2024年浙江省杭州市臨安區(qū)九年級(jí)中考一模數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024年浙江省杭州市臨安區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只一項(xiàng)符合題目要求.1．（3分）下列實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．﹣1 B． C．|﹣2| D．32．（3分）截止2023年底，浙江省農(nóng)村公路總里程達(dá)到102000公里，數(shù)據(jù)102000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．10.2×104 B．1.02×105 C．0.102×106 D．1.02×1063．（3分）如圖，交通錐是由一個(gè)圓臺(tái)和長方體底座組成的一種臨時(shí)道路標(biāo)示，則其俯視圖正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）在20瓶飲料中有2瓶已過了保質(zhì)期，從20瓶飲料中任取1瓶，取到已過了保質(zhì)期的飲料的概率是（）A． B． C． D．5．（3分）將二次根式化簡，正確的結(jié)果是（）A． B． C． D．6．（3分）已知∠α＝42°12′，與∠α互余的角的度數(shù)是（）A．132°12′ B．137°48′ C．57°48′ D．47°48′7．（3分）一部電梯的額定限載量為1000千克．兩人要用電梯把一批重物從底層搬到頂層，這兩人的身體質(zhì)量分別為60千克和80千克，每箱貨物的質(zhì)量為50千克，設(shè)每次搬x箱重物，則下面所列關(guān)系正確的是（）A．50x+60+80＝1000 B．50x+60+80≤1000 C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥10008．（3分）日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1），它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足為點(diǎn)C，BD⊥CD，垂足為點(diǎn)D，CD＝16cm，⊙O的半徑r＝10cm，則圓盤離桌面CD最近的距離是（）A．6 B．5 C．2 D．19．（3分）已知y1與y2均是關(guān)于x的二次函數(shù)，y1＝ax2+bx+c，y2＝cx2+bx+a（ac≠0，且a≠b）．經(jīng)過研究，甲認(rèn)為：若函數(shù)y1的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則函數(shù)y2的圖象一定過點(diǎn)；乙認(rèn)為：若函數(shù)y1的圖象與函數(shù)y2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1．下列選項(xiàng)正確的是（）A．甲說法正確，乙說法不正確 B．甲說法不正確，乙說法正確 C．甲、乙說法都正確 D．甲、乙說法都不正確10．（3分）如圖，點(diǎn)E為正方紙片ABCD中BC邊上的一點(diǎn)，且，連接AE，沿AE折疊該紙片，點(diǎn)B落在正方形內(nèi)點(diǎn)M處，延長AM交DC于點(diǎn)G，則DG：GC的值為（）A．2：3 B．1：2 C．5：7 D．3：4二、填空題：本大題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分.11．（3分）計(jì)算：2a2﹣a2＝．12．（3分）要使分式有意義，則x的取值范圍是．13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，則sin∠BAO的值為．14．（3分）如圖，放縮尺是利用圖形的位似將圖形放大或縮小的工具，點(diǎn)O的位置固定不變，在A，A′處裝有筆，當(dāng)畫筆A沿圖F運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫筆A′畫出圖形F′，圖形就放大了，反之，圖形就縮小了．位似比可以通過調(diào)節(jié)點(diǎn)B，D的位置來確定，調(diào)整時(shí)確保AB∥DC，AD∥BC，點(diǎn)O，F(xiàn)，F(xiàn)′在同一直線上，若OD：DC＝1：2，圖形F的面積為1.5，則圖形F′的面積為．15．（3分）計(jì)劃利用已有一堵長為7.9米的墻，用籬笆圍成面積為12平方米的矩形園子．