2019年高考文科數(shù)學試卷(全國卷Ⅰ真題)-(含答案和解析)

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）

文科數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑,

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，回答非選擇題時，將答案寫

在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.設2=---,則以|=（）

1+2/11

A.2B忑

C，V2D.1

2.已知集合{1,2,3,4,5,6,7},A={2,34,5},5={2,3,6,7},則8口加囚=()

A.{1,6}B.{1,7}

C.{6,7}D.{1,6,7)

3.已知a=log202,b=20-2.C=0.2°3,則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.h<c<a

4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是避二1

2

（止」。0.618稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂

2

至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是正二!■.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且

2

腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

5.函數(shù)/(x)=2瑛上當在［-肛加的圖像大致為()

cosx+x~

6.某學校為了解1(X)0名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1,2,3,…,100()，從這些新生中用

系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗，若46號學生被抽到，則下面4名學生中被

抽到的是().

A.8號學生B.200號學生

C.616號學生D.815號學生

7.tan255°=()

A.-2-&B.-2+6

C.2-6D.2+V3

8.已知非零向量a,B滿足l，l=2|B|,且3-則五與B的夾角為（）

7C71

A.—B.—

63

27r57r

C.---D.—

36

]

9.右圖是求2+4的程序框圖，圖中空白框中應填入（

)

2+-

2

A.A=B.A=2+—

2+AA

1

C.A=1+—D.A=

2A\+2A

10.雙曲線C：「—A=1（?〉0,。＞0）的一條漸近線的傾斜角為130P，則C的離心率為（）

ab

A.2sin40°B.2cos40°

11

C.D.-------

sin50°cos50°

11.AABC的內(nèi)角AJB,C的對邊分別為a,b,c,已知asinA-hsinB=4csinC,

cosA=--,則夕二()

4

A.6B.5

C.4D.3

12.已知橢圓。的焦點坐標為6(-1,0),尸2(1，0)，過K的直線與。交于A，B兩點,若

\AF2\=2\F2B\,\AB\=\BF{\,則C的方程為（）

222

A.—+y2=1B.三+工=1

232

2222

cJ匕=1D.2+J

4354

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=3(/+x)/在點(0,0)處的切線方程為t

3

14.記S“為等比數(shù)列｛凡｝的前〃項和，若4=1,53=1,貝”4=.

37r

15.函數(shù)/(x)=sin(2x+；)-3cosx的最小值為.

16.已知NAC3=90°,P為平面ABC外一點，PC=2,點P到NACB兩邊AC,BC的距

離均為百，那么尸到平面ABC的距離為.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為

必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：

17.某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服

務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？

n(ad-bc)2

(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PgNk)0.0500.0100.001

k

3.8416.63510.828

18.記S“為等差數(shù)列紅｝的前〃項和，已知S,=-a5；

(1)若％=4,求｛。,,｝的通項公式；

(2)若q>0,求使得"的”的取值范圍.

19如圖直四棱柱ABC￡)-A4GA的底面是菱形，AA=4,A3=2,ZBAD=6Q.

E,M,N分別是BC,BB,,A。的中點.

(1)證明：MN//平面CQE

(2)求點C到平面GOE的距離.

20.已知函數(shù)/(x)=2sinx-xcosx-x，/'(x)是/(x)的導數(shù).

(1)證明：/'(X)在區(qū)間(0,現(xiàn)存在唯一零點；

(2)若xe[0,加時，f(x)>ax,求。的取值范圍.

21已知點A,B關于坐標原點。對稱，|A@=4,eM過點A8且與直線x+2=0

相切.

（1）若A在直線x+y=O上，求e"的半徑；

（2）是否存在定點P,使得當A運動時，為定值？并說明理由.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所

做的第一題計分

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

,1—尸

尤=7

22.在直角坐標系xOy中，曲線。的參數(shù)方程為《1+廠。為參數(shù)）.以坐標原點。為極點，

4r

x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為2Pcos6+V3psin9+11=0.

（I）求C和/的直角坐標方程；

（2）求C上的點到/距離的最小值.

選修4-5：不等式選講

23.已知。，b,c為正數(shù)，且滿足abc=l,證明:

(1)—+-+-<a2+Z72+c2；

abc

(2)(a+Z7)3+(/?+c)3+(c+?)3>24.

