高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”教學(xué)研究

專題講座

高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”教學(xué)研究

李梁北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，它是描述變量之間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.

本專題內(nèi)容由四部分構(gòu)成：關(guān)于函數(shù)內(nèi)容的深層理解；函數(shù)概念與性質(zhì)的教學(xué)建議；

學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯誤分析與解決策略；學(xué)生學(xué)習(xí)目標檢測分析.

研究函數(shù)問題通常有兩條主線：一是對函數(shù)性質(zhì)作一般性的研究，二是研究幾種具體

的基本初等函數(shù)——二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù).研究函數(shù)的問題主要圍繞以

下幾個方面：函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的有關(guān)應(yīng)用等.

一、關(guān)于函數(shù)內(nèi)容的深層理解

（-）函數(shù)概念的發(fā)展史簡述

數(shù)學(xué)史角度：早期函數(shù)概念（Descartes,1596—1650引入坐標系創(chuàng)立解析兒

何，已經(jīng)關(guān)注到一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系）［幾何角度］;Newton,1642—

1727,用數(shù)流來定義流量（fluxion）的變化率，用以表示變量間的關(guān)系；Leibniz,1646

—1716引入常量、變量、參變量等概念；Euler引入函數(shù)符號/（外，并稱變量的函數(shù)是?

個解析表達式［代數(shù)角度］：Dirichlet,1805—1859提出/=是工與?’之間的一種對

應(yīng)的觀點［對應(yīng)關(guān)系角度］;Hausdorff在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數(shù)［集合論

角度］.

Dirichlet：認為怎樣去建立工與產(chǎn)之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：

“對于在某區(qū)間上的每一個確定的*值，?：都有一個確定的值，那么學(xué)叫做工的函數(shù).”這

種函數(shù)的定義，避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡明精確（經(jīng)典函數(shù)定

義）.

Veblen,1880—1960用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概

念，把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的限制，變

量可以是數(shù)，也可以是其它對象.

（二）初高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系

1.初中函數(shù)概念：

設(shè)在某個變化過程中有兩個變量兒，，如果對于工在某個范圍內(nèi)的每一個值，；,都有

唯一的值與它對應(yīng)，我們就說了是工的函數(shù)，M叫自變量，：?叫工的函數(shù).

2.高中函數(shù)概念：

（1）設(shè)46是兩個非空集合，如果按照某種對應(yīng)法則￡對4中的任意一個元素必

在6中有一個且僅有一個元素y與x對應(yīng),則稱『是集合/到集合8的映射.記作,

其中H叫原象，?,叫象.

（2）設(shè)集合力是一個非空的數(shù)集，對月中的任意數(shù)x,按照確定的法則￡都有唯一

確定的數(shù)y與它對應(yīng)，則這種映射叫做集合4上的一個函數(shù).記作"=

其中x叫做自變量，自變量取值的范圍（數(shù)集4）叫做這個函數(shù)的定義域.所有函數(shù)值

構(gòu)成的集合叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域由定義域與對應(yīng)法則完

全確定.

（3）函數(shù)是一種特殊的映射.其定義域和值域都是非空的數(shù)集，值域中的每一個元素

都有原象.

構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義城，值域和對應(yīng)法則，其中定義域和對應(yīng)法則是核心.

（三）函數(shù)在整個數(shù)學(xué)知識體系中的地位及作用

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的基本概念之一，其核心內(nèi)涵為從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射；

函數(shù)思想也是整個高中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)思想之一，而函數(shù)概念是函數(shù)思想的基礎(chǔ)；它不僅

對前面學(xué)習(xí)的集合知識做了鞏固和發(fā)展，而且它是學(xué)好后繼知識的基礎(chǔ)和工具；函數(shù)與方程、

不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的聯(lián)系也非常密切；函數(shù)的基礎(chǔ)知識在現(xiàn)

實生活、社會、經(jīng)濟及其它學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用；函數(shù)概念及其反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法已廣泛

滲透到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，是進?步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).

（四）函數(shù)的概念與性質(zhì)結(jié)構(gòu)框圖

但本初等

、函數(shù)I,

指數(shù)與指付數(shù)與對|rTTT

、數(shù)函數(shù),liikJ〔賽函數(shù)

指數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)對數(shù)函數(shù)

賽的麻的對數(shù)對數(shù)

【概念JI運算JI概念JI運算J

（五）函數(shù)的概念與性質(zhì)教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點：

i.函數(shù)的概念

2.函數(shù)的基本性質(zhì)

3.基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)

教學(xué)難點：

1.函數(shù)概念的理解

2.對函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性實質(zhì)的把握

3.運用基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡單問題

二、函數(shù)概念與性質(zhì)的教學(xué)建議：

(-)如何深入把握函數(shù)的概念？

1.映射與函數(shù)的教學(xué)建議：

教學(xué)中，由于映射與函數(shù)的概念比較抽象，不易把握，故本部分內(nèi)容宜采用教師引導(dǎo),

師生共同研討的方式來學(xué)習(xí).

在教學(xué)中，教師可以類似舉如下的例子進行剖析：

例1：設(shè)集合工和三都是自然數(shù)集合H.映射把集合三中的元素H映射到

集合三中的元素2*+*,則在映射了作用下，2的象是——；20的原象是________.

分析：由已知，在映射『作用下工的象為21r+

所以，2的象是2’+2=6；

設(shè)象20的原象為工，則工的象為20,即獷十工二題.

