重難點(diǎn)突破-高二數(shù)學(xué)上冊?？碱}（人教A版2019選修一）03 立體幾何中的動點(diǎn)問題和最值問題含答案

黃睢點(diǎn)突破--離二數(shù)學(xué)上疥常專題專繪《人數(shù)A版2019箜降一」專

題03元體幾何中的勵(lì)點(diǎn)和數(shù)值問題

題回。立體幾何中的動點(diǎn)問題

1.如圖，在棱長為2的正方體A8C￡>-A4Gq中，例為棱AA的中點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.直線ACJ_直線3M

B.過點(diǎn)的C的平面則平面a截正方體所得的截面周長為30+石

9R

C.若線段3M上有一動點(diǎn)Q,則。到直線用的距離的最小值為譽(yù)

D.動點(diǎn)尸在側(cè)面BC￡81及其邊界上運(yùn)動，且則45與平面BCC/i成角正切的取值范圍是

2.如圖，在正方體ABCO-ASGA中，尸是棱AR上的動點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.對任意動點(diǎn)F,在平面AORA內(nèi)不存在與平面CB廠平行的直線

B.對任意動點(diǎn)尸，在平面內(nèi)存在與平面CBF垂直的直線

C.當(dāng)點(diǎn)F從A運(yùn)動到。的過程中，二面角F-3C-A的大小不變

D.當(dāng)點(diǎn)F從A運(yùn)動到2的過程中，點(diǎn)。到平面C8尸的距離逐漸變大

3.如圖，正方體ABCD-A4GA的棱長為I,線段與。上有兩個(gè)動點(diǎn)￡,F,且EF=包,則下列結(jié)論

中正確的有（）

A.當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，AC_L4E總成立

B.當(dāng)￡向"運(yùn)動時(shí)，二面角A—EF-3逐漸變小

C.二面角E—A8—C的最小值為45。

D.三棱錐A-3E尸的體積為定值

4.如圖，在棱長為6的正方體ABCD-A與GR中，E為棱。。上一點(diǎn)，且叱=2,尸為棱GR的中點(diǎn)，

點(diǎn)G是線段8G上的動點(diǎn)，貝")

A.無論點(diǎn)G在線段BG上如何移動，都有異面直線AG，BQ的夾角為

B.三棱錐4-(24￡的體積為108

C.直線他與班■所成角的余弦值也

15

D.直線4G與平面所成最大角的余弦值為g

5.在棱長為1的正方體A8CD-A4G〃中，M是線段AG上一個(gè)動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有()

A.存在“點(diǎn)使得異面直線與AC所成角為90。

B.存在〃點(diǎn)使得異面直線5M與AC所成角為45。

C.存在M點(diǎn)使得二面角知-8￡>-C的平面角為45。

o

D.當(dāng)4AA/=AG時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為N

8

6.已知正方體A88-4MGA的棱長為4,￡F是棱AB上的一條線段，且EF=1,點(diǎn)。是棱4。的中點(diǎn)，

點(diǎn)p是棱G。上的動點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是()

A.P。與所一定不垂直

B.二面角P-斯-。的正弦值是嚕

C.APE/的面積是20

D.點(diǎn)尸到平面QEF的距離是常量

7.在長方體中，BC=2AB=2BB、=6,點(diǎn)E為棱BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸是長

方形44RA內(nèi)一動點(diǎn)(含邊界)，且直線8尸，EP與平面AOQA所成角的大小相等，貝1］()

A.4尸〃平面

B.三棱錐F-B8E的體積為4

C.存在點(diǎn)尸，使得AF//4E

D.線段A尸的長度的取值范圍為［|,引

8.已知正方體A8c￡)-4筋棱長為2，如圖，M為CG上的動點(diǎn)，AMJ■平面a.下面說法正確的是(

)

A.直線鉆與平面a所成角的正弦值范圍為［弓，等］

B.點(diǎn)"與點(diǎn)C1重合時(shí)，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

C.點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)時(shí)，若平面&經(jīng)過點(diǎn)3,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.已知N為。R中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN的和最小時(shí)，”為CG的中點(diǎn)

9.如圖，在正四棱柱A8CO-ASGR中，AB=AD=3>,AA,=4,P是側(cè)面BCC心內(nèi)的動點(diǎn)，且AP_L82，

記AP與平面BCG4所成的角為。，則tan。的最大值為（）

10.在正三棱柱48C-A8c中，AB=A\=\,點(diǎn)P滿足BP=ABC+〃BB1,其中;le[0,I],〃e[0,1],

則（）

A.當(dāng)4=1時(shí)，△陰P的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-A8C的體積為定值

C.當(dāng)/l=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得APJ_BP

D.當(dāng)〃=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得Af_L平面A4P

11.如圖，已知四邊形為直角梯形，BDEF為矩形,平面瓦庇_L平面至8,AD//BC,

ZDAB=ZABC=90°,AD=AB^ED^\,BC=2.