答案解析

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）

文科數(shù)學

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

2.設z=則忖=()

1+2/11

A.2B.6

C，V2D.1

答案：

C

解析：

3-i(3-0(l-2i)l-7z

因為z=----=------------=-----

1+2/(1+2z)(l-2z)5

所以慟=j(g)2+(一1)2=V2

3.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,34,5},B={2,3,6,7},則50限=()

A.{1,6}B.{1,7}

C.{6,7}D.{1,6,7}

答案：

C

解析：

U={12,3,4,5,6,7},A={23,4,5},則QA={1,6,7},又,:5={2,367},則

BnCyA={6,7},故選C.

3.已知a=log?0.2,b=2°-2,c=0.2°-3,則()

\.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

答案：

B

解答：

由對數(shù)函數(shù)的圖像可知：?=log20.2<0；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：8=2°2>1,

0<c=0.2°3<1，于是可得到：a<c<b.

4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是正二1

（吏二1°0.618稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如止匕.此外，最美人體的頭頂

至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是苴工.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且

2

腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

-T

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

答案：

解析：

方法一：

設頭頂處為點A，咽喉處為點3,脖子下端處為點C,肚臍處為點腿根處為點E,足底

處為F，BD=t,吏二L=/l，

根據(jù)題意可知一=九，故A3=今；又AD=A8+8O=（/l+Df,——=2,故

所以身高/i=AO+OE=（A+1）-t,將，=?0.618代入可得h?4.24J

22

根據(jù)腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm可得AB<AC,DF>EF；

即加<26,但■f>105,將4=吏二1=0.618代入可得40<r<42

X2

所以169.6<7?<178.08,故選B.

方法二：

由于頭頂至咽喉的長度與頭頂至脖子下端的長度極為接近，故頭頂至脖子下端的長度26cm可

估值為頭頂至咽喉的長度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是

2

（止二1*0.618稱為黃金分割比例）可計算出咽喉至肚臍的長度約為42cm；將人體的頭頂

2

至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度相加可得頭頂至肚臍的長度為68cm,頭頂至肚臍的長度與

肚臍至足底的長度之比是叵」■可計算出肚臍至足底的長度約為110；將頭頂至肚臍的長度

2

與肚臍至足底的長度相加即可得到身高約為178cm,與答案175cm更為接近，故選B.

einX4-X

6.函數(shù)/*）=一:一^在［一肛4］的圖像大致為（）

cosx+x

D

解答:

sin(-x)-xsinx+x

?.?/(-x)=-------_L——>

-2=—/(X),

COS(-X)+(-%)'cosx+x

.?./（X）為奇函數(shù)，排除A.

排除C,

sin?+;r冗八

/（不）=內(nèi)＞0,排除B,故選D.

COS7T+⑺2

6.某學校為了解1（X）0名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1,2,3,…,1000,從這些新生中用

系統(tǒng)抽樣方法等距抽取1()()名學生進行體質(zhì)測驗，若46號學生被抽到，則下面4名學生中被

抽到的是().

A.8號學生B.20()號學生

C.616號學生D.815號學生

答案：

C

解答：

從1000名學生中抽取100名，每10人抽一個，46號學生被抽到，則抽取的號數(shù)就為

10〃+6(0<〃W99,〃eN),可得出616號學生被抽到.

8.tan2550=()

A.-2-V3B.-2+V3

C.2-6D.2+百

答案:

解析：

tan45。-4-f分n20。

因為tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=十皿-'，

1-tan450-tan30°

化簡可得tan2550=2+6

9.已知非零向量2,B滿足|初=20I，且3—則方與B的夾角為()

答案:

解答:

"\a\=2\b\,且3-楊_LB,.,?伍-楊拓=0,有l(wèi)Z_|W=0,設「與B的夾角為6,

則有|GHB|COS6—出『=0,即2出「cos。一出F=0,|B『(2cos。-1)=0,???出快0,

八1八〃一71

?*-cos9=一,0=一,故。與。的夾角為選B.

10.右圖是求2+—^的程序框圖，圖中空白框中應填入(

2+-

2

1

CM=1+—D.A=

2A1+2A

答案：

A

解答：

把選項代入模擬運行很容易得出結論

選項A代入運算可得2+吟，滿足條件,

2+-

2

4—2+

選項B代入運算可得1,不符合條件,

，十一

2

選項C代入運算可得A=,，不符合條件，

2

選項D代入運算可得A=1+!,不符合條件.