可用籬笆的總長為11米，可以得到多種圍法，如用2.5米長的籬笆作為矩形的寬，用4.8米長的籬笆作為矩形的長等，請(qǐng)你寫出其中一種圍法，如．16．（3分）如圖，△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，延長BO交AC于點(diǎn)D，OE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F是OB上一點(diǎn)，OE＝OF，若∠ABC＝m∠OEF，∠ACB＝n∠OEF，則m，n滿足的關(guān)系式是．三、解答題：本大題有8個(gè)小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算。17．（6分）先化簡再求值：（3+x）2+（3+x）（3﹣x），其中．18．（6分）如圖，在四邊形ACBD中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°．（1）求證：CE＝BD．（2）若，求BD的長．19．（8分）2023年9月23日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州市隆重開幕．在本屆亞運(yùn)會(huì)上，共有來自45個(gè)國家和地區(qū)的運(yùn)動(dòng)員參加比賽．在亞運(yùn)會(huì)開幕前，杭州市某學(xué)校為了讓學(xué)生了解亞運(yùn)會(huì)，學(xué)生會(huì)組織了“亞運(yùn)知識(shí)知多少”的趣味比賽活動(dòng)，并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的比賽成績（百分制）進(jìn)行整理、分析并繪制成了統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：抽取的學(xué)生比賽成績分布表組別分?jǐn)?shù)/分頻數(shù)A組90≤x＜100aB組80≤x＜9012C組70≤x＜806D組x＜70b請(qǐng)根據(jù)圖表給出的信息回答下列問題．（1）求表中a的值和扇形統(tǒng)計(jì)圖中B所在扇形的圓心角度數(shù)．（2）抽取的這部分學(xué)生比賽成績的中位數(shù)落在哪一組？（3）成績不低于80分的為“優(yōu)秀”，該學(xué)校一共有1020名學(xué)生，那么在本次趣味比賽中獲得“優(yōu)秀”的學(xué)生大概有多少人？20．（8分）如圖1，投石機(jī)是古代威力巨大的武器，是現(xiàn)代大炮的鼻祖，我國在漢朝時(shí)期就被大量運(yùn)用于戰(zhàn)場．它由杠桿、支架、彈袋和重錘等部件組成．其原理是通過彈力使杠桿繞著支點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)把石頭甩出，以達(dá)到傷敵的效果．如圖2是投石機(jī)的示意圖，杠桿AB＝5米，杠桿初始位置與地面成34°角，即∠ABC＝34°．當(dāng)杠桿甩出石頭停止旋轉(zhuǎn)時(shí)∠B′AB＝100°．求：（1）彈袋B轉(zhuǎn)過的路程．（2）杠桿旋轉(zhuǎn)停止時(shí)彈袋B距離地面多少米．（參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.5，cos34°≈0.83，tn34°≈0.67，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）21．（10分）如圖，小車從點(diǎn)A出發(fā)，沿與水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑過程中小車速度逐漸增加，設(shè)小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面BE的高度為h，小車從點(diǎn)A滑行到最低點(diǎn)B所用的時(shí)間為t（秒），小車滑行到點(diǎn)B時(shí)的速度為v（厘米/秒）．速度v與時(shí)間t滿足關(guān)系：v＝10t，高度h與時(shí)間t滿足關(guān)系：（g≠0，g是常數(shù)），當(dāng)小車出發(fā)點(diǎn)小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面BE的高度為20（厘米）時(shí)，小車從點(diǎn)A滑到最低點(diǎn)B需要2秒．（1）當(dāng)小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面BE的高度為45（厘米）時(shí)，小車滑到最低點(diǎn)B需要幾秒鐘？