（1）若點(diǎn)M為所中點(diǎn)，求證：及0_L平面CD產(chǎn)；

（2）若點(diǎn)”為線段上一動點(diǎn)，求皮）與平面BCM所成角的取值范圍.

12.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-中，E,尸分別是棱,8c上的動點(diǎn)，且

（1）求證：AF_LGE；

（2）當(dāng)EF取得最大值時(shí)，求二面角E-AG-F的余弦值.

題照立體幾何中的最值問題

13.在四面體中，AABC是邊長為2的正三角形，ZADB=60°,二面角D-AB-C的大小為60。,

則下列說法正確的是（）

A.AB±CD

B.四面體的體積丫的最大值為且

2

C.棱8的長的最小值為G

5?

D.四面體A8co的外接球的表面積為二萬

9

14.已知長方體ABC。-44GA的高A4,=2,AC=2遙,AB]=x,ADt=y,則當(dāng)x+y最大時(shí)，二面角

4-媯。-6的余弦值為（）

.V15口屈「石c石

A.--------D?-----------C-.U.----------

5555

15.如圖，在棱長為4的正方體ABCD-AB,GR中,M是棱AA上的動點(diǎn)，N是棱8C的中點(diǎn).當(dāng)平面D、MN

與底面MCD所成的銳二面角最小時(shí)，AM=

16.四棱錐尸-ABCD的底面是邊長為“的菱形，R41.面ABC￡>,ZBAD=\20°,E,尸分別是8,

PC的中點(diǎn).

（1）求證：平面用，平面R4B；

(2)M是尸3上的動點(diǎn)，EM與平面R鉆所成的最大角為45。，求二面角尸-AE-。的余弦值.

17.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，底面三角形ABC為直角三角形，其中AC,AB=3,AC=4,

CC,=8,M,N分別為Bq和44,的中點(diǎn).

(1)求證：CN_L平面GMN；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段GA上移動時(shí)，求直線NP與平面8片GC所成角正弦的最大值.

萬

18.如圖，矩形ABC。所在的平面與半圓弧CO所在的平面垂直，AB=2,AD=—,例是CO上異于C,

2

。的動點(diǎn).

(1)證明：平面平面BMC；

(2)設(shè)3M和平面ABC。所成角為6,求sin8的最大值.

19.已知直三棱柱A8C-A4G中，側(cè)面蝴8田為正方形，AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),

。為棱4向上的點(diǎn)，BFLA.B,.

(1)證明：BFLDE；

(2)當(dāng)用力為何值時(shí)，面8月。。與面。在所成的二面角的正弦值最??？

20.如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧CO所在平面垂直，M是C。上異于C,O的點(diǎn).

(1)證明：平面4"。_L平面BMC；

(2)當(dāng)三棱錐ABC體積最大時(shí)，求面與面MCD所成二面角的正弦值.

21.如圖，在四棱錐中，四邊形438為矩形，PZU平面ABC。，PD=CD=l,與平面A8CD

所成角為30。，M為P8上一點(diǎn)且

(1)證明：PA1DMt

(2)設(shè)平面P4Z)與平面P8C的交線為/,在/上取點(diǎn)N使尸N=D4,。為線段/W上一動點(diǎn)，求平面ACQ

與平面PDC所成二面角的余弦值的最大值.

22.如圖，四邊形43DE為直角梯形，其中AE//BZ),AEVAB,AE=3BD=3,尸為腰DE■上的一個(gè)動

點(diǎn).A4BC為等腰直角三角形，AB=AC=2,平面他?！闖L平面ABC.

