面對(duì)高考高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例設(shè)計(jì)匯編

高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例設(shè)計(jì)匯編

（中部）

10、直線與平面平行的判定

一、教學(xué)內(nèi)容分析：

本節(jié)教材選自人教A版數(shù)學(xué)必修②第二章第一節(jié)課，本節(jié)內(nèi)容在立幾學(xué)習(xí)中起著

承上啟下的作用，具有重要的意義與地位。本節(jié)課是在前面已學(xué)空間點(diǎn)、線、面位置

關(guān)系的基礎(chǔ)作為學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合有關(guān)的實(shí)物模型，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)（合

情推理，不要求證明）歸納出直線與平面平行的判定定理。本節(jié)課的學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生

空間感與邏輯推理能力起到重要作用，特別是對(duì)線線平行、面面平行的判定的學(xué)習(xí)作

用重大。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：

任教的學(xué)生在年段屬中上程度，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣較高，但學(xué)習(xí)立幾所具備的語(yǔ)言表

達(dá)及空間感與空間想象能力相對(duì)不足，學(xué)習(xí)方面有一定困難。

三、設(shè)計(jì)思想

本節(jié)課的設(shè)計(jì)遵循從具體到抽象的原則，適當(dāng)運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)手段，

借助實(shí)物模型，通過(guò)直觀感知，操作確認(rèn)，合情推理，歸納出直線與平面平行

的判定定理，將合情推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生在觀察分析、自主探索、

合作交流的過(guò)程中，揭示直線與平面平行的判定、理解數(shù)學(xué)的概念，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)

的思想方法，養(yǎng)成積極主動(dòng)、勇于探索、自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生的空

間觀念和空間想象力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。

四、教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)直觀感知——觀察——操作確認(rèn)的認(rèn)識(shí)方法理解并掌握直線與平面平行的

判定定理，掌握直線與平面平行的畫法并能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言表述判

定定理。培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力、邏輯思維能力。讓學(xué)生

在觀察、探究、發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)，在自主合作、交流中學(xué)習(xí)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，增強(qiáng)自信

心，樹(shù)立積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，提高學(xué)習(xí)的自我效能感。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)是判定定理的引入與理解，難點(diǎn)是判定定理的應(yīng)用及立幾空間感、空間觀念

的形成與邏輯思維能力的培養(yǎng)。

六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（-）知識(shí)準(zhǔn)備、新課引入

提問(wèn)1：根據(jù)公共點(diǎn)的情況，空間中直線a和平面a有哪幾種位置關(guān)系？并完成

下表：（多媒體幻燈片演示）

位置關(guān)系

公共點(diǎn)

符號(hào)表示

圖形表示

我們把直線與平面相交或平行的位置關(guān)系統(tǒng)稱為直線在平面外，用符號(hào)表示為

a<za

提問(wèn)2：根據(jù)直線與平面平行的定義（沒(méi)有公共點(diǎn)）來(lái)判定直線與平面平行你認(rèn)為

方便嗎？談?wù)勀愕目捶?，并指出是否有別的判定途徑。

［設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)提問(wèn)，學(xué)生復(fù)習(xí)并歸納空間直線與平面位置關(guān)系引入本節(jié)課題,

并為探尋直線與平面平行判定定理作好準(zhǔn)備。］

（二）判定定理的探求過(guò)程

1、直觀感知

提問(wèn)：根據(jù)同學(xué)們?nèi)粘Ｉ畹挠^察，你們能感知到并舉出直線與平面平行的具體

事例嗎？

生1：例舉日光燈與天花板，樹(shù)立的電線桿與墻面。

生2：門轉(zhuǎn)動(dòng)到離開(kāi)門框的任何位置時(shí)，門的邊緣線始終與門框所在的平面平行

（由學(xué)生到教室門前作演示），然后教師用多媒體動(dòng)畫演示。

［學(xué)情預(yù)設(shè)：此處的預(yù)設(shè)與生成應(yīng)當(dāng)是很自然的，但老師要預(yù)見(jiàn)到可能出現(xiàn)的情

況如電線桿與墻面可能共面的情形及門要離開(kāi)門框的位置等情形。］

2、動(dòng)手實(shí)踐

教師取出預(yù)先準(zhǔn)備好的直角梯形泡沫板演示：當(dāng)把互相平行的一邊放在講臺(tái)桌面

上并轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察另一邊與桌面的位置給人以平行的感覺(jué)，而當(dāng)把直角腰放在桌面上并

轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察另一邊與桌面給人的印象就不平行。又如老師直立講臺(tái)，則大家會(huì)感覺(jué)到

老師（視為線）與四周墻面平行，如老師向前或后傾斜則感覺(jué)老師（視為線）與左、右

墻面平行，如老師向左、右傾斜，則感覺(jué)老師（視為線）與前、后墻面平行（老師也可用

事先準(zhǔn)備的木條放在講臺(tái)桌上作上述情形的演示）。

［設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置這樣動(dòng)手實(shí)踐的情境，是為了讓學(xué)生更清楚地看到線面平行與

否的關(guān)鍵因素是什么，使學(xué)生學(xué)在情境中，思在情理中，感悟在內(nèi)心中，學(xué)自己身邊

的數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟空間觀念與空間圖形性質(zhì)。］

3、探究思考

（1）上述演示的直線與平面位置關(guān)系為何有如此的不同？關(guān)鍵是什么因素起了作

用呢？通過(guò)觀察感知發(fā)現(xiàn)直線與平面平行，關(guān)鍵是三個(gè)要素：①平面外一條線②

平面內(nèi)一條直線③這兩條直線平行

（2）如果平面外的直線a與平面a內(nèi)的一條直線b平行，那么直線a與平面a平行

嗎？

4、歸納確認(rèn)：（多媒體幻燈片演示）

直線和平面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該

直線和這個(gè)平面平行。

簡(jiǎn)單概括：（內(nèi)外）線線平行n線面平行

a<za

符號(hào)表示：

aWb

溫馨提示：

作用：判定或證明線面平行。

關(guān)鍵：在平面內(nèi)找（或作）出…條直線與面外的直線平行。

思想：空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題

（三）定理運(yùn)用，問(wèn)題探究（多媒體幻燈片演示）

1、想一想：

（1）判斷下列命題的真假？說(shuō)明理由：

①如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與平面平行（）

②過(guò)直線外一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行（）

③一直線上有二個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線與平面平行（）

（2）若直線a與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a與a的位置關(guān)系是（）

A、aIlaB、auaC^alia或auaD^a<z?

