高斯小學(xué)奧數(shù)六年級(jí)上冊(cè)含答案第08講 復(fù)雜直線型計(jì)算

第八講復(fù)雜直線型計(jì)算

我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)詳細(xì)學(xué)習(xí)了直線形長度、角度以及面積的計(jì)算，并學(xué)習(xí)了

直線形中的各種比例關(guān)系.下面我們就對(duì)這些知識(shí)作一下總結(jié).

本講和識(shí)點(diǎn)匯總:

我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中己經(jīng)詳細(xì)學(xué)習(xí)了直線形長度、角度以及面積的計(jì)算，并學(xué)習(xí)了

直線形中的各種比例關(guān)系.下面我們就對(duì)這些知識(shí)作一下總結(jié).

一、角度問題

1."邊形的內(nèi)角和是180°x(〃—2)；

2.“邊形的外角和是360°.

二、基本直線形的面積計(jì)算:

三角形、平行四邊形、長方形、正方形、梯形面積公式(詳細(xì)公式略).

三、直線形中的比例關(guān)系

1.等高三角形：面積比等于底的比.

2.共角三角形：面積比等于共角夾邊比的乘積.如右圖所示，陰影三角形]

與大三角形共享一個(gè)角，它的左側(cè)邊占大三角形左側(cè)邊的;，右側(cè)邊占大三角形

右側(cè)邊的,，那么它的面積就是大三角形的/--------------'

2236

3.沙漏三角中的比例關(guān)系：如下圖所示，上下兩個(gè)三角形底邊平行，另兩邊呈交叉關(guān)

系,則有比例關(guān)系成立.

bdf

4.長方形中的比例關(guān)系：

⑴共邊長方形的面積比等于另一組邊的比.如右圖所示，

加邑

ab

（2）如右圖所示，長方形被一對(duì)分別平行于長、寬的線段一分為四,

邑

則有面積比例：墾=邑=匕將其寫成交叉相乘的形式可得工><54=52'必

S2S4b

5,一般四邊形中的比例關(guān)系：b

（1）如右圖所示，當(dāng)四邊形被對(duì)角線分為四個(gè)部分的時(shí)候，這四塊的面

積有邑=區(qū)的比例關(guān)系成立.

S?邑

（2）如右圖所示，連接四邊形的一條對(duì)角線C。，并在CO上取一點(diǎn)。，連

.這四部分的面積仍然有比例關(guān)系〉邑成

接和OB,將四邊形分為四部分

2

立.

上述兩個(gè)比例關(guān)系還可以通過交叉相乘，寫成EX'=星xSj的形式.

6.金字塔模型:

ax仄

右圖三角形中添加一條與底邊平行的平行線，就是

金字塔模型.金字塔模型的比例關(guān)系如右圖:

二土

出=2和ax4=工

bx+%。2

a2b2ax+a2bx+b2

7.燕尾三角形:金字塔模型

上面的等高三角形中我們學(xué)過等高三角形的比例關(guān)

系，如下左圖所示，△ABC被線段一分為二，且有比例關(guān)系耳：星=a:6.

如下右圖所示，在增加了兩條線段后,圖中有4個(gè)小三角形，這4個(gè)小三角形的面

積之間的比例關(guān)系如圖中所示.

外比.：」S,_=」S.=一BD

S2S4CD

,,S,SAO

內(nèi)比：,==2=一

S3S4OD

面積之間的比例關(guān)系如圖中所示.

例1.A、8是兩個(gè)大小完全一樣的長方形，已知這個(gè)長方形的長比寬長8厘米，圖中的字

母表示相應(yīng)部分的長度.則A、8中陰影部分的周長之差是多少厘米？

「分析」根據(jù)圖中標(biāo)出的字母，你能用字母6分別表示出長方形的長和寬以及兩圖

中陰影部分的周長之差嗎？

練習(xí)1、下圖中，大正六邊形內(nèi)部有7個(gè)完全一樣的小正六邊形.如果陰影部分的周長

是120（陰影部分周長由內(nèi)、外兩部分組成），那么大正六邊形的周長是多少？

例2.如圖，ABCDE是正五邊形，CDF是正三角形，那么/BFE等于多少度？

「分析」正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度？等邊三角形每個(gè)內(nèi)角又是多少度？由此如何求

