2020-2021學(xué)年天津市六校高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年天津市六校高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共9小題，共36.0分)

1.設(shè)集合M={幻2—無>0},N={x|ZWxW3},則MCN=()

A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3|

2.有下列說法：

①一支田徑隊有男女運動員98人，其中男運動員有56人.按男、女比例用分層抽樣的方法，從全體

運動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取女運動員人數(shù)是12人；

②在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1R2)9>0),若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,貝UX在

(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.

③廢品率x%和每噸生鐵成本y(元)之間的回歸直線方程為丫=2久+256，這表明廢品率每增加1%，

生鐵成本大約增加258元；

④為了檢驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒記錄作比

較，提出假設(shè)%：“這種血清不能起到預(yù)防作用”，利用2x2列聯(lián)表計算得小的觀測值k”

3.918,經(jīng)查對臨界值表知P(K2n3841)=0.05,由此，得出以下判斷：在犯錯誤的概率不超

過0.05的前提下認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防的作用”，正確的有()

A.①②④B.①②③C.①③D.③④

3,下列哪個命題為真()

A.若a>h,貝!Jar>hr.;

B.若a>b,則ac?>be2；

C.“x=3'是"sinx=>‘的充要條件；

62

D.“通<->'是“方程”+冽=o”有實根”的充分不必要條件.

4

4.函數(shù)y=/(%)為定義在R上的減函數(shù)，函數(shù)y=/(%)關(guān)于原點對稱，若％,y滿足不等式/(/-

2%)+f(2y-y2)<0,則當(dāng)14%44時，求x+2y的取值范圍為()

A.[12,+oo)B.[0,3]C.[0,12]D.[3,12]

5.實數(shù)a=0.3db=log3().3,c=2、吃的大小關(guān)系正確的是()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

6.對任意的ae(0,1)u(L+8),則函數(shù)/(%)=log。％+2必過定點為()

A.(0,2)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,3)

7.已知％=3是f(%)=asinx4-bcos%的一條對稱軸，且最大值為2金,則函數(shù)g(%)=asinx+h()

A.最大值是4,最小值是0B.最大值是2,最小值是-2

C.最大值可能是0D.最小值不可能是-4

8.函數(shù)/(%)=Asin{(x)x+0)(4助9是常數(shù),24>0,co>0,|^|<今

的部分圖象如圖所示，則y=/(%)在久e[-不勺上的取值范圍是、告

A.[-y,V2]'

B.除夜]

C.

D.哈咽

9.設(shè)函數(shù)/(%)=4'若函數(shù)V=/(%)在區(qū)間(犯6+1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)小的取

值范圍是()

A.[2,3]B.(2,3)C.(2,3]D.[2,3)

二、單空題(本大題共5小題，共20.0分)

10.弧長為3兀，圓心角為:兀的扇形的面積為.

11.函數(shù)/"CO=log2Vx」09俎2%)的最小值為.

12.函數(shù)/■(%)=cosx一|/gx|零點的個數(shù)為.

13.如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，角a的終邊與單位圓交于點44的縱坐標(biāo)為4子，則

cosa=.

14.已知函數(shù).&&=國-爵-就&M，或廊=W,對卷三R,,巽磁與或既的值至少有一個

為正數(shù)，則喉的取值范圍是

三、解答題(本大題共5小題，共64.0分)

15.設(shè)集合2={x|—2<%<4],B=(x\2x<8],C={x\a<%<a+8].

⑴求ACB,AUB；

(2)若a=2,求(CRB)GC；

(3)若aac,求a的取值范圍.

16.已知函數(shù)/(%)=4cosa)xsin(a)x-^)(a)>0)的最小正周期是兀.

(1)求函數(shù)/"(%)在區(qū)間(0,兀)上的單調(diào)遞增區(qū)間；

e

(2)若/(比)=巳，x0[pf]>求cos2%o的值.