［學(xué)情預(yù)設(shè)：設(shè)計(jì)這組問(wèn)題目的是強(qiáng)調(diào)定理中三個(gè)條件的重要性，同時(shí)預(yù)設(shè)（1）中

的③學(xué)生可能認(rèn)為正確的，這樣就無(wú)法達(dá)到老師的預(yù)設(shè)與生成的目的，這時(shí)教師要引

導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生想象的空間更廣闊些。此外教師可用預(yù)先準(zhǔn)備好的羊毛針與泡沫

板進(jìn)行演示，讓羊毛針穿過(guò)泡沫板以舉不平行的反例，如果有的學(xué)生空間想象力強(qiáng)，

能按老師的要求生成正確的結(jié)果則就由個(gè)別學(xué)生進(jìn)行演示。］

2、作一作：

設(shè)a、b是二異面直線，則過(guò)a、b外一點(diǎn)p且與a、b都平行的平面存在嗎？若

存在請(qǐng)畫出平面，不存在說(shuō)明理由？

先由學(xué)生討論交流，教師提問(wèn)，然后教師總結(jié)，并用準(zhǔn)備好的羊毛針、鐵線、泡

沫板等演示平面的形成過(guò)程，最后借多媒體展示作圖的動(dòng)畫過(guò)程。

［設(shè)計(jì)意圖：這是一道動(dòng)手操作的問(wèn)題，不僅是為了拓展加深對(duì)定理的認(rèn)識(shí)，更

重要的是培養(yǎng)學(xué)生空間感與思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。］

3、證一證：

例1（見(jiàn)課本60頁(yè)例1）：已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中

點(diǎn)，求證：EFII平面BCD。

變式一：空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA中點(diǎn),

連結(jié)EF、FG、GH、HE、AC、BD請(qǐng)分別找出圖中滿足線面平行位置關(guān)系的所有情

況。（共6組線面平行）

變式二：在變式一的圖中如作PQEF,使P點(diǎn)在線段AE上、Q點(diǎn)在線段FC上,

連結(jié)PH、QG,并繼續(xù)探究圖中所具有的線面平行位置關(guān)系？（在變式一的基礎(chǔ)上增

加了4組線面平行），并判斷四邊形EFGH、PQGH分別是怎樣的四邊形，說(shuō)明理由。

［設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)二個(gè)變式訓(xùn)練，目的是通過(guò)問(wèn)題探究、討論，思辨，及時(shí)鞏固

定理，運(yùn)用定理，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力與邏輯推理能力。］

例2：如圖，在正方體ABCD—AIBCIDI中，E、F分別是棱BC與CQi中點(diǎn)，

求證：EFII平面BDDiB,

分析：根據(jù)判定定理必須在平面BDDIBI內(nèi)找（作）一條線與EF平行，聯(lián)想到中點(diǎn)

問(wèn)題找中點(diǎn)解決的方法，可以取BD或BiDi中點(diǎn)而證之。

思路一：取BD中點(diǎn)G連DiG、EG,可證DjGEF為平行四邊形。

思路二：取DiBi中點(diǎn)H連HB、HF,可證HFEB為平行四邊形。

［知識(shí)鏈接：根據(jù)空間問(wèn)題平面化的思想，因此把找空間平行直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為找

平行四邊形或三角形中位線問(wèn)題，這樣就自然想到了找中點(diǎn)。平行問(wèn)題找中點(diǎn)解決是

個(gè)好途徑好方法。這種思想方法是解決立幾論證平行問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯思維能力的重要

思想方法］

4、練一練:

練習(xí)1：見(jiàn)課本6頁(yè)練習(xí)1、2

練習(xí)2：將兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起，設(shè)M、N分別為AC、

BF中點(diǎn)，求證：MNII平面BCE。

變式：若將練習(xí)2中M、N改為AC、BF分點(diǎn)且AM=FN,試問(wèn)結(jié)論仍成立嗎？

試證之。

［設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這組練習(xí)，目的是為了鞏固與深化定理的運(yùn)用，特別是通過(guò)練

習(xí)2及其變式的訓(xùn)練，讓學(xué)生能在復(fù)雜的圖形中去識(shí)圖，去尋找分析問(wèn)題、解決問(wèn)題

的途徑與方法，以達(dá)到逐步培養(yǎng)空間感與邏輯思維能力。］

（四）總結(jié)

先由學(xué)生口頭總結(jié)，然后教師歸納總結(jié)（由多媒體幻燈片展示）：

1、線面平行的判定定理：平面外的…條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直

線與這個(gè)平面平行。

a亡a

2、定理的符號(hào)表示：baa>=>aIIa

aWb

簡(jiǎn)述：（內(nèi)外）線線平行則線面平行

3、定理運(yùn)用的關(guān)鍵是找（作）面內(nèi)的線與面外的線平行，途徑有：取中點(diǎn)利用

平行四邊形或三角形中位線性質(zhì)等。

七、教學(xué)反思

本節(jié)“直線與平面平行的判定”是學(xué)生學(xué)習(xí)空間位置關(guān)系的判定與性質(zhì)的第一節(jié)

課，也是學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)立幾演澤推理論述的思維方式方法，因此本節(jié)課學(xué)習(xí)對(duì)發(fā)展學(xué)

生的空間觀念和邏輯思維能力是非常重要的。

本節(jié)課的設(shè)計(jì)遵循“直觀感知——操作確認(rèn)——思辯論證”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，注重引

導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作交流、討論、有條理的思考和推理等活動(dòng)，從多角度認(rèn)識(shí)直線

和平面平行的判定方法，讓學(xué)生通過(guò)自主探索、合作交流，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和掌握空間圖

形的性質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展合情推理、發(fā)展空間觀念與推理能力。

本節(jié)課的設(shè)計(jì)注重訓(xùn)練學(xué)生準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言及圖形語(yǔ)言，加強(qiáng)

各種語(yǔ)言的互譯。比如上課開(kāi)始時(shí)的復(fù)習(xí)引入，讓學(xué)生用三種語(yǔ)言的表達(dá)，動(dòng)手實(shí)踐、

定理探求過(guò)程以及定理描述也注重三種語(yǔ)言的表達(dá)，對(duì)例題的講解與分析也注意指導(dǎo)

學(xué)生三種語(yǔ)言的表達(dá)。

本節(jié)課對(duì)定理的探求與認(rèn)識(shí)過(guò)程的設(shè)計(jì)始終貫徹直觀在先，感知在先，學(xué)

自己身邊的數(shù)學(xué)，感知生活中包涵的數(shù)學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)原理，體驗(yàn)數(shù)學(xué)即生活的

