高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸納

"耳耳廣東常考數(shù)告加但立題型方/州軸

順德區(qū)勒流中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師鄧先春

整理編寫

一、題型解題方法與策略

1、選擇題的解法：從解題過(guò)程來(lái)說(shuō)，完成選擇題的解答必須突出五個(gè)環(huán)節(jié):“讀題-----記號(hào)------推理判斷--------

比較------選擇”

數(shù)學(xué)選擇題的求解，一般有兩種思路：一是從題干出發(fā)考慮，探求結(jié)果；

二是題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件。

選擇題屬容易題(個(gè)別題為中檔題)，解題的基本原則是：“小題不可大做”。

由于選擇題提供備選答案，又不要求寫出解題過(guò)程，因此，出現(xiàn)了一些特有的解題方法，在解選擇題是很適用。

2、填空題的解法：它和選擇題同屬客觀性試題，它們有許多共同特點(diǎn)。

3、解答題的類型及解法：

(-)三角函數(shù)

1、應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷，一般常用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的口訣

確定三角函數(shù)名稱和判定三角函數(shù)值的符號(hào)。

2、在運(yùn)用兩角和、兩角差、二倍角的相關(guān)公式時(shí)，注意觀察角之間的關(guān)系，公式應(yīng)正確、熟練地記憶與應(yīng)用，并

注意總結(jié)公式的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，對(duì)一些公式不僅會(huì)用，還會(huì)逆用，變形用，如tg(a+￡)=型空嗎的變形

l-tgatg/3

tg<7+tg^=tg(a+j3)(l-tgatg(3),二倍角公式cos2a=cos?a-sin2a=l-2sin2cr=2cos?a-1的變形用

1+cos2a.1-cos2a

cos-2a----------,sin2a----------等。

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3、常用的三角變換

①角的變換：主要是將三角函數(shù)中的角恰當(dāng)變形，以利于應(yīng)用公式和已知條件：

如2a=(a+B)+(a-p)

2B=(a+B)-(a-6)

a=[(a+B)/2]+[(a-6)/2],B=[(a+6)/2]-[(a)/2]

2a=2a/2=(a+B-B)

②函數(shù)名稱變換：主要是切割化弦、弦切互換、正余弦互換、正余切互換。

③公式的活用

主要有公式的正用、逆用、變形用。通過(guò)適當(dāng)?shù)娜亲儞Q，以減少函數(shù)種類及項(xiàng)數(shù)，降低次數(shù)，使一般角化為特

殊角。

注意切割化弦通分、降幕和升幕等方法的使用，充分利用三角函數(shù)值的變式，如，l=tan45°,-l=tanl35°,仔二

tan60°,2=cos60°或2=sin30°,

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sinx+昭cosx=2sin(x+3)，創(chuàng)造條件使用公式。

4、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

⑴“五點(diǎn)法”畫函數(shù)丫=人5汨(3*+。)6￡0,3>0)的簡(jiǎn)圖，掌握選取起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)的方法：設(shè)X=3x+6,由取

0,n/2,n,3n/2,2n來(lái)求相應(yīng)的x值，及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。

⑵掌握函數(shù)y=Asin(G>x+4>)的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像之間互相交換，提倡先平移后壓縮(伸展)，但先壓縮(伸展)

后平移也經(jīng)常出現(xiàn)現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握，無(wú)論是哪種變換，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖像

變換要看“變量”

起多大變化，而不是“角變化”多少。另注意能以向量的形式表示平移

⑶給出圖像確定解析式的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)(-0/3.0)作為突破口，要從圖像的升降情況

找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。

⑷求定義域是端究其他性質(zhì)首先應(yīng)要考慮的方面之一，既要注意一般函數(shù)求定義域的規(guī)律，又要注意三角函數(shù)本身的

特有屬性，例如題中出現(xiàn)tanx,則一定有

x#k+（n/2）（kGZ）,不要遺忘.

⑸求值域離不開(kāi)三角函數(shù)式的的恒等變形，所以要掌握六種三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，還要熟練掌握形如：

sinx±cosx、sinx,cosx、sin2x+cos2x>sin3x+cos3x

等之間的變換，以及三角公式的正逆用和變形用。

⑹三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，然后通過(guò)同解變形或利用數(shù)形結(jié)合的方法

求解，若對(duì)函數(shù)利用描點(diǎn)畫圖，則根據(jù)圖形的直觀性可迅速獲解。判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)首先判定函數(shù)定義域關(guān)于原

點(diǎn)的對(duì)稱性。三角函數(shù)最小正周期的求法，主要是通過(guò)恒等變形轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)類型或形如y=Asin（ax+6）的形

式，另外還有圖像和定義法。

⑺函數(shù)y=Asin（3x+。）的圖像是中心對(duì)稱圖形。其對(duì)稱中心是圖像與x軸的交點(diǎn)，同時(shí)也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是經(jīng)

