微積分下冊期末考試試卷

微積分下冊期末考試試卷

考生姓名：學號：專業(yè)：

一、填空題(每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上)

1.點"(1,一1,2)至U平面x-2y+2z—l=0的距離d=.

2.已知W=2,卜，=3,a=3,則,+@=.

3.設/(〃/)可微，z=/(%-'；/),則dz=.

4.設/(%)在［0,1］上連續(xù)，且/(x)>0,a與b為常

數(shù).”小E。“卬叫喘詈”.

5.設/(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分次序"/(x,y)d)，=

JoJo

二、選擇題(每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題

目要求的，把所選字母填入題后的括號內(nèi))

x—1v—5z+5|x—y=6

6.直線九二二二7=二與直線，的夾角為()

1-21⑵+Z=3

(A)-4.(B)7-t.(C)7-T.(D)7-1.

2346

f—pcos。

7.設/(x,y)為連續(xù)函數(shù)，極坐標系中的二次積分［2d(9f/(rcose,rsin6)rdr可

JOJ0

以寫成直角坐標中的二次積分為()

(A)f(x,y)dx(B)f(x,y)dx

(C)J；dx￡^/(x,y)dy(D)*/(x,y)dy

0<x<-

2

8.設/(x)=S(x)為/(x)的以2為周期的余弦級數(shù)，則

S(-1)=()

1133

(A)—.(B)--.(C)—.(D)--.

2244

[廠:,(x,y)工(0,0),

9.設/(x,y)=JJ/+y4則/(x,y)在點0(0,0)處()

|o,(x,y)=(0,0),

(A)偏導數(shù)存在，函數(shù)不連續(xù)(B)偏導數(shù)不存在，函數(shù)連續(xù)

(C)偏導數(shù)存在，函數(shù)連續(xù)(D)偏導數(shù)不存在，函數(shù)不連續(xù)

三、解答題

(2x2+3v2+z2=9

10.(本題滿分10分)求曲線Z：《，在其上點歷(1,-1,2)處的

|/=3/+/

切線方程與法平面方程.

11.(本題滿分10分)設尸可微，z是由尸(x—y,^-2,2-3)=0確定的可微函數(shù),

并設居TF；，求生+生.

3dxdy

12.(本題滿分10分)設〃是由曲線y=》3與直線y=x圍成的兩塊有界閉區(qū)域

的并集，求JJ[e'+sin(x+y)]dcr.

D

2

元2+9丫2_Q7-n

13.(本題滿分10分)求空間曲線￡：1-上的點到X。)，平面的距離

x+3y+3z=5

最大值與最小值.

14.(本題滿分10分)設平面區(qū)域/?={(x,y)|0<x<l,0<y<l},計算二重積分

ff|x2+/-l|da.

D

15.(本題滿分5分)設當y>0時〃(x,y)可微，且已知

VX

du(x,y)=(―^-7+肛2)dx+(一一；——r+Vy+2y)dy.求w(x,y)?

廠+yr+y

微積分下冊期末考試試卷參考答案

一、填空題（每小題5分，共25分）

1+2+4-

1.2.

3

2.BB卜+5）?（6+5）=，同2+問I+25?5=「4+9+6=JT5.

y}x>，xx

3.dz=(//?yx~+/2>lny\lx+(/；-xlnx+f^xy-)dy

4.

2/=Jj(a+b)d(y=a+b,I-—(a+0).

D2

5-J：dxJ；2/(x,y)dy="［憂/(x,y)dx

-J：力1d/(X，y)dx=^=-J：力￡累〃x，y)dx.

二、選擇題（每小題5分，共20分）

6.選（B）.Z的方向向量（1-2,1},4的方向向量{-1-1,2）,

2事華士L」,

6=三

V6V6623

7.選（D）.枳分區(qū)域。=卜,）*+/4x,y?o},化成直角坐標后故知選（D）.

8.選(C).S(—g)=S(—f=5弓)=3(/(；—0)+/§+0))=；(；+1)=：

0-0

9.選(A).月(0,0)=理三=0,4(0,0)=0,偏導數(shù)存在.

取y=H,lim/(x,kx)=lim「=/%

Xf°Z°jl1+%k4Vl+Jt4

隨左而異，所以不連續(xù).

三、解答題（10?14每題10分，15題5分，共55分）

10.由L,視x為自變量，有

6小2

+y十z

區(qū)

4X=0,

立

6X+2y2z

一=0.

Jx

以（x,y,z）=（1,一1,2）代入并解出半，半，得

axax

dy_5dz_7

瓦―"瓦一W’

所以切線方程為

x-1y+1z-2

---------------------=------------9

157

48

法平面方程為

57

(x-l)+-(y+l)+-(z-2)=0,即8x+10y+7z-12=0.

48

dz_F；_F；-F；dz_F；_F\'+F；?z/z_F；—F；

dxF；-F；+F；dyF[-F；+F；dxdyF；-F；

12.〃在第一象限中的一塊記為幾〃在第三象限中的一塊記為圓

+sin(x+y)}/cr=JJe'Jcr+^exda+J|sin(x+y)d<y+|Jsin(x+y)da.

DZ)|I)2。2

0

上db+JJJd”￡dxj/dy+J]dxJexdy

AD2

a-

dx+dx=j一工卜廠dx

2g-liult

°edu-￡uedu=e-l-(ue-e")|'}=e-l-l=e-2

|jsin(x+y)c/cr+JJsin(x+y)c/b=￡Jxj?sin(x+y)Jy4-1sin(x+y)dy

D2

cos(x+x)-cos(x+%3)]dx-J〔COS(x+丁)-COS(

0

cos(x+x)-cos(x+%3)]dx+j[cos(x+『)-cos(x+=0

0

所以，原式二e—2.

13.￡上的點到平面xoy的距離為忖，它的最大值點，最小值點與F的一致，用拉格

朗日乘數(shù)法，設尸(x,y,z,%〃)=z?+4卜2+9)”-2z2)+〃(x+3y+3z-5),

求偏導數(shù)，并令其為零有：

蘇

=2Ax+//=0,--=18/ly+3//=0,

axdx

竺dFo?

及=2z-4/lz+3〃=0,￡=f+9y2-2z=0,

dx

"

=x+3y+3z-5=0.

加

解之得兩組解(x,y,z)i=(1,；,1)；(x,y,z)2=(-5,-1,5).所以當x=l,y=；時,

忖=1最?。划攛=-5,y=-§忖，|z|=5最大.

14.將分成如圖的兩塊，,的圓記為4,另一塊記為@

4

jj|x24-y2=jj(l-x2-y2)d(r+JJ(x2+y2-\)d(j

DD|D2

=|j(l-x2-y2ko■+jj(x2+y2-\\l(y-jj(x2+y2-\\l(y

DiDD1

=2-y2”b+jj(x2+y2-ijjcr

D|D

2d0

=FJ；0i)"+J；辦[：(/+

VX

15.由du(x,y]=(—^~-+xy2)rfx+(——-------+x2y+2y)dy,有

x+yx+y

史=/2+孫2，從而知u(x,y)=a