道理，比如讓學(xué)生舉生活中能感知線面平行的例子，學(xué)生會(huì)舉出日光燈與天花

板，電線桿與墻面，轉(zhuǎn)動(dòng)的門等等，同時(shí)老師的舉例也很貼進(jìn)生活，如老師直

立時(shí)與四周墻面平行，而向前、向后傾斜則只與左右墻面平行，而向左、右傾

斜則與前后黑板面平行。然后引導(dǎo)學(xué)生從中抽象概括出定理。

本節(jié)課對(duì)定理的運(yùn)用設(shè)計(jì)了想一想、作一作、證一證、練一練等環(huán)節(jié)，能從易到

難，由淺入深地強(qiáng)化對(duì)定理的認(rèn)識(shí)，特別是對(duì)“證一證”中采用一題多解，一題多變

的變式教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性與深刻性。

本節(jié)課的設(shè)計(jì)還注重了多媒體輔助教學(xué)的有效作用，在復(fù)習(xí)引入，定理的探求以

及定理的運(yùn)用等過(guò)程中，都有效地使用了多媒體。

福建省寧德第一中學(xué)葉洪康

點(diǎn)評(píng)

本節(jié)課教師利用教室現(xiàn)有實(shí)物，如日光燈管、地面、教師個(gè)人、門

等做教具，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解直線和平面平行的理由和條件。學(xué)生在應(yīng)

用觀察、猜想等手段探索研究判定定理時(shí)，能獲得視覺(jué)上的愉悅，增強(qiáng)

探求的好奇心。學(xué)生經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，最

后通過(guò)概括得出新的數(shù)學(xué)概念。創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情景有效，能遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律,

從感性到理性，從具體到抽象。

本節(jié)課的設(shè)計(jì)符合新課程立幾中“直觀感知一一操作確認(rèn)一一思辯

論證”的教學(xué)理念。整體設(shè)計(jì)中規(guī)中矩，自然流暢。教師對(duì)問(wèn)題、例題

的設(shè)計(jì)都別具匠心，考慮到學(xué)生的實(shí)際，有意地設(shè)計(jì)了一些鋪墊和引導(dǎo),

既鞏固已有知識(shí)，又為新知識(shí)提供了附著點(diǎn)，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。

本節(jié)課蘊(yùn)涵著化歸思想，設(shè)計(jì)中注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想方法的訓(xùn)練，

通過(guò)一題多解、一題多變，滲透了聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考、

掌握方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性與深刻性。

11、循環(huán)結(jié)構(gòu)

一、教學(xué)內(nèi)容分析

《循環(huán)結(jié)構(gòu)》是人民教育出版社課程教材研究所編著的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)

教科書數(shù)學(xué)3（必修）》（A版）中§1。k2的第二課時(shí)的內(nèi)容。（1）算法是高中數(shù)

學(xué)課程中的新內(nèi)容，算法的思想是非常重要的，算法思想已逐漸成為每個(gè)現(xiàn)代人所必

須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（2）本節(jié)課的內(nèi)容是循環(huán)結(jié)構(gòu)，它與順序結(jié)構(gòu)、條件分支結(jié)構(gòu)是

算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，可以表示任何一個(gè)算法。并且循環(huán)結(jié)構(gòu)是算法這一部分的

重點(diǎn)和難點(diǎn)，它的重要性就是充分體現(xiàn)計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)，也即能以極快的速度進(jìn)行重復(fù)

計(jì)算。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)算法和框圖的基礎(chǔ)知識(shí)。絕大多數(shù)同學(xué)對(duì)算法和框圖

的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。但在探究問(wèn)題的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)等方面

發(fā)展不夠均衡，尚有待加強(qiáng)。

三、設(shè)計(jì)思想

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，建構(gòu)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組建，其過(guò)程一般是引導(dǎo)學(xué)生從身

邊的、生活中的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，思考如何解決問(wèn)題，進(jìn)而聯(lián)系所學(xué)的舊知

識(shí)，首先明確問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，然后總結(jié)出新知識(shí)的有關(guān)概念和規(guī)律，形成知識(shí)點(diǎn)，把知

識(shí)點(diǎn)按照邏輯線索和內(nèi)在聯(lián)系，串成知識(shí)線，再由若干條知識(shí)線形成知識(shí)面，最后由

知識(shí)面按照其內(nèi)容、性質(zhì)、作用、因果等關(guān)系組成綜合的知識(shí)體。也就是以學(xué)生為主

體，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)以及學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)?；?/p>

于以上理論，本節(jié)課遵循引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，循序漸進(jìn)的思路，采用問(wèn)題探究式教學(xué)，運(yùn)用多

媒體，投影儀輔助，倡導(dǎo)“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式。具體流程如下：

創(chuàng)設(shè)情景（課前準(zhǔn)備、引入實(shí)例）~授新設(shè)疑（自主探索形成概念一理解概念

能識(shí)別框圖）一質(zhì)疑問(wèn)難、論爭(zhēng)辯難（進(jìn)一步加深對(duì)概念的理解~突破難點(diǎn)）一溝通

發(fā)展（反饋練習(xí)一歸納小結(jié)）一布置作業(yè)。

四、教學(xué)目標(biāo)

理解循環(huán)結(jié)構(gòu)，能識(shí)別和理解簡(jiǎn)單的框圖的功能，通過(guò)模仿、操作、探索，學(xué)習(xí)

設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)，解決問(wèn)題的過(guò)程，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)的能力，提高邏輯思

維能力；能運(yùn)用循環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)程序框圖解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，感受和體會(huì)算法思想在解決

具體問(wèn)題中的意義，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解循環(huán)結(jié)構(gòu)，能識(shí)別和畫出簡(jiǎn)單的循環(huán)結(jié)構(gòu)框圖。

難點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)中循環(huán)條件和循環(huán)體的確定。

六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(-)創(chuàng)設(shè)情境

引例：德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過(guò)人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同

學(xué)們計(jì)算：1+2+3+4H----F99+100=?

老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。課

本例6)你能否寫出求1+2+3+…+100的值的一個(gè)算法，并用框圖表示你的算法。

此例由學(xué)生動(dòng)手完成，投影展示學(xué)生的做法，師生共同點(diǎn)評(píng)。鼓勵(lì)學(xué)生一題多解。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)高斯求和的故事，復(fù)習(xí)順序結(jié)構(gòu)，提出遞推求和的方法，導(dǎo)入

新課。此環(huán)節(jié)旨在提升學(xué)生的求知欲、探索欲，使學(xué)生保持良好、積極的情感體驗(yàn)。

(二)授新設(shè)疑

1.循序漸進(jìn)，理解知識(shí)

(1)引進(jìn)“計(jì)數(shù)變量”、“累加變量”。借助“計(jì)數(shù)變量”和“累加變量”使

學(xué)生經(jīng)歷把“遞推求和”轉(zhuǎn)化為“循環(huán)求和”的過(guò)程，同時(shí)經(jīng)歷初始化變量，確定循

環(huán)體，設(shè)置循環(huán)終止條件3個(gè)構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵步驟。