17.商場銷售某一品牌的豆?jié){機，購買人數(shù)是豆?jié){機標(biāo)價的一次函數(shù)，標(biāo)價越高，購買人數(shù)越少，

把購買人數(shù)為零時的最低標(biāo)價稱為無效價格，已知無效價格為每臺300元.現(xiàn)在這種豆?jié){機的成

本價是100元/臺，商場以高于成本價的統(tǒng)一價格(標(biāo)價)出售.問：

(1)商場要獲取最大利潤，豆?jié){機的標(biāo)價應(yīng)定為每臺多少元？

(2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%,那么

豆?jié){機的標(biāo)價應(yīng)為每臺多少元？

18.已知函數(shù)/(%)的圖象是由函數(shù)g(X)=s譏%的圖象經(jīng)如下變換得到：先將g(%)圖象上所有點的縱

坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)再將所得到的圖象向左平移g個單位長度.

(1)求函數(shù)y=/(2%)在［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵已知關(guān)于%的方程f2(%)-4g(2%+］)=m+2在［0,兀)內(nèi)有兩個不同的解a,3求6cos(2a-2夕)-

源的值.

19.已知函數(shù)f(久)=2m加4—=ex-2mlnx(mER),ln2=0.693.

(1)討論f(%)的單調(diào)性;

(2)若f(%)存在最大值M,g(%)存在最小值N,且MZN,求證：m>(.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：?集合M={x|2-x>0}={用久<2},N={x\l<x<3},

；.MCN=[1,2)

故選A

首先求出結(jié)合M,然后根據(jù)交集的定義求出結(jié)果即可.

本題考查一次不等式的解集和集合的交集問題，注意等號，較簡單.

2.答案：A

解析：解：①???田徑隊有男女運動員98人，其中男運動員有56人，.??這支田徑隊有女運動員98-56=

42人,

用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為28的樣本，

,每個個體被抽到的概率是=U=泉?田徑隊有女運動員42人，

二女運動員要抽取42x|=12人，①正確；

②某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(l?2)g>o),若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,由正態(tài)

分布的對稱性可得：X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8,正確.

③廢品率x%和每噸生鐵成本y(元)之間的回歸直線方程為丫=2x+256，這表明廢品率每增加1%，

生鐵成本每噸大約增加2元，因此不正確；

④為了檢驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒記錄作比

較,提出假設(shè)%：“這種血清不能起到預(yù)防作用”，利用2X2列聯(lián)表計算得片的觀測值kx3.918,

經(jīng)查對臨界值表知P(K223.841)《0.05,由此，得出以下判斷：在犯錯誤的概率不超過0.05的前提

下認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防的作用”，正確.

故選：A.

對4個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論.

本題考查命題的真假判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識綜合性強，屬于中檔題.

3.答案：D

解析：

本題主要考查真命題的判定，涉及到必要條件、充分條件和充要條件.

解：對于4當(dāng)c=0或為負(fù)數(shù)時，不成立；故不是真命題;

對于B,當(dāng)c=0時，不成立；故不是真命題；

對于c,“x=N”是“sinx=>‘的充分不必要條件，故不是真命題；

62

對于“微<1”是“方程/+》+見=0”有實根“的充分不必要條件.是真命題.

4

故選D.

4.答案:C

解析：解：因為y=/(x—1)圖象關(guān)于點(1,0)對

稱，

所以f(x)的圖象關(guān)于原點對稱即函數(shù)為奇函數(shù)

因為f(久2-2%)+/(2y-y2)<0,

所以一2x)<f(y2-2y),

因為y=/(x)為定義在R上的減函數(shù)

所以/—2x>y2—2y,

所以仔J2個2_2y,

(1<x<4

即+'-2)2°,畫出可行域，

<；y-2=0可得做4，-2),由仁；=°可得吃4),

設(shè)z=;c+2y,則)/=-^x+^z,結(jié)合圖象可知，在4(4,-2)處z取得最小值0,在B(4,4)處取得最大

值12.

所以％+2yC[0,12]

故選：C.