由于*wN,肥+乂隨著工的增大而增大，又2<+4=20,所以20的原象是4.

這個例子要求學(xué)生理解映射的意義，對于給出對應(yīng)關(guān)系的映射會求映射中指定元素的

象與原象.能夠有效判別學(xué)生對映射、象、原象這些概念的把握程度.同時，題目中兼顧對

于函數(shù)>=署+*性質(zhì)的探究，具有一定的綜合程度.

2.函數(shù)的定義域問題：

確定函數(shù)的定義域是研究函數(shù)問題的先決條件，因此對于?個函數(shù)問題，首先要明確

自變量的取值集合.教學(xué)中，教師可通過類似下述問題明確求函數(shù)定義域的幾類常見問題：

例2：求下列函數(shù)的定義域:

i

(2)迎+2*-3；

(4)

解：⑴由kT-lNQ,得l*T|Nl,所以祈一INI或x-K-1,所以xN2或

所以，所求函數(shù)的定義域為（Mk'2或xM3.

（2）由，+2x-3＞0得，”1或XV-3.

所以，所求函數(shù)的定義域為口卜＞〔或*＜一等.

3-x＞0,

■xW。.

⑶由?得XV?,且XW。，

所以，所求函數(shù)的定義域為（*卜＜3.且**Q.**D

（4）由［「一目一？，。.得|］2—即,所以-1g*MLflx#D

所以，所求函數(shù)定義域為［xkKxM1?且*#8.

例3：如圖，用長為1的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形的底邊長

為二；求此框架圍成的面積；與丫的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域.

解:根據(jù)題意，AB=2X.

S弧長為xr,所以一2

4-2x-nx1

/=2x-------——+-2=-(2+圖/+a

所以，222

根據(jù)問題的實際意義.M>°戶>°

x>0,

l—2x—1tKc—I

——-——>0,0<x<------

解2得2+n.

Llo<才<-L_]

所以，所求函數(shù)定義域為LI2+可.

上述求函數(shù)定義域問題涵蓋了確定函數(shù)定義域的兩種類型問題.

（1）給出函數(shù)解析式求定義域（如例2）,這類問題就是求使解析式有意義的自變量

的取值范圍.正確的解不等式或不等式組在解決這類問題中是重要的.

中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的對變量有限制的運算法則有:

①分式中分母不為零;

②偶次方根下被開方數(shù)非負;

③零次幕的底數(shù)要求不為零;

④對數(shù)中的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

⑤，…*,則2

（2）在實際問題中求函數(shù)的定義域（如例3）.在這類問題中除了考慮解析式對自變

量的限制，還應(yīng)考慮實際問題對自變量的限制.

另外，在處理函數(shù)問題時要有一種隨時關(guān)注定義域的意識，這是極其重要的.比如在研

究函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值等問題時.，首先要考慮的就是函數(shù)的定義域.

3.函數(shù)的對應(yīng)法則問題:

確定函數(shù)的對應(yīng)法則（即求函數(shù)的解析式）是有關(guān)函數(shù)概念中的重要問題，教學(xué)中教

師可以設(shè)置如下相關(guān)題組，和學(xué)生共同解決.

例4：⑴已知⑺1--，求的解析式；

（2）已知rr,求/◎的值；

（3）如果為二次函數(shù)，才8>=2,并且當(dāng)、=:時，JXO取得最小值一L求」

的解析式；

（4）已知函數(shù)了=/（力與函數(shù)￥=/口）=/的圖象關(guān)于直線r=:對稱，求加）的

解析式.

分析：（1）求函數(shù)人力的解析式，從映射的角度看就是求對應(yīng)法則，于是，我們一

般有下面兩種方法解決（1）這樣的問題.

方法一：I”.通過這樣“湊型”的方法，我們可以明確看到

/W=/“

法則『是“原象對應(yīng)于原象除以原象的平方減1”.所以，r-i

“然之K〃力上

方法二：設(shè)X，則，.則廣，所以''1-1

這樣，通過“換元”的方法也可以明確看到法則是什么.

/("9=":(吧T所以加)"-2,

（2）用“湊型”的方法,

/(3)=7

（3）因為/G）為二次函數(shù)，并且當(dāng)時，/（K）取得最小值一1,

所以，可設(shè)/3=a（x-D'T,

又/（TO=2,所以。（p-/-l=2,所以0=3.

/Cx）=X*-DJ-1=3?-6x4-2

（4）這個問題相當(dāng)于已知,（"）的圖象滿足一定的條件，進而求函數(shù)強的解析式.所

以，可以類比解析幾何中求軌跡方程的方法求施的解析式.

設(shè)的圖象上任意一點坐標為我.中,則F關(guān)于■=1對稱點的坐標為

圖一3）,由己知，點。在函數(shù)了=鼠＞）的圖象上，

所以，點0的坐標Q-3）滿足￥=收）的解析式，即廣或一加戶*,

所以，=

由于已知條件的不同，求函數(shù)的解析式的常見方法有像（1）（2）所用到的“湊形”

及“換元”的方法；有像（3）所用到的待定系數(shù)法；也有像（4）所用到的解析法.

值得注意的是（4）中所用的解析法.在求函數(shù)解析式或求曲線的軌跡方程時都可以用

這種方法，是一種通法.同時也表明函數(shù)和它的圖象與曲線和它的方程之間有必然的取系.