①將“遞推求和”轉(zhuǎn)化為“循環(huán)求和”的緣由及轉(zhuǎn)化的方法和途徑

引例“求1+2+3+…+100的值”這個(gè)問(wèn)題的自然求和過(guò)程可以表示為：

S2=S,+2,53=52+3,54=S3+4---S;=S,_1+z(z=2,3,-??,100)

S=1

用遞推公式表示為：'(i=2,3,…100)

[5,.=5M+Z

直接利用這個(gè)遞推公式構(gòu)造算法在步驟S,=S-+i中使用了S「S2，S3-S3共100個(gè)變

量，計(jì)算機(jī)執(zhí)行這樣的算法時(shí)需要占用較大的內(nèi)存。為了節(jié)省變量，充分體現(xiàn)計(jì)算機(jī)

能以極快的速度進(jìn)行重復(fù)計(jì)算的優(yōu)勢(shì)，需要從上述遞推求和的步驟Sj=S1+i中提取

出共同的結(jié)構(gòu)，即第i步的結(jié)果=第(/-I)步的結(jié)果若引進(jìn)一個(gè)計(jì)數(shù)變量i來(lái)

表示計(jì)算到第幾步，一個(gè)累加變量團(tuán)來(lái)表示每一步的計(jì)算結(jié)果，則第i步可以表示

為賦值過(guò)程i=i+1,sum=sum+i?

②"i=i+1"、"sum=sum+i”的含義

利用多媒體動(dòng)畫展示計(jì)算機(jī)中計(jì)數(shù)器的工作原理，借助形象直觀對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)

調(diào)說(shuō)明

1)i=i+l的作用是將賦值號(hào)右邊表達(dá)式i+1的值賦給賦值號(hào)左邊的變量九

2）賦值號(hào)“="右邊的變量“i”表示前一步累加所得的和，賦值號(hào)“=”左邊

的“i”表示該步累加所得的和，含義不同。

3）賦值號(hào)“=”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。i=i+l在數(shù)學(xué)中是不成立的。

4）sum=sum+i的作用是將賦值號(hào)右邊表達(dá)式sum+i的值賦給賦值號(hào)左邊的變

量（類匕i=i+\理解）

借助“計(jì)數(shù)變量”、“累加變量”既突破了難點(diǎn)，同時(shí)也使學(xué)生理解了=i+、

usum-sum+i”的含義。

③初始化變量，設(shè)置循環(huán)終止條件

由SC"〃的初始值為0,i的值由1增加到100,可以初始化循環(huán)變量和設(shè)置循環(huán)終

止條件。

（2）循環(huán)結(jié)構(gòu)的概念

從某處開(kāi)始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)。

教師學(xué)生一起共同完成引例的框圖表示，并由此引出本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)循環(huán)結(jié)構(gòu)的概

念（循環(huán)變量、循環(huán)體、循環(huán)終止的條件）。

【設(shè)計(jì)意圖】這樣講解既突出了重點(diǎn)又突破了難點(diǎn)，同時(shí)學(xué)生在教師引導(dǎo)下，在

已有探索經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，借助多媒體的形象直觀，共同完成問(wèn)題的抽象過(guò)程和算法的

構(gòu)建過(guò)程。體現(xiàn)研究問(wèn)題常用的“由特殊到一般”的思維方式。

2.類比探究，掌握知識(shí)

例1：改造引例的程序框圖表示

①求2+4+6+…+100的值

②求i+LL…的值

2350

③求Ix2x3x…x200的值

此例可由學(xué)生獨(dú)立思考、回答，師生共同點(diǎn)評(píng)完成。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)引例框圖的反復(fù)改造逐步幫助學(xué)生深入理解循環(huán)結(jié)構(gòu)，體

會(huì)用循環(huán)結(jié)構(gòu)表達(dá)算法，關(guān)鍵要做好三點(diǎn)：

①確定循環(huán)變量和初始值②確定循環(huán)體③確定循環(huán)終止條件。

例2：根據(jù)程序框圖回答下面的問(wèn)題

圖A圖B

(1)圖中箭頭指向①時(shí)，輸出5即2=_____；指向②時(shí)輸出_____=

(2)該程序框圖的算法功能是□

(3)去掉條件“i>5”按程序框圖所蘊(yùn)含的算法，能執(zhí)行到底嗎，若能執(zhí)行到

底，最后輸出的結(jié)果是什么？

對(duì)比練習(xí)：

(1)圖B輸出0

(2)圖A指向②時(shí)與圖B有何不同？你能得到什么結(jié)論？

(3)對(duì)比“引例”與“例2”的程序框圖，試說(shuō)明二者的區(qū)別和聯(lián)系？

可由學(xué)生小組討論，教師巡視，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的個(gè)別指導(dǎo)，再由學(xué)生分析。

例2是寫出程序框圖的運(yùn)算結(jié)果，及其功能。

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)此例的目的是讓學(xué)生通過(guò)類比意識(shí)到：

①循環(huán)結(jié)構(gòu)不能是永無(wú)終止的死循環(huán)，一定要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要

條件結(jié)構(gòu)來(lái)做出判斷，因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)一定包含條件結(jié)構(gòu)。

②循環(huán)結(jié)構(gòu)中語(yǔ)句的順序?qū)λ惴ǖ挠绊憽?/p>

③當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)與直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的區(qū)別。

（三）質(zhì)疑問(wèn)難、論爭(zhēng)辯難

例3圖（1）,圖（2）,圖（3）,圖（4）是為計(jì)算而繪制的程序框圖。根據(jù)程序

框圖回答下面的問(wèn)題：

圖（1）圖⑵

圖⑶圖⑷

①其中正確的程序框圖有哪幾個(gè)？錯(cuò)誤的要指出錯(cuò)在哪里。

②錯(cuò)誤的程序框圖中，按該程序框圖所蘊(yùn)含的算法，能執(zhí)行到底嗎？若能執(zhí)行到底，

最后輸出的結(jié)果是什么？

③根據(jù)上面的回答總結(jié)出應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)編制程序框圖應(yīng)該注意哪幾方面的問(wèn)題？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類比，自主探究，幫助學(xué)生深入理解知識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，提

升認(rèn)知水平。通過(guò)小組討論，實(shí)現(xiàn)生生互動(dòng)，師生互助，豐富情感體驗(yàn)，活躍課堂氣

氛。

（四）溝通發(fā)展、歸納小結(jié)

1.溝通發(fā)展

仿照本節(jié)課例題，同桌倆人一人編題一人解答。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)和提升學(xué)生的認(rèn)知水平。溝通

發(fā)展，有助于及時(shí)查漏補(bǔ)缺，保持學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和信心。