出N8FE的度數(shù)？

'F

CD

練習(xí)2、如下圖，己知42。所是正六邊形，A2//K是正五邊形，是正方形，圖

例3.如圖，四邊形48CD與四邊形CNMP都是平行四邊形，若三角形。正尸與三角形AEF

的面積分別是21和43,則三角形BNE的面積為多少？

「分析」兩個(gè)平行四邊形為我們提供了幾組平行線這個(gè)條件，那么如何使用平行線作為

我們的解題突破口呢？

練習(xí)3、圖中的長方形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經(jīng)標(biāo)出，那么陰影部分的面

積是多少？

例4.已知四邊形ABC。是平行四邊形，三角形AEF的面積為4,三角形C￡>E的面積為9,

那么平行四邊形的面積等于多少？

「分析」這道題中有一個(gè)“沙漏形”是可以用在解題中的請(qǐng)你找出.

練習(xí)4、圖中的梯形被分成四小塊，其中兩塊的面積已經(jīng)標(biāo)出，那么梯形的面積是多少？

例5.如圖，大長方形被分為四個(gè)小長方形，面積分別為12、24、35、49.那么圖中陰影圖

形的面積為多少？

ABC

「分析」圖中的陰影三角形是包含在長方形中的.如何利用三角形與長方形的面積比來

求陰影部分呢？

例6.如圖所示，ABC。是一個(gè)長方形，點(diǎn)E在C。延長線上.已知AB=5,BC=12,三角形

AFE的面積等于15,那么三角形CFE的面積等于多少？

「分析」在這道題中你首先能求出哪些部分的面積請(qǐng)先求出，然后再根據(jù)這些面積的關(guān)

系去尋找圖中的線段長度關(guān)系.

《幾何原本》（希臘語：￡toi#Ta）是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作，共13

卷.這本著作是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在西方是僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書籍.這本書是世

界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，也是歐幾里得最有價(jià)值的一部著作.在《原

本》里，歐幾里得系統(tǒng)地總結(jié)了古代勞動(dòng)人民和學(xué)者們?cè)趯?shí)踐和思考中獲得的幾何知識(shí)，把

人們公認(rèn)的一些事實(shí)列成定義和公理，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而

建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學(xué)論證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏

輯體系一幾何學(xué).而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作.

《幾何原本》集整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)的成果和精神于一書.既是數(shù)學(xué)巨著，又是哲學(xué)巨著，

并且第一次完成了人類對(duì)空間的認(rèn)識(shí).除《圣經(jīng)》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用

和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比.

《幾何原本》大約成書與公元前300年，原書早已失傳，如今見到的《幾何原本》是經(jīng)

過后來的數(shù)學(xué)家們修改過的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，書中大部分內(nèi)容有關(guān)圖

形的知識(shí)（即幾何知識(shí)）.

1582年，意大利人利瑪竇到我國傳教，帶來了15卷本的《原本》.1600年，明代數(shù)學(xué)

家徐光啟（1562-1633）與利瑪竇相識(shí)后，便經(jīng)常來往.1607年，他們把該書的前6卷平面

幾何部分合譯成中文，并改名為《幾何原本》.后9卷是1857年由我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭

（1811-1882）和英國人偉烈亞歷譯完的.

《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴(yán)格的幾何體系，在這個(gè)體系中有四方面主要

內(nèi)容，定義、公理、公設(shè)、命題（包括作圖和定理）.《幾何原本》第一卷列有23個(gè)定義，5

條公理，5條公設(shè).（其中最后一條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，這些定義、公理、公設(shè)就是

《幾何原本》全書的基礎(chǔ).全書以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開他的各個(gè)部分的.比

如后面出現(xiàn)的每一個(gè)定理都寫明什么是已知、什么是求證.都要根據(jù)前面的定義、公理、定

理進(jìn)行邏輯推理給予仔細(xì)證明.

歐幾里得的《幾何原本》是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的好教材.它巳成為培養(yǎng)、提高青、

少年邏輯思維能力的好教材.歷史上不知有多少科學(xué)家從學(xué)習(xí)幾何中得到益處，從而做出了

偉大的貢獻(xiàn).兩千多年來，《幾何原本》一直是學(xué)習(xí)幾何的主要教材.哥白尼、伽利略、笛

卡爾、牛頓等許多偉大的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養(yǎng)，從而作出

了許多偉大的成就.

作業(yè)

1.如圖，它是由若干塊面積為12平方厘米的小長方形磚和3塊白色小

正方形成砌起來的一面墻，問這塊墻的面積是多少？

2.如圖，將一個(gè)正方形的左上角和左下角折起來，并且交于A點(diǎn)，求

Z1等于多少度？

3.如圖，ABCD是一個(gè)長方形，E為C￡）邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，如果圖

中陰影部分面積為1,求長方形ABC。的面積.

