湖南省長沙市中南大學附屬湘雅中學高一數學理模擬試卷含解析

湖南省長沙市中南大學附屬湘雅中學高一數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，，，則大小關系（

）A．

B．

C．

D．參考答案：解析：，，2.設等差數列滿足，公差，當且僅當時，數列的前項和取得最大值，求該數列首項的取值范圍A

B

C

D參考答案：C3.給出以下四個命題：①如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行．④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．其中真命題的個數是（）A．4

B.3

C.2

D.1參考答案：B4.已知函數則的值為(

)A． B．4 C．2 D．參考答案：A【考點】函數的值．【專題】函數的性質及應用．【分析】利用分段函數的性質求解．【解答】解：∵函數，∴f（）==﹣3，=f（﹣3）=2﹣3=．故選：A．【點評】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題．5.將函數y=cos（x﹣）的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位，所得函數圖象的一條對稱軸是（）A．x= B．x= C．x=π D．x=參考答案：D【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由函數圖象變換的知識可得函數解析式，由余弦函數的對稱性結合選項可得．【解答】解：將函數y=cos（x﹣）的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=cos（x﹣）的圖象，再向左平移個單位，得到y(tǒng)=cos[（x+）﹣）]，即y=cos（x﹣）的圖象，令x﹣=kπ可解得x=2kπ+，故函數的對稱軸為x=2kπ+，k∈Z，結合選項可得函數圖象的一條對稱軸是直線x=．故選：D．6..在△ABC中，若，則此三角形為（

）三角形．A.等腰 B.直角 C.等腰直角 D.等腰或直角參考答案：B【分析】由條件結合正弦定理即可得到，由此可得三角形的形狀?！驹斀狻坑捎谠凇鰽BC中，有，根據正弦定理可得；所以此三角形為直角三角形；、故答案選B【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，屬于基礎題。7.當x時，下列函數中不是增函數的是（

）A．y=x+a2x-3

B．y=2x

C．y=2x2+x+1

D．y=參考答案：D略8.對于函數，給出下列四個命題：

①該函數的值域為；②當且僅當（）時，該函數取得最大值1；③該函數是以為最小正周期的周期函數；④當且僅當（）時，.上述命題中正確的命題個數為

A.3

B.2

C.1

D.0參考答案：C9.函數的圖象是（

）參考答案：A10.已知三棱錐的三條棱,,長分別是3、4、5，三條棱,,兩兩垂直，且該棱錐4個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是(

)A．25π

B.50π

C.125π

D.都不對參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，A=,a=,b=1，則B=_____參考答案：12.（lg5）2+lg2×lg50=

．參考答案：1【考點】對數的運算性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】利用對數的運算法則、lg2+lg5=1即可得出．【解答】解：原式=lg25+lg2（1+lg5）=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1．故答案為：1．【點評】本題考查了對數的運算法則、lg2+lg5=1，屬于基礎題．13.在△ABC中，已知a=5，b=4，cos（A﹣B）=，則cosC=

，AB=

．參考答案：，6．【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】由已知得A＞B．在BC上取D，使得BD=AD，連接AD，設BD=x，則AD=x，DC=5﹣x．在△ADC中，cos∠DAC=cos（A﹣B）=，由余弦定理求出x=4，從而cosC=?=，再由余弦定理能求出AB．【解答】解：∵在△ABC中，a=5，b=4，cos（A﹣B）=，∴a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD=AD，連接AD，設BD=x，則AD=x，DC=5﹣x．在△ADC中，cos∠DAC=cos（A﹣B）=，由余弦定理得：（5﹣x）2=x2+42﹣2x?4?，即：25﹣10x=16﹣x，解得：x=4．∴在△ADC中，AD=AC=4，CD=1，∴cosC=?=，∴AB===6．故答案為：，6．14.若sinθ=，<θ<3π，那么sin=

．參考答案：﹣【考點】半角的三角函數．【分析】利用同角三角函數的基本關系求得cosθ的值，再利用半角公式求得=﹣的值．【解答】解：若，∴∈（，），cosθ=﹣=﹣，那么=﹣=﹣，故答案為：﹣．15.已知函數，滿足，則=