4

22

10.雙曲線=1(?>0,/?>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,則C的離心率為()

ab

A.2sin40°B.2cos40°

C.---D.---

sin50°cos50°

答案：

D

解答：

bb

根據(jù)題意可知——=tan130°,所以一=tan50。=s必in530°-,

aacos50°

cos250°+sin250°_I11

離心率e

氏3+畸cos250°Vcos250°cos50°

12.AABC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,已知asinA—bsin6=4csinC,

，In//、

cos?l=——,則一二（）

4c

A.6B.5

C.4D.3

答案：

A

解答：

由正弦定理可得到:asinA—bsinB=4csinC=>cT—b2=4c2，即a2=4c2+Z?2，

又由余弦定理可得到：cosA="-+c'_q-于是可得到2=6

2bc4c

13.已知橢圓C的焦點坐標為耳工(1,0),過弱的直線與C交于A，B兩點,若

|A閶=2國四，|AB|=|明則。的方程為()

X2

A.—+/=1B.----=1

232

答案：

B

解答：

*|A^|=2|^B|,\AB\=\BF{\,設內(nèi)同=x,則|傷|=2x,|%|=3x,根據(jù)橢圓的定義

區(qū)目+忸耳|=|你|+|明|=2,所以|朋|=2%,因此點4即為橢圓的下頂點，因為

\AFA=2\F,B\,c=l所以點3坐標為(3,2),將坐標代入橢圓方程得工+工=1,解得

1111224a24

a2=3,b2=2,故答案選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=3(x2+x)e'在點(0,0)處的切線方程為

答案:

y=3x

解答:

1.,y=3(2x+l)ex+3(x2+x)e'=3,+3x+l)ex，

；?結合導數(shù)的幾何意義曲線在點(0,0)處的切線方程的斜率k=3,

.?.切線方程為y=3x.

3

15.記S“為等比數(shù)列｛%｝的前“項和，若4=1,S3=j,則S4=

答案：

5

8

解析：

%=1,$3=4+4+%=；

設等比數(shù)列公比為4

???4+W+4/]

??q-2

所以=&

15.函數(shù)/(x)=5詛21+:)-3(：051的最小值為

答案:

—4

解答:

3冗

f(x)=sin(2x+弓-)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1,

因為cosXW[-1,1],知當cosX=1時因尤)取最小值,

貝/(x)=sin(2x+；_)-3cosX的最小值為-4.

16.已知NAC3=90°,尸為平面ABC外一點，PC=2,點P到NAC8兩邊AC,8C的距

離均為G，那么P到平面ABC的距離為.

答案：

臟

解答：

如圖，過P點做平面A8C的垂線段，垂足為0,則PO的長度即為所求，再做

PEVCB,PFYCA,由線面的垂直判定及性質(zhì)定理可得出OE_LCB,OF_LCA,在

RMCF中,由PC=2,PF=JL可得出CE=1,同理在用APCE中可得出CE=1,結

合ZACB=90°,OELCB,OFLCA可得出OE=OF=1,OCf，

PO=y]PC2-OC2=V2

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為

必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：

17.某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服

務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(3)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；

(4)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？

〃(ad-be)"2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PgNk)0.0500.0100.001

k

3.8416.63510.828

答案：

(1)男顧客的的滿意概率為2=*404

女顧客的的滿意概率為P=30=|3

(2)有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.

解答：

(1)男顧客的的滿意概率為P=40=]4

303

女顧客的的滿意概率為P==

2100(40x20—10x30)2…八

(2)K~=--------------------------------------------------=4.762

(40+10)(30+20)(40+30)(10+20)

4.762>3.841有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.

18.記5?為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知S9=-%；

(1)若生=4,求｛/｝的通項公式；

(2)若q>0,求使得4的”的取值范圍.

答案：

(1)an=-In+10

(2)｛"1N｝

解答：

(1)由§9=一與結合$9=%1匈=9%可得%=。，聯(lián)立4=4得4=-2,所以

an=%+(〃-3)。=-2〃+10

n(n—9)d

(2)由S9=-。5可得4=-4d,故a“=(〃-5)d,Sn=——-——.

由q>0知d<0,故等價于〃2_ii〃+io〈o，解得

所以”的取值范圍是｛?|1<?<10,neN｝

19.如圖直四棱柱ABC。一A4G〃的底面是菱形，A4,=4,A6=2,ZBAD=601

E,M,N分別是BC,BB],A。的中點.