D

4.如圖，面積為4的正方形ABC。中，E、尸是。C邊上的三等分點(diǎn)，求陰

影部分的面積.

5.如圖，三角形ABC的面積是1,D、E、P分別是相應(yīng)邊的三等分點(diǎn)，三角

形A。。的面積是多少？

BF

第八講復(fù)雜直線型計(jì)算

例題：

例7.答案：16厘米

詳解：長方形的長為“+26，寬為a+b.再根據(jù)長比寬多8厘米，就能求出6=8厘米.長

方形A中，陰影部分的周長為6）+4a-2b=4（a+〃）.長方形B中，陰影部分有6條邊，

它的周長其實(shí)就等于大長方形的周長，等于（a+2>+a+@><2=40+66.兩者相差

26=2x8=16厘米.

例8.答案：168°

詳解：因?yàn)槭钦切?，所?□*=/■?￡>=60。.正五邊形的內(nèi)角和是

（5-2）x180°=3x180°=540°,每個(gè)內(nèi)角是540°4-5=108°.因此

ZBCW08°-6.△2CF是等腰三角形，所以N8/。=（180。一48。）-2=66。，

同理。也等于66。.因此看得到

ZBFE=360°-ZBFC-NCFD-ZDFE=360°-66°-60°-66°=168°.

例9.答案：22

詳解：如圖連接AM,因?yàn)镻A/〃A。，所以由蝴蝶模型可知三角形。EP與三角形

面積相等；同樣道理三角形BEN與三角形AEM面積相等，所以三角形BEN面積=43

例10.答案：30

詳解：三角形APE與三角形。CE構(gòu)成沙漏模型，而已知面積比為4:9,所以對(duì)應(yīng)邊長

比為EF:EC=2:3,因此FE:FC=2:5.三角形AEE又與三角形BFC構(gòu)成金字塔模型，所

以三角形AFE與三角形8FC的面積比為4:25,因此三角形8FC的面積為25,所以四

邊形ABCE的面積為25-4=21,因此平行四邊形的面積為21+9=30.

例11.答案：15

詳解：GE.EH=12:24=1:2,所以G/’GI.G/：產(chǎn)”=49:35=7:5,所以

3

FH=—GH.由此可得，—=1---—而上皿=Lx”=1，因此陰影部分

12GH3124SACDJ2GH8

的面積等于LXSACW=-X(12+24+49+35)=15.

88

例12.答案：30

詳解：三角形ABF與三角形DEF構(gòu)成沙漏模型，所以"=工，即

DEF1

AB-F，DEA￥卜5與，所以尸￡)=30+AB=6,又因?yàn)锳Z)=12,所以AF=6,

因止匕。E=2xl5+A/=5.所以三角形CFE的面積=(6￡>+。石)*尸。+2=30.

練習(xí)：

1.答案：90

簡答：陰影部分的外周長與大正六邊形相同，而陰影部分的外周長等于內(nèi)周長的3倍,

因此陰影部分外周長等于總周長的-,即120x3=90.

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2.答案：3°

簡答：四邊形內(nèi)角等于90°,五邊形內(nèi)角等于108°,六邊形內(nèi)角等于120°,所以

ZKAH=108°-90°=18°,ZKAF=120°-108°=12°.AAFK與AAHK都是等腰三角形，

因此//位次=(180°-18°)+2=81°,ZAFK=(180°-12°)H-2=84°,兩者相差3°.

3.答案：25

簡答：如圖作輔助線構(gòu)造蝴蝶模型即可.

4.答案：36

簡答：三角形AOO與三角形8OC構(gòu)成沙漏模型，而已知面積比為4:16=1:4,所以對(duì)應(yīng)

邊長比為。￡>:。2=1:2,因此三角形與三角形BOA的面積比為1:2,所以三角形3。4

的面積為8.由蝴蝶模型可知三角形C。。的面積也是8,所以梯形的面積是4+16+8+8=36.

作業(yè):

1.答案：270

簡答：設(shè)小長方形的長為x,寬為y.從水平方向的線段可以看出5x=3x+3y,因此

2x=3y.所以小長方形的長寬比為3:2,而相應(yīng)小正方形的邊長就是3-2=1份.由此

可得小長方形的面積是白色小正方形的3x2=6