(1)求證：ACYBFt

(2)當(dāng)直線CF與平面A3DE所成角最大時(shí)，求平面F8C與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

E

D

專甄03五陣幾百中的財(cái)點(diǎn)和聶慎問典

題園O立體幾何中的動點(diǎn)問題

1.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AB|GA中，M為棱AA的中點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.直線ACJ_直線及0

B.過點(diǎn)的C的平面0_LMB,則平面a截正方體所得的截面周長為30+行

C.若線段助W上有一動點(diǎn)Q,則。到直線A4,的距離的最小值為竽

D.動點(diǎn)P在側(cè)面8CG4及其邊界上運(yùn)動，且則”與平面BCG4成角正切的取值范圍是

【解答】解：對于A,ACA.BD,AC±BB,,BD[}BBt=B,BD、8B|U平面88QQ,

，AC_L平面BMRO,BWC平面BBQQ,.?.直線AC與直線8W不垂直，故A錯(cuò)誤；

對于B,如圖1,取網(wǎng)，他的中點(diǎn)￡、F,連接CE、EF、CF.

因?yàn)?N_LCE,EFL^B,由三垂線定理得8M_LCE,BMYEF,所以8M_L平面CEF,

所以a截正方體所得的截面為△CEF,故周長為?耳+VI工1=2逐+0,故3錯(cuò)誤;

5

對于C,如圖過BM構(gòu)造平面與例平行，

A”即Q到直線e的距離的最小值，人”=詈，故C正確;

BM1BtQ,

所以平面故P點(diǎn)軌跡為B?.

在正方形BCC田中，當(dāng)P與。重合時(shí)，成最大，當(dāng)時(shí)，3P最小.所以BPe

因?yàn)?5J?平面BCC4,所以ZAP3為AP與平面BCGB1所成角，tanZAPB=^

則AP與平面8CC百成角正切的取值范圍是［，故。正確.

2.如圖，在正方體ABCO-ABCIA中，F(xiàn)是棱AR上的動點(diǎn)，下列說法正確的是（）

c.

A.對任意動點(diǎn)F,在平面AO￡>14內(nèi)不存在與平面C8F平行的直線

B.對任意動點(diǎn)F,在平面ABCD內(nèi)存在與平面CB尸垂直的直線

C.當(dāng)點(diǎn)F從A運(yùn)動到。的過程中，二面角尸-8C-A的大小不變

D.當(dāng)點(diǎn)F從4運(yùn)動到"的過程中，點(diǎn)。到平面CBF的距離逐漸變大

【解答】解：對任意動點(diǎn)尸，在平面ADRA內(nèi)只要與4）平行的直線，即可與平面CBP平行，所以A不正

確；

對任意動點(diǎn)F，在平面/WCZ）內(nèi)存在與平面CBF垂直的直線，不正確；因?yàn)槎娼荈-3C-A的大小不變

是銳角，所以5不正確；

當(dāng)點(diǎn)尸從A運(yùn)動到A的過程中，二面角b-BC-A的大小不變，由二面角的定義可知，命題是真命題，正

確；

當(dāng)點(diǎn)廠從A運(yùn)動到D,的過程中，點(diǎn)D到平面CBF的距離逐漸變大，不正確；因?yàn)樨?6是定值，三角形BCF

的面積是定值，所以點(diǎn)力到平面。尸的距離不變，所以。不正確；

故選：C.

3.如圖，正方體ABC。-A4G〃的棱長為1，線段與已上有兩個(gè)動點(diǎn)E,F,且EF=#，則下列結(jié)論

中正確的有（）

A.當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，AC_L4E總成立

B.當(dāng)E向已運(yùn)動時(shí)，二面角A-EF—8逐漸變小

C.二面角￡一4?-。的最小值為45。

D.三棱錐A-8EF的體積為定值

【解答】解：對于A,易證8a_L平面AGC，所以，同理可證ACLAR，從而AC，平面A81A，

所以AC_L4E恒成立，A正確；

對于8,平面EFE即平面百，而平面EE4即平面A8Q,所以當(dāng)E向R運(yùn)動時(shí)，二面角A—￡F-8的

大小不變，8錯(cuò)誤；

對于C,當(dāng)點(diǎn)E從用。的中點(diǎn)向點(diǎn)。運(yùn)動時(shí)，平面4組逐漸向底面ABCZ）靠攏，

這個(gè)過程中，二面角越來越小，所以二面角E-A8-C的最小值為45。，C正確；

對于。，因?yàn)?EF=；X[X1=￥，點(diǎn)A到平面BOR4的距離為g,

所以體積為、正XYLJ~,即體積為定值，D正確.

34212

故選：ACD.

