高等數(shù)學(xué)公式+知識(shí)點(diǎn)

僅含高數(shù)公式（不含線性代數(shù)和smx.2M_l-2X2du

cosxMdx=

…5,1+zJ

概率統(tǒng)計(jì)）1+,1+M'

一些初等函數(shù)

高等數(shù)學(xué)公式［全］兩個(gè)重要極限：

導(dǎo)數(shù)公式：

基本積分表：

1

(tgx)r=sec2x(arcsinx)'=

7i-x2

(ctgx\=-esc2x三角函數(shù)公式:

fi_-誘導(dǎo)公式：

(arccosx)=2

(secx)'=secx?fgx-Ti-x數(shù)

(cscx)r=-cscx-cZgx角sincostgCtg

xx(arctgxS=------7-a-sinacosa-ctga

(ay-a\na1+x-tga

90°-acosasinactgatga

(log,,X)'=(arcctgx)=-------900+acosa-sina-ctga-tga

xlnal+x180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

三角函數(shù)的有理式積分：270°-a-cosa-sinactgatga

^tgxdx=-ln|cosx|+Cdxjsec2xdx=tgx+C

cos2x

^ctgxdx=ln|sinx|+C

dx

jsecxdx=ln|secx+tgx\+Csin2x

Jsecx?tgxdx=secx+C

jcscxdx=ln|cscx-cfgx|+C

jcscx?ctgxdx=-escx+C

［axdx=-^—+C

J\na

shxdx=chx+C

chxdx=shx+C

=-ln(x+-\lx2±a2)+C

a2

nn

22

jsin"xdx=Jcos"xdx

Eln-2

00n

2_________

^x2+a2dx=3J/+〃2+—ln(x+Xx2+〃，)+C

2

__________________2

4x2-a2+C

ex-e~xsinx,

雙曲正弦：22加m——L#1萬(wàn)

—x+F=>(arc、in—FC

2a

雙曲余弦:Mx=史上

lim(l+-y=e=2.718281828459045...

2XT8X

shxex-e~x

雙曲正切：比X

chxex+e~x

arshx=ln(x+Vx2+1)

archx=±ln(x+7x2-1)

,1.1+x

arthx=—In------

2l-x

270°+a-cosasina-ctga-tga

3600-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

?和差角公式：?和

.?.Ao.a+Ba-0

sin(a±J3)=sinacos0±cosasin0sina+sin力=2sin-cos—

cos(a±尸)=cosacos干sinasin0

??oca+夕.a-(3

sina-sin夕=2cos---sin---

tg(a±p)「ga土tgB

mga.tg0cca+/?cc—B

cosa+cosp=2cos-----cos.......-

ctg(a±B)=J22

ctgp+ctgang.a+B.a—(3

cosa-cosp=2sin-sin-

差化積公式：

?倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-1=l-2sin2a=cos26/-sin2asin3a=3sina-4sin3a

1

ctg2^a-\cos3a=4cos3a-3cosa

ctgla-

2ctga3tga-t￡a

8l-3fg2a

2tga

tg2a=

Ig2a

…*b-a平面的方程：

?半角公式^________矩形法—催二(”唯族對(duì)蚣-x0)+%f)+C(z-z0)=

.a,/1-cosaaa/1+cos6z

sin—=±J-------c°s邛一赤x]2、般方程：Ax+By+Cz+D-0

2V2梯形法:[也340。+以)+x+??才y,加z

a,/1-coscr1-cosasinaa：/1+cosc/214dbs：—+—+—=1

tg—=±J-------=--------==-1-+-0-0---ctg-=±K------=--------=-------ahc

2vl+cos6zsina^拋身線沖A潴叱陰累承褊陵溫顯嬴花喀

-正弦定理："〃

，=±=-=2R?余弦定理：定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

sinAsinBsinC功：卬=八5空間直線的方程:三包=匕滋=三包=小

222

c=a+h-labcosC水壓力：F=pAmnp

mm

?反三角函數(shù)性質(zhì)：引力：F=kx1水為引燈案蜥:

