第七講定積分的應(yīng)用

第七講定積分應(yīng)用定積分的元素法定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、定積分的元素法一、元素法實施條件二、元素法實施步驟(1)選取積分變量x，確定它的變化區(qū)間[a,b];(2)相應(yīng)于[a,b]上任一小區(qū)間[x,x+dx]，寫出部分量的近似值所求量的元素dU=f(x)dx(3)以dU為被積表達(dá)式，在[a,b]上作定積分，得:(1)所求量Ｕ與一個變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)；(2)Ｕ對區(qū)間[a,b]具有可加性；(3)部分量的近似值可表示為。平面圖形的面積體積平面曲線的弧長Ｏxy二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、直角坐標(biāo)情形Ｏxy定積分幾何應(yīng)用之一平面圖形的面積問題：求由曲線y=f(x),y=g(x)(f(x)>g(x))與直線x=a,x=b(a<b)所圍圖形的面積。aby=f(x)y=g(x)xx+dx(i)取x為積分變量，則(ii)相應(yīng)于[a,b]上任一小區(qū)間[x,x+dx]的小窄條面積近似值，即面積元素(iii)所求面積(i)求交點(ii)相應(yīng)于[0,1]上任一小區(qū)間[x,x+dx]的小窄條面積的近似值，即面積元素(iii)所求面積解

yxo例１

求由拋物線所圍圖形之面積。xx+dx(i)求交點(ii)相應(yīng)于[-2,4]上任一小區(qū)間[y,y+dy]的小窄條面積的近似值，即面積元素(iii)所求面積解

yxo例２

求由拋物線與直線所圍圖形面積。yy+dy方法1yxo(i)取x為積分變量，則(ii)面積元素(iii)所求面積方法2比較方法1和方法2知：適當(dāng)選擇積分變量可以簡化計算過程。(i)兩切線交點為(ii)面積元素(iii)所求面積解yxo練習(xí)

求由拋物線及其在點(0,-3)和(3,0)處的切線所圍圖形面積。則點(0,-3)和(3,0)處的切線方程分別為y=4x-3y=-2(x-3)(3/2,3)二、極坐標(biāo)情形(ii)面積元素(iii)所求面積設(shè)由曲線與射線，圍成一圖形,求該圖形的面積。(i)取極角為積分變量，則xo面積元素所求面積例３

求由阿基米得螺線上相應(yīng)于的一段弧與極軸所圍圖形面。解xo設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出，求由這曲線弧所圍圖形的面積。(i)取t為積分變量，則(iii)所求面積(ii)面積元素三、參數(shù)方程情形橢圓參數(shù)方程為面積元素所求面積例４

求由橢圓所圍圖形面。解xyo-aa-bb練習(xí)

1.求由曲線所圍圖形面積。2.求由曲線及所圍圖形的公共部分的面積xyoaa-a-axS1S2答案

1.所求面積2.所求面積所求面積S1S2Ax體積定積分幾何應(yīng)用之二旋轉(zhuǎn)體：由一平面圖形繞該平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，稱為旋轉(zhuǎn)體。

一、旋轉(zhuǎn)體的體積定直線－旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)體體積的計算(i)取x為積分變量，則(ii)相應(yīng)于[a,b]上任一小區(qū)間[x.x+dx]的小旋轉(zhuǎn)體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積旋轉(zhuǎn)軸為x軸：曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積。yabxoxx+dx例１

求由連接坐標(biāo)原點O及P(h,r)的直線及x=h,x軸所圍三角形繞x軸所成旋轉(zhuǎn)體之體積。(i)取x為積分變量，則(ii)相應(yīng)于[a,b]上任一小區(qū)間[x,x+dx]的小旋轉(zhuǎn)體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積解OP的方程為yxoP(h,r)旋轉(zhuǎn)體體積的計算(i)取y為積分變量，則(ii)相應(yīng)于[c,d]上任一小區(qū)間[y,y+dy]的小旋轉(zhuǎn)體體積近似值，即體積元素(iii)所求體積旋轉(zhuǎn)軸為y軸：曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積。yxocddy解:（１）取y為積分變量，則（２）相應(yīng)于[0,1]上任一小區(qū)間[y,y+dy]的體積元素（３）所求體積例２求由曲線

和及x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。(1,1)yo1x解:（１）旋轉(zhuǎn)軸為x軸體積元素：（２）旋轉(zhuǎn)軸為y軸例３求由曲線和直線所圍圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體的體積。所求體積:體積元素：2yox所求體積：如圖，在距坐標(biāo)原點為x處取一底邊長為dx的小曲邊梯形ABCD,易知它繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積近似值，即體積元素例4證明：由平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為于是,所求體積為：（這是一個底面積為，高為的圓柱體的體積）ABCDxyoab證明解:（１）旋轉(zhuǎn)軸為x軸（２）旋轉(zhuǎn)軸為y軸練習(xí)

求由曲線和直線x=1

所圍圖形分別繞x

軸和

y

軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體的體積。所求體積：所求體積：yox1或(1,1/e)(1,e)體積元素：體積定積分幾何應(yīng)用之二二、平行截面面積已知的立體體積若立體不是旋轉(zhuǎn)體，但立體垂直于某定軸的各截面面積已知，該立體體積亦可用定積分計算。１.過點x而垂直于x軸的平面截立體得截口面積為則立體體積為2.過點y而垂直于y軸的平面截立體得截口面積為則立體體積為yocdyB(y)在所圍立體上，作平行于坐標(biāo)面yoz的截面KLMN，由于NM=ML，所以KLMN為正方形，其面積為例5求及兩圓柱面所圍立體的體積。所求體積:NLMKyozx解:所求立體體積為例6

一平面經(jīng)過半徑為Ｒ的圓柱體的底圓中心，并與底面成交角（如圖）。計算這平面截圓柱體所得立體的體積。如圖建立坐標(biāo)系，則底圓的方程為截面積為xyyxR-RO立體中過點x且垂直于x軸直角的截面為直角三角形，直角邊長分別y為及ytana，解一、平面曲線弧長的概念定理：若且均縮為一點時ＡＢＯxy定積分幾何應(yīng)用之三平面曲線的弧長定義：設(shè)A、B為曲線弧上兩端點，在AB上任取分點光滑曲線弧是可求長的。的極限存在，稱此極限為曲線弧的弧長；并稱該曲線弧是可求長的。１.直角坐標(biāo)情形xx+dxdy定積分xyoaby=f(x)曲線弧由方程y=f(x)給出，其中f(x)在[a,b]上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，求該曲線(如圖)的長度。(i)取x為積分變量,則(iii)所求弧長(ii)弧長元素（弧微分）二、光滑曲線弧長的計算設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出，其中、在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求這曲線(i)取t為積分變量，則(iii)所求弧長(ii)弧長元素２參數(shù)方程情形的長度。曲線弧由極坐標(biāo)方程給出，其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用所求弧長３極坐標(biāo)情形有求該曲線弧長。解從而弧長元素所求弧長例1求由曲線相應(yīng)于