過(guò)圖像的波峰頂或波谷底且與x軸垂直的直線。

（二）立體幾何解答題的解法

[1]空間角的計(jì)算

主要步驟；一作、二證、三算；若用向量，那就是一證、二算。

1.兩條異面直線所成的角

①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，常常利用中位線或成比例線段

引平行線。

②補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)

兩條異面直線間的關(guān)系。

2.直線和平面所成的角

作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是垂線，找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計(jì)算，或用向量計(jì)算。

3.二面角

⑴平面角的作法：

①定義法；

②三垂線定理及其定理法；

③垂面法。

⑵平面角計(jì)算法：

①找到平面角，然后在三角形中計(jì)算（解三角形）或用向量計(jì)算。

②射影面積法:cos=SSJ影/S

[2]空間距離的計(jì)算：

1.求點(diǎn)到直線的距離，經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點(diǎn)到直線的垂線，然后在相關(guān)的三角形中求解，也可以借助于面積

相等求出點(diǎn)到直線的距離。

2.求兩條異面直線距離，一般先找出其公垂線，然后求其公垂線段的長(zhǎng)，在不能直接作出公垂線的情況下，可轉(zhuǎn)化

為線面距離求解（這種情形高考不作要求）.

3.求點(diǎn)到平面的距離，一般找出（或作出）過(guò)此點(diǎn)與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過(guò)該點(diǎn)作出平面的

垂線，進(jìn)而計(jì)算；也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離；有時(shí)直接利用已知求距離比較困難難時(shí)，我們可以

把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點(diǎn)上去求“點(diǎn)到平面的距離:求直線與平面的

距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求解。

[3]平行、垂直位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化

（三）概率解答題的解法：

1.（1）等可能性事件的概念也稱古典概率，它的特征為：

①每一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的；

②每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的；

⑵等可能性事件概率的計(jì)算步驟

①計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)n；

②計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；

③依公式P（A）=m/n求值。

2.互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系

互斥事件與對(duì)立事件都是研究?jī)蓚€(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要要求這

兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生。因此，對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互

斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要而非充分條件。

從集合的角度看，幾個(gè)事件彼此互斥，是指各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此互不相交。事件A的對(duì)立事件A

所含的組成有集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集。

3.互斥事件的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)_

對(duì)立事件的概率：P(A+A)=P(A)+P(A)=1

相互獨(dú)立事件的概率：P(A?B)=P(A)?P(B)

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k的概率：P?(k)=C?kPk(l-P)-k

4.在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和,

二是先去求此事件的對(duì)立事件的概率。

5.在概率解答題中要有必要的文字解釋

6、數(shù)學(xué)期望與方差

(四)數(shù)列解答題的解法

1.數(shù)列前n項(xiàng)和S.與第n項(xiàng)區(qū)的關(guān)系：

Si(n=1)

an=(n'2)

2.等差數(shù)列的主要性質(zhì)：

已知{aj,{bj為等差數(shù)列,則:

①{kaj,{aj+{bj,{ka#b},(k,b為常數(shù))等仍成等差數(shù)列；

②an=a?+(n-m)d(m,nGN+)；

(§)2an-an-m+an+m；

④如果m+n=p+q,貝!Ja?+a?=ap+aq;

⑤如果S?為{a?}的前n項(xiàng)和，則S?,S2n-S?,S3「S2n成等差數(shù)列.

⑥在等差數(shù)列⑸}中，

若項(xiàng)數(shù)為2n,則Sffi-S奇=nd,S苛/S硝=a/an+i;

若項(xiàng)數(shù)為2n-l,則S?=nan,S?=(n-l).

an,S2n-i=(2n-l)a?，即a?=S2n-i/2n-l

3.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：

已知面},瓜}為等比數(shù)列，則:

①{ka0},{a/},{ab。},(kWO,k為常數(shù))等仍成等比數(shù)列；

②a?=a.,q"F(m,nGN*)；

③a：=a?F?a-n+m；

④如果m+n=p+q,則a.?①=%?a°;

⑤如果S?為{a?}的前n項(xiàng)和，則S?,S2?-S?,S3「S2n成等比數(shù)列.

⑥在等比數(shù)歹！J{4}中，n為偶數(shù)時(shí)，S倍/S/q,n為奇數(shù)時(shí)，(S奇-a)/S?=q.

⑦特別注意等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及推導(dǎo)方法(錯(cuò)位相減)的應(yīng)用.