2.課后小節(jié)

①理解循環(huán)結(jié)構(gòu)的邏輯。

②明確條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)的區(qū)別，聯(lián)系。

③當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)與直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的區(qū)別。

④數(shù)學(xué)思想方法：算法思想，類比方法。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小結(jié)使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，掌握知識(shí)。為

今后學(xué)習(xí)其它知識(shí)打基礎(chǔ)。

（五）布置作業(yè)

①課本P11習(xí)題1-1A組2

②課外拓展：寫出一個(gè)求滿足lX2X3X-Xn>5000的最小正整數(shù)的算法并畫

出相應(yīng)的程序框圖。

【設(shè)計(jì)意圖】書面作業(yè)第一個(gè)層次要求所有學(xué)生完成，第二個(gè)層次，只要求學(xué)有

余力的同學(xué)完成。體現(xiàn)了差異發(fā)展教學(xué)。

七、教學(xué)反思

循環(huán)結(jié)構(gòu)這部分內(nèi)容在算法中起著承上啟下的作用。本節(jié)施教過(guò)程中，基

本完成設(shè)計(jì)構(gòu)思，教學(xué)效果良好，但仍發(fā)現(xiàn)一些不足之處：

1、學(xué)生對(duì)循環(huán)終止條件的確定還存在一定困難，尤其循環(huán)體中“i=i+l”、

“=m+i”的順序?qū)K止條件的影響。

2、教學(xué)過(guò)程中對(duì)循環(huán)體=i+=+中滲透的函數(shù)思想

（數(shù)學(xué)本質(zhì)）體現(xiàn)不夠。

對(duì)算法教學(xué)的思考：教材將“算法與程序框圖”和“基本算法語(yǔ)句”分開(kāi)

處理。是否將這兩部分內(nèi)容結(jié)合起來(lái)處理，在講基本結(jié)構(gòu)的時(shí)候，通過(guò)基本算

法語(yǔ)句在計(jì)算機(jī)上演示計(jì)算結(jié)果，是否會(huì)更生動(dòng)，效果會(huì)更好。強(qiáng)調(diào)基本結(jié)構(gòu),

適當(dāng)降低程序框圖和算法語(yǔ)句的難度（學(xué)生反映其中的一些例題結(jié)構(gòu)太復(fù)雜，

理解比較吃力）。

算法作為數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的橋梁，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的一個(gè)新的方向，其

作用是勿庸質(zhì)疑的，但作為高中數(shù)學(xué)課程中的新內(nèi)容，如何將其更完美地展現(xiàn)

給學(xué)生，還需大家共同努力！

龍巖第一中學(xué)章楊

點(diǎn)評(píng)

本節(jié)是概念課，是算法初步這一章節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。概念的建構(gòu)應(yīng)

該是多元的，但無(wú)論采用何種方式建構(gòu)新的知識(shí)，都要關(guān)注課堂上一些

顯現(xiàn)因素和課堂教學(xué)的內(nèi)在因素，以教材為“生長(zhǎng)點(diǎn)”，在師生、生生互

動(dòng)中，不斷創(chuàng)造出新的教學(xué)資源，使師生的思維和情感在和諧的“共振”

中得到升華，讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)保持良好、積極的情感體驗(yàn)，提升求知欲、

探索欲。本設(shè)計(jì)以循環(huán)結(jié)構(gòu)的典型模型“寫出求1+2+3+…+100的值的一個(gè)

算法”作為引入，并以它為核心進(jìn)行剖析，表達(dá)概念的含義，從中抽象

出循環(huán)結(jié)構(gòu)的概念。設(shè)計(jì)中能夠緊緊圍繞如何確定循環(huán)變量和初始值及

如何確定循環(huán)終止條件，通過(guò)變式訓(xùn)練、正反例判斷，抓住重點(diǎn)，突破

難點(diǎn)。

循環(huán)結(jié)構(gòu)是三種結(jié)構(gòu)中的一種結(jié)構(gòu)，教材中只安排了一個(gè)例題“設(shè)

計(jì)一個(gè)計(jì)算1+2+3+…+10()的值的一個(gè)算法，并畫出程序框圖“。設(shè)計(jì)中能

夠充分發(fā)揮例題的功能，通過(guò)例題講清概念，通過(guò)例題的引伸，讓學(xué)生

掌握本節(jié)知識(shí)。

當(dāng)型與直到型的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)是本節(jié)課的重要知識(shí)點(diǎn)，教學(xué)中要講

清兩種結(jié)構(gòu)的異同點(diǎn)。設(shè)計(jì)中已經(jīng)注意到了這一點(diǎn)，但重視的程度還略

顯不夠。

12、任意角的三角函數(shù)(1)

一、教學(xué)內(nèi)容分析:

高一年《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書?數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版A版）第12頁(yè)1.2.1

任意角的三角函數(shù)第一課時(shí)。

本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過(guò)問(wèn)

題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)

的定義。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)

學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓

去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

在本模塊中，學(xué)生將通過(guò)實(shí)例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會(huì)三角函數(shù)在解決

具有變化規(guī)律的問(wèn)題中的作用。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

我們的課堂教學(xué)常用“高起點(diǎn)、大容量、快推進(jìn)”的做法，忽略了知識(shí)的發(fā)生發(fā)

展過(guò)程，以騰出更多的時(shí)間對(duì)學(xué)生加以反復(fù)的訓(xùn)練，無(wú)形增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，泯滅了

學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。我們雖然刻意地去改變教學(xué)的方式，但仍太多舊時(shí)的痕跡，若為了

新課程而新課程又會(huì)使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。所以如何進(jìn)

行《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn)）的教學(xué)設(shè)計(jì)就很值得思考探

索。如何讓學(xué)生把對(duì)初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識(shí)遷移到學(xué)習(xí)任意

角的三角函數(shù)的定義中？

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀》中在三角函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注以

下兩點(diǎn)：

第一、根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，例如單調(diào)彈簧振子，圓上一點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)，以及音樂(lè)、波浪、潮汐、四季變化等實(shí)例，使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，

認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會(huì)三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模

型的意義。

第二、注重三角函數(shù)模型的運(yùn)用即運(yùn)用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象

（周期振蕩現(xiàn)象），解決一些實(shí)際問(wèn)題，這也是《課程標(biāo)準(zhǔn)》在三角函內(nèi)容處理上的

一個(gè)突出特點(diǎn)。

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)思想，任意角的三角函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生解決好兩

個(gè)問(wèn)題：

其一：能從實(shí)際問(wèn)題中識(shí)別并建立起三角函數(shù)的模型；

其二：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認(rèn)識(shí)其定義域、函數(shù)值的符號(hào)。

三、設(shè)計(jì)理念：

本節(jié)課通過(guò)多媒體信息技術(shù)展示摩天輪旋轉(zhuǎn)及生成的圖像，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)

源于生活—，數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。并通過(guò)問(wèn)題的探究，體驗(yàn)“數(shù)

學(xué)是過(guò)程的思想”，改變課程實(shí)施過(guò)程于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背，機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀,

倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，樂(lè)于探究，勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生收集和處理信息的能力，獲

得新知識(shí)的能力，分析與解決問(wèn)題的能力以及交流合作的能力。

四、教學(xué)目標(biāo)：

1.借助摩天輪的情景問(wèn)題很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能很好入在直角

坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過(guò)渡，從通過(guò)問(wèn)題引

導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)

的定義；

2.從任意角的三角函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)其定義域、函數(shù)值的符號(hào);

3.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

1.教學(xué)重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)的定義.