4.如圖，在棱長為6的正方體ABC￡）-ABC|R中，E為棱。A上一點(diǎn)，且。E=2,F為棱GA的中點(diǎn),

點(diǎn)G是線段8G上的動點(diǎn)，則（）

A.無論點(diǎn)G在線段8G上如何移動，都有異面直線4Q,3Q的夾角為]

B.三棱錐A-G4E的體積為108

C.直線AE與BF所成角的余弦值生叵

15

D.直線AQ與平面8Z）G所成最大角的余弦值為g

【解答】解：在正方體A8C￡）-AB|GA中，易證。片_1面48。1,又AGu平面ABG，所以AG_LB1￡>,

所以異面直線AG，的夾角為衛(wèi)，則A正確；

2

咚酸心閑=咚棱*=gX等X6=36,則8錯(cuò)誤；

在棱CG上取點(diǎn)N,使CN=2,連結(jié)8N,NE,FN（如圖），

4

則易知NFBN為直線v4E與班'所成角或其補(bǔ)角，可得8N=2，i6,FN=5,FB=9,

(2加7+92-52一==迎，則直線隹與5尸所成角的余弦值為生何，則C正確;

貝iJcosNFBN=

2x9x2V103M1515

由題意知三棱錐4-BOQ為棱長為6五的正四面體，作A。，平面BOQ,。為垂足，則O為正ABDG的

中心，且AGO為直線4G與平面B￡）G所成角，

當(dāng)點(diǎn)G移動到BG的中點(diǎn)時(shí)，AG最短，如圖,

此時(shí)cosNA1Go最小，NAjGO最大，此時(shí)COSNAGO=99=—=-,則。正確.

AG3,63

故選：ACD.

5.在棱長為1的正方體ABCO-ABIG"中，M是線段AG上一個(gè)動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）

A.存在〃點(diǎn)使得異面直線與AC所成角為90。

B.存在M點(diǎn)使得異面直線8例與AC所成角為45。

C.存在〃點(diǎn)使得二面角M-BD-C的平面角為45。

D.當(dāng)4AM=AG時(shí)，平面瓦）M截正方體所得的截面面積為NQ

8

【解答】解：對于A,連接AG、8Q,交于。，連接BD,

取點(diǎn)M為。聲寸，連接0出，因?yàn)锳CJ_3￡)、ACA.B.B,

所以ACJ?平面8BQQ,又因?yàn)镼8U平面88QQ,

所以AC_Lq3,所以A對；

對于3,因?yàn)锳G//AC,所以異面直線3M與AC所成角就是NBA/q,

因?yàn)镹8MG..60。，所以B錯(cuò)；

對于C,因?yàn)槎娼荕-B￡)-C的平面角為NMOC,因?yàn)镹MOC>45。，

所以C錯(cuò)；

對于O,取。4中點(diǎn)N,連接MN,過用作EF//8Q,交4.于E,交A聲于f,連接￡D、FB,

2

EF=*,BD=g,OM=[ON+MN?=芋,SCTTO=1-(fF+BD)-OM=1?(^+72)-1.

所以。對.

故選：AD.

6.已知正方體A88-ABC1。的棱長為4,￡F是棱至上的一條線段，且瓦'=1,點(diǎn)。是棱AR的中點(diǎn),

點(diǎn)P是棱GR上的動點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是()

A.PQ與EF一定不垂直

B.二面角p—痔一。的正弦值是壽

C.APEF的面積是2夜

D.點(diǎn)P到平面QEF的距離是常量

【解答】解：對于A,當(dāng)P與點(diǎn)。重合時(shí)，PQLEF,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于8,由于點(diǎn)P是棱GR上的動點(diǎn)，EF是棱/W上的一條線段，所以平面際即平面ABC；R,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則。(2,0,4),44,0,0),8(4,4,0),

所以04=(2,0-4),AB=(0,4,0),平面QEF即平面QAB,

“TH八s、_u…曰“,\n-QA=O口12x-4z=0

設(shè)平面QAB的法向量為〃=(x,y,z),則M1《"，即n《，八，

n-AB=O14y=0

令z=l,則"=(2,0,1),

同理可求得平面A8G。的法向量為%=(1,0,1),設(shè)二面角P-EF-Q為9,

所以|cos61=|cos<m,n>\=1*川=|+1廠=,

\m\\n\&x石10

故sing=\j\-cos20=.1-(3^^^,故選項(xiàng)5正確;

V1010

對于C,由于"J_平面BB、CJ,又8G<=平面BBg,

所以ABJ.BG，所以BG_LEF,所以8G是"EF的高，

所以S.EF=；-EF-BG=；*1X4夜=2近，故選項(xiàng)C正確：

對于￡）,由于GA//EF,且CQ仁平面QEF,即u平面QEF,所以CQ〃平面QEF,

又點(diǎn)P在GR上，所以點(diǎn)P到平面。歷的距離為常量，故選項(xiàng)￡）正確.