「nai(q=l)

S0=t[a《-q")]/(l-q)(q#l)

4.能用等差、等比數(shù)列的定義進(jìn)行解題。掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式的推導(dǎo)方法。

(五)解析幾何解答題的解法：

[1]直線和圓

1.①與直線方程特征值(主要指斜率、截距等)的有關(guān)問(wèn)題；

②直線的平行與垂直的條件；

②與距離有關(guān)的問(wèn)題；

③中心對(duì)稱與軸對(duì)稱問(wèn)題。

2.直線與圓的位置關(guān)系的綜合性試題，數(shù)形結(jié)合是解題的主導(dǎo)思想，借助“形”的直觀性，可以使問(wèn)題化難不易。

因此，求解直線與圓的問(wèn)題一定要注意挖掘幾何圖形的內(nèi)在幾何性質(zhì)。

[2]直線和圓錐曲線

一、圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

1.橢圓

⑴完整地理解橢圓的定義并重視定義在解題中的應(yīng)用。橢圓是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)以、F2的距離之和等于常數(shù)2a(2a>

|FE|)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。還有一種定義(圓錐曲線的統(tǒng)一定義)：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比為常數(shù)e(0

Ve<l=的動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，(順便指出：e>l、e=l時(shí)軌跡分別為雙曲線和拋物線)。

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⑵橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，決定于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸。焦點(diǎn)是F(土c,0)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為「+2=l(a>b>0);

ab

焦點(diǎn)是F(0,±c)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程。+=1(a>b>0)o這里隱含此關(guān)系體現(xiàn)在△OFB(B為短軸端點(diǎn))中?

a

⑶深刻理解a、b、c、e、a7c的本質(zhì)含義及相互關(guān)系，實(shí)際上就掌握了幾何性質(zhì)。

2.雙曲線

⑴類比橢圓，雙曲線也有兩種定義，兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式，同樣要重視定義在解題中的運(yùn)用，要深刻理解幾何量a、b、

c、e、a2/c的本質(zhì)含義及其相互間的關(guān)系。

⑵雙曲線的漸近線是區(qū)別是于橢圓的一道“風(fēng)景線”，其實(shí)它是矩形的兩條對(duì)角線所在的直線(參照課本)。

⑶雙曲線=—二=±1(a>0,b>0)隱含了一個(gè)附加公式<?=1+招此關(guān)系體現(xiàn)在AOAB(A、B分別為實(shí)軸、虛軸的

ab

一個(gè)端點(diǎn))中；特別地，當(dāng)a=b時(shí)的雙曲線稱為等軸(邊)雙曲線，其離心率為先;兩條漸進(jìn)線互相垂直。

3.拋物線

⑴拋物線的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線L的距離相等的點(diǎn)的軌跡(FEL)定義指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)

與準(zhǔn)線的距離相等，并在解題中有突出的運(yùn)用。

⑵拋物線方程(標(biāo)準(zhǔn))有四種形式：y=±2px和x2=±2px(p>0),選擇時(shí)必須判定開(kāi)口與對(duì)稱軸。

⑶掌握幾何性質(zhì)，注意分清2p,p,p/2的幾何意義。

［3］、直線與二次曲線的位置關(guān)系

1.判斷整L與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，可將直線L的方程代入曲線C的方程，消去y(也可以消x)得一個(gè)關(guān)于變

量x的一元方程ax2+bx+c=0.

①當(dāng)aWO時(shí)，則有△>(),L與C相交；△=(),L與C相切；△<(),L與C相離。

②當(dāng)a=0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則L與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)，若C為雙曲線，則L平行于雙曲線的漸近線；

若C為拋物線，則L平行于拋物線的對(duì)稱軸。

應(yīng)當(dāng)注意的是，當(dāng)直線與雙曲線或拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與雙曲線或拋物線可能相切，也可能相交。

2.關(guān)于弦長(zhǎng)的計(jì)算有弦長(zhǎng)公式：_________________________

=++々)2-4/々］=41+，(丫1+丫2了-4yly21

焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)可以利用焦半徑公式，可使計(jì)算簡(jiǎn)化.

涉及與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，除了利用韋達(dá)定理外，也可利用“點(diǎn)差法

［4］常見(jiàn)的求軌跡方程的方法有以下幾種：

⑴直譯法：將原題中由文字語(yǔ)言明確給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系直接翻譯成由動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示的等量關(guān)系式。

⑵待定系數(shù)法：由已知條件可以根據(jù)定義判斷出曲線類型，可用待定系數(shù)法設(shè)出方程具有形式，轉(zhuǎn)化為求方程而

解決。

⑶代入法：所求動(dòng)點(diǎn)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)有著相互關(guān)系，可用所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)表示出已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入已知的

曲線方程。

⑷參數(shù)法：通過(guò)一個(gè)(或多個(gè))中間變量的引入，使所求點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系更容易確立，消去參數(shù)得坐標(biāo)的直接

關(guān)系便是普通方程。

⑸交軌法；動(dòng)點(diǎn)是兩條動(dòng)曲線的交點(diǎn)，由x,y滿足的兩個(gè)動(dòng)曲線方程中消去參數(shù)，可得所求方程。故交軌法也屬