（二）教學(xué)中如何突出函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)？

函數(shù)的性質(zhì)主要包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性等，側(cè)重點在于理解與

函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的概念，掌握有關(guān)判斷、證明的基本方法以及簡單的應(yīng)用.這部分內(nèi)容常用到

數(shù)形結(jié)合的思想方法.

1.關(guān)于基本概念的理解：

（1）設(shè)函數(shù)的定義域為二，如果對于二內(nèi)的任意一個都有一xeZ）,

且/（-m）=VW,則這個函數(shù)叫做奇函數(shù).

設(shè)函數(shù)產(chǎn)=爪力的定義域為二，如果對于二內(nèi)任意一個*,都有一*eZ）,且

g（-*）=g（Z,則這個函數(shù)叫做偶函數(shù).

山奇函數(shù)定義可知，對于奇函數(shù)點孔4,（力）與點尸?一」1冷）都在其

圖象上.又點F與點F關(guān)于原點對稱，我們可以得到：

奇函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；通過同樣的分析可以得到,

偶函數(shù)的圖象是以；'軸為對稱軸的軸對稱圖形.

(2)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為三，區(qū)間如果取區(qū)間M中的任意

兩個值馬，鼻，改變量.=叼-。＞°,則

當(dāng)Ar=/G)-/(砧＞0時，就稱函數(shù)，=/8在區(qū)間“上是增函數(shù)；

當(dāng)＜°時，就稱函數(shù)尸=/(*)在區(qū)間M上是減函數(shù).

如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間“上

具有單調(diào)性，區(qū)間”稱為單調(diào)區(qū)間.

在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.

(3)一般地，對于函數(shù)/㈤，如果存在一個不為零的常數(shù)：F,使得當(dāng)工取定義域中

的每一個值時，/3+工?=/3)都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的

常數(shù)「叫做這個函數(shù)的周期.

(4)一般地，對于函數(shù)J&),如果存在一個不為零的常數(shù)金，使得當(dāng)工取定義域中

的每一個值時，都成立，則函數(shù)，的圖象關(guān)于直線需=0對稱.

這四個概念都比較抽象，建議講述相關(guān)概念時采用數(shù)形結(jié)合的手段，不斷揭示概念的

幾何背景，進而完善學(xué)生對概念的認識.

2.關(guān)于函數(shù)的奇偶性問題:

對于函數(shù)的奇偶性，要求學(xué)生會判斷及簡單應(yīng)用.教學(xué)中可給出如F題組:

例1:判斷下列函數(shù)的奇偶性.

⑴如昌⑵如包

(3)/W=^-3|z|;

y-1

⑸片"

(4)

(1)解不？之°,得到函數(shù)的定義域為{”卜或M"°},關(guān)于原點不對稱,

解:

所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

(2)函數(shù)的定義域為3cs，但是，由于/0)=2,/(-1)=0

所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

(3)函數(shù)的定義域為R,又(-xj*-3|-x卜/-3匕=

所以此函數(shù)為偶函數(shù).

⑷解1一X，得一

/(F=W魯W=18==一收產(chǎn)=一/(可

又14-X1-K,

所以此函數(shù)為奇函數(shù).

〃、KT1-2,

=-=-------=—/(J)

(5)函數(shù)的定義域為R,又2"*+11+2*,

所以此函數(shù)為奇函數(shù).

通過本例及函數(shù)奇偶性的定義，進一步可以得到下面幾個結(jié)論：

①一個函數(shù)是奇(或偶)函數(shù)的必要不充分條件是定義域關(guān)于原點對稱;

②力工)是奇函數(shù)，并且/⑸在*時有定義，則必有/e)=°；

③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，其解析式一定為，口)=°,等.

判定函數(shù)奇偶性按照其定義可以分為兩個步驟：

①判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；

②考察/(-X)與的關(guān)系.

山此，若以奇偶性為標準可以把函數(shù)分為奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇又偶函數(shù)和非奇非偶

函數(shù)四類.

例2：已知/（*）為奇函數(shù)，當(dāng)x之。時，/（外=/-2?,

⑴求」（-D的值；

（2）當(dāng)XV。時，求/（工）的解析式.

解:⑴因為了㈤為奇函數(shù)，所以，

（2）方法一：當(dāng)x<Q時,-*>0.

所以，/（/）=一/（一電=~（（一*）'-2（-切=一--2K

方法二:設(shè)（“,）是，（?在X<0時圖象上一點,則（-*?一>）-定在，（外在K>0時

的圖象上.

所以，-2（t）>="_2x

上述三個例子分別從具體函數(shù)、抽象函數(shù)、以及奇偶性的應(yīng)用上加深對概念的理解.

3.關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性問題：

3：用函數(shù)單調(diào)性定義證明，函數(shù),=4+54+<?（，>°）在區(qū)間

例KE上為

增函數(shù).

證明:設(shè)廂詞唉0a<3

/（嗎）-/（g）=C?aa4-**a+<）—（父+'+<）=儀巧’一.方+*（馬一始

=?嗎+、（嗎一q）+A（馬=（馬_,）［4,+.）+可

又因為。打°）

因為巧，所以?_/>。，

所以a&+~）+A>°

所以

函數(shù)，=0?+及+4”0）在區(qū)間（石8）上為增函數(shù).

例4：設(shè)＞G）是定義域為（f°）U＜P.+8）的奇函數(shù)，且它在區(qū)間（―8上是減函數(shù).

