高斯小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)上冊含答案-分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)

第十九講分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)

漫畫中的分?jǐn)?shù)有:、!和J,它們的分子都是1.這樣分?jǐn)?shù)我們稱之為單位分?jǐn)?shù).每個(gè)

236

分?jǐn)?shù)都可以拆成若干個(gè)分母不同的單位分?jǐn)?shù)之和，比如：

1111117111

__一I?,——I?,一I?I??

23656308248

我們來研究一下兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和與差有什么性質(zhì).看下面的例子.

11_5+711_7-5

57-5775-7-5^7

我們發(fā)現(xiàn)，結(jié)果的分母都是單位分?jǐn)?shù)分母的乘積，分子一個(gè)是單位分?jǐn)?shù)分母的和，另一

個(gè)是單位分?jǐn)?shù)分母的乘積.那反過來，如果一個(gè)分?jǐn)?shù)可以寫成史或者厘的形式，我們

axbaxb

就可以把這個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或者差.這個(gè)拆分的過程叫做“裂和”和“裂差”.

裂和：絲^」+工；裂差：

axbabaxbab

在以前的學(xué)習(xí)中，我們接觸了很多分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧.這些技巧雖然強(qiáng)大，但能夠用來處

理分?jǐn)?shù)數(shù)列的并不太多.這一講，我們將要接觸一類分?jǐn)?shù)數(shù)列的問題，利用裂項(xiàng)的技巧，可

以將這類看似很復(fù)雜的題目輕松的解決.

例題1.

111111

(1)計(jì)算:---+----+----+----+----++2012x2013

1x22x33x44x55x6

3

(2)計(jì)算:---------1----------1------------1--------------F+98x101

2x55x88x1111x14

「分析」觀察題中的式子，如果按常規(guī)的方法把它們通分，會(huì)相當(dāng)繁瑣.觀察各項(xiàng)分母，每

一項(xiàng)都是兩個(gè)自然數(shù)的乘積，而分子都是分母兩個(gè)乘數(shù)的差，那么我們能不能利用分?jǐn)?shù)拆分

的方式將算式做一個(gè)變形，使運(yùn)算變的簡單呢？

練習(xí)1.

111111

(1)計(jì)算:-----+------+------+------+------+H----------------

1x22x33x44x55x6100x101

22222

(2)計(jì)算:---+----+----+----+H--------------

1x33x55x77x999x101

利用裂項(xiàng)，將算式中的分?jǐn)?shù)做適當(dāng)?shù)牟鸱?，使其中一部分可以相互抵消，可以達(dá)到簡化

計(jì)算的效果.

但裂項(xiàng)并非萬能，只有具備一定特點(diǎn)的算式才能裂項(xiàng).因此，大家在學(xué)習(xí)裂項(xiàng)時(shí)，必須

注意以下幾點(diǎn):

（1）要弄清具有何種特征的算式可以裂項(xiàng);

（2）要根據(jù)題目的具體情況，靈活選用合適的裂項(xiàng)方法，切忌生搬硬套；

（3）裂項(xiàng)相消之后究竟哪些項(xiàng)消去了，哪些項(xiàng)留下來了，必須一清二楚.

只有把握住這三點(diǎn)，才能準(zhǔn)確的把握這一技巧.希望大家在下面的學(xué)習(xí)中細(xì)心體會(huì).

例題2.

222222

（1）計(jì)算：++++++；

1x22x33x44x55x619x20

11111

（2）計(jì)算：++111.

1x44x77x1010x1328x31

「分析」我們發(fā)現(xiàn)，每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母還是兩個(gè)自然數(shù)的乘積，但是分子卻不是這兩個(gè)自然數(shù)

的差.這樣的情況我們應(yīng)該怎么去拆分分?jǐn)?shù)呢？

練習(xí)2.