(1)證明：MN//平面CQE

(2)求點C到平面GOE的距離.

見解析

解答：

(1)連結AG，相交于點G,再過點M作MH//C|E交耳G于點H，再連結GH,NG.

■：￡,”1分別是5。,陰，4。的中點.

于是可得到NG//G。，GH//DE,

于是得到平面NGHM"平面QDE,

由「MNu平面NGHM,于是得到MN//平面GOE

(2)為BC中點，ABCD為菱形且/區(qū)4。=60

：.DE±BC,又為直四棱柱，：

DE±CjE,又A8=2,A4j=4,

:.DE=?C】E=ylii,設點C到平面G。七的距離為，2

由K,-CIDE=%-DCE得

—x—x^3x-s/l?xh=—x—xlx^3x4

3232

解得〃=巴舊

17

所以點c到平面GOE的距離為WJI7

21.已知函數(shù)/(幻=25m了一%85%一X，/'(x)是/(x)的導數(shù).

(3)證明：/'(x)在區(qū)間(0,%)存在唯一零點；

(4)若xw[0,加時，f(x)>ax,求〃的取值范圍.

答案：

略

解答：

(1)由題意得/'(X)=2cosX-[cosX+x(—sinX)]-1=COSx+xsinx-1

令g(x)=cosx+xsinx—1,/.g'(x)=xcosx

jr

當X€(O,一]時，g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增，

2

當x嗎㈤時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

,g(x)的最大值為gcjon'-l,又g(萬)=一2,g(0)=0

?"(乃)超(9<0,即r(乃)(今)<o,

；?/(%)在區(qū)間(0,乃)存在唯一零點.

(2)令尸(%)=/(%)—ax=2sinx-xcosx-x-ar,

F(x)=cosx4-xsinx-l一。，

由(1)知/'(x)在(0,萬)上先增后減，存在加￡(工,萬)，使得/'(，%)=0,且/'(0)=0,

2

r(|)=|-i>o,rs)=—2,

jrTT

P(x)在(0,左)上先增后減，F(xiàn)(0)=—a,F(-)=--l-fl,F(萬)=-2—a,

22

TT

當產(chǎn)(一)40時，F(xiàn)'(x)在(0,萬)上小于0,尸(幻單調(diào)遞減，

2

又戶(0)=0,則尸(x)?。(0)=0不合題意,

TT7T77"

當廣(一)>0時，即一一1一。>0,a<J—1時、

222

若尸'(0)20,尸'(萬)<0,尸(x)在(0,〃?)上單調(diào)遞增，在(〃?,乃)上單調(diào)遞減,

F(0)>0

解得a<0,

F⑺>0

F'(0)=-a>0

而｛,解得—2<a<0,故—2<aW0,

F'^)=-2-a<0

若尸(0)20,尸(萬)20,尸(幻在(0,%)上單調(diào)遞增，且尸(0)=0,

F,(0)=-a>0

故只需，解得a<—2；

F'(TT)--2—a>0

77

若尸⑼WO,F(^-)<0,尸(x)在(0,二)上單調(diào)遞增，且"0)=0,

2

故存在xe(0,—)時，F(xiàn)(x)<F(0)=0,不合題意,

2

綜上所述，。的取值范圍為(，》,()].

21.已知點48關于坐標原點。對稱，|A?=4,eM過點4,8且與直線％+2=0

相切.

(3)若A在直線x+y=0上，求e"的半徑;

(4)是否存在定點P,使得當A運動時，|M4|一|明為定值？并說明理由.

答案：

(1)2或6；

(2)見解析.

解答：

(1)；eV過點4,3,二圓心在A8的中垂線上即直線>=x上，設圓的方程為

(x-a)2+(y-a)2=r2,又|AB|=4,根據(jù)AO?+MO?=/得4+2/=/；

???eM與直線x+2=0相切，.[a+2|=r,聯(lián)解方程得a=0,r=2或a=4,r=6.

(2)設M的坐標為(x,y),根據(jù)條件4。2+知。2=八=1+2『即4+=+y2=卜+21

化簡得V=4x,即"的軌跡是以(1,0)為焦點，以x=—1為準線的拋物線，所以存在定點

P(1,O),使|M4|_|MP|=(x+2)_(x+l)=l