2.教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.

具體設(shè)計(jì)如下：

六、教學(xué)過(guò)程

第一部分——情景引入

問(wèn)題1：如圖是一個(gè)摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為

ho,它的直徑為2R,逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360

秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置0A出發(fā)（如圖1所不，

過(guò)了30秒后，你離地面的高度〃為多少？過(guò)了45秒呢？過(guò)了f秒呢？

【設(shè)計(jì)意圖】：高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的科學(xué)知識(shí)，因此選擇

感興趣的、與其生活實(shí)際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計(jì)應(yīng)該有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的發(fā)生

發(fā)展的理解.這個(gè)數(shù)學(xué)模型很好融合初中對(duì)三角函數(shù)的定交，也能放在直角坐標(biāo)系中,

很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過(guò)渡，揭示函數(shù)的本質(zhì)。

第二部分——復(fù)習(xí)回顧銳角三角函數(shù)

讓學(xué)生自主思考如何解決問(wèn)題：“過(guò)了30秒后，你離地面的高度為多少？”

【分析*作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運(yùn)

動(dòng)30秒后到達(dá)P點(diǎn)位置，由題意知ZAOP=30°,作PH垂

直地面交0A于M,又知所以本問(wèn)題轉(zhuǎn)變成求PH

再次轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪M。

要求PM就是回到初中所學(xué)的解直角三角形的問(wèn)題即銳

角的三角函數(shù)。

問(wèn)題2：銳角a的正弦函數(shù)如何定義？

【學(xué)生自主探究】：學(xué)生很容易得到

圖2H

sina=nIMP1=RsinanIPH1=%+Rsina

\OP\R°

=>h=%+Rsina

所以學(xué)生很自然得到“過(guò)了30秒后，過(guò)了45秒,

你離地面的高度4為多少？”

/?,=h0+Rsin30°

力2=%+Rsin45°

【教師總結(jié)】：〃在銳角的范圍中，

>x

%=%+/?sinz°

第三部分——引入新課

問(wèn)題3：請(qǐng)問(wèn)f的范圍呢？隨著時(shí)間的推移，你

離地面的高度〃為多少？能不能猜想

/?=%+Rsint°?

【分析】：若想做到這一點(diǎn)，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們

就要來(lái)學(xué)習(xí)任意角的三函數(shù)角函數(shù)。

問(wèn)題4：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)外辦,力），能你用直角坐標(biāo)系中角的終邊上

的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角a的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其它函數(shù)（余弦、正切）？

【學(xué)生自主探究】：sina=W^="

\OP\R

3”皿=紅，tana=也」

\OP\R\OM\xP

問(wèn)題5：改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？為什么？

【分析】：先由學(xué)生回答問(wèn)題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn)，計(jì)算比值，獲得具體

認(rèn)識(shí)，并由相似三角形的性質(zhì)證明。

【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生深刻理解體會(huì)三角函數(shù)值不會(huì)隨著終邊上的點(diǎn)的位置的改

變而改變，只與角有關(guān)系。

通過(guò)摩天輪的演示，讓學(xué)生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一

樣。

問(wèn)題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義

呢？

【學(xué)生自主探究】：學(xué)生通過(guò)上面已知知識(shí)

彳4R守z至iUisi-na=-?-M--P---I=—yp

\OP\R

學(xué)生定義好第二象限角后，讓學(xué)生自己算

出摩天輪座艙在第150秒時(shí),離地面的高度/??

通過(guò)摩天輪知道:

〃=%+Rsinl50°=4=〃o+Rsin3O°

由此得到：sin150°=工

2

\MP\

【設(shè)計(jì)意圖】:通過(guò)這個(gè)，讓學(xué)生檢驗(yàn)sina=正在第二象限角是否正確？

\OP\R

IMPI

問(wèn)題7：sina=丫9在第三象限角或第四象限能成立嗎？

\OP\

【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生通過(guò)模型，檢驗(yàn)定義是否正確，從中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正、

負(fù)符號(hào)的偏差。

(可以讓學(xué)生取f=210,從而/?=%+Rsin21()°,得到sin210°=-L發(fā)現(xiàn)這與

2

.IMPI才知夕*L13.—IMPI、

sina=-------不相符，頭際上是sina=----------)

\OP\\OP\

【教師總結(jié)】：我們通過(guò)個(gè)模型知道如何在某些范圍內(nèi)如何計(jì)算自已此時(shí)離地面

的高度，用數(shù)學(xué)模型//=%+Rsint°來(lái)表示，當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)，角度的概念也不知不覺(jué)

地推廣到任意角，對(duì)于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對(duì)邊的

長(zhǎng)度比斜邊長(zhǎng)度了，我更應(yīng)該用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)來(lái)代替IMPI或-IMPI,那么這樣就能

夠很好表示出正弦的函數(shù)任意角的定義。

第三部分——給出任意角三角函數(shù)的定義

如圖3,已知點(diǎn)P(x,y)為角a終邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)0的距離為R,則

sina=—(a￡R)

R

X

cosa=—CaeR)

R

tanor=—(aw—+)

x2

【分析】：讓學(xué)生通過(guò)剛才的模型進(jìn)一步體驗(yàn)任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、

點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。

問(wèn)題8：當(dāng)摩天輪的半徑R=1時(shí)，三角函數(shù)的定義會(huì)發(fā)生怎樣的變化。

【學(xué)生自主探究】：sina=y,cosa=x,tana=-o

x

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，學(xué)生通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)

式簡(jiǎn)化。

教師進(jìn)一步給出單位圓的定義

給出下列表格，讓學(xué)生自己補(bǔ)充完整。

三角函數(shù)定義一:1OP1=1定義二：IOPI=R定義域

sinay2aeR

R

X

cosaX—asR

R

71.

tanay_y_aw一+攵乃

XX2

及時(shí)歸納總結(jié)有利學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固和掌握。

第三部分——例題講解

例1.(課本P14例2)已知角a終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)心(-3,-4),求角a的正弦、余弦和