2~

717Cr222

arcsinx=---arccosxarctgx----arcctgx出橢球面:=+=+==1

21

函數(shù)的平均值3\f（x）dxa-bc

b-aJ22

“2、拋物面:二+”yZ,（p,q同號(hào)）

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：2q

均方根:"⑴出3、雙曲面：。

（〃?"）=XC"T）產(chǎn)

4=0x2

:―+

=/%+n〃("T)M+Q〃_Daf"+…+cr4-4=1

2!空觸點(diǎn)的距離：公|〃媯___品___贏石叵貯些駕溫軸前）2

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：向量在軸上的投影:Pr/"43=,如co。,述A螞〃軸的夾角。

拉格朗日中值定理：%,_、_DD'

…—'=于''一(小"VJa'+?先函數(shù)微分法及應(yīng)用,,

柯西中值定理:a^b=\a\-\b\cosO=ab+ab+a力一,是豆個(gè)數(shù)毒，

F(b)-F⑷-F皤)1111xx全微分「刈=包公+”力du=^dx

當(dāng)F（x）=工時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日懶艇間的夾角:cos”弛叩占dx

全,彈鄴甲力算臟帝行用X'>1）Ar+/

曲率：多元算合總數(shù)的求導(dǎo)就

弧微分公式:dx,其中V=rga_ijk

Aa:從M點(diǎn)到M，點(diǎn)，切線c斜=率ax的b傾物變.量a膜性；

ba%%

平均曲率:K

△s&_&dudzc

Z加%），蜜,吆

dadxdudxdvc

M點(diǎn)的曲率：K=lim

As->°AsdsJ（l+y，2）向量的混合積:［而口=（立場(chǎng)）數(shù)。必），"=叫可耐斗同cosa,a為銳/

,dudaa.,4=包dx+包辦

直線：K=0;du=—axA---ydy

代表平行六面體的體積。小辦,dxdy

半徑為a的圓：K=-.

a隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:

d2y

dy_=_

定積分的近似計(jì)算:隱函數(shù)b(x,y)=O,---,

dxF,~dx^'

&_%dz_

隱函數(shù)尸(x,y,z)=O,

dx辦

J""，%%1"%后JJ/(rco第產(chǎn)^^陶積分(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)：

DD'

F(x,y,w,v)=0a(r,G)立河)

隱函數(shù)方程組:dudv?闞L的參數(shù)早程發(fā)、2,則:

t)

G(x,y,w,v)=03(腳面:強(qiáng)x,錐扇粗4,注,1+勺+

dudv

羽1G/(]曲陷M叱

3V()

一R-aRG

一--

rV\

axj5e(75X5(w,x)

包M平面薄片的重心：元=間的穴:胡

1Ga-v

乃

辦13(F,G)

一

一-J-as(\L

F乂,V

7二二一.」量的方向舜2號(hào)

平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:打「對(duì)于y軸/v=

微分法在幾何上的應(yīng)用：格林公式:JR--------)dxdy=cfPdx+Qdy^力

x=(p(t)平面薄片(位于xoy平面)對(duì)z軸上加晨加(翊,。),3>6)的引力：F=

空間曲線，⑴在點(diǎn)，，)處的切線內(nèi).蜀席紅

y=“M(xoyozoj2時(shí),啰岬

九占八“上;OY右護(hù)，(…、小/產(chǎn)》、?歆面上曲線表冢于礴主燕的條件:

在點(diǎn)M處的法平面方程:夕?0)(了一%)+^?0)(>-%)+。&)仁一70)=0八八斗、-—一

柱面帶標(biāo)和涉再浮標(biāo)方1、G星一個(gè)單連通區(qū)域；

F(x,y,z)=0，則切向量了={'仔』屋7F.￡

若空間曲線方程為:二Feos?

羽詁,?&，G2、Q(x,y)在G肉M臬I(xiàn)有一階連續(xù)偏導(dǎo)

G(x,y,z)=0柱由G坐標(biāo)?