故選：BCD.

7.在長方體ABC3-A4G〃中，BC=2AB=2BB、=6,點(diǎn)E為棱BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)廠是長

方形AO0A內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），且直線與尸，EF與平面AOQA所成角的大小相等，貝4（

A.4尸//平面BCC|g

B.三棱錐F-BgE的體積為4

C.存在點(diǎn)F,使得AF〃片E

D.線段4尸的長度的取值范圍為g，y]

【解答】解：?平面AORA〃平面8CC4,Aru平面AORA，/.4尸//平面BCG用，故A正確;

VFr—D&|C=nV—A0&B|CBE=3—x2—x3x4x3=6,故3錯(cuò)誤；

連接AF,作EG//CD交AD于G,連接FG,

ABi_L平面ADD,A,,:.ZA,FBI為男尸與平面ADD^所成的角，

前，平面4。〃4，為所與平面AORA所成角.

直線用尸，EF與平面所成角的大小相等，.?.41Fq=ZEFG,

則tanZAFB,=妝=tan/EFG=—,

\FFG

又\BX=EG,:.\F=FG,則點(diǎn)〃在AG的中垂線上，即點(diǎn)F在線段”/上運(yùn)動,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)K重合時(shí)，AF"B'E,故C正確;

BC=2BB、=6,E為棱8c上靠近C的三等分點(diǎn)，，例=3,AG=4,則AG=5,

cosZ4GA=—=—,:.HG=\1=—,當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)/或點(diǎn)H處時(shí)，線段4丁的長度取得最大值，

\GHG8

最大值為生，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)K處時(shí)，線段AF的線段取得最小值，最小值為3,

82

線段4尸的長度的取值范圍為[|，y]＞故。正確.

故選：ACD.

8.已知正方體ABC。-AAG〃棱長為2，如圖，M為CG上的動點(diǎn)，AA/L平面a.下面說法正確的是(

)

A.直線他與平面a所成角的正弦值范圍為［苧,刀］

B.點(diǎn)〃與點(diǎn)G重合時(shí)，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

C.點(diǎn)”為CG的中點(diǎn)時(shí)，若平面a經(jīng)過點(diǎn)3,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.己知N為。。中點(diǎn)，當(dāng)AM+MV的和最小時(shí)，M為CG的中點(diǎn)

【解答】解：對于A選項(xiàng)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、0A所在直線分別為x、y、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系D-xyz,

則點(diǎn)4(2,0,0)、8(2,2,0),

設(shè)點(diǎn)M(0,2,a)(旅必2),AM，平面a,則4M為平面a的一個(gè)法向量，

AB，AM2

且AM=(-2,2,a),AB=(0,2,0),|cos<AB,AM>|=\\=——-e［^,2/1］,

\AB\\AM\2x77786+832

所以，直線AB與平面a所成角的正弦值范圍為［且,立］,A選項(xiàng)正確；

對于8選項(xiàng)，當(dāng)M與C￡重合時(shí)，連接A。、BD、48、AC,

在正方體ABCD-A4GA中，CG平面ABCD,

B￡)u平面ABC。，ABD1CC.,四邊形A8CD是正方形，則8DJ_AC,CG「MC=C,.?.砒>_L平

面ACCt,

AC；u平面AC￡,AC；_L8。，同理可證AGJ.A。,

\D^BD=D,AC；_L平面AB。，

易知△ABO是邊長為20的等邊三角形，

其面積為S呼x(2揚(yáng)2=26,周長為2&X3=60.

設(shè)E、F、Q、N、G、”分別為棱AA、4與、BB「BC、CD、￡＞口的中點(diǎn)，

易知六邊形EFQNGH是邊長為叵的正六邊形，且平面EFQNGH//平面A.BD,

正六邊形EFQNG”的周長為6近，面積為6'走x(血產(chǎn)=36,

4

則△A8。的面積小于正六邊形EFQNG”的面積，它們的周長相等，8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C選項(xiàng)，設(shè)平面a交棱A"于點(diǎn)ES，0,2),點(diǎn)M(0,2,1),AM=(-2,2,1),

AMJ?平面a,ZJEu平面a,：.AM1DE,g|JAM-DE=-2b+2=0,得b=l,:.E[1,0,2),

所以，點(diǎn)E為棱AQ的中點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)F為棱A片的中點(diǎn)，