（1）試比較/H）與一/O的大小；

⑵若MWVO,且求證：/0?）+/（?）＞O

解：（1）因為J8是奇函數(shù)，所以一

又/（外在區(qū)間（Y°,3上是減函數(shù)，所以，（一等〉，《2!）,即

（2）因為刖（0,所以孫涯異號，不妨設(shè)皿

因為*+，＜0,所以,＜一,

因為，r?c（-co.8,岸＜F,在區(qū)間（ro.（D上是減函數(shù)，

所以/⑷＞/（7,

因為/㈤是奇函數(shù)，所以=-/（*?）,

所以/?）＞二/3d,即+/G?）＞0.

總之，函數(shù)的單調(diào)性是我們研究的極為重要的函數(shù)性質(zhì)，其與其它問題的聯(lián)系、自身

的應(yīng)用都很廣泛，在教學(xué)中要予以充分注意.

（三）怎樣有效提升學(xué)生對基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的把握？

基本初等函數(shù)包括：二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和基函數(shù).

函數(shù)的圖象上直觀地反映著函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)習(xí)函數(shù)的“捷徑”是熟知函數(shù)的圖象.熟

知函數(shù)圖象包括三個方面：作圖，讀圖，用圖.

掌握初等函數(shù)般包括以下一些內(nèi)容：首先是函數(shù)的定義，之后是函數(shù)的圖象和性質(zhì).

函數(shù)的性質(zhì)一般包括定義域，值域，圖象特征，單調(diào)性，奇偶性，周期性，零點、最值以及

值的變化特點等，研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的時候應(yīng)全面考慮.

函數(shù)的定義(通常情況下是解析式)決定著函數(shù)的性質(zhì)，我們可以通過解析式研究函數(shù)

的性質(zhì)，也可以通過解析式畫出函數(shù)的圖象，進而直觀的發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).

1.關(guān)于二次函數(shù)的處理：

對于二次函數(shù)，初中已有研究，但高中階段處理二次函數(shù)的視角又和初中有所不同.

例如：設(shè)：是實數(shù)，證明關(guān)于工的方程=°有兩個不相等的實數(shù)

解.(初中、高中的不同處理方法)

教學(xué)中可以參考如下的題目：

例1：(1)如果二次函數(shù)，口)=/+(,+為*+5在區(qū)間0上是增函數(shù)，則3

的取值范圍是.

(2)二次函數(shù)了=/-4*+。-3的最大值恒為負，則)的取值范圍是.

(3)函數(shù)—+3*+<:對于任意￡€11均有，0+。=/(2-。，則

的大小關(guān)系是.

解：(1)由于此拋物線開口向上，且在?2上是增函數(shù)，

__a+2

畫簡圖可知此拋物線對稱軸“2~~或與直線*=2重合，或位于直線工=2的左

側(cè)，

于是有2,解之得。之-6.

(2)分析二次函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)最大值恒為負的充要條件是“二次項系數(shù)4<0,

且判別式A<0,

卜v0.

即l16-4a(<i—3)<0,解得。一。

(3)因為對于任意均有/Q+O=/(2一°,所以拋物線對稱軸為x=2.

又拋物線開口向上，做出函數(shù)圖象簡圖可得了②<70)<八％.

例2、已知二次函數(shù)/Q）的對稱軸為1=1,且圖象在；軸上的截距為-3,被工軸截

得的線段長為；，求的解析式.

解：解法一：設(shè),

由/（切的對稱軸為1=：,可得分=—2?；

由圖象在了軸上的截距為一3,可得：=一，

由圖象被工軸截得的線段長為A,可得“=-1J=3均為方程a/+Ax+c=0的根.

所以/（-D=0,即0_.+6=0,所以0=1.

/（x）=?-2x-3

解法二：因為圖象被工軸截得的線段長為:，可得x=-Lx=3均為方程f（x）=0的

根.

所以，設(shè)/g=。（*+域《-習(xí)，

又,5）圖象在了軸上的截距為-3,即函數(shù)圖象過（&-3點.

即一&i=_3.a=l,所以。f（幻=/_2x_3

二次函數(shù)是非常常見的一種函數(shù)模型，在高中數(shù)學(xué)中地位很重.

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

一般式＞=—+6+。：頂點式"或一引+*,其中&*）為頂點坐標；

雙根式A=砧O'-”,其中玉?、為函數(shù)圖象與工軸交點的橫坐標，即二次函

數(shù)所對應(yīng)的一元二次方程的兩個根.

例1、2兩個題目充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想及運動變化思想的運用.這兩種數(shù)學(xué)思想在

函數(shù)問題的解決中被普遍使用.

2.關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的處理：

這三種基本初等函數(shù)是在研究一般函數(shù)基礎(chǔ)上的重要模型，教學(xué)中建議采用如下問題

突出相關(guān)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.

例3、比較下列各小題中各數(shù)的大小:

⑴0.嘰0嚴⑵喝°6°,峪4；⑶lg2與&(7-*

(4)。，與白”⑸萬與膽；⑹(J>3>1<€,2

分析：⑴,??，=8是減函數(shù)，二0-^<。.嚴.

(2)函數(shù)/nl08]*在區(qū)間(0,+?)上是增函數(shù)，所以

—10sMT>I=0

函數(shù)Vlog”XT在區(qū)間(o,+8)上是減函數(shù)，所以2,

所以1。&“6<0<1%

(3)由/--"(T)號)所以但吐"3)

(4)利用幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性.。?產(chǎn)>0.2廠>0.爐5

因為何=上阿=9

.根據(jù)不等式的性質(zhì)有點〈我.