'y=r沁siinn0江,'JJj/(x,y,z)dxdydz=^一F{r,0,z)rdrdOdz,

曲面F(x,y,z)=0上一點(diǎn)"(Xo，yo，Zo)，則:z=%減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

1、過(guò)此點(diǎn)的法向量：元={工(x°,,z°),尸,(x唄押fo祐,(aj包/“co6兵兵福糞獅全微分求積:

、

2過(guò)此點(diǎn)的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,他馬咐萬(wàn)斌在堂坦空毗”瓦以0%才是二元函數(shù)”(x,

in。，°”=rd(p-rsing)■d0-dr=r1sin(pdrd<

3、過(guò)此點(diǎn)的法線方程:一匚三)F求而坐標(biāo):

方向?qū)?shù)與梯聲.K(Xo，y()，Zo)4。0，孔，20)(“‘』網(wǎng)族9”(x,y)=jp(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)餐;

?5，、0)2"Kr(。，。)

函數(shù)z=/(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任??方向/的姍爆黝矯通蟲駕瞅叫i版sinMd\do\dcp)>(",/

ndldxn曲分：ooo

其中*為X軸到方向/的轉(zhuǎn)角。重心：x=《川加匕對(duì)螭卿觸分:JJ如,#理

函數(shù)Z=/(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度:gr@(蝌忌:+而」JJJ(一

)，+對(duì)懈的曲岬分娜同成后2》閑心+。(乂4

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是:日Q_eg

其中。

=grad/(x,y)-e,=cos(p-i+sin°?儂弱那=±耶口,乂z(x,y)]dxdy,取

曲線積分：

單位向量。D

.第.一..類..曲..線..積..分..(.對(duì)..弧修專的電一曲.線..積..分)：：f

仍Pg一,”二忤'曲

g是grac|/'(x,y)在/上的投影。'[x(y,z),y,z]dydz>取I

設(shè)/'(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)為?程虹?

dl,J4土乃：《節(jié),(aVfVp),則:

^Q[x,y,z)dzdx=y(z,x),z]dzdx,取

多元函數(shù)的極值及其求法：P

媼輔出白的華君,辦收特殊+Q情d況zdx:

設(shè)。(%0，為)=/、(%0，%)=0，令：九(x。，%)

A<O,(Xo，y())為極大值

AC—小>0時(shí)”

人>0,(/,)，0)為極小值高斯公式:

則乂AC-B2<0時(shí),無(wú)極值

AC-B2=0時(shí)，不確定

重積分及其應(yīng)用:

gffr5rP京dQ+”dR.,=(^Pdydz+Qdzdx露感密四可(總般。牛3col%+M??cos夕綠…5"">0)的修法a-

zcosx=-------

z如果交錯(cuò)級(jí)皴滿足您箍啷玄嚎數(shù)收斂且國(guó)2

Ds<W]潑氮顛“白

高斯公式的物理意義——通量與散度:

、〃一>8sinx=

2

H+詈+指=即：?jiǎn)挝粋喾骝E懿年檢靠體質(zhì)碗吸iv丘<0,則為消失…

散度：div丘

媽)和手電為熊h(“砌+?！?++￡(a“cc

通量:JJZ?nds=JA,如=JPcosa+Qc稀解第部s.,.：乙〃=1

領(lǐng)好)收斂，則⑴肯定收'班;L.一」峨懿,，"=a,c°s°

因此，高斯公式又可寫成:“div,辦=

I口巢⑵發(fā)散，而⑴收斂辱!(力;躲祥醬邈籟Xcos2x---sinnx,cos

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系:=0o

小加dQ竹dz+(空-空W/X+律-”嬲皙方斂;

不一法dzdxdxdy8

級(jí)):〉]與收斂;/(X)/+

Z(?！╟osnx+bnsin〃x),周期=2

dydzdzdxdxdycosacos~pn~cosyn=l

ddddid/p41時(shí)率散1K

上式左端又可寫成:以P級(jí)鉆兀

(x)cosnxdx(n=0,1,2-)

辦dzz\?！?時(shí)”:儆=*

PQRPQR其中，-71

空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件管嚕警.bn=—j/(x)simtxJx("=1,2,3…)

N<1趾"收警于七

\+x+x2+xJ+---+x"+■■■

;;V算時(shí)「發(fā)標(biāo)111

?+三+不+“

旋度：rob4=

對(duì)于級(jí)數(shù)(3)劭+/x+a捷士::.?,=螂巖丕建軍在原電懶

掠R時(shí)■遍\22324?

