝A=1或工=2,即/=1或"=[.]

mmm2

13.設(shè)S={x|水-1或x>5},T={x|水x〈a+8},若SUT=R,則實數(shù)a應(yīng)滿

足.

—3〈水一1[在數(shù)軸上表示集合S,T如圖所示.因為SUT=R,由數(shù)軸可得

水-1,

<

盧+8>5,

解得一3〈水一1.

------fa——.

a—15a+8]

14.(一題兩空)某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19

種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3

種，后兩天都售出的商品有4種.則該網(wǎng)店

(1)第一天售出但第二天未售出的商品有種；

(2)這三天售出的商品最少有種.

(1)16(2)29[設(shè)三天都售出的商品有x種，第一天售出，第二天未售出,

且第三天售出的商品有y種，則三天售出商品的種類關(guān)系如圖所示.

由圖可知：(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19—(3—x)—x=16(種).

⑵這三天售出的商品有(16—y)+y+x+(3—x)+(6+x)+(4~x)+(14—y)

=43—y(種).

f16~y^O,

由于《介0，

114-y^O,

所以0Wj<14.

所以(43—y)最小值=43—14=29.］

所以這三天售出商品最少有29種.

15.已知集合力={x|2a+lWx<3a—5},8={x|xV—l或x>16},分別根據(jù)

下列條件求實數(shù)a的取值范圍.

⑴408=0；

⑵作an必.

［解］⑴若［=0,則108=0成立.此時2a+l>3a—5,即a<6.

若NW。，如圖所示，

----iIU----.

-12a+l3a-516”

(2a+lW3a—5,

則12a+lN—1,

[3a—5W16,

解得6WaW7.綜上，滿足條件108=0的實數(shù)a的取值范圍是{a|aW7}.

(2)因為NG(4n而，所以408=4,即

顯然N=0滿足條件，止匕時a<6.

若如圖所示，

2Q+13a-5-116x

或1----------N——A

-1162a+l3a-5x

2a+1W3a—52a+1W3a—5,

則或1

3a—5<-1“L2a+l>16.

［2a+1W3a—5,

由《解得a￡0；

3a—5<—1,

2a+1W3a—5,15

由<解得心亍

2a~\~1>16,

綜上，滿足條件AU(AGB)的實數(shù)。的取值范圍是仙oV6或0＞萬

5.補集

一、選擇題

1.若全集〃={0,1,2,3}且［〃={2},則集合/的真子集共有()

A.3個B.5個

C.7個D.8個

CU={0,1,3),真子集有人一1=7個.］

2.已知全集〃=R,N={x|xW0},B={x\,則集合［〃(NU8)=()

A.{x|xN0}B.{x|xWl}

C.{x|0W;r^l}D.{X\0<Xl}

D［由題意可知，NU8={x|段0,或H所以［〃C4U6)={x|0<xVl}.］

3.已知集合48均為全集〃={1,2,3,4}的子集,且「〃3U^={4},L={l,2h

則/n［歷等于()

A.{3}B.{4}

C.{3,4}D.。

A「??〃={1,2,3,4},'(?￡)=⑷,

：.A^B={\,2,3}.又，"={1,2},

{3}cjc{1,2,3}.

又[立={3,4},/.nCvB—{3}.]

4.設(shè)全集〃為實數(shù)集R,〃={x|x>2或水一2},"={入院三3或水1}都是全集

〃的子集，則圖中陰影部分所表示的集合是（）

A.{x|一2Wx〈l}B.{x|-2Wx<2}

C.{x|l〈xW2}D.{x|x<2}

A［陰影部分表示的集合為Nn（［勵={x］—2WxQ},故選A.］

5.已知弘N為集合/的非空真子集，且弘N不相等，若相［避=0,則機JN

等于（）

A.MB.N

C.ID.0

A［因為Nn［/=0,所以世欣如圖），所以機J4股

二、填空題

6.設(shè)全集〃=R,則下列集合運算結(jié)果為R的是.(填序號)

①ZU[凡②NnO③[〃(o)；④「0

①[結(jié)合常用數(shù)集的定義及交、并、補集的運算，可知ZUIN=R,故填①.]

7.設(shè)全集〃=R,A={x\x<l},B={x\x>/n},若L/C8則實數(shù)r的取值范圍

是.

{ffl|?<1}[V[uA={x\x^W,B={x\x>?},

...由-可知成1.]

8.已知集合/={x|—2Wx<3},B={^|X—1),則NC([R8)=.

{x|—lWx〈3}l'."A={x\—2<x<3},B={x\x<—1},

卜8={x|x>—1},

.?./n([R8)={X|—lWx<3}.]

三、解答題

9.已知々{1,2,3,4,5,6,7,8},4={3,4,5知B={4,7,8},求408,AUB,

圖)/n([必)，(「Mu(

[解]法一(直接法)：由已知易求得力H8={4},-6={3,4,5,7,8},勿=

(1,2,6,7,8},[酒={1,2,3,5,6},

(「Mn(「1)={1,2,6},An(L而={3,5},

([溯U8={1,2,4,6,7,8).

法二(Venn圖法)：畫出Venn圖，如圖所示，可得AHB={4},AUB=

{3,4,5,7,8},([/n([/)={1,2,6},NA([為={3,5},([l;A)U2?=

{1,2,4,6,7,8).