11111

（1）計(jì)算:—+---+---+----+卜；

1x33x55x77x997x99

88888

（2）計(jì)算:—H----1111

1x55x99x1313x1745x49

812__1624

例題3.計(jì)算:

1x33x55x77x99x1111x13

「分析」觀察各項(xiàng)分母，是連續(xù)奇數(shù)順次首尾相連的形式.但與前面兩題不同的是，本題各

項(xiàng)分子并不相同，仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，4=1+3,8=3+5,…，24=11+13,現(xiàn)在分子等于

分母中兩個(gè)乘數(shù)的和，那我們能不能像例題1一樣，對算式進(jìn)行拆分呢？

3579111315

練習(xí)3.計(jì)算:

1x22x33x44x55x66x77x8

通過前面的例題，同學(xué)們知道對于很有特點(diǎn)的分?jǐn)?shù)算式，是可以采用裂項(xiàng)的方式來簡化

計(jì)算的.請同學(xué)們觀察下面的算式，能從中發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律呢?

例題4.

（1）1-+3-+5—+7—+9—+11—+13—+15—+17—；

2612203042567290

〃5791113151719

2612203042567290

「分析」第（1）小題都是一些帶分?jǐn)?shù)，可以將整數(shù)部分和小數(shù)部分分開來計(jì)算.其中整數(shù)

部分就是一個(gè)等差數(shù)列，那分?jǐn)?shù)部分呢？

雖然第（2）小題每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母與第（1）小題相同，但分子卻有著不一樣的規(guī)律，而

且運(yùn)算符也是加減交錯(cuò)的.在這種情況下，裂項(xiàng)又該如何進(jìn)行呢？

練習(xí)4.

1。11L1

(1)1-+2——+3——+44——+5

315356399

/c、04r8A21620c24

(2)8--7—+6-----5c——+44------3——.

315356399143

例4和練4的兩道題，第1題是裂差形式的裂項(xiàng)，第2題是裂和形式的裂項(xiàng).它們有著

共同之處：首先，分母能寫成兩數(shù)相乘的形式，其次，這些乘數(shù)“首尾順次相連”.

如果算式中分?jǐn)?shù)之間符號(hào)相同，都是加號(hào)或者都是減號(hào)，那就用裂差；如果算式中分?jǐn)?shù)

之間有加號(hào)也有減號(hào)，那就用裂和.

例題5.

/八1x42x53x68x11

(1)-------1---------1---------F~\-----------

2x33x44x59x10

/c、12+2222+323?+4~19-+20?

（2）--------+---------+----------++------------.

1x22x33x419x20

「分析」雖然本題的各項(xiàng)分母都具備了裂項(xiàng)的特征，但分子也是算式，很難直接用分母中各

乘數(shù)相加減的形式表示出來.這種情況下，我們不妨將前幾個(gè)分?jǐn)?shù)算出來，找一下規(guī)律.

分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題型非常多，前面我們學(xué)到的只是一些比較基本的類型.下面來看一些較復(fù)

雜的題型.

1111

例題6.計(jì)算:-------------1----------------1----------------FH--------------------

1x2x32x3x43x4x548x49x50

「分析」每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母不再是兩個(gè)自然數(shù)的乘積了，而是三個(gè)，這樣的情況應(yīng)該怎么處理

呢？不妨聯(lián)想一下整數(shù)裂項(xiàng)的處理方法.

南極為什么會(huì)有恐龍

在這一章里，我們經(jīng)常對分?jǐn)?shù)進(jìn)行裂項(xiàng)和重組.其實(shí)在自然界里，分裂和重組的現(xiàn)象也

無處不在.下面就是一個(gè)例子.

南極洲位于地球的最南端.那里氣溫寒冷，冰雪常年覆蓋，除了企鵝外，我們很難看到

其它生物的蹤影.然而你能想象嗎？在如此寒冷的地方，科學(xué)家們居然發(fā)現(xiàn)了恐龍的化石!

實(shí)際上，恐龍只適宜生活在溫帶和熱帶，它們是怎么越過大洋，到南極大陸去了呢？

要回答這一問題，我們必須先了解一些關(guān)于地球的知識(shí).幾十年前，人們發(fā)現(xiàn)地殼是由

一些緊密拼合在一起但又在緩慢運(yùn)動(dòng)的大板塊構(gòu)成的.可以這樣比喻，板塊背上馱著許多大

陸，當(dāng)板塊向一個(gè)或另一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，大陸也隨之一起運(yùn)動(dòng).每隔一段時(shí)期，板塊會(huì)將所

有的大陸匯合在一起，地球此時(shí)僅由一個(gè)主要陸地構(gòu)成，稱為“泛大陸”.當(dāng)板塊繼續(xù)運(yùn)動(dòng)

時(shí)，大陸又重新分裂.