則P(2,1,2),EF=(1,1,0),而。8=(2,2,0),EF=-DB,:.EF〃DB且EF手DB,

2

由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得DE=+。2+1=逐,BF=7(2-2)2+(1-2)2+(2-0)2=,

：.DE=BF,

所以，四邊形四郎為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；

對于。選項(xiàng)，將矩形ACGA與矩形C0RO延展為一個(gè)平面，如下圖所示：

若AM+MN最短，則A、M、N三點(diǎn)共線，CCJIDD、,—=—=-=2-^,

DNAD2&+2

MC=2一夜wgc￡,

所以，點(diǎn)M不是棱CG的中點(diǎn)，。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

9.如圖，在正四棱柱A88-44G4中，AB=AD^3,AA,=4,P是側(cè)面BCCg內(nèi)的動點(diǎn)，且AP,BR,

記AP與平面BCGB1所成的角為夕，則tan，的最大值為（）

【解答】解：以。為原點(diǎn)，/M為x軸，QC為y軸，。。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)尸(a,3,c),(溺t3M4),

則A(3,0,0),B(3,3,0),D,(0,0,4),

A尸=3-3,3,c),BD}=(-3,-3,4),平面8CGg的法向量〃=(0,1,0),

3

APVBD,,APBD.=-3(^-3)-9+4c=0,解得c=2a,

4

3

/.AP=(a—3,3,—a),

4

AP與平面BCJBI所成的角為0,

\APji\_3_________12

sin"

\AP\-\n\3一3尸+9+'/工f~~48-4896

5J(Q---)~+----

V25625

425

.?.當(dāng)a=竺時(shí)，sin9取最大值為—.此時(shí)cosd=

25V34

5

.?.tan?的最大值為：華=（?

734

故選：B.

10.在正三棱柱ABC-A4a中，AB=AA]=l,點(diǎn)P滿足BP=+,其中/le[0,1],〃e[O,1],

則（）

A.當(dāng);1=1時(shí)，△AB?的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-A8C的體積為定值

c.當(dāng)2時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)p,使得

D.當(dāng)〃=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AB_L平面4片尸

【解答】解：對于A,當(dāng)；1=1時(shí)，BP=BC+~BBi，即=所以CP//3q,

故點(diǎn)尸在線段CG上，此時(shí)△回/的周長為A耳+B.P+AP,

當(dāng)點(diǎn)尸為CC的中點(diǎn)時(shí)，△AB/的周長為石+&,

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)G處時(shí)，△Ag尸的周長為2忘+1,

故周長不為定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對于3,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=ABC+BBt,即qP=/lBC,所以B///BC,

故點(diǎn)p在線段sc上，

因?yàn)橛胵//平面ABC,

所以直線4G上的點(diǎn)到平面A8C的距離相等,

又△ABC的面積為定值，

對于C,當(dāng)；i=g時(shí)，取線段3C,AG的中點(diǎn)分別為M,%,連結(jié)陷w,

因?yàn)锽P=；BC+〃BB],即=優(yōu)，所以MP//BB；,

則點(diǎn)P在線段必加上，

當(dāng)點(diǎn)P在此處時(shí)，4必1.與0,

又B、CJ'B、B=B],所以G"i，平面BB|GC,

又B%u平面BBC。，所以即A/J.BP,

同理，當(dāng)點(diǎn)P在M處，\PVBP,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于。，當(dāng)〃=；時(shí)，取CC的中點(diǎn)2,8M的中點(diǎn)。，

因?yàn)?,BPDP=ABC,所以。尸//8C,

21

則點(diǎn)P在線的OR上，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)，取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE，BE,

因?yàn)榘郷L平面ACG4，又AD|U平面ACCM，所以

在正方形ACGA中，

又BEp|4E=E,BE,AEu平面A8E,

故A"_L平面A3E,又A8u平面ABE,所以

在正方體形ABB/中，\BLAB,,

又A°fABt=A,ADX,AB,u平面ABXDX,所以_L平面ABR,

因?yàn)檫^定點(diǎn)A與定直線垂直的平面有且只有一個(gè)，

故有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得AB，平面A4尸，故選項(xiàng)￡)正確.

故選：BD.

II.如圖，已知四邊形458為直角梯形，BDEF為矩形,平面3?！晔琠L平面45cD,AD//BC,

ZDAB=ZABC=9(r,AD=AB=ED=\,BC=2.