(5)

8

(6)因為227,所以鐘嗚3%

比較1與電2,只需比較1嗚多與】明2,

因為y=匕8$*是增函數(shù)，所以只需比較于與2的大小,

yJ,

g]^(3)=9>8=2>所以方>2,所以3>1°fe2,

Jj2

綜上母>3>,<?52

例4：已知a>2A>2,比較大④的大小.

分析：方法一(作商比較法)

a+bItI2<11<1

abah,又。>2??>2所以

a+b<[

所以ab,所以a+Ava6.

方法二(作差比較法)

a￥b-ab=-(?a+3-2ofr)=-同+(26-徹=&2-A)+妙-<>)1

2

因為。>2>>2,所以2-。〈0.2-合<0,

所以即6+?<a6.

方法三(構(gòu)造函數(shù))

令,=/(。)=o+6-M=(I-Hia+*,將y看作是關(guān)于武的一次函數(shù)，

因為1-AvO,所以此函數(shù)為減函數(shù)，又,eQ/H。)，

9〈/⑵=O-A)x2+A=2-Av0

所以即a+A<?.

兩個數(shù)比較大小的基本思路：

如果直接比較，可以考慮用比較法(包括“作差比較”與“作商比較”，如例4的方

法一與方法二)，或者利用函數(shù)的單調(diào)性來比較(如例3(1)(2)(3),例4的方法三).

如果用間接的方法可以嘗試對要比較的兩數(shù)進行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成對另兩個數(shù)的比

較，也可以考慮借助中間量來比較(如例3(4)(5)(6)).

三、學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯誤分析與解決策略

例1:下列四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（）

（A）〉=G,P=（防（B）/=M，=F

_?-1=?

（C）,"VTZ=x4-1（D）z=?,，=7

易錯點：①定義域；②對應(yīng)法則；③函數(shù)的概念.

錯因分析：①忽視函數(shù)的定義域；②不清楚函數(shù)概念的實質(zhì)，如（B）中表示自變量

的字母不同，就誤認為不會是同一個函數(shù).

解題策略：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，就是要看兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則是

否完全相同.

一般有兩個步驟：（1）在不對解析式進行變形的情況下求定義域，看定義域是否一致.

（2）對解析式進行合理變形的情況下，看對應(yīng)法則是否致.

分析：（A）（C）（D）中兩個函數(shù)的定義域均不同，所以不是同一函數(shù).（B）中兩個

函數(shù)的定義域相同，化簡后為及對應(yīng)法則也相同，所以選（B）.

這個例子可以有效檢測學(xué)生對函數(shù)概念的把握，同時突出映射與函數(shù)概念的聯(lián)系.

例2：已知函數(shù)的定義域為（QD,求函數(shù)/G+D及/X）的定義域.

易錯點：①對應(yīng)法則定義域；②定義域的概念.

錯因分析：①對對應(yīng)法則的符號不理解；②不清楚定義域的含義.

解題策略：此題的題設(shè)條件中未給出函數(shù)/&）的解析式，這就要求我們根據(jù)函數(shù)三要

素之間的相互制約關(guān)系明確兩件事情：①定義域是指H的取值范圍；②受對應(yīng)法則:制約

的量的取值范圍在“已知”和“求”當(dāng)中是一致的.那么由的定義域是3D可知法

則,制約的量的取值范圍是而在函數(shù)/G+D中，受/直接制約的是而定義

域是指國的范圍，因此通過解不等式得＜0,即的定義域是

,同理可得的定義域為口卜〔＜*＜1且.

例3：設(shè)函數(shù)7口）在R上有定義，/口）的值不恒為零，對于任意的AACR,恒有

=成立，則函數(shù)八*的奇偶性為

易錯點：①抽象函數(shù)；②對“恒成立”的理解.

錯因分析：①抽象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)；②對“恒成立”的理解不清晰，不能將其轉(zhuǎn)化

為所需求的結(jié)構(gòu).

解題策略：關(guān)于對抽象函數(shù)“/口+7）=/口）+,8”的使用一般有以下兩個思路:

令小廠為某些特殊的值，如本題解法中，令*=，=0得到了當(dāng)然，如果令

*=尸=1則可以得到/（2）="（0,等等.

令不獷具有某種特殊的關(guān)系，如本題解法中，令尸=-*.得到/Q力=2，（?,在某

=』=

些情況下也可令‘-X”一，等等.

總之，函數(shù)方程的使用比較靈活，要根據(jù)具體情況作適當(dāng)處理.在不是很熟悉的時候，

要有試一試看的勇氣.

解：令*=/=0,則=所以*?J",

再令了=_*,則/8）=/?）+/（-切，所以/「乃二一才口），又,口）的值不恒為

零，故」（*）是奇函數(shù)而非偶函數(shù).

例4：已知函數(shù)是定義域為R的單調(diào)增函數(shù).

（1）比較“'+4與/2）的大?。?/p>

⑵若/◎'）＞/（?+?求實數(shù)二的取值范圍.

易錯點：①函數(shù)概念；②增函數(shù).

錯因分析：①對函數(shù)概念中的對應(yīng)法則的理解不清楚；②沒有理解增函數(shù)概念的實

質(zhì)，不會將其應(yīng)用于解決問題.

解題策略：回顧單調(diào)增函數(shù)的定義，在看,三為區(qū)間任意兩個值的前提下，有三個重

要的問題：依=馬-勺的符號；（=/（%）一/。0的符號；函數(shù)/=/（外在區(qū)間上是增

還是減.