參數(shù)法。

［5］平面向量知識(shí)

(1)平面向量的加減法運(yùn)算(平行四邊形法則，三角形法則)

(2)兩向量平行：

(3)兩向量垂直：

向量的數(shù)量積：(注意向量

(六)函數(shù)與不等式及導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一條主線，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，因而是高考命題的重點(diǎn)和歷久不衰的熱點(diǎn)。在“函數(shù)”

這部分內(nèi)容中，復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是會(huì)求函數(shù)的解析式、定義域及值域；會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)性并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題;

會(huì)求原函數(shù)的反函數(shù)（包括定義域的確定）；會(huì)用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題；能綜合運(yùn)動(dòng)函數(shù)知

識(shí)解決較復(fù)雜問(wèn)題。靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性及用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是復(fù)習(xí)中的兩個(gè)難點(diǎn)，要切實(shí)掌握。

2.從全國(guó)高考試卷看，函數(shù)試題進(jìn)一步創(chuàng)新，試題設(shè)計(jì)新穎、靈活、思維力度增大，運(yùn)算量減少，從考試看主要有

以下考查形式和特點(diǎn)：

（1）考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等常見(jiàn)初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)及應(yīng)用（10年間每

年必考，其中二次函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)更為重要）?？疾閮?nèi)容主要是關(guān)于函數(shù)的定義域、值域（最值）、單調(diào)性、奇偶性、

周期性、對(duì)稱性、反函數(shù)、圖像以及圖像的變換。以上純函數(shù)內(nèi)容的考查也常以選擇題、填空題出現(xiàn)，屬中檔題。

⑵考查函數(shù)與方程、不等式、三角、數(shù)列、曲線方程、導(dǎo)數(shù)（尤其是重視與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合）等知識(shí)的交叉滲透及應(yīng)用,

屬中、高檔題。

⑶考查以⑴函數(shù)為模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，讓考生從數(shù)學(xué)角度觀察事物、闡釋現(xiàn)象，分析解決問(wèn)題，屬中檔題。

⑷變函數(shù)的具體形式抽象形式，用以考查抽象思維水平，以及抽象與具體進(jìn)行轉(zhuǎn)化的思維能力，可結(jié)合在函數(shù)的

各種型中進(jìn)行考查。

3導(dǎo)函數(shù)內(nèi)容的增加

（1）導(dǎo)函數(shù)的定義（用極限的觀點(diǎn)解釋）

⑵多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式

⑶導(dǎo)數(shù)的幾何意義

（4）導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題中的運(yùn)用

（七）應(yīng)用題

解應(yīng)用題的一般程序

（1）讀：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ).

（2）建：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“?！?/p>

是關(guān)鍵的一關(guān)

（3）解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過(guò)

程.

（4）答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.

3.中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)應(yīng)用問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型

（1）優(yōu)化問(wèn)題.實(shí)際問(wèn)題中的“優(yōu)選”“控制”等問(wèn)題，常需建立“不等式模型”和“線性規(guī)劃”問(wèn)題解決.

（2）預(yù)測(cè)問(wèn)題：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、市場(chǎng)預(yù)測(cè)這類問(wèn)題通常設(shè)計(jì)成“數(shù)列模型”來(lái)解決.

（3）最（極）值問(wèn)題：工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設(shè)及實(shí)際生活中的極限問(wèn)題常設(shè)計(jì)成“函數(shù)模型”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

（4）等量關(guān)系問(wèn)題：建立“方程模型”解決

測(cè)量問(wèn)題：可設(shè)計(jì)成“圖形模型”利用幾何知識(shí)解決

二、基本知識(shí)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理（整理）

數(shù)學(xué)高考臨近，給你提個(gè)醒！!

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯

命題：可以判斷真假的語(yǔ)句；概念絕對(duì)值不等式命題

邏輯聯(lián)結(jié)詞：或、且、非；

簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題；復(fù)合命||—?

題：由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命

題。

三種形式：P或q、P且q、非P運(yùn)算?-元二次不等式充要條件

真假判斷：P或q,同假為假，否則為真；P且q,

同真為真，否則為假；非p,真假相反；

原命題：若p則q；逆命題：若q則P；否命題：若rp則飛；逆否命題：若飛則”；

互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的。

反證法步驟：假設(shè)結(jié)論不成立一推出矛盾一假設(shè)不成立。

集合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

---->定義?一組對(duì)象的全體形成一個(gè)集合

——特征卜?確定性、互異性、無(wú)序性

----表示法f列舉法｛1,2,3,…｝、描述法｛xIP｝

_——*分類卜?有限集、無(wú)限集

律」二I-自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、正整數(shù)集N*、空集巾

集----?［數(shù)集—?