．參考答案：-516.在△ABC中，，，，平面ABC內的動點P滿足，則的最小值為__________．參考答案：【分析】以為坐標原點，邊所在直線為軸建立直角坐標系，則，，，設，求出,再求最小值得解.【詳解】以為坐標原點，邊所在直線為軸建立直角坐標系，則，，，點的軌跡方程為，設，則，，所以，其中，所以的最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查解析法在數學中的應用，考查三角恒等變換和三角函數的圖像性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.17.已知函數它滿足對任意的，則的取值范圍是參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分8分）已知函數，且．（Ⅰ）求函數的定義域；（Ⅱ）當時，求函數的單調區(qū)間．參考答案：（Ⅰ）由得，解得或，所以函數的定義域為．

………2分(Ⅱ)令．設，則，．

………3分所以

………4分因為，于是，，，所以，即．又因為，所以．所以函數在上單調遞增．

………6分同理可知，函數在上單調遞增．

………7分綜上所述，函數的單調遞增區(qū)間是和．

………8分19.設函數f（x）=ln（2x﹣m）的定義域為集合A，函數g（x）=﹣的定義域為集合B．（Ⅰ）若B?A，求實數m的取值范圍；（Ⅱ）若A∩B=?，求實數m的取值范圍．參考答案：【考點】函數的定義域及其求法；交集及其運算．【分析】（Ⅰ）分別求出集合A、B，根據B?A，求出m的范圍即可；（Ⅱ）根據A∩B=?，得到關于m的不等式，求出m的范圍即可．【解答】解：由題意得：A={x|x＞}，B={x|1＜x≤3}，（Ⅰ）若B?A，則≤1，即m≤2，故實數m的范圍是（﹣∞，2]；（Ⅱ）若A∩B=?，則≥3，故實數m的范圍是[6，+∞）．20.已知直線：，：，它們相交于點．（1）判斷直線和是否垂直？請給出理由；（２）求過點且與直線：平行的直線方程。

參考答案：解：（1）直線的斜率，直線的斜率，

∵

∴⊥

（2）由方程組解得點A坐標為，直線的斜率為-3，所求直線方程為：

化為一般式得：略21.已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=3，Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）在數列{bn}中，b1=9，bn+1﹣bn=2（an+1﹣an）（n∈N*），若不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ對一切n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍；（Ⅲ）令Tn=+++…+（n∈N*），證明：對于任意的n∈N*，Tn＜．參考答案：【考點】數列與不等式的綜合；8H：數列遞推式．【分析】（Ⅰ）由Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．得當n≥2時，Sn=3（Sn﹣1+1）（n∈N*）．兩式相減得an+1=3an，得數列{an}是首項為3，公比為3的等比數列，即可．（Ⅱ）可得，bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn）+…+（b2﹣b1）+b1=2?3n+3，（n∈N+）不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ對一切n∈N*恒成立?λ＞令f（n）=+，利用單調性實數λ的取值范圍．（Ⅲ）當n≥2時，（2n﹣1）an﹣1=（2n﹣1）?3n＞2?3n即=【解答】解：（Ⅰ）∵Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．當n≥2時，Sn=3（Sn﹣1+1）（n∈N*）．兩式相減得an+1=3an∴數列{an}是首項為3，公比為3的等比數列，當n≥2時，．當n=1時，a1=3也符合，∴．（Ⅱ）將，代入bn+1﹣bn=2（an+1﹣an）（n∈N*），得，∴bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn）+…+（b2﹣b1）+b1=4（3n﹣1+3n﹣2+…+3）+9+9=2?3n+3，（n∈N+）∴不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ對一切n∈N*恒成立?λ＞令f（n）=+，則f（n+1）=，∴當n≤4時，f（n）單調遞增，當n≥5時，f（n）單調遞減，故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＞a6＞a7…∴，故∴實數λ的取值范圍為（，+∞）．（Ⅲ）證明：當n=1時，T1=當n≥2時，（2n﹣1）an﹣1=（2n﹣1）?3n＞2?3n∴∴

==故對于任意的n∈N*，Tn＜．22.某種商品的市場需求量y1（萬件）、市場供應量y2（萬件）與市場價格x（元/件）分別近似地滿足下列關系：，．當時的市場價格稱為市場平衡價格，此時的需求量稱為平衡需求量．（1）求平衡價格和平衡需求量；（2）若該商品的市場銷售量P（萬件）是市場需求量y1和市場供應量y2兩者中的較小者，該商品的市場銷售額W（萬元）等于市場銷售量P與市場價格x的乘積．①當市場價格x取何值時，市場銷售額W取得最大值；②當市場銷售額W取得最