由定義可知：對于任取的瑪若■＞《，目/區(qū)）＞」（■）,則函數(shù)尸=/口）在

區(qū)間上是增函數(shù)；

不僅如此，若瑪〉藥，且函數(shù)＞=加）在區(qū)間上是增函數(shù)，則/6）〉人也

若」（叫）＞/（再），且函數(shù)，=/（*）在區(qū)間上是增函數(shù)，則嗎＞巧；

于是，我們可以清晰地看到，函數(shù)的單調(diào)性與不等式有著自然的聯(lián)系，請結(jié)合例4加

以體會.

解：⑴因為。'+2-囪=（4-/+1＞0,所以一+2＞孫

由已知，是單調(diào)增函數(shù)，所以+

（2）因為是單調(diào)增函數(shù)，且，所以

解得。＞3或。＜-2

四、學(xué)生學(xué)習(xí)目標檢測分析

（-）課程標準中的相關(guān)要求

1.函數(shù)

①通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此

基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解

構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念。

②在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ?，圖像法、列表法、解析法）

表示函數(shù)。

③通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用。

④通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋬汉我?/p>

義；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義。

⑤學(xué)會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。

2.指數(shù)函數(shù)

①通過具體實例（如，細胞的分裂，考古中所用的"C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量

的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景。

②理解有理指數(shù)基的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)募的意義，掌握暴的運算。

③理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探

索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。

④在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。

3.對數(shù)函數(shù)

①理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將?般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常

用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對筒化運算的作用。

②通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概

念，體會對數(shù)函數(shù)是類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像,

探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。

③知道指數(shù)函數(shù)尸a"與對數(shù)函數(shù)片log”x互為反函數(shù)。（a>0,a#l）4.黑函數(shù)

11

通過實例，了解幕函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)支4y=x,廣工,y二E的圖像，了

解它們的變化情況。

（-）高考考試內(nèi)容與要求

1.函數(shù)

①了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求?些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.

②在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表法、解析法）

表示函數(shù).

③了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

④理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性

的含義.

⑤會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

2.指數(shù)函數(shù)

①了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.

②理解有理指數(shù)募的含義，了解實數(shù)指數(shù)基的意義，掌握幕的運算.

③理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖像通過的特殊點.

④知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

3.對數(shù)函數(shù)

①理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常

用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.

②理解對數(shù)函數(shù)的概念；理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖像通過的特殊點.

③知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；

④了解指數(shù)函數(shù),=二與對數(shù)函數(shù)了=1唱x互為反函數(shù).

（三）兩個典型高考題目剖析：

例1（2010年全國卷理8）已知函數(shù)，（外=1/*1.若0<“<瓦且，[4）=/◎）,

則a+2A的取值范圍是（）

（A）Q悔.⑻12依3（OCVKO）⑻[3.4<?）

分析：本題的知識涉及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)

性，不等式中的均值定理等內(nèi)容；涉及到數(shù)形結(jié)合與等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性.

思路-：因為即11g。1=1收川，所以1a=士值，

因為函數(shù)，=3*在2）上單調(diào)遞增，由融“=m》,得,=?,不合題意；山

ig?=-igz?得**=￡

又因為（1<,<，，所以ae（0.D,月DcCLwo）.

從而A,其中

令"-*2,則一戶，當(dāng)Be。，4c°）時所以函數(shù)區(qū)在

區(qū)間1中功上單調(diào)遞增.由此可知，?（*）＞?（0=3故。+2b的取值范圍是（3.卡。），正

確選項是（C）.

思路二：函數(shù)/的圖象如右圖所示.因為

0＜?＜*,且/?=/◎,從而有且3e（1.4?＞）

以下同解法一.

本題頗有些“綿里藏針”，如果未注意到的隱含

d+M=26+F之2/

條件，而直接利用均值定理，A,從而得出的選A或B的錯誤結(jié)論.本

題對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查的深刻性與靈活性可見一斑.

例2（2010年北京卷文14）如圖放置的邊長為1的正方形

4加沿工軸滾動，設(shè)頂點代工?

的縱坐標與橫坐標的函數(shù)關(guān)系是＞=,則，（外的最小

正周期為」了=/（力在其兩個相鄰零

點間的圖象與工軸所圍成區(qū)域的面積為

說明：“正方形月但沿工軸滾動”包括沿工軸正方向和沿工軸負方向滾動.沿工軸

正方向滾動指的是先以頂點云為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點三落在工軸上時，再以頂點三為

中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù).類似地，正方形衛(wèi)3呵以沿工軸負方向滾動.

分析：不難想象，從某一個頂點（比如上）落在工軸上的時候開始計算，倒下一次占點

落在戈軸上，在倒下一次三點落在工軸上，….這個過程中四個頂點依次落在了工軸上，而

每兩個頂點間距離為正方形的邊

長1,因此該函數(shù)的周期為■；.

下面考察F點的運動軌跡，

不妨考察正方形向右滾動，F(xiàn)點從

原點開始運動的時候,首先是以三

點為圓心，1為半徑作圓周運動

￡

（A圓?。划?dāng)三點落在工軸上

后，再以三點為圓心，虛為半徑

作圓周運動（，圓?。划?dāng)L點落在士軸上后，再以L點為圓心，】為半徑作圓周運動（：

圓?。蛔罱K當(dāng)F點落在工軸上后，以點F為圓心作圓，F(xiàn)點在上軸上保持不動，因此

>=/（*）在其兩個相鄰零點間的圖象如下：

所以，了=/（外在其兩個相鄰零點間的圖象與工軸所圍成區(qū)域的面積為*+1.