八———，關(guān)系f屬于W、不屬于任、包含于工、真包含于U、集合相等

口-------

---->運(yùn)算交集|ACB=｛xlxCA且xdB｝；匪宴|AUB=｛xlxCA或xCB｝；

—畫第=｛xlxeA且xGU｝,U為全集

---->性質(zhì)-?ACA：<l>CA；若A屋B,BCC,則AqC；

ACA=AUA=A；AC6=6；AU4)=A；ACB=A=AUB=B=AqB；

AOCyA=4)：AUC〃A=I：Cu(CqA)=A：Cu(AuB)=C^APC^B

——方法卜?韋恩示意圖___/C'-'x數(shù)軸分析

^|：①區(qū)別e與U、U與三、a與｛a｝、小與｛。｝、｛(1,2)｝與｛1,2｝；

②A=B時(shí)，A有兩種情況：A=6與AW小

③含有n個(gè)元素的集合的所有子集的個(gè)數(shù)為C：+《+...+C；=2"

(a>0)ox>a或x<

ax2+bx+c>0或ax之4-bx+c<0(a#0)：

方程的根一函數(shù)草圖一觀察得解

甌：含參數(shù)的不等式ax2+bx+c>0恒成立問(wèn)題o含參不等式ax2+bx+c>0的解集是R；

其解答分a=0(驗(yàn)證bx+c>0是否恒成立)、aWO(a<0且△<())兩種情況。

二、函數(shù)的定義

(1)映射的定義:

(2)一一映射的定義:

上面是映射的是(一)。，是---映射的是(二)。

(3)函數(shù)的定義：(4)函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)

應(yīng)法則。

三、函數(shù)的性質(zhì)

(1)定義域：(2)姿對(duì)-值域：

(3)奇偶性(在整個(gè)定義域內(nèi)考慮)

①定義：

②判斷方法：I.定義法：步驟：a.求出定義域;

b.判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；c.求/(-x)；

d.比較/(-%)與/。)或/(-X)與-/(X)的關(guān)系。

II圖象法：即根據(jù)圖象的對(duì)稱性判別

③已知：“(X)=/(x)g(x)

若非零函數(shù)/(x),g(x)的奇偶性相同，則在公共定義域內(nèi)“(X)為偶函數(shù)

若非零函數(shù)/(x),g(x)的奇偶性相反，則在公共定義域內(nèi)H(x)為奇函數(shù)

④常用的結(jié)論：若是奇函數(shù)，且Oe定義域，則/(0)=0或/X-1)=—/⑴;

若/(x)是偶函數(shù)，則/(—1)=/(I)；反之不然。

常見(jiàn)的奇函數(shù)：①y=lg(x+m)②)，=lg匕色

1-x

2

11e'-1Ji-r

③y=④yj=-~9⑥y=J：

22，+l?e'+1|x+2|-2

Tk/T5N嶺q,、1+cosx-sinx

非奇非偶函數(shù)f(x)=------------------

1+cosx+sinx

(4)單調(diào)性(在定義域的某一個(gè)子集內(nèi)考慮)

①定義：

②證明函數(shù)單調(diào)性的方法：

I.定義法步驟：a.設(shè)為,々eA且X]＜；

b.作差/(項(xiàng))一/。2);

(一般結(jié)果要分解為若干個(gè)因式的乘積，且每一個(gè)因式的正或負(fù)號(hào)能清楚地判斷出)

C.判斷正負(fù)號(hào)。

③求單調(diào)區(qū)間的方法：

a.定義法：b.圖象法：c.復(fù)合函數(shù))，=/［g(x)］在公共定義域上的單調(diào)性：

若f與g的單調(diào)性相同，則/［g(x)］為增函數(shù)；

若f與g的單調(diào)性相反，則/［g(x)］為減函數(shù)。

注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。

④一些有用的結(jié)論：

a.奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；b.偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反;

c.在公共定義域內(nèi)

增函數(shù)/(%)+增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)/(%)+減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；

增函數(shù)/*)-減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)/(x)-增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。

⑤掌握函數(shù)〃cw0);y=x+2(c>0)的圖象和性質(zhì)；

x+cx+cX

函ax+bh-acaz八

y=---------=QH-------y=x+—(a>0)

x+cx+cX

數(shù)(b-ac#O)

定

義

(-00,-c)u(c,+oo)(-oo,0)u(0,+oo)

域

值

(-00,a)u(a,+oo)(-8,-2&]u[2后,+00)

域

奇

偶非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

性

當(dāng)b-ac>0時(shí):

在(—°°,—Vo1,［Va,+°°)上

分別在(一8,-c),(c,+oo)

單單調(diào)遞增；

上單調(diào)遞減；在［-瘋0),(0,行］上單調(diào)

調(diào)當(dāng)b-ac<0時(shí)：

遞增；

分別在(-8,-C),(C,+CO)