由已知可得函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，從而可把原不等式轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的知識進行求解.

本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)在不等式求解中的應(yīng)用，還考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，屬于中檔試題.

5.答案：C

解析：?函數(shù)y=x、'2在(。,+8)上是增函數(shù)，

???0<0.3、’2<2、'2,即c>a>0,而。=log30,3<0,

■■■c>a>b,即b<a<c.

6.答案：C

解析：解：函數(shù)/(%)=log。%恒過(1,0)，

則：函數(shù)f(x)=logax+2必過定點為(1,2).

故選：C.

利用對數(shù)函數(shù)經(jīng)過的特殊點判斷求解即可.

本題考查對數(shù)函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

7.答案：C

解析:解：x=3是/'(久)=asinx+bcosx=Va2+b2sin(x+。)的一條對稱軸，其中，cos。=~^=,

s譏"春,

且函數(shù)/(X)的最大值為2vL

則。2+抉=8,號)='a+孝b=2迎,或?a+?=—2企，

可得a+b=4,或a+b=-4,；.a=b=2,或Q=b=—2,g(%)=2sinx+2,或g(%)=-2sinx—2,

故9(%)=asinx+b的最大值可能為0,

故選：C.

由題意可得f(x)=7a2+爐sin(x+0),a2+b2=8,/(?=ja+jb=2或，或/■?)=￥<!+

yb=-2V2,求得a、b的值，可得g(x)=2sinx+2,或g(x)=-2s譏x-2,由此得出結(jié)論.

本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最值，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：C

解析：

本題主要考查由函數(shù)y=Asin^x+0)的部分圖象求解析式以及正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中

檔題.

由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出4由周期求出3,由五點法作圖求出0的值，可得函數(shù)的解析式，再

利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得/(%)的取值范圍.

解：根據(jù)函數(shù)/(%)=+0)(4,?0是常數(shù)，2>0,3>0,|如轉(zhuǎn))的部分圖象,

77r7T12TT

可得/=V2,7

41234co

???3=2,

再根據(jù)圖象可得2x】+3=TT+2k-,

?)

???lgl<p?.?(p=3

???f(x)=V2sin(2x+》

■■2%+ge［-若］,

???sin(2x+$￡

故選：c.

9.答案：A

解析：解：函數(shù)八乃=『"2+4々〉*4的圖像如圖所示,

7

八(log2x,x>4

函數(shù)/(x)在(-8,2］以及(4,+8)上遞增，在［2,4)上遞減，

故若函數(shù)y=/(%)在區(qū)間(成加+1］上單調(diào)遞減，

需滿足2<TH且m+1<4,

即2<TH<3,

故選：A.

畫出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像即可求解結(jié)論.

本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.答案:67r

解析：解：設(shè)扇形的半徑是丁，根據(jù)題意，得：

3r

-nr=3TT,

4

解，得r=4.

-1

則扇形面積是5x3兀x4=6兀.

故答案為：67r.

根據(jù)扇形面積公式，則必須知道扇形所在圓的半徑，設(shè)其半徑是r,則其弧長是：仃，再根據(jù)弧長是

4

3兀，列方程求解.

此題考查了扇形的面積公式以及弧長公式，求出扇形的半徑是解題關(guān)鍵.

11.答案：—；

解析：

本題考查對數(shù)不等式的解法，考查等價轉(zhuǎn)化思想與方程思想的綜合應(yīng)用，考查二次函數(shù)的配方法，

屬于中檔題.

利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得/(x)=；(log^x+1)2-i,即可求得"X)最小值.

解：：/(1)=1崛6

1廣

???/(%)=^og^xlog^x

1

1

=-log^x(log^x+log悌

4,

1

=彳/。0遮汽。。0夜工+2)

1o1

=4^°9y[2X+1)2-I，

???當(dāng)+1=0

即X=當(dāng)時，函數(shù)/(%)的最小值是一%

故答案為：-：

4

12.答案：4

解析：

本題主要考查余弦函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，屬于中檔題.