此時(shí)小車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度是多少？（2）小車?yán)^續(xù)在粗糙的水平地面BE上滑行，設(shè)滑行的距離為s（厘米），小車從斜坡滑行到點(diǎn)B時(shí)速度為v（厘米/秒），小車在水平地面BE上滑行的時(shí)間為T（秒），若s與v，T之間滿足以下關(guān)系：+vT（a≠0，a是常數(shù)），當(dāng)v＝20（厘米/秒）時(shí)，s＝50（厘米），T＝5（秒）．如果把小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面BE的距離h提高到125厘米，那么當(dāng)滑行到時(shí)間T＝4秒時(shí)，小車在水平地面BE上滑行的距離為多少？22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一塊45°角的三角板ABC，∠BAC＝90°，A，B兩點(diǎn)分別落在x軸和y軸上，直線AB的解析式為y＝﹣2x+2，AB右側(cè)有一條直線l到AB的距離為．（1）求AC的長．（2）用尺規(guī)作出直線l（保留作圖痕跡，不寫作法）．（3）若直線l與BC邊交于點(diǎn)D，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)D，求出k的值．23．（12分）【背景】如圖（1），點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AD，AB的中點(diǎn)，CE與DF相交于點(diǎn)P，連接BP．同學(xué)們?cè)谘芯繄D形時(shí)，作DH∥BP交CE于點(diǎn)H，發(fā)現(xiàn)：．他們通過作三角形的中位線，構(gòu)造全等三角形，找到與線段DH相等的線段，得到了多種方法證明成立．【猜想】若把正方形ABCD改成平行四邊形ABCD，其余條件不變，如圖（2），結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說明理由．【延伸】在圖（2）的條件下連接BH，那么四邊形BHDP的面積和△BPF的面積有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．24．（12分）在△ABC中，BC＝10，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠ABC＝90°，BE：EC＝2：3，求DE的長．（2）如圖2，若∠ABC＜90°，AB與⊙O相交于點(diǎn)F，連接FD，當(dāng)點(diǎn)E與圓心O重合時(shí)，①求證：FD＝DC；②四邊形FBCD的周長有最大值嗎？請(qǐng)說明理由．參考答案與試題解析一、選擇題：本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只一項(xiàng)符合題目要求.1．（3分）下列實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．﹣1 B． C．|﹣2| D．3【解答】解：|﹣2|＝2，∵﹣1＜＜|﹣2|＜3，∴所給的實(shí)數(shù)中，最大的數(shù)是3．故選：D．2．（3分）截止2023年底，浙江省農(nóng)村公路總里程達(dá)到102000公里，數(shù)據(jù)102000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．10.2×104 B．1.02×105 C．0.102×106 D．1.02×106【解答】解：102000＝1.02×105．故選：B．3．（3分）如圖，交通錐是由一個(gè)圓臺(tái)和長方體底座組成的一種臨時(shí)道路標(biāo)示，則其俯視圖正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：從上邊看，是一個(gè)正方形，正方形內(nèi)部有兩個(gè)同心圓．故選：C．4．（3分）在20瓶飲料中有2瓶已過了保質(zhì)期，從20瓶飲料中任取1瓶，取到已過了保質(zhì)期的飲料的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：∵在20瓶飲料中有2瓶已過了保質(zhì)期，∴從20瓶飲料中任取1瓶，取到已過了保質(zhì)期的飲料的概率是＝，故選：A．5．（3分）將二次根式化簡，正確的結(jié)果是（）A． B． C． D．【解答】解：＝＝10．故選：C．6．（3分）已知∠α＝42°12′，與∠α互余的角的度數(shù)是（）A．132°12′ B．137°48′ C．57°48′ D．