向量場(chǎng)X沿有向閉曲線r的環(huán)流量qPdx+Qd|觥任=7I

則必存福弦圖卜同周0發(fā)瞰尸知礴溝收斂半4

卜卜R時(shí)不定

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):2萬(wàn)

余弦級(jí)數(shù)：b?=0,a一［/(x)cosnxJx

等比數(shù)歹U：l+q+q2+…+/i=1^1n

1-4

等差數(shù)列J+2+3+…+〃=如業(yè)求收斂半徑的方法：設(shè)仲調(diào)崛I數(shù)?的傅曲系數(shù)，則，

2

調(diào)和級(jí)數(shù)：i+L+L…+!是發(fā)散的

23n

級(jí)數(shù)審斂法：函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)：

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法——根植審斂法,柯留&&舜施暴勒級(jí)數(shù)：〃x)=/(x°)(x-x0)+巖R(x-x0)2+.??+￡

0<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

(”+i)O

設(shè)：P=lim瘋則P>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

〃一>00余項(xiàng)：R,(x-x0)"Mj(x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件

2=1時(shí),不確定(/?+!)!

2、比值審斂法:%=0時(shí)即為麥克勞林公式：/(x)=/(0)+/(0)x+4"f+…

2!)

.<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂

設(shè)：夕=!吧》，貝|“夕〉1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散一些函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù):

n"+蛔”(，"1>-(時(shí)〃+1』+...

夕=1時(shí)，不確定(1+x)'"22+..

2!n!

3、定義法:

/J/'I

…+"也S”存在，則收斂；否崢?biāo)梢蝗?4一+㈠尸而k…S<X<+8)

歐拉公式:

一對(duì)版分相

it)Lyv-jLUSJJJv1ujl11

/(X)=(a?cos--+b?sin-周/^=21A八、

2〃=]11(/?--4q<0)公式1.

r}=a+i。,r2=a-i

J7(x)cos竿dx(〃=0,12

JPR弧二

其中-；a=p=-----

22

b?=-f/(x)sin華dx(n=1,2,3--)

二階常系數(shù)非齊次線性微

分方程

微分方程的相關(guān)概念：y"+py'+c]y=f(x),為常數(shù)

--階微分方程：y'-f(x,y)或P(x,y)dx+超色第&)型，

可分離變量的微分方程：一階微分方程可。7V=/(x)dx的葩式，解法品?

八？一[￡(xjcos5+?,(x)sin(yx]型

Jg(y)dy=J/(x)dx得：G(y)=7?(x)+C稱為隱式通解。_

齊次方程：一階微分方程可以寫成包=/(x,y)=°(x,y),即寫成上的函數(shù)，解法：

dxx

設(shè)〃=?,則生=〃+X也，〃+也=火〃),.?.如=_^—分離變量；1只券后將工代替〃,

XdXdXdXX

即得齊次方程通解。局等數(shù)字知

一階線性微分方程：識(shí)點(diǎn)

1、一階線性微分方程:蟲+P(x)y=Q(x)

dx——

/當(dāng)。(x)=0時(shí),為齊次方程,y=Ce乎""

1當(dāng)0(x)wO時(shí)，為非齊次方程，y=(jQ(x)J*")"dx+C)e-J'(""一一

2、貝努力方程:包+P(x)y=Q(x)y",(〃wO，D「函數(shù)的概念

dx1.用變上、下限積分

全微分方程：_表示的函數(shù)

如果尸(x,y)dx+Q{x,y)dy=0中左端是某函數(shù)的全微分方程,即：

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:粵=P(x,y),粵=Q(x,y)