(1)若點(diǎn)M為EF中點(diǎn),求證：8M_L平面C￡)/；

(2)若點(diǎn)也為線段比上一動點(diǎn)，求也)與平面8CM所成角的取值范圍.

【解答】證明：(1)平面8》廣，平面AfiCD,平面身DEPC平面ABCZ)=R),

BFu面BDEF且BF上BD,，所面ABCD.

建立空間直角坐標(biāo)系8-型如圖，則

8(0,0,0),A(0,1,0),C(2,0,0),0(1,I,0),

F(0,0,1),E(1,1,1),M(~,1).

22

8M=CD=(-1,1,0),DF=(-1,-1,1),

JABMCD=--+-=0,BMDF=----+l=0.

2222

:.CDA.BM,FD1BM,又尸》［CO=。，F(xiàn)D,C￡)u面尸CO,

故8W_1_面58；

解：(2)由(1)知，F(xiàn)￡=(1,1,0),

設(shè)尸M=；lFE=(ZZ0),則M(2,2,1),

BM=(2,2,1),BC=(2,0,0),=(1,1,0),

設(shè)平面BMC的法向量為n=(x,y,z),

由，，取y=—l,則z=4,

n?BM=Ax4-+z=0

故平面BMC的一個(gè)法向量為"=(0,-1,2).

設(shè)質(zhì))與平面3cM所成角為e,

sin0=|cos<n,BD>|=1〃吻?=.

.??當(dāng)4=0時(shí)取最大值遮，當(dāng)4=1時(shí)取最小值L

22

故即與平面8cM所成角的取值范圍為［30。，45°］.

E

M

12.如圖，在棱長為2的正方體AB8-ABC0中，E,尸分別是棱AB,8c上的動點(diǎn)，且AE=BF.

（1）求證：A.FiqE；

（2）當(dāng)所取得最大值時(shí)，求二面角E-AG-尸的余弦值.

【解答】解：（1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

設(shè)AE=m,（噴物2）,

則4(2，0,2),F(2-m,2,0),C,(0,2,2),￡(2,m,0),

\F=[-m,2,—2),CtE=(2,m—2.—2),

/.A/?C]E=-2m+2m—4+4=0,

A^F-LC{E.

(2)由(1)得砂=J(2—加上+*=，2加一4加+4="2(——1)2+2,

噫場2,.?.當(dāng)帆=0或6=2時(shí)，EF取得最大值為2,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，即E(2,0,0),點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合，即F(2,2,0),

AG=(-2,2,0),EA=(0,0,2),E4,=(0,-2,2),

設(shè)平面AGE的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

[ri-AC,=-2x+2y=0口rn八

則nl11,取x=l,ZW71=(1,1,0),

n-EAj=2z=0

設(shè)平面AGb的一個(gè)法向量機(jī)=3，b,C),

f/w-AC.=-2a+2b=0口㈤

則nl17?,取a=l,得加=(1,1,1),

[m?E4(=—2b+2c=0

設(shè)二面角E-AG-F的平面角為，，

則cos”也包=-^監(jiān)

\m\-\n\V3-V23

.?.二面角￡-4(^-尸的余弦值為g.

當(dāng)加=2時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，

同理可得二面角E-AG-F的余弦值為手.

綜上，當(dāng)坊取得最大值時(shí)，二面角E-AG-F的余弦值為手.

題里立體幾何中的最值問題

13.在四面體A8CD中，AA8C是邊長為2的正三角形，ZADB=60°二面角D-AB—C的大小為60。,

則下列說法正確的是()

A.ABA.CD

B.四面體A88的體積V的最大值為巡

2

C.棱C。的長的最小值為6

.、5?

D.四面體A8CD的外接球的表面積為一萬

9

【解答】解：對于A,假設(shè)ABLCO,設(shè)/W的中點(diǎn)為E,

因?yàn)槿切蜛8C為正三角形，則CEJ_AB,

又CE「|CO=C,CE,C￡>u平面C/)E,故回，平面。?！?