數(shù)與形的運動變化是近幾年數(shù)學(xué)高考的熱點問題，如何認識和刻畫圖形的運動，并揭

示相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，是分析和解決這類問題的兩個關(guān)鍵點.

互動對話

【參與人員】

黃煒：北京八中

陳龍清：北京師大二附中

李梁：北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院

【互動話題】

1.初中已經(jīng)有函數(shù)概念了，在高中階段為什么重新加以定義？

主要內(nèi)容：教師將結(jié)合具體教學(xué)案例，對高中函數(shù)概念的建立以及初、高中函數(shù)概念

的區(qū)別與聯(lián)系，對教師的教學(xué)提供合理化建議。

2.反函數(shù)的要求變化后怎樣處理這部分教學(xué)？

主要內(nèi)容：《課程標準》削弱了反函數(shù)的概念，只要求知道指數(shù)函數(shù)尸=/與對數(shù)函

數(shù),=匕&"（a〉。，dWl）互為反函數(shù)，不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義，也不要

求求己知函數(shù)的反函數(shù)。教師介紹教學(xué)實踐中的經(jīng)驗，以及一些靈活處理。

3.耗函數(shù)的教學(xué)實踐

主要內(nèi)容：《課程標準》要求結(jié)合函數(shù)＞=Xh=的圖象，

了解幕函數(shù)的變化情況。由于幕函數(shù)圖象的復(fù)雜性，這一具體要求如何在課堂教學(xué)中加以落

實？話題3將圍繞教學(xué)中的靈活處理給教師一些參考意見。（二附中陳龍清案例）

話題4:函數(shù)的單調(diào)性是教學(xué)難點，新課程背景下如何實現(xiàn)突破？

主要內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用是教學(xué)難點，教學(xué)過程中如何把握其本質(zhì)特征，掌

握好這一核心性質(zhì)，本話題將通過一個教學(xué)案例加以分析，為教師提供教學(xué)建議.

案例評析

【案例信息】

案例名稱：《嘉函數(shù)》

授課教師：陳龍清（北京師大二附中）

評課教師：李梁（北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院）

【課堂實錄】

【案例評析】

一、總體構(gòu)思：

本節(jié)課內(nèi)容選自人教B版必修1第三章第3.3節(jié).《課程標準》中對本部分內(nèi)容的要

y=xjy=j?y=—

求是：了解基函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)‘X’的圖象，了解它

們的變化情況.本節(jié)課注重在函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，滲透科學(xué)

的研究問題的方法（研究函數(shù)性質(zhì)與圖象的一般方法），努力使學(xué)生由“學(xué)會”向“會學(xué)”

轉(zhuǎn)變.同時借助信息技術(shù)（圖形計算器）輔助學(xué)生探究，幫助學(xué)生揭示規(guī)律.這與新課標倡

導(dǎo)“積極主動、勇于探索”的學(xué)習(xí)方式，注重提高數(shù)學(xué)思維能力，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程

的整合等精神相吻合.

此外，課堂上注重體現(xiàn)以人為本的原則，結(jié)合學(xué)生的能力基礎(chǔ)（建構(gòu)理論）、結(jié)合教

材的特點（難易度），在教師引導(dǎo)的基礎(chǔ)上設(shè)計了“必選”和“自選”環(huán)節(jié)，這樣既突出重

點，又照顧到不同層次的學(xué)生，對提高學(xué)生思維能力大有好處.

二、本節(jié)課的教學(xué)框架：

1、類比指數(shù)函數(shù)的概念引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納得出某函數(shù)的概念；

2、通過設(shè)問啟發(fā)學(xué)生思考如何研究一類未知的函數(shù)；

3、讓學(xué)生從熟悉的5個具體募函數(shù)出發(fā)，結(jié)合圖象來觀察、歸納嘉函數(shù)的性質(zhì)；

4、讓學(xué)生繼續(xù)取的其它數(shù)值進行研究，抓住學(xué)生展示的結(jié)果進?步歸納基函數(shù)的性

質(zhì)；

5、演示幕函數(shù)的圖象隨著事指數(shù)的變化而變化的情況，使學(xué)生對幕函數(shù)有?個整體

的認識；

6、通過例題鞏固對知識的理解與掌握，同時體驗成功的喜悅；

7、師生共同小結(jié)，歸納思想方法。

新課程倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，注重提高數(shù)學(xué)思維能力，注重信息技術(shù)

與數(shù)學(xué)課程的整合等理念在本節(jié)課中得到了比較充分的體現(xiàn).

三、本節(jié)課的主要特色：

1、敢于放手讓學(xué)生自主探究，舍得花時間.課堂上留給學(xué)生充分的時間加以探究，讓

學(xué)生動手操作、相互討論，共同研究.當(dāng)學(xué)生充分參與到教學(xué)過程中時，對知識的理解才會

達到一定的深度.

2、恰到好處地應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)：

（1）通過實物投影展示學(xué)生作品能及時反饋學(xué)生的情況：課堂上教師及時展示學(xué)生的

探究結(jié)果，及時反饋教學(xué)情況，并通過對典型錯誤的糾正使學(xué)生對于知識的理解達到一定深

度.

