廣東省肇慶市大旺高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省肇慶市大旺高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓，直線，若橢圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則m的取值范圍是(

)A. B.C. D.參考答案：C【分析】設(shè)，是橢圓C上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為，根據(jù)橢圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，將A，B兩點(diǎn)代入橢圓方程，兩式作差可得，點(diǎn)M在橢圓C內(nèi)部，可得，解不等式即可.【詳解】設(shè)，是橢圓C上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為，則，，.又因?yàn)锳，B在橢圓C上，所以，，兩式相減可得，即.又點(diǎn)M在l上，故，解得，.因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C內(nèi)部，所以，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及在圓錐曲線中“設(shè)而不求”的思想，屬于基礎(chǔ)題.2.

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D3.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分子分母同時(shí)乘以，得出，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出?！驹斀狻拷猓海蔬x：A．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義。若，，，，在進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算時(shí)，分子分母同時(shí)應(yīng)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)。4.已知直三棱柱的各頂點(diǎn)都在球的球面上，且,若球的體積為,則這個(gè)直三棱柱的體積等于A.

B.

C.2

D.參考答案：B5.如圖在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D為直角，AB=3，AD=，E為BC中點(diǎn)，若=3，則的值是（）A．6B．﹣6C．3D．﹣3參考答案：D考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)=3和=0，利用向量的加法運(yùn)算求出，再由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，利用向量的加減法運(yùn)算求出和，由向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)求出的值．解答：解：由題意得，==3，∵AB∥CD，∠D為直角，∴=0，代入上式得，，即，得，則AC===∵E為BC中點(diǎn)，∴=，且=，∴=?（）=﹣（）=﹣（9﹣3）=﹣3，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用，以及向量的加減法和數(shù)乘幾何意義，解答關(guān)鍵是利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．6.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，若g（2）=a，則f（2）=（）A．2 B． C． D．a(chǎn)2參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】利用函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，由條件f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，構(gòu)建方程組，然后求解即可．【解答】解：∵f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，g（2）=a，∴f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2．①，∵f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，∴當(dāng)x=﹣2時(shí)，f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2

②即﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③①+③得：2g（2）=4，即g（2）=2，又g（2）=a，∴a=2．代入①得：f（2）+2=22﹣2﹣2+2，∴f（2）=22﹣2﹣2=4﹣=．故選：B．7.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a為（）A．2B．﹣2C．D．參考答案：A考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)后它的實(shí)部為0，可求實(shí)數(shù)a的值．解答：解：復(fù)數(shù)==，它是純虛數(shù)，所以a=2，故選A點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查計(jì)算能力，常考題型．8.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則為

．（

）

A．0

B．

C．

D．參考答案：

略9.已知函數(shù)是一個(gè)求余函數(shù)，記表示除以的余數(shù)，例如．右圖是某個(gè)算法的程序框圖，若輸入的值為56，則輸出的值為

()A．6

B．7

C．8

D．9參考答案：B此框圖的功能是求大于的約數(shù)的個(gè)數(shù)，其約數(shù)有，，，，，，，共有個(gè)，故應(yīng)選B．10.從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選取：先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行，則每人入選的概率（

）A．不全相等

B．均不相等

C．都相等且為

D．都相等且為參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以下命題正確的是

。

①把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象；

②一平面內(nèi)兩條曲線的方程分別是，它們的交點(diǎn)是，

則方程表示的曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；

③為長(zhǎng)方形，，，為的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取一

點(diǎn)，取得的點(diǎn)到距離大小1的概率為；

④若等差數(shù)列前項(xiàng)和為，則三點(diǎn)共線。參考答案：①②④略12.已知曲線f（x）=xsinx+1在點(diǎn)（，+1）處的切線與直線ax﹣y+1=0互相垂直，則實(shí)數(shù)a=