又DEu平面CDE,故45_LDE,

而題中并不能得到AfiLOE,故假設(shè)不成立，

所以A3不垂直CD,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于3,要使的匕田⑺最大，只需高最大，

故丫的最大值為\5乂81。尸='乂6*3=立，故選項(xiàng)5正確;

3322

對于C,由選項(xiàng)3中可知，此時(shí)CD也最小，

故CZ）的最小值為故選項(xiàng)C正確;

2回

對于。，設(shè)AASD的外心為￡為他的中點(diǎn)，MA=MB=MD=—

3

設(shè)過M與平面4?￡）垂直的直線為MV，過C作CR_L￡?于點(diǎn)R,

則外接球球心O在MN上，只需。4=OC,

XC/?=rER當(dāng)EM當(dāng)MR=今

設(shè)OM=x,由。42=。。2,可得丁++(|-x)2,解得x=g

所以R2=—+—=—

939

所以四面體ABCD的外接球的表面積為4萬?代=4"9=竺，故選項(xiàng)D正確.

99

故選：BCD.

B

14.已知長方體A88-A4GR的高44t=2,AC=2瓜,AB}=x,ADt=y,則當(dāng)x+y最大時(shí)，二面角

4-四口-6的余弦值為()

.715V15「石口百

A.-----Bn.-------C.——D.------

5555

【解答】解：.長方體ABCD-ABCQ的高⑨=2，AC=2屈,AB,=x,AD.=y,

.,.當(dāng)x+y最大時(shí)，AB=BC=26,

以。為原點(diǎn)，A4為x軸，ZX7為y軸，。烏為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（2百，0,0）,4（26,26，2）,2（0,0,2）,￡（0,2百，2）,

ABt=(0,273,2),ADt=(-273,2),

設(shè)平面A8Q的法向量”=(x,y,z),

[n-AB.=2\f3y+2z=0?廠

則/11，取x=l,得”=(1,-1,上),

n?ADl=—2\/3x+2z=0

平面8QG的法向量"?=(0,0,1),

設(shè)二面角A-BiR-G的平面角為。，結(jié)合圖形得a為鈍角，

皿卜八"一皿〃|_岳

火ijCOSCt------------------—------------>

I加M〃IV55

二.二面角A--G的余弦值為.

故選：B.

15.如圖，在棱長為4的正方體ABCD-44G。中，/是棱AA上的動點(diǎn)，N是棱3C的中點(diǎn).當(dāng)平面RMN

Q

與底面458所成的銳二面角最小時(shí)，

【解答】解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)M4=3則2(0，0，4),C(0,4,0),N(2,3,0),M(4,0,k),

所以〃加=(4,0,%-4),口'=(2,4,7),

設(shè)平面D、MN的法向量為"=(x,y,z),

則有卜。也二°,即產(chǎn)+(1”=0,

"-D[N=0[2x+4y-2z=0

令z=8,則x=8-2Z,y=4+k,故”=(8—2%,4+匕8),

平面A8C/)的一個(gè)法向量為機(jī)=(0,0,1),

設(shè)平面RMN與底面438所成的銳二面角為a,

i\n-m\88

則micosa=-----=/=f

I?IIwIJ(8-2Z)2+(4+Q2+64J5F-24后+144

銳二面角a越小，則cosa越大，

所以求弘2_24k+144的最小值，

令/(%)=5々2-24%+144=5(%-,)2+警，

所以當(dāng)％=2時(shí)，a有最小值，此時(shí)4^=4一%=4-U=§.

555

16.四棱錐P-ABCD的底面4BCD是邊長為“的菱形，R4_L面43C￡>,ZBAD=\20°,E,E分別是8,

PC的中點(diǎn).

(1)求證：平面g"_L平面FB；

(2)M是尸3上的動點(diǎn)，應(yīng)0與平面所成的最大角為45。，求二面角尸-在-。的余弦值.

【解答】解：(1)證明：底面ABCD是邊長為。的菱形，NS4D=120。,

故ZADE=60°,DE=-a,AD=a,

2

iji3

由AS=A。？+DE2-2AD.DEcos600=a2+-a2-2a-a?-=-/,

4224

所以AE'+DE?=A￡)2,故RtAADE,AELED,

又ABUCD,所以

又H_L平面A8C￡),4Eu平面A3CD,

所以AE_L24,又AB0|P4=A,

所以AEL平面叢3,又AEu平面MF,

故平面平面E4B；

(2)連接AM,則由(1)知，AE_L平面R4B,

則ZAME為直線EM與平面PAB所成的角,

在RtAAME中，tanZAME=——，

AM

當(dāng)AM最小時(shí)，即AM_LP3時(shí)，NAME取得最大值45。，此時(shí)AE=AM,

設(shè)R4=x,則由上4.43=夫&A〃得，

ax=—a>\/a2+x2,解得x=G”，

2

根據(jù)題意，以43,AE,AP分別為無，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

E(0,爭，0),嗚，爭