性

上單調(diào)遞增；

(5)函數(shù)的周期性

定義：若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x,使/(x+T)=/(x)恒成立

則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。

⑴y=f(x)對(duì)xWR時(shí)，f(x+a)=f(x—a)或f(x—2a)=f(x)(a>0)恒成立，則y=f(x)是周期為

2a的周期函數(shù)；

(2)若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為21al的周期函數(shù)：

(3)若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為41al的周期函數(shù)；

(4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱，則f(x)是周期為2k一4的周期函數(shù)；

(5)尸f(x)的圖象關(guān)于直線*=*=1)6#1))對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2卜-4的周期函數(shù)；

(6)y=f(x)對(duì)xGR時(shí)，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=———,則y=f(x)是周期為21al的周期函數(shù)；

/(x)

例：(1)若函數(shù)/(x)在R上是奇函數(shù)，且在(—1,0)上是增函數(shù)，且/(x+2)=—/(x)

則①f(x)關(guān)于原點(diǎn)、和直線x=l對(duì)稱:②/(%)的周期為4；

③“X)在(1,2)是減函數(shù)(增、減)；

9

④若xe(0,l)時(shí),/(x)=2\則/(log118)=

2

(2)設(shè)/(x)是定義在(-00,+00)上，以2為周期的周期函數(shù)，且/(x)為偶函數(shù)，在區(qū)間［2,3］上，

/(x)=—2(x—3)2+4,貝ijxe［0,2］時(shí)，/(x)=-2(x-D'+4。

四、函數(shù)的圖象

1、基本函數(shù)的圖象：(1)一次函數(shù)、(2)二次函數(shù)、(3)反比例函數(shù)、(4)指數(shù)函數(shù)、(5)對(duì)數(shù)函數(shù)、(6)三角

函數(shù)。

2、圖象的變換

(1)平移變換

①函數(shù)片佝>切的圖象是把函數(shù)尸的圖象沿x軸向左移。個(gè)單位得到的；

②函數(shù)y=f(x+a),佝0的圖象是把函數(shù)尸f"的圖象沿x軸向右平移同個(gè)單位得到的：

③函數(shù)y=f(x)+a,佝的圖象是把函數(shù)k"的圖象沿y軸向上平移4個(gè)單位得到的:

④函數(shù)尸/1㈤3佝金的圖象是把函數(shù)片F(xiàn)/的圖象沿y軸向下平移同個(gè)單位得到的。

(2)對(duì)稱變換

①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù).y=-/(x)的圖象關(guān)于直線y=0對(duì)稱；

函數(shù)V=/(x)與函數(shù)V=-/(-%)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱;

②如果函數(shù)對(duì)于一切xeR,都有那么y=f㈤的圖象關(guān)于直線x=。對(duì)稱。

如果函數(shù)產(chǎn)片"對(duì)于一切xeR,都有那么產(chǎn)￥出)的圖象關(guān)于直線x=土蟲對(duì)稱。

2

③函數(shù)y=/(。+》)與函數(shù))，=/(a-x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱。

函數(shù)y=/(a+x)與函數(shù)y=f?㈤的圖象關(guān)于直線產(chǎn)(對(duì)稱

⑦證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；反之亦然；

⑧曲線Ci：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=—x+a)的對(duì)稱曲線Cz的方程為f(y—a,*+2)=0(或￡(一丫+%-*+2)=0);

⑨曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線G方程為:f(2a—x,2b—y)=0;

(3)伸縮變換

①y=af(x),(a>0)的圖象，可將y=/(x)的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(a>1)或縮短(0<a<1)到原

來(lái)的。倍。

②丁二/(ax),(a>0)的圖象，可將y=/(x)的圖象上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(0<a<1)或縮短(a>1)到

原來(lái)的L倍。

a

例：(1)已知函數(shù)y=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),則/(4-x)的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)

(2)由函數(shù)y=g)'的圖象，通過(guò)怎樣的變換得到產(chǎn)，。&x的圖象？

五、函數(shù)的反函數(shù)

1、求反函數(shù)的步驟：

①求原函數(shù)y=/(x),(xeA)的值域B②把y=/(x)看作方程，解出x=(p(y)；

③x,y互換的y=/(x)的反函數(shù)為y=/t(x),(xe8)。

2、注意：(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；(3)定義域?yàn)榉菃卧丶?/p>

偶函數(shù)不存在反函數(shù);(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);(5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性；(5)丫=儀噂與y=H(x)

互為反函數(shù)，設(shè)f(反的定義域?yàn)锳,值域?yàn)楹瘎t有f[fT(x)]=x(xGB),fYf(x)]=x(xGA).