正切值。

【分析】：讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，得用上面的定義二就可以得到答案。

例2.(課本P14例1)求工的正弦、余弦和正切值。

3

【學(xué)生自主探究】：讓學(xué)生自己思考并獨(dú)立完成。然后與課本的解答相對(duì)比一下,

發(fā)現(xiàn)本題的難點(diǎn)。

【教師講解】：本題題意很簡(jiǎn)單，但是如何入手

是如何利用單位圓找到這個(gè)點(diǎn)P，如圖4可以知道NPOM=工，又點(diǎn)P在第四象限，

3

得到P(g,-#9,這樣就可以很容易得到本題答案。

不妨讓學(xué)生取R=IOPI=4,能否也得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到的三角函數(shù)值是否與單

位圓的一樣。這樣可以讓學(xué)生更深刻體驗(yàn)三角函數(shù)的定義。

第四部分——鞏固練習(xí)

7TT

練習(xí)1.例2變式求上的正弦、余弦和正切值。

6

練習(xí)2.問(wèn)題9：通過(guò)觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn)，三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請(qǐng)

說(shuō)說(shuō)三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號(hào)?獨(dú)立完成課本P15的“探究”。

【設(shè)計(jì)意圖】：練習(xí)1、練習(xí)2的設(shè)計(jì)與例2、例3銜接，主要目的是幫助學(xué)生鞏

固三角函數(shù)的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征自主探

究三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題的思想方法。并在特殊情形中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。

第五部分——小結(jié)與作業(yè)

學(xué)生自我總結(jié)

作業(yè)：P23習(xí)題1.2A組1,2,3

七、教學(xué)反思

上述教學(xué)設(shè)計(jì)及具體教學(xué)實(shí)施過(guò)程我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)意義：

1.教學(xué)設(shè)計(jì)緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景

創(chuàng)設(shè)是學(xué)生熟悉的摩天輪，認(rèn)知過(guò)程符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——

具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。

2.情景設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直

角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過(guò)渡，同時(shí)能夠揭示函

數(shù)的本質(zhì)。

3.通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，讓學(xué)生在情境中

活動(dòng)，在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然和社會(huì)的聯(lián)系、新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟

數(shù)學(xué)的價(jià)值，它滲透了蘊(yùn)涵在知識(shí)中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解

數(shù)學(xué)的同時(shí):在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)

準(zhǔn)的理念是一致的。

4.《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一，在教學(xué)中

不僅要突出知識(shí)的來(lái)龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)

踐過(guò)程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的直覺(jué)猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、

分析、解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),使其上升為一種數(shù)學(xué)

意識(shí)，自覺(jué)地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷。在解答問(wèn)題的過(guò)程

中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析

自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的策略，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來(lái)就來(lái)自身邊的現(xiàn)實(shí)世界，是

認(rèn)識(shí)和解決我們生活和工作中問(wèn)題的有力武器，同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身

體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

南安僑光中學(xué)蘇飛文

點(diǎn)評(píng)

本節(jié)課以新穎背景“摩天輪”引課，從直角三角形的銳角入手，引

導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，逐次深入引出任意角的三角函數(shù)的定義，以問(wèn)題形式

鞏固深化任意角三角函數(shù)值的計(jì)算，結(jié)合平位圖直觀作用，使學(xué)生經(jīng)歷

了由淺入深，由易到難，清楚展現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的生成過(guò)程，力口深

了對(duì)任意角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)。

新課程教材強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的探究能力的培養(yǎng)，但不意味著每個(gè)知識(shí)點(diǎn)

都需要人為創(chuàng)設(shè)情景加以探究，現(xiàn)實(shí)的教學(xué)由于受教學(xué)時(shí)數(shù)限制，總是

希望課堂教學(xué)效率高些，任意角的三角函數(shù)的定義是否一定要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情景

讓學(xué)生探究？只要讓學(xué)生理解有必要引入任意角三角函數(shù)概念，然后直

接下定義，從課堂教學(xué)效率而言，可能會(huì)更好些。

13、任意角的三角函數(shù)（2）

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)（4）》（人教A版）。

三角函數(shù)是描述周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)模型，有非常廣泛的應(yīng)用.

直角三角形簡(jiǎn)單樸素的邊角關(guān)系，以直角坐標(biāo)系為工具進(jìn)行自然地推廣而得到簡(jiǎn)

明的任意角的三角函數(shù)定義，緊緊扣住三角函數(shù)定義這個(gè)寶貴的源泉，自然地導(dǎo)出三

角函數(shù)線、定義域、符號(hào)判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、多組誘導(dǎo)公式、圖象和性質(zhì)。三

角函數(shù)定義必然是學(xué)好全章內(nèi)容的關(guān)鍵，如果學(xué)生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內(nèi)容

的學(xué)習(xí)，由三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點(diǎn)就是定義本

身.

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

在初中學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)。因此本課的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，有比較厚實(shí)的

基礎(chǔ)，新課的引入會(huì)比較容易和順暢。學(xué)生要面對(duì)的新的學(xué)習(xí)問(wèn)題是，角的概念推廣

了，原先學(xué)生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過(guò)這個(gè)問(wèn)

題，讓學(xué)生體會(huì)到新知識(shí)的發(fā)生是可能的，自然的。

三、設(shè)計(jì)思想

教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，采用學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、

閱讀自學(xué)，師生互動(dòng)，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、

揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過(guò)程.

根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方

法組織教學(xué).

四、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)

值在各象限的符號(hào)）；

2、理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；掌握并能初步運(yùn)用公式一；樹(shù)立映射

觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).

3、通過(guò)單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函

數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同，分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)

的值在各象限的符號(hào).借助有向線段進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角函數(shù).

4、通過(guò)任意三角函數(shù)的定義，認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)是任意三角函數(shù)的一種特例，加深

特殊與一般關(guān)系的理解。

5、通過(guò)三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，拓展思維

空間。通過(guò)學(xué)生積極參與知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過(guò)程，培養(yǎng)合情猜測(cè)的能力，

從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性。

五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)

值在各象限的符號(hào)）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）.

難點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)

值在各象限的符號(hào)）；

六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入、回想再認(rèn)

（情景1）我們?cè)诔踔型ㄟ^(guò)銳角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、

正切等三個(gè)三角函數(shù).請(qǐng)回想：這三個(gè)三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？

學(xué)生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進(jìn)行強(qiáng)調(diào)：

對(duì)邊鄰邊對(duì)邊

sina=-------,cona=---------,tanOf=---------

斜邊斜邊鄰邊

設(shè)計(jì)意圖:

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，又是一種

推廣和拓展的過(guò)程（類似于從有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)展）.溫故知新，要讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)

的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，就要從源頭上開(kāi)始，從學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知狀況開(kāi)始，對(duì)銳角三角函數(shù)

的復(fù)習(xí)就必不可少.