在同一直角坐標(biāo)系中作出yi=cosx^\y2=即無|的圖象，由圖可得當(dāng)久＞0時，y［=cos%和y?=\lgx\

的圖象有4個交點，由此可得函數(shù)/(%)=cosx-|匈%|零點的個數(shù).

解：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yi=cosx,y2=|國制的圖象，如圖所示：

函數(shù)/(%)=cos%-的零點,即方程cos%=|匈%］的實數(shù)根，

J277)＜，gl()=1=cos2;r,1二1：?"川I=1=cox1-,

結(jié)合圖可知當(dāng)久＞0時，函數(shù)yi=cos%和丫2=|匈%|的圖象的交點個數(shù)為4,

即/(%)=COS%—|匈%］的零點有4個.

故答案為4.

13.答案：一③

5

解析：此題考查了三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)在各個象限的符號要記牢，一全正，二正弦，三正切,

四余弦.由三角函數(shù)的定義知S譏a的值，由平方關(guān)系得cos2q,再由a角終邊確定cosa的正負(fù).

49

解：由定義知：aia=—,'-＞?2a+cos2a=1''-cos2a=—,

525

又角的終邊落在第二象限，?二cosa=-2.

5

3

故答案為-—.

5

14.答案：鯽減I

解析：試題分析：當(dāng)m=o時，/，減=,均室K1,您(點=/,很明顯不合題意；

當(dāng)m>0時，息*電=耀￡>0在t>0時恒成立，所以要滿足題意需：x<0時，

*%串=翻繳屈-斛-蟄礴6詈4為正，當(dāng)事二電”即瞰贏因為能螂=：L所以此時滿足題意；

一現(xiàn)雙

力卡之

當(dāng)爪>4時，對稱軸<0,要滿足題意需里竺蹩至3州解得4瞰那蠹。

當(dāng)m<0時，威磁=那翻>0在x<0時恒成立，所以要滿足題意需：無20時，

*您卷=翻as超一爵-窗?艇+亂為正，又小<0時，/(x)開口向下，不可能在％>0時/'(X)恒為正。

綜上知：m的范圍為0<zn<8.

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)。

點評：此題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想。當(dāng)二次項的系數(shù)含有字母時，要注意討論二次項系數(shù)，

一般分為二次項系數(shù)為0,為正，為負(fù)進行討論。

15.答案:解：(1)B={x\x<3],A={x\—2<x<4},

ACtB={x\-2<x<3},AkJB={x\x<4}；

(2)CRB={x\x>3},a=2時,C={x\2<x<10},

???(CRB)nC={x|3<x<10}；

(3)7/ice,???￡7-54)解得_4<aW_2,

?l-a的取值范圍為[—4,—2].

解析：(1)可求出集合B,然后進行交集和并集的運算即可；

(2)a=2時求出集合C,然后進行交集和補集的運算即可；

(3)根據(jù)2￡C即可得出{:j：4,然后解出a的范圍即可.

本題考查了交集、并集和補集的運算，子集的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

16.答案：解：(1)/(%)=4cosa)x(sina)xcos——6cosooxsin-6)

=4COS6)X(Ysina)x—|COSCDX)=243sina)xcosa)x—2cos2a)x=V3sin2a)x—cos2(i)x—1=

2sin(2a)x——1,

??,/(%)的最小正周期是7T,

T=/=7T,得3=1,

2d)

即/(%)=2sin(2x—^)—1,

由2/CTT-<2%—^<2/CTT+g,kEZ

262

得2kjr<x<2kn,kEZ,

得/CTT—二W%Wk.71+—,kE.Z

63

即函數(shù)的增區(qū)間為[Mr—Ik兀+m，k&z,

OD

???%e(0,7i),

???當(dāng)k=0時，此時

633

當(dāng)k=1時，—<X<71+此時四4%V7T,

636

綜上函數(shù)的遞增區(qū)間為(0,9年㈤.