47°48′【解答】解：∵∠α＝42°12′，∴∠α互余的角的度數(shù)是90°﹣42°12′＝89°60′﹣42°12′＝47°48′，故選：D．7．（3分）一部電梯的額定限載量為1000千克．兩人要用電梯把一批重物從底層搬到頂層，這兩人的身體質(zhì)量分別為60千克和80千克，每箱貨物的質(zhì)量為50千克，設(shè)每次搬x箱重物，則下面所列關(guān)系正確的是（）A．50x+60+80＝1000 B．50x+60+80≤1000 C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥1000【解答】解：設(shè)每次搬x箱重物，根據(jù)題意得，50x+60+80≤1000，故選：B．8．（3分）日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1），它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足為點(diǎn)C，BD⊥CD，垂足為點(diǎn)D，CD＝16cm，⊙O的半徑r＝10cm，則圓盤離桌面CD最近的距離是（）A．6 B．5 C．2 D．1【解答】解：連接AB，OA，過點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G，交AB一點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD，∴四邊形ACDB是平行四邊形，∵∠ACD＝90°，∴四邊形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵OG⊥CD，∴OG⊥AB，∴AE＝EB＝8cm，∴OE＝＝＝6（cm），∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm），∵EG＝AC＝BD＝5cm，∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm），∴圓盤離桌面CD最近的距離是1cm，故選：D．9．（3分）已知y1與y2均是關(guān)于x的二次函數(shù)，y1＝ax2+bx+c，y2＝cx2+bx+a（ac≠0，且a≠b）．經(jīng)過研究，甲認(rèn)為：若函數(shù)y1的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則函數(shù)y2的圖象一定過點(diǎn)；乙認(rèn)為：若函數(shù)y1的圖象與函數(shù)y2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1．下列選項(xiàng)正確的是（）A．甲說法正確，乙說法不正確 B．甲說法不正確，乙說法正確 C．甲、乙說法都正確 D．甲、乙說法都不正確【解答】解：由題意，對(duì)于y1＝ax2+bx+c，y2＝cx2+bx+a，分別令y1＝ax2+bx+c＝0，y2＝cx2+bx+a＝0，∵ac≠0，∴方程的解x≠0，a≠0，c≠0．對(duì)于cx2+bx+a＝0兩邊同時(shí)除以x2得，a?（）2+b?（）+c＝0．若函數(shù)y1的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），∴方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根是x＝m，則方程a?（）2+b?（）+c＝0有＝m，即x＝，故方程cx2+bx+a＝0的一個(gè)是x＝．∴函數(shù)y2的圖象一定過點(diǎn)，故甲的說法正確．又當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝a+b+c，y2＝a+b+c，∴函數(shù)y1的圖象與函數(shù)y2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1．∴乙的說法正確．故選：C．10．（3分）如圖，點(diǎn)E為正方紙片ABCD中BC邊上的一點(diǎn)，且，連接AE，沿AE折疊該紙片，點(diǎn)B落在正方形內(nèi)點(diǎn)M處，延長AM交DC于點(diǎn)G，則DG：GC的值為（）A．2：3 B．1：2 C．5：7 D．3：4【解答】解：作EF∥AG交AB于點(diǎn)F，則∠BFE＝∠BAG，∠FEA＝∠MAE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠B＝∠D＝90°，∴∠AGD＝∠BAG，∴∠AGD＝∠BFE，由折疊得∠FAE＝∠MAE，∴∠FAE＝∠FEA，設(shè)AB＝BC＝AD＝CD＝3m，則EF＝AF＝3m﹣BF，∵＝，∴BE＝BC＝BC＝2m，∵BE2+BF2＝EF2，∴（2m）2+BF2＝（3m﹣BF）2，∴BF＝m，∴＝＝tan∠AGD＝tan∠BFE＝＝＝，∴DG＝CD，∴GC＝CD﹣CD＝CD，∴＝＝，即DG：GC＝5：7，故選：C．