例1：y=31ogz(l-x),(x>0)的反函數(shù)為、._________。

y=1-2予40)

2：已知/。)=/+2》+3,(x20),求y=/(2x-l)的反函數(shù)。y=^-y—(x>3)

3：設(shè)/(x)=9'—2?3',則f(0)=1。A2。

六、求函數(shù)的值域的常用解題方法：

①配方法。如函數(shù))>=》4一/+1的值域，特點(diǎn)是可化為二次函數(shù)的形式；

②換元法：如y=J1-2x+x

③單調(diào)性；如函數(shù)y=2"+log2XxG[l,2]

④利用反函數(shù)的思想：如函數(shù)y=2-smx

2+sinx

⑤利用函數(shù)的圖像：如函數(shù)y=|x+3|+|x-2|

⑥判別式法(△法)

⑦利用基本不等式：如函數(shù)y=,

1+2X+3

⑧利用表達(dá)式的幾何意義：

如函數(shù)y=,2/—6x+9+J2x〉-lOx+17

=y/(x-3)-―廠+—+(x-4)-

⑨.方程k=f(x)有解okGD(D為f(x)的值域)；

⑩.a》f(x)Oa》[f(x)]mx,;aWf(x)OaW[f(x)]

七、函數(shù)、方程與不等式

1、(1)log?b=logb"(a>0,a^l,b>0,nSR*);

(2)1ogaN=log”(a>0,a#l,b>0,bWl);

log〃a

(3)1og,b的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶;

(4)a108aN=N(a>0,aWl,N>0);

2、”實(shí)系數(shù)一元二次方程a/+云+，=0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“△=/-4acN0"，你是否注意到必須aw0；當(dāng)

"=0時(shí)，"方程有解”不能轉(zhuǎn)化為A=b2-4acZ0。若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你

是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形？

3、利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論一元二次

程實(shí)根的分布。

設(shè)為為方程fM=0,(a>0)的兩個(gè)實(shí)根。

①若*<m,x2>m,則=f(m)<0；

②當(dāng)在區(qū)間(m,n)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根時(shí),

o]⑴/(⑼力〃)<0

Q1(2)考慮端點(diǎn)，驗(yàn)證端點(diǎn)。

③當(dāng)在區(qū)間。小〃)內(nèi)有且只有兩個(gè)實(shí)根時(shí),

④若加<X]<“<p</<q時(shí)

o口(M?/(〃)<()

注意：①根據(jù)要求先畫出拋物線，然后寫出圖象成立的充要條件。

②注意端點(diǎn)，驗(yàn)證端點(diǎn)。

例：1、對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)=C—，若其所有的函數(shù)值都不超過(guò)1,則m的取值范圍[3.+8)。

x+1-------

[a?+(o

2、已知函數(shù)y=iog2-^4'的定義域是一切實(shí)數(shù)，則。e[0,1]

3、若關(guān)于x的方程22*+2匚。+a+1=0有實(shí)根，貝Ua4-8,2-2⑹。

4、設(shè)集合A=k|x2—4x+3<0},B是關(guān)于x的不等式組+的解集，試確定。的取值范圍，

‘I[x2-2(a+7)x+5<0

使A=8。(1,3都是集合B中兩不等式解集中的解，1,3滿足兩不等式)([-4,-3])

5、已知方程/+用工+〃?+1=。的兩個(gè)根為一個(gè)三角形兩內(nèi)角的正弦值，試求加的取值范圍。(將題目轉(zhuǎn)化為方

程有兩根在(0,1)上來(lái)解)

八、復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過(guò)中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函

數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集.

復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：

(1)單調(diào)性規(guī)律

如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間［m,n］上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間［g(m),g(n)］(或函數(shù)),g(m)］)上也是單

調(diào)函數(shù)，那么

若u=g(x),y=f(u)增減性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］為增函數(shù)；若u=g(x),y=f(u)增減性不同，則y=f［g(x)］

為減函數(shù).

(2)奇偶性規(guī)律

若函數(shù)g(x),f(x),f［g(x)］的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則u=g(x),y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=f［g(x)］是奇函數(shù);

u=g(x),y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y=f［g(x)］是偶函數(shù).

數(shù)列知識(shí)精要

［數(shù)列的通項(xiàng)公式］%

［數(shù)列的前n項(xiàng)和］S?=al+a2+a3+---+an

［等差數(shù)列的概念］

［定義］如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常

數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。

即：an-an_x=d(n>2,%W0,qH0)=｛怎｝成等比數(shù)列

［等差數(shù)列的判定方法］

1.定義法：對(duì)于數(shù)列｛%｝,若。,用—%=d(常數(shù))，則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列。

2.等差中項(xiàng)法：對(duì)于數(shù)列｛%｝,若2。,川=%+%+2,則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列。

［等差數(shù)列的通項(xiàng)公式］

如果等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是外,公差是d,則等差數(shù)列的通項(xiàng)為%=a｛+(〃-l)d。

［說(shuō)明］:該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。

［等差數(shù)列的前n項(xiàng)和］1.=2.$“=呻+若也"