（2）教師演示課件雖然簡單，但正好與學(xué)生的歸納形成很好的對照，對突

破難點起到了很好的作用，同時對■學(xué)生課后繼續(xù)研究提供引導(dǎo).

3、除運用技術(shù)輔助，從圖象角度觀察歸納以外，也關(guān)注從函數(shù)解析式或函

數(shù)性質(zhì)本身進行研究，分別從形、數(shù)兩個角度加以印證，更好地揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

4、課堂上教師靈活應(yīng)變，變現(xiàn)了較好的基本素質(zhì)。在歸納的過程中，不僅

不怕學(xué)生提出問題，反而靈活地抓住這些問題展開教學(xué)，如學(xué)生提出的奇偶性問題，

教師迅速“捕捉”這一信息，注意到其普遍性，因勢利導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生集體關(guān)注，產(chǎn)生良好的

教學(xué)效果.

5、教學(xué)體現(xiàn)對不同學(xué)生的不同要求：

(1)熟悉圖象的學(xué)生自己描點畫圖，不熟悉的借助圖形計算器畫出圖象，不強求一致,

能使學(xué)生較快地觀察圖象歸納性質(zhì)，體現(xiàn)對不同學(xué)生有不同的要求.

(2)根據(jù)學(xué)生層次差異較大，設(shè)置必選環(huán)節(jié)和自選環(huán)節(jié)，調(diào)動學(xué)生的積極性，滿足不

同層次學(xué)生的需求.

思考與活動

1.請嘗試構(gòu)建函數(shù)的概念與性質(zhì)的知識結(jié)構(gòu)框圖，可參考教科書中的分章結(jié)構(gòu)圖，明

確函數(shù)的概念與性質(zhì)的結(jié)構(gòu)體系.

2.思考下述問題：已知實數(shù)如B滿足等式12/131,下列五個關(guān)系式：

①0。<4；②③0<4。；<0；⑤。=匕

其中不可能成立的關(guān)系式的序號為.

參考答案：③、④

思考：本題考查的知識點有哪些？解答本題的過程中用到哪些數(shù)學(xué)思想？用

到哪些具體方法？對于本題給出一般性的結(jié)論.

3.針對“函數(shù)的概念”這節(jié)課寫一份教學(xué)設(shè)計，并完成教學(xué)實錄.學(xué)員分組

進行教學(xué)設(shè)計的交流與反思，并對教學(xué)實錄中的各重要教學(xué)環(huán)節(jié)展開評述，重點

放在對教學(xué)目標的達成以及教學(xué)方法的選擇上.最后分別完成本節(jié)課的教學(xué)反思.

參考資料

【相關(guān)資源】

1.從單調(diào)性概念教學(xué)片段看數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的教學(xué)(PDF)

2.函數(shù)概念的發(fā)展與比較

3.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的?般理論

【參考文獻】

1.參考書目：新專題教程：集合與函數(shù)(高中數(shù)學(xué)1)陳德燕，華東師范大學(xué)出版社,

2009—4—1

2.網(wǎng)上文章：為什么“函數(shù)思想”是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一？作者：王尚志，張怡

慈文章來源：整體把握與實踐高中數(shù)學(xué)新課程

3.網(wǎng)上文章：函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2008年第2期文章

作者：羅建宇

函數(shù)概念的發(fā)展與比較

摘要：函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)重要概念之一，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)

概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開始的。本文從自17世紀下半葉到現(xiàn)在300年來函數(shù)概念的縱向歷史研究,

以及中西方兒種不同課程觀下函數(shù)概念的橫向比較入手，對函數(shù)概念的教學(xué)方面提出一些觀

點與看法。

關(guān)鍵詞：函數(shù)函數(shù)概念數(shù)學(xué)教學(xué)

函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多

數(shù)學(xué)家從集合、代數(shù)、直至對應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動了整

個數(shù)學(xué)的發(fā)展。但正是由于函數(shù)概念的抽象性與層次性，學(xué)生往往不習(xí)慣用集合、對應(yīng)的觀

點去解釋函數(shù)關(guān)系，缺乏用函數(shù)思想分析問題和解決問題的能力。本文擬通過對函數(shù)概念的

發(fā)展與比較的研究，對函數(shù)概念的教學(xué)進行一些探索。

1、函數(shù)概念的縱向發(fā)展

1.1早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)

十七世紀伽俐略(G.Galileo,意，1564—1642)在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎從頭

到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關(guān)系。1673

年前后笛卡爾(Descartes,法，1596—1650)在他的解析兒何中，已經(jīng)注意到了一個變量對

于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17

世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分

函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的。

1.2十八世紀函數(shù)概念---代數(shù)觀念下的函數(shù)

1718年約翰?貝努利(Bernoullijohann,瑞，1667—1748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基

礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了明確定義：山任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變

量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包

括代數(shù)式子和超越式子。

18世紀中葉歐拉(L.Euler,瑞，1707—1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的

函數(shù)符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和-些數(shù)即常數(shù)以任何方式組

成的解析表達式。他把約翰?貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代

數(shù)函數(shù)(只有自變量間的代數(shù)運算)和超越函數(shù)(三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)基

所表示的函數(shù))，還考慮了“隨意函數(shù)”(表示任意畫出曲線的函數(shù))，不難看出，歐拉給

出的函數(shù)定義比約翰?貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

1.3十九世紀函數(shù)概念——對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)

1822年傅里葉(Fourier,法，1768—1830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式

子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函

數(shù)的認識又推進了一