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】欲求出實(shí)數(shù)a，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．【解答】解：f′（x）=sinx+xcosx，∵曲線在點(diǎn)（，+1）處的切線與直線ax﹣y+1=0互相垂直，∴根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得：f′（）=﹣，即：1=﹣，解得：a=﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查垂直直線的斜率關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)．屬于基礎(chǔ)題．13.如圖是底面半徑為1，母線長(zhǎng)均為2的圓錐和圓柱的組合體，則該組合體的體積為．參考答案：（2+）π【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】分別計(jì)算圓錐和圓柱的體積，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，圓錐的高為，體積為=π，圓柱的體積為π?12?2=2π，∴該組合體的體積為（2+）π．故答案為：（2+）π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐和圓柱的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．14.已知，，則

．參考答案：

15.不等式logax﹣ln2x＜4（a＞0，且a≠1）對(duì)任意x∈（1，100）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：（0，1）∪（，+∞）

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】不等式轉(zhuǎn)化為＜（lnx）2+4，令t=lnx，得到＜t2+4在t∈（0，ln100）恒成立，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解答】解：∵不等式logax﹣ln2x＜4，∴＜（lnx）2+4，令t=lnx，∵x∈（1，100），∴t=lnx∈（0，ln100），∴＜t2+4在t∈（0，ln100）恒成立，0＜a＜1時(shí)，lna＜0，顯然成立，a＞1時(shí)，lna＞0，故lna＞，令g（t）=，t∈（0，ln100），則g′（t）=，令g′（t）＞0，解得：0＜t＜2，令g′（t）＜0，解得：t＞2，故g（t）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，故g（t）≤g（2）=，故lna＞，解得：a＞，綜上，a∈（0，1）∪（，+∞），故答案為：（0，1）∪（，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．16.“”是“”

▲

的條件．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】充分條件、必要條件A2【答案解析】既不充分也不必要條件．當(dāng)x=，滿足x＞，但sinx=，則sinx＞不成立，即充分性不成立．

若x=-2π+滿足sinx=＞，但x＞不成立，即必要性不成立．

故“x＞”是“sinx＞”的既不充分也不必要條件．故答案為既不充分也不必要條件．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．17.已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．參考答案：【分析】函數(shù)f（x）可以看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，ex）與動(dòng)點(diǎn)N（-a，-）之間距離的平方，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由y=ex得，y′=ex=，曲線上點(diǎn)M（-1，）到直線y=x的距離最小，要使f（x0）≤，則f（x0）=，然后求解a即可．【詳解】函數(shù)f（x）=（x+a）2+（ex+）2，函數(shù)f（x）可以看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，ex）與動(dòng)點(diǎn)N（-a，-）之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y=ex的圖象上，N在直線y=x的圖象上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，所以曲線上點(diǎn)M（-1，）到直線y=x的距離最小，最小距離d=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（x0）≤，則f（x0）=，此時(shí)N恰好為垂足，由KMN=-e，解得a=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知. （Ⅰ）求函數(shù)最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程； （Ⅱ）已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，求周長(zhǎng)的最大值．參考答案：（Ⅰ） ∴， 令，解得， ∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即， ∵，∴， ∴， ∴． 由余弦定理可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.于是.故周長(zhǎng)的最大值為.19.已知函數(shù)f(x)＝lg，其中a為常數(shù)，若當(dāng)x∈(－∞，1]時(shí)，f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：＞0，且a2－a＋1＝(a－)2＋＞0，∴1＋2x＋4x·a＞0，a＞－(＋)，當(dāng)x∈(－∞，1]時(shí)，y＝與y＝都是減函數(shù)，∴y＝－(＋)在(－∞，1]上是增函數(shù)，－(＋)≤－，∴a＞－，故a的取值范圍是(－，＋∞)．

20.本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且，（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．

參考答案：(本小題滿分12分)解：（1）證明：因?yàn)?，則

所以當(dāng)時(shí)，，

整理得．

由，令，得，解得．

所以是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．

（2）解：因?yàn)椋?/p>

由，得．

所以

Ks5u所以．

略21.從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【分析】先求出基本事件總數(shù)n==60，再求出這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率．【解答】解：從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，基本事件總數(shù)n==6