：.u(x,y)=C應(yīng)該是該全微分方程的通解。

二階微分方程:

d2y+P(x)半/(x)三0時(shí)為齊次

+Q(x)y=/(x%

dx2axy(x)xo時(shí)為非齊次

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：

(*)y"+py'+qy=0,其中p,q為常數(shù);

求解步驟：

1、寫出特征方程：。)產(chǎn)+〃廠+夕=0,其中廠的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中的系數(shù);

2、求出(△)式的兩個(gè)根外,4

3、根據(jù)KG的不同情況，按下表寫出(*)式的通解：

Tr2的形式(*)式的通解

兩個(gè)不相等實(shí)根riXriX

y=c{e-\-c2e

(p2-4<7>0)

兩個(gè)相等實(shí)根rx

y=(q+c2x)e'

(p2-4q=0)

s，n

Xlim=1

A0x

⑴y=J0K皿，其中/()連續(xù)，則力=/()u

+1

叩()dx

公式2.lim1〃e■,lim1u

8“—8

y=)()

1

2fdt,其中(p,(),q);()可導(dǎo)，/()

(+i)=e

lim1

連續(xù)，D

則?=/◎()]<P/()4.用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換

dx,5.用泰勒公式(比用等價(jià)無(wú)窮小更深刻)(數(shù)學(xué)一和

2.兩個(gè)無(wú)窮小的比較數(shù)學(xué)二)

f()

設(shè)lim/()=0,limg()=0,且，xN)

lim

當(dāng)時(shí)，+0

g”x—>0e*=1+x++A+

2!n\

(1)/=0,稱/()是比g()高階的無(wú)窮小，記以35

()()x~”+i+()()〃+i

2〃+l!

()o[g(,稱g()是比/()低階的無(wú)窮sinx=x-'++A+

/=)]5；()()x，"+0()"

小。COSX1XXIn!

(2)/#0，稱/()與g()是同階無(wú)窮小。=一+-A+

2!4!3““()

2

()XxA(yx

(3)1=1,稱/?()與g()是等價(jià)無(wú)窮小，記以mi+x=X—+-+11H+0

23

/(…()35

X

3.常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小arctanx=x-+

3

當(dāng)x一0時(shí)

()xaaa()1Aa()lA[az()

=1+x+一()1]

?冗??

sinx-x,tanxx,arcsinx,arctanxx2!X2++!+0

n

*e'—l?xln(l+x)~冗,

1-cosx~x,6.洛必達(dá)法則

2

lim/()=0,limg()=0

(1+X)a-1~

ax

法則1.(0型)設(shè)(1)

二.求極限的方法

若為正整數(shù))又(〃為

1.利用極限的四則運(yùn)算和基指數(shù)運(yùn)算法則(1)xn+\<xn(nx>m

2.兩個(gè)準(zhǔn)則正

準(zhǔn)則1.單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在

整數(shù)），貝ijlimx?=A存在，且A>m（2）x變化過(guò)程中，尸（），g'（）皆存在

廣（）

（3）lim/（YA（或oo）

/（）

則limg（）A（或oo）

（n為止（注：如果lim'S,不存在且不是無(wú)窮大量情形，則

（2）若x,.+i>x?（n為正整數(shù)）又x<M

整數(shù)），lim=A<M

則

存在，且

不能得出不存在且不是無(wú)窮大量情形）

lim

準(zhǔn)則2.(夾逼定理)設(shè)g()W/()()xgQ

若limg()=A,lim/z()=A,貝ijlim/()=Alim/（）=oo,limg（）=oo

法則2.（g型）設(shè)（1）

3.兩個(gè)重要公式

（2）x變化過(guò)程中，尸（），g'（）皆存在

1Editedby楊凱鈞2005年10月

考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)-高等數(shù)學(xué)

尸()值，如果對(duì)于區(qū)間"b上的任一點(diǎn)x，總有/()<

(3)limj()A(或oo)M,

/()

則稱M為函數(shù)/()在1%上的最大值。同樣可以定義最

則lim])A(或oo)

小值mo

7.利用導(dǎo)數(shù)定義求極限

定理3.(介值定理)如果函數(shù)/()在閉區(qū)間"b上