在四十多億年的地球發(fā)展史中，泛大陸分裂和重組過多次，最后一次完整的泛大陸是在

約2.25億年前形成的.早期恐龍?jiān)谀菚r(shí)已經(jīng)開始出現(xiàn)，并且有機(jī)會(huì)分散到泛大陸的各個(gè)地

方.

大約在兩億年前，泛大陸分裂成四部分.北部就是現(xiàn)在的北美、歐洲和亞洲，南部是由

現(xiàn)在的南美和非洲構(gòu)成，最南部是現(xiàn)在的南極洲和澳大利亞，印度是剩余的一小部分.隨著

時(shí)間的流逝，北美又與亞洲和歐洲分裂開，南美也與非洲相離.（如果看一張地圖，并假定

把非洲和南美洲拼合在一起，你就會(huì)看到它們拼合得多么天衣無縫?。┯《认虮币苿?dòng)，并且

大約在5000萬年前與亞洲相碰撞，形成巨大的喜馬拉雅山脈，兩塊大陸在那里聚合并緩慢

地褶皺變形.這時(shí)，南極和澳大利亞也已相互分離.當(dāng)大陸分裂后，每一個(gè)大陸都攜帶著自

己的恐龍而去.到6500萬年以前，恐龍滅絕了，大陸也完全分裂開.所以，現(xiàn)在的每一個(gè)

大陸都有自己的恐龍化石.這也是為什么在南極也能發(fā)現(xiàn)恐龍化石的原因.

111

作業(yè)1.計(jì)算:----------1------------1-H-------------------

3x44x5199x200

作業(yè)2.計(jì)算：貴+言+言++兼&

111

作業(yè)3.計(jì)算:------1--------FH--------------

1x55x925x29

713192531374349

作業(yè)4.計(jì)算:----------------------1-----------------------------1--------------------------------1--------------------------------

2x55x88x1111x1414x1717x2020x2323x26

4163664100144196256

作業(yè)5.計(jì)算:_--------1--------1--------1----------1----------1----------1---------

315356399143195255

第十九講分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)

（1）99

例題1.答案:黑；⑵

202

原式=「人=舞;⑵原式」199

詳解：（1）

2101202

例題2.答案：（1）N；（2）1

1031

詳解：（1）原式=，1—，］x2=^；（2）原式=（—L1+3=絲?

<20J10I31J31

例題3.答案：-

13

詳解：原式=1—工=乜.

1313

Q1

例題4.答案：(1)81一；(2)1—

1010

詳解：(1)原式=(1+3++17)+f—+^+199

H----=---8--1--+-—=81—

1711x22x39x101010

,C、w—1+22+39+10?1J

(2)原式=---------+H---------=1H-----=1—

1x22x39x101010

11Q

例題5.答案：(1)7-；(2)38—

520

詳解：（1）注意到每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都比分子大2,原式可寫成

222(12241

1--------+1---------++1----------=8-——+——++--------=8——=7一.

2x33x49x10(2x33x49xioj55

（2）注意到每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都比分母的2倍多1,原式可寫成

+七1」112+J+19

2+23-B-----+------+9^20

23A920xlx2

306

例題6.答案:

11

+H---+----2------------------------

48x4949x50

練習(xí)L答案：（1）舒⑵益

嗖；⑵原式=1--L=&

簡答：（1）原式=1--—

101101101101

4996

練習(xí)2.答案:(1)—；(2)

9949

原式=＞擊2=；(2)原式=(11C96

簡答：（1）x2=—

99I4949

練習(xí)3.答案:

簡答：原式=i+2=iL

88

練習(xí)4.答案：（1）15—；（2）

11

簡答：(1)原式=1+2+3+4+5+，1111

+-----+-----+-----+=15

1x33x55x77x99x11n-

,小盾4cc,u,c4812162024

(2)原式=8—7