二、填空題：本大題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分.11．（3分）計(jì)算：2a2﹣a2＝a2．【解答】解：2a2﹣a2＝a2．故答案為：a2．12．（3分）要使分式有意義，則x的取值范圍是x≠1．【解答】解：由題意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案為：x≠1．13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，則sin∠BAO的值為．【解答】解：將x＝0代入直線函數(shù)解析式得，y＝﹣3，所以點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣3）．將y＝0代入直線函數(shù)解析式得，，解得x＝﹣4，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，0）．函數(shù)圖象如圖所示，在Rt△AOB中，AB＝，所以sin∠BAO＝．故答案為：．14．（3分）如圖，放縮尺是利用圖形的位似將圖形放大或縮小的工具，點(diǎn)O的位置固定不變，在A，A′處裝有筆，當(dāng)畫筆A沿圖F運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫筆A′畫出圖形F′，圖形就放大了，反之，圖形就縮小了．位似比可以通過調(diào)節(jié)點(diǎn)B，D的位置來確定，調(diào)整時(shí)確保AB∥DC，AD∥BC，點(diǎn)O，F(xiàn)，F(xiàn)′在同一直線上，若OD：DC＝1：2，圖形F的面積為1.5，則圖形F′的面積為13.5．【解答】解：如圖，因?yàn)镺，F(xiàn)，F(xiàn)′在同一直線上，連接OF′．∵DF∥CF′，∴OF：FF′＝OD：DC＝1：2，∴OF：OF′＝1：3，∴圖形F的面積：圖形F′的面積＝1：9，∵圖形F的面積為1.5，∴圖形F′的面積＝13.5，故答案為：13.5．15．（3分）計(jì)劃利用已有一堵長為7.9米的墻，用籬笆圍成面積為12平方米的矩形園子．可用籬笆的總長為11米，可以得到多種圍法，如用2.5米長的籬笆作為矩形的寬，用4.8米長的籬笆作為矩形的長等，請(qǐng)你寫出其中一種圍法，如寬為4m時(shí)，長為3m（答案不唯一）．【解答】解：設(shè)園子的寬為xm，長為ym，根據(jù)題意得：，∴x＝6，y＝2或x＝4，y＝3或x＝3，y＝4，∴以下三種圍法均符合題意：寬為2m時(shí)，長為6m，寬為3m時(shí)，長為4m，寬為4m時(shí)，長為3m．故答案為：寬為4m時(shí)，長為3m（答案不唯一）．16．（3分）如圖，△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，延長BO交AC于點(diǎn)D，OE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F是OB上一點(diǎn)，OE＝OF，若∠ABC＝m∠OEF，∠ACB＝n∠OEF，則m，n滿足的關(guān)系式是m+n＝2．【解答】解：如圖，延長BO交⊙O于點(diǎn)H，連接CH，∵BH為⊙O的直徑，∴∠BCH＝90°，∵OE⊥BC，∴∠OEB＝90°，∴∠BCH＝∠OEB，∴OE∥CH，∴∠H＝∠EOF，∵OE＝OF，∴∠OFE＝∠OEF，∴∠EOF＝180°﹣2∠OEF，∴∠H＝180°﹣2∠OEF，∴∠A＝∠H＝180°﹣2∠OEF，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，即∠ABC+∠ACB＝180°﹣（180°﹣2∠OEF）＝2∠OEF，∵∠ABC＝m∠OEF，∠ACB＝n∠OEF，∴∠ABC+∠ACB＝（m+n）∠OEF，∴m+n＝2，故答案為：m+n＝2．三、解答題：本大題有8個(gè)小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算。17．（6分）先化簡再求值：（3+x）2+（3+x）（3﹣x），其中．【解答】解：（3+x）2+（3+x）（3﹣x）＝9+6x+x2+9﹣x2＝18+6x，當(dāng)時(shí)，原式＝18+6×（﹣）＝18+（﹣3）＝15．18．（6分）如圖，在四邊形ACBD中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°．（1）求證：CE＝BD．（2）若，求BD的長．