(2)若/■(q)=|,

則2s譏(2%o-》一1=2，

則sin(2久°_弓)=|,

???久。e覃J；?2沏e苧用,

2x°~lE[p?]T則cos(2x()Y)=.%

貝ijcos2%o=cos(2x0—￡+￡)=cos(2x0—^)cos^—sin(2x0—^)sin^

4V3314V3+3

=—x-----------x-=---------------.

525210

解析：(1)利用兩角和差的三角公式結(jié)合輔助角公式進行化簡，結(jié)合周期公式求出3的值，結(jié)合單調(diào)

性進行求解即可.

(2)根據(jù)條件，結(jié)合兩角和差的余弦公式進行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合兩角和差的三角公式以及輔助角公式進行化簡，求出函

數(shù)的解析式，結(jié)合的函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.難度中等.

17.答案:(1)200；

(2)250元或150元。

解析：(1)設(shè)購買人數(shù)為九人，豆?jié){機的標(biāo)價為每臺工元，利潤為y元，

則％6(100,300]可得71=kx+b(k<0),

v0=300fc+&,BPb=-300/c,

??.n=k(x—300),

y=(%-100)fc(x-300)

=AG-200)2—10000AQe(100,300]),

Vfc<0,

.??x=200時，-10000A,

即商場要獲取最大利潤，豆?jié){機的標(biāo)價應(yīng)定為每臺200元；

(2)解：由題意得，k(x-100)(%-300)=-10000/c-75%

X2-400JT+37500=0-

解得％=250或x=150,

所以，商場要獲取最大利潤的75%,每臺標(biāo)價為250元或150元。

18.答案：解：⑴?函數(shù)g(x)=sinx,

先將g(x)圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)再將所得到的圖象向左平移g個單位

長度，

可得：函數(shù)f(x)=2s譏。+》的圖象，

/(2x)=2sin(2x+g),

當(dāng)xe[0,初時，2%+^e[py],

由2x+:泄，乂=果

由2x+g=：時，x=工，

故函數(shù)y=f(2久)在[0,兀]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0*]ug,7r]

[I7(

(2)產(chǎn)(%)-4g(2x+-)=4shi2(%+—)-4sin(2x+—)

=2—2cos(2%+爭-4cos2%=y[3sinlx—3cos2%+2=2V3sin(2x-g)+2,

若關(guān)于X的方程產(chǎn)⑺―4g(2x+1)=6+2在[0,兀)內(nèi)有兩個不同的解a,￡.

即關(guān)于x的方程2遍Sin(2x-9=ni在[0,兀)內(nèi)有兩個不同的解a,0.

由2x*e]—(爭得：(2"；)+(2”；)=兀,或(2a-；)+(20*)=3兀，

即a+0=今,或a+/=誓,

當(dāng)a+￡=詈時，cos(a—S)=cos(2a—=sin(2a~~)=備，

當(dāng)a+B=當(dāng)時，cos(a-/?)=cos(2a——)=—sin(2cr--)=--^=,

6632V3

二6cos(2a—20)—m2=6[2cos2(cr—(6)—1]—m2=—6

解析：(1)根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮及平移變換法則，可得函數(shù)/(%)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，

可得函數(shù)y=/(2x)在[0,捫上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)關(guān)于x的方程產(chǎn)⑴-4g(2x+$=爪+2在[0,兀)內(nèi)有兩個不同的解a,0.即關(guān)于％的方程

2V5sin(2x-9=m在[0,兀)內(nèi)有兩個不同的解a,￡.結(jié)合函數(shù)的對稱性，可得cos(a—0)的值，代入

可得答案.

本題考查的知識點是函數(shù)y=As譏(3X+0)(4>0fa)>0)的圖象和性質(zhì)，難度中檔.

19.答案：解：(1)由題意久>0,1(久)=網(wǎng)產(chǎn)，

mWO時,f(x)<0,f(%)在(0,+8)遞減,

m>0時，令/'(%)>0,解