［說(shuō)明］對(duì)于公式2整理后是關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)。

［等差中項(xiàng)］

如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做〃與b的等差中項(xiàng)。即：A=i或2A=a+b

2

［說(shuō)明］:在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng);

事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。

［等差數(shù)列的性質(zhì)］

1.等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果凡是等差數(shù)列的第〃項(xiàng)，“是等差數(shù)列的第機(jī)項(xiàng)，且〃?公差為d,

則有%=am+(n-m)d

2.對(duì)于笠差數(shù)列｛%｝，若〃+m=p+q，則%+am=ap+aq。

r_____________人____________\

也就是：%+%=%+。,1=。3+%-2=……，如圖所示：.'°2'。3,…

散+%-1

3.若數(shù)列｛氏｝是等差數(shù)列，S“是其前n項(xiàng)的和，keN*,那么凡，S2k-Sk,S3?—S2K成等差數(shù)列。如下圖

所示：

Q]++..?+Q&+ak+\+???+Q2k+。2女+1+???+a3k

、一、_J\-、-,\.、-1

SkS2k~SkS3k-S2k

4.設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，S“是前n項(xiàng)的和，則有如下性質(zhì)：①奇數(shù)

項(xiàng)…成等差數(shù)列，公差為2d

②偶數(shù)項(xiàng)。2，。4，。6”-成等差數(shù)列，公差為2d

③若有奇數(shù)項(xiàng)2〃+1項(xiàng)，則5奇+；2"+1..（〃+1）=%+1.（〃+1）

C_a2+a2n_的2右js奇+S偶=%+].（2〃+D=（2"+]）4中._n+1

■Jffll=----------〃—%+1?"所以有<ccT——-----

a+a

若有偶數(shù)項(xiàng)2〃項(xiàng)，貝口奇\2n-\

2

“2+42”

2

所以有S偶一s奇=（。2一）+（。4一〃3）+…+（“2〃-a2n-\）=

5.若等差數(shù)列"｝的前2〃-1項(xiàng)的和為S2,i，等差數(shù)列團(tuán)｝的前2"-1項(xiàng)的和為$21，則?=2。

［等比數(shù)列的概念］

［定義］:q-=22,%w0）=｛%｝成等比數(shù)歹U

1

［等比中項(xiàng)］

如果在。與8之間插入一個(gè)數(shù)G,使。，G,。成等比數(shù)列，那么G叫做。與。的等比中項(xiàng)。也就是，如果是的等比

中項(xiàng)，那么￡=2,即G=ab。

十”，力P—-=一，即u2=CiuO

aG

［等比數(shù)列的判定方法］

1.定義法：對(duì)于數(shù)列｛%｝,若&比=4（qH0）,則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列。

2.等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列｛%｝,若%%+2。0），則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列。

［等比數(shù)列的通項(xiàng)公式］

如果等比數(shù)列｛%）的首項(xiàng)是外,公比是4,則等比數(shù)列的通項(xiàng)為%

［等比數(shù)列的前n項(xiàng)和］

na、（q=1）

s“==a「a"q①豐口

〔1-qi-q

［等比數(shù)列的性質(zhì)］

1.等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果凡是等比數(shù)列的第〃項(xiàng)，6“是等差數(shù)列的第九項(xiàng)，且〃?（〃，公比為q,

nn

則有冊(cè)=amq-

2.對(duì)于篁比數(shù)列｛%｝,若〃+加=w+v,則?。皿=%,av

也就是：%.%=。2/1=。3-4-2=……。如圖所示：。1*2，&/"，冊(cè)-2，冊(cè)1,，。

3.若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，S“是其前n項(xiàng)的和，kwN*,那么又，S2k-Sk,S3&-S24成等比數(shù)列。如下圖所示:

ai+a2+a3+---+ak+ak+i+---+a2k+a2k+i+---+a3k

［練習(xí)］

1.數(shù)列｛a,｝中，為5=1°，45=90，若｛%｝是等差數(shù)列，則=；若｛??｝是等比數(shù)列，則。60=

2.在等差數(shù)列｛%｝中，若。3+劭+%1+%5+。17=0，則S21=；

3.兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和之比為生！，則它們的第9項(xiàng)之比為_(kāi)_______；

2/1-1

4.等差數(shù)列｛%｝的公差為g,且5必=145,則%+%+%+…+%9=；

5.項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44,偶數(shù)項(xiàng)之和為33,求此數(shù)列的中間項(xiàng)；

［數(shù)列的通項(xiàng)求法］

(1)等差，等比數(shù)列的通項(xiàng)

a,,(n=1)

⑵S”

(3)迭加累加，迭乘累乘

若冊(cè)一冊(cè)-1=/(“)，(〃22),若烏~=g(〃)

an-\

財(cái)=/(2)，啃3

%?=/(3),”;目⑶