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°，∴∠ACE＝∠B＝90°﹣∠BCD，∠CEA＝∠BDC＝90°，在△ACE和△CBD中，，∴△ACE≌△CBD（AAS），∴CE＝BD．（2）解：∵AC＝AD＝2，AE⊥CD，∴CE＝DE，∴AE＝CD＝2CE＝2BD，∴AC＝＝＝BD，∴BD＝2，∴BD＝2，∴BD的長為2．19．（8分）2023年9月23日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州市隆重開幕．在本屆亞運(yùn)會(huì)上，共有來自45個(gè)國家和地區(qū)的運(yùn)動(dòng)員參加比賽．在亞運(yùn)會(huì)開幕前，杭州市某學(xué)校為了讓學(xué)生了解亞運(yùn)會(huì)，學(xué)生會(huì)組織了“亞運(yùn)知識(shí)知多少”的趣味比賽活動(dòng)，并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的比賽成績（百分制）進(jìn)行整理、分析并繪制成了統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：抽取的學(xué)生比賽成績分布表組別分?jǐn)?shù)/分頻數(shù)A組90≤x＜100aB組80≤x＜9012C組70≤x＜806D組x＜70b請(qǐng)根據(jù)圖表給出的信息回答下列問題．（1）求表中a的值和扇形統(tǒng)計(jì)圖中B所在扇形的圓心角度數(shù)．（2）抽取的這部分學(xué)生比賽成績的中位數(shù)落在哪一組？（3）成績不低于80分的為“優(yōu)秀”，該學(xué)校一共有1020名學(xué)生，那么在本次趣味比賽中獲得“優(yōu)秀”的學(xué)生大概有多少人？【解答】解：（1）總抽取人數(shù)為：6÷20%＝30（人），∴a＝30×30%＝9（人），扇形統(tǒng)計(jì)圖中B所在扇形的圓心角度數(shù)：×360°＝144°，答：a的值為9人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中B所在扇形的圓心角度數(shù)為144°．（2）D組的人數(shù)為：30﹣9﹣12﹣6＝3（人），將成績按從小到大的順序排序，中位數(shù)落在B組，答：抽取的這部分學(xué)生比賽成績的中位數(shù)落在B組．（3）1020×＝714（人），答：本次趣味比賽中獲得“優(yōu)秀”的學(xué)生大概有714人．20．（8分）如圖1，投石機(jī)是古代威力巨大的武器，是現(xiàn)代大炮的鼻祖，我國在漢朝時(shí)期就被大量運(yùn)用于戰(zhàn)場．它由杠桿、支架、彈袋和重錘等部件組成．其原理是通過彈力使杠桿繞著支點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)把石頭甩出，以達(dá)到傷敵的效果．如圖2是投石機(jī)的示意圖，杠桿AB＝5米，杠桿初始位置與地面成34°角，即∠ABC＝34°．當(dāng)杠桿甩出石頭停止旋轉(zhuǎn)時(shí)∠B′AB＝100°．求：（1）彈袋B轉(zhuǎn)過的路程．（2）杠桿旋轉(zhuǎn)停止時(shí)彈袋B距離地面多少米．（參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.5，cos34°≈0.83，tn34°≈0.67，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）【解答】解：（1）∵∠BAB'＝100°，AB＝5米，∴彈袋B轉(zhuǎn)過的路程＝＝（米），答：彈袋B轉(zhuǎn)過的路程為米；（2）過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)B'作B'E⊥FA，交FA的延長線于點(diǎn)E，在Rt△ABF中，∵∠ABF＝34°，AB＝5米，∴AF＝AB?sin∠ABF＝5×sin34°≈2.5（米），∠BAF＝90°﹣∠ABF＝56°，在Rt△AB'E中，∵∠AB'E＝90°﹣∠B'AE＝90°﹣（180°﹣∠BAB'﹣∠BAF）＝90°﹣（180°﹣100°﹣56°）＝66°，AB'＝5米，∴AE＝AB'?sin∠AB'E＝5×sin66°≈4.55（米），∴EF＝AF+AE＝2.5+4.55＝7.05（米），即杠桿旋轉(zhuǎn)停止時(shí)彈袋B距離地面7.05米．21．