10.已知全集U={x|x^4},集合力={x\—2<K3},B={x\—，求NC8,

(LH)UB,/n([i),

［解］如圖所示.

-3-Z-1U1/14

A={x|—2<X3},6={x|—3WJT^2},U={x\x^4},

.,」〃/={x|xW—2,或3WxW4},

[/={x|x<-'3,或2〈^r^4}.

ADB=[x\—2<x^2},AUB={x\—3^X3}.

故(「/)U8={x|xW2,或3WxW4},

in([￡)={x|2〈水3},

fU為={x|x(一3,或3W啟4}.

11.已知全集片{1,2,3,4,5,6,7},4={3,4,5},1={1,3,6},那么集合{2,7}

是()

A.AUBB.AHB

cL(4n而D.「〃（山而

D［?.3U8={1,3,4,5,6},??」〃au為={2,7}.〕

12.已知集合［={x|x<a},B={x\\<x<2］,且NU（［R8）=R,則實數(shù)a的

取值范圍是（）

A.{a|aWl}B.{a\a<l}

C.{a|a22}D.{a\a>2}

C［由于4U（［R8）=R,則醫(yī)/,可知心2.

故選c.］

13.設(shè)全集〃={1,2,*—2},A={1,x},則「/=.

{2}［若x=2,則2=2,與集合中元素的互異性矛盾，故xW2,從而x

=V—2,解得x=-1或x=2（舍去）.

故〃={1,2,—1）,A={1,—1},則「一={2}.］

14.（一題兩空）已知全集〃={不大于20的素數(shù)},若M,N為〃的兩個子集，

且滿足（［加={3,5},（［成nx={7,19},（［也n（［加={2,17},則M=

，N=.

{3,5,11,13}{7,11,13,19}［法一："={2,3,5,7,11,13,17,19},如圖，

所以M={3,5,11,13},N={7,11,13,19）.

法二：因為〃n（「網(wǎng)={3,5},

所以3@必5G〃且3生兒50

又因為Q勵HN={7,19},

所以7G兒19GN且74M,19由K

又因為（［勵0（「m={2,17}.

所以「〃（如的={2,17},

所以4{3,5,H,13},N={7,11,13,19}.］

15.設(shè)全集〃=R,集合N={x|xW—2或x25},B={x\x<2}.求：

⑴［〃（NU而；

⑵記「〃（/U6）=〃，C={^|2a——a},且CC〃=C,求a的取值范圍.

［解］（1）由題意知，<={x|后一2或x》5},B={x\JT^2）,

則/U8={x|xW2或xN5},又全集〃=R,則={x|2〈x〈5}.

（2）由⑴得〃={x|2〈x<5},由得走〃

①當(dāng)。=0時，有一a〈2a—3,解得a〉l；

f2a—3W—a,

②當(dāng)今0時，有｛2a—3>2,

L一水5,

解得a@0.

綜上，a的取值范圍為{a|a〉l}.

6.充分條件與必要條件

一、選擇題

1.已知集合[={1,a},^={1,2,3},則“a=3”是“NG夕的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

A匚3={1,a},8={1,2,3},AQB,且aWl,，a=2或3,:“a

=3”是“￡B”的充分不必要條件.]

2.“第一4x—5=0”是“x=5”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

B[由f—4x—5=0得x=5或x=—1,則當(dāng)x=5時，*,一以一5=0成立，

但第一4才一5=0時，x=5不一定成立，故選B.]

3.下列條件中，是/〈4的必要不充分條件的是（）

A.-2WJ<2B.-2<x<0

C.0〈后2D.1<K3

A[由*〈4得一2〈x〈2,必要不充分條件的x的范圍真包含{x1—2<x<2},故

選A.]

4.“|x|=|y1"是“x=y”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B[若x=l,y=—1,貝=但xWy；而x=g|x|=|y|,故選B.]

5.a<0,水0的一個必要條件為()

A.a+/KOB.a—力〉0

A[a+伙0=KO,而a〈0,沃Ona+/?〈0.故選A.]

二、填空題

6.已知△力8C,△48K,兩三角形對應(yīng)角相等是△力比絲△48K的

條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

必要不充分[由兩三角形對應(yīng)角相等反之由

△A8慮/A=NA1,/B=/艮,ZC=ZCi.]

7.已知a,6是實數(shù)，則“a〉O且6〉0”是“a+力0且a力0”的條件.

充要[因為a〉0,b>0,所以a+力0,ab>0,

所以充分性成立；因為劭〉0,所以a與，同號，又a+力0,所以a>0且力0,

所以必要性成立.故“a〉0且力0”是“a+力0且劭〉0”的充要條件.]

8.條件0：1—x(0,條件g：x>a,若夕是g的充分條件，則a的取值范圍是

{a|aWl}[p：x〉l,若p是g的充分條件，則png,即夕對應(yīng)集合是g對應(yīng)

集合的子集，故aWL]

三、解答題

9.指出下列各組命題中，0是g的什么條件：

(1)在△48。中，p：A>B,q：BOAC；

(2)p：a=3,q：(a+2)(a—3)=0；

(3)p：a(b,q：%〈1.

［解］在(1)中，由大角對大邊，且給8知比>47,反之也正確，所以夕是q

的充要條件；

在(2)中，若a=3,則(a+2)(a—3)=0,但(a+2)(a—3)=0不一定a=3,

所以。是q的充分條件但不