二、引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景

（情景2）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任

意角嗎？試試看，可以獨(dú)立思考和探索，也可以互相討論！

留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對(duì)學(xué)困生作啟發(fā)引導(dǎo).

能推廣嗎？怎樣推廣？針對(duì)剛才的問(wèn)題點(diǎn)名讓學(xué)生回答.用角的對(duì)邊、臨邊、斜

邊比值的說(shuō)法顯然是受到阻礙了，由于L1節(jié)已經(jīng)以直角坐標(biāo)系為工具來(lái)研究任意角

了，學(xué)生一般會(huì)想到（否則教師進(jìn)行提示）繼續(xù)用直角坐標(biāo)系來(lái)研究任意角的三角函

數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：

從學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平和認(rèn)知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，

進(jìn)行必要的啟發(fā)，將學(xué)生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程.

教師對(duì)學(xué)生回答情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)后布置任務(wù)情景：請(qǐng)同學(xué)們用直角坐標(biāo)系重新研究

銳角三角函數(shù)定義！

師生共做（學(xué)生口述，教師板書圖形和比值）：

把銳角a安裝（如何安裝？角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合）

在直角坐標(biāo)系中，在角a終邊上任取一點(diǎn)P,作PM±x軸于M,構(gòu)造一個(gè)RtAOMP,

則NMOP=a（銳角），設(shè)P（X,y）（x>0、y>0）,a的臨邊OM=x、對(duì)邊MP=y,斜

邊長(zhǎng)IOP|=r.

根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用:x、y、r列出銳角a的正弦、余弦、正切三個(gè)比值,

并補(bǔ)充對(duì)應(yīng)列出三個(gè)倒數(shù)比值:

對(duì)邊y鄰邊X對(duì)邊y

sina=-------=——,con（X=----=一,tanOf=--------=一

斜邊r斜邊r鄰邊x

OMx?=_?=—

y%y

（圖2）

設(shè)計(jì)意圖：

此處做法簡(jiǎn)單，思想重要.為了順利實(shí)現(xiàn)推廣，可以構(gòu)建中間橋梁或公共載體,

使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形.由于前一節(jié)已經(jīng)以直角

坐標(biāo)系為工具來(lái)研究任意角了，學(xué)生自然能想到仍然以直角坐標(biāo)系為工具來(lái)研究任意

角的三角函數(shù).初中以直角三角形邊角關(guān)系來(lái)定義銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在要用坐標(biāo)系來(lái)

研究，探索的結(jié)論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數(shù)定義.這是一

個(gè)認(rèn)識(shí)的飛躍，是理解任意角三角函數(shù)概念的關(guān)鍵之一，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要思想和

方法，屬于策略性知識(shí),能夠形成遷移能力，為學(xué)生在以后學(xué)習(xí)中對(duì)某些知識(shí)進(jìn)行推廣

拓展奠定了基礎(chǔ).

（情景3）思考：對(duì)于確定的角a,這三個(gè)比值是否會(huì)隨點(diǎn)尸在e的終邊上的位

置的改變而改變呢？

顯然，我們可以將點(diǎn)取在使線段。尸的長(zhǎng)r=1的特殊

位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表

示銳角三角函數(shù)：

OM

sincosa---=a

OPOP

MPb

tana=---=—.

OMa

思考：上述銳角。的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)

的坐標(biāo)表示.那么，角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對(duì)初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修

改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個(gè)問(wèn)題一一任意角的三角函數(shù).

先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動(dòng)畫演示，同時(shí)作好解釋說(shuō)明:

引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3,聯(lián)系相似三角形知識(shí)，

探索發(fā)現(xiàn)：對(duì)于銳角a的每一個(gè)確定值，三個(gè)比值都是

確定的，不會(huì)隨P在終邊上的移動(dòng)而變化.

OMM(x

(圖3)

三、探究新知

1.探究：結(jié)合上述銳角a的三角函數(shù)值的求法，我們應(yīng)如何求解任意角的三角函

數(shù)值呢？

顯然，我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,然后就可

以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們?cè)诖艘雴挝粓A的定義:在直角坐標(biāo)

系中，我們稱以原點(diǎn)。為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓.

2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義？

如圖，設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么：

(1)y叫做a的正弦(sine),記做sina，即sina=y；

(2)x叫做a的余弦(cossine),記做cosa,即cosa=x；

(3)上叫做a的正切(tangent),記做tana,即tana=w0).

xx

注意：當(dāng)a是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同(指出對(duì)邊，鄰邊，斜邊所在)；當(dāng)

a不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)椋热挥薪?，就必然有終邊，終邊就必然

與單位圓有交點(diǎn)尸(x,y),從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.

設(shè)計(jì)意圖：

初中學(xué)生對(duì)函數(shù)理解較膚淺，這里在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)一步研究初中學(xué)過(guò)

的銳角三角函數(shù)，在思維上更上了一個(gè)層次，扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵，突出變量之間的

依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，是從函數(shù)知識(shí)演繹到三角函數(shù)知識(shí)的主要依據(jù)，是準(zhǔn)確理解三

角函數(shù)概念的關(guān)鍵，也是在認(rèn)知上把三角函數(shù)知識(shí)納入函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵.這樣做

能夠使學(xué)生有效地增強(qiáng)函數(shù)觀念.

四、探索定義域

(情景4)1、函數(shù)概念的三要素是什么？

函數(shù)三要素：對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域.

正弦函數(shù)sina的對(duì)應(yīng)法則是什么？

正弦函數(shù)sina的對(duì)應(yīng)法則，實(shí)質(zhì)上就是sina的定義：對(duì)a的每一個(gè)確定

的值，有唯一確定的比值y/r與之對(duì)應(yīng)，即a-y/r=sina.

2、布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請(qǐng)求出三個(gè)三角函數(shù)的定義域，

填寫下表：

三角函數(shù)sinacosatana

定義域

引導(dǎo)學(xué)生自主探索：

如果沒(méi)有特別說(shuō)明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義

域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角a的取值范圍.

關(guān)于sina=y/r、cosa=x/r,對(duì)于任意角a（弧度數(shù)），r>0,y/r>x/r恒有意

義，定義域都是實(shí)數(shù)集R.

對(duì)于tana=y/x,a=kn+冗/2時(shí)x=0,y/x無(wú)意義，tana的定義域是：{a|

aGR,且a#kn+n/2}........

教師指出：sina、cosa、tana的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)

上記熟。

設(shè)計(jì)意圖：

定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域.指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義自主探

索確定三角函數(shù)定義域，