（10分）如圖，小車從點(diǎn)A出發(fā)，沿與水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑過程中小車速度逐漸增加，設(shè)小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面BE的高度為h，小車從點(diǎn)A滑行到最低點(diǎn)B所用的時(shí)間為t（秒），小車滑行到點(diǎn)B時(shí)的速度為v（厘米/秒）．速度v與時(shí)間t滿足關(guān)系：v＝10t，高度h與時(shí)間t滿足關(guān)系：（g≠0，g是常數(shù)），當(dāng)小車出發(fā)點(diǎn)小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面BE的高度為20（厘米）時(shí)，小車從點(diǎn)A滑到最低點(diǎn)B需要2秒．（1）當(dāng)小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面BE的高度為45（厘米）時(shí)，小車滑到最低點(diǎn)B需要幾秒鐘？此時(shí)小車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度是多少？（2）小車?yán)^續(xù)在粗糙的水平地面BE上滑行，設(shè)滑行的距離為s（厘米），小車從斜坡滑行到點(diǎn)B時(shí)速度為v（厘米/秒），小車在水平地面BE上滑行的時(shí)間為T（秒），若s與v，T之間滿足以下關(guān)系：+vT（a≠0，a是常數(shù)），當(dāng)v＝20（厘米/秒）時(shí)，s＝50（厘米），T＝5（秒）．如果把小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面BE的距離h提高到125厘米，那么當(dāng)滑行到時(shí)間T＝4秒時(shí)，小車在水平地面BE上滑行的距離為多少？【解答】解：（1）當(dāng)t＝2，h＝20時(shí)，20＝g×22，解得g＝10，∴h＝×10t2＝5t2；∴當(dāng)h＝45時(shí)，5t2＝45，解得t＝3或t＝﹣3（舍去），此時(shí)v＝10×3＝30（cm/s），答：當(dāng)小車出發(fā)點(diǎn)A離水平地面BE的高度為45（厘米）時(shí)，小車滑到最低點(diǎn)B需要3秒鐘，此時(shí)小車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度是30厘米/秒；（2）把v＝20，s＝50，T＝5代入+vT，則50＝﹣a×52+20×5，解得a＝4，∴s＝﹣2T2+vT，當(dāng)h＝125時(shí)，5t2＝125，解得t＝5或t＝﹣5（舍去），∴v＝10×5＝50（cm/s），∴s＝﹣2×42+50×4＝168（cm）．答：小車在水平地面BE上滑行的距離為168cm．22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一塊45°角的三角板ABC，∠BAC＝90°，A，B兩點(diǎn)分別落在x軸和y軸上，直線AB的解析式為y＝﹣2x+2，AB右側(cè)有一條直線l到AB的距離為．（1）求AC的長．（2）用尺規(guī)作出直線l（保留作圖痕跡，不寫作法）．（3）若直線l與BC邊交于點(diǎn)D，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)D，求出k的值．【解答】解：（1）由題意可知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，在直線y＝﹣2x+2中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，∴A（1，0），B（0，2），∴AC＝AB＝＝，（2）∵AC＝，AB⊥AC，AB右側(cè)有一條直線l到AB的距離為．∴作線段AC的垂直平分線即可，如圖示：（3）如圖，作CF⊥x軸，垂足為F，在△ABO和△CAF中，，∴△ABO≌△CAF（AAS），∴OA＝CF＝1，OB＝AF＝2，∴C（3，1），根據(jù)（2）作圖可知，直線l∥AB，∴點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，∴xD＝＝，yD＝＝，∴D（，），∵點(diǎn)D（，）在雙曲線y＝圖象上，∴k＝＝．23．（12分）【背景】如圖（1），點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AD，AB的中點(diǎn)，CE與DF相交于點(diǎn)P，連接BP．同學(xué)們?cè)谘芯繄D形時(shí)，作DH∥BP交CE于點(diǎn)H，發(fā)現(xiàn)：．他們通過作三角形的中位線，構(gòu)造全等三角形，找到與線段DH相等的線段，得到了多種方法證明成立．【猜