2018年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅲ）（含解析版）

2018年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)m）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合人=僅k-120},B={0,1,2},則AAB=（）

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.（5分）（1+i）（2-i）=（）

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

3.（5分）中國(guó)古建筑借助柳卯將木構(gòu)件連接起來(lái).構(gòu)件的凸出部分叫樺頭，凹

進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是梯頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與

某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以

是（）

俯

視

方

-向

rd

7D.一旦

99

5.（5分）（X2+2）5的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為)

A.10B.20C.40D.80

6.（5分）直線(xiàn)x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x-2）2+y2=2

上，則^ABP面積的取值范圍是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.[亞，3%巧]D.⑵歷3正]

7.（5分）函數(shù)y=-x，+x2+2的圖象大致為（)

A.

8.（5分）某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式

相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4,P（x=4）

<P（X=6）,貝Up=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D,0.3

222

9.（5分）4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C.若aABC的面積為人H一,

4

則C=（）

A.-B.—C.—D.—

2346

10.（5分）設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，^ABC為等邊

三角形且面積為9.（3，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）

A.1273B.1873C.24MD.54y

22

11.（5分）設(shè)Fi,F2是雙曲線(xiàn)C：三-匚=1（a>0.b>0）的左，右焦點(diǎn)，O

2,2

ab

是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)F2作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為P,若|PF1]=?|OP],

則C的離心率為（）

A.遂B.2C.如D.V2

12.（5分）設(shè)a=logo.20.3,b=log20.3,則（）

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知向量2=（1，2）,b=（2,-2）,c=（1，入）.若＜:〃（2a+b），

則入=.

14.（5分）曲線(xiàn)y=（ax+1）e*在點(diǎn)（0,1）處的切線(xiàn)的斜率為-2,則a=.

15.（5分）函數(shù)f（x）=cos（3x+—）在［0,nJ的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

6

16.（5分）已知點(diǎn)M（-1,1）和拋物線(xiàn)C：y2=4x,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的

直線(xiàn)與C交于A,B兩點(diǎn).若NAMB=90。，則k=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要

求作答。（一）必考題：共60分。

17.（12分）等比數(shù)列｛aj中,ai=l,a5=4a3.

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式;

（2）記Sn為｛aj的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m.

18.（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)

任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將

他們隨機(jī)分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人

用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了

如下莖葉圖:

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由；

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)

間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過(guò)m不超過(guò)m

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

附：e二n（dd-bc）。

（a+b）（c+d）（a+cXb+d）_________________________________________

P（心。0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧而所在平面垂

直，M是面上異于C,D的點(diǎn).

(1)證明：平面AMD,平面BMC；

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

22

20.(12分)已知斜率為k的直線(xiàn)I與橢圓C：三_+-=1交于A,B兩點(diǎn)，線(xiàn)段

43

AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0).

(1)證明：k<-1；

2

(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且而+記+祚=芍.證明：I前，I而,

I祚I成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)In(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明：當(dāng)-l<x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的參數(shù)方程為，x=cosS,(e為參

(y=sin6

數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0,-亞)且傾斜角為a的直線(xiàn)I與。0交于A,B兩點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+l|+|x-.

(1)畫(huà)出y=f(x)的圖象；

(2)當(dāng)x@［0,+8)時(shí)，f(x)Wax+b,求a+b的最小值.

2018年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)m）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合人=僅k-1三0},B={0,1,2},則AAB=（）

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

【考點(diǎn)】IE：交集及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】37：集合思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5J：集合.

【分析】求解不等式化簡(jiǎn)集合A,再由交集的運(yùn)算性質(zhì)得答案.

【解答】解：：A={x|x-1》0}={x|x》l},B={0,1,2）,

AAAB={x|x^l}A{0,1,2}={1,2}.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）（1+i）（2-i）=（）

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專(zhuān)題】38：對(duì)應(yīng)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【解答】解：（1+i）（2-i）=3+i.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

3.（5分）中國(guó)古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來(lái).構(gòu)件的凸出部分叫樟頭，凹

進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是梯頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與

某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以

【考點(diǎn)】L7：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】直接利用空間幾何體的三視圖的畫(huà)法，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

【解答】解：由題意可知，如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方

體，小的長(zhǎng)方體，是樺頭，從圖形看出，輪廓是長(zhǎng)方形，內(nèi)含一個(gè)長(zhǎng)方形，

并且一條邊重合，另外3邊是虛線(xiàn)，所以木構(gòu)件的俯視圖是A.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題看出簡(jiǎn)單幾何體的三視圖的畫(huà)法，是基本知識(shí)的考查.

4.(5分)若sina=L則cos2a=()

3

A.AB.工C.-1D.

9999

【考點(diǎn)】GS：二倍角的三角函數(shù).

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；40：定義法；56：三角函數(shù)的求值.

【分析】cos2a=1-2siMa,由此能求出結(jié)果.

【解答】解：,；sina=X.,

3

cos2a=l-2sin2a=l-2X_L=J_.

99

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）（X2+2）5的展開(kāi)式中x，的系數(shù)為（）

X

A.10B.20C.40D.80

【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；40：定義法；5P：二項(xiàng)式定理.

【分析】由二項(xiàng)式定理得（X2+Z）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：Tr+產(chǎn)此（x2）5?。?）

X5X

-2rCrx1CH3r>由1。-3r=4,解得r=2,由此能求出（x2+Z）5的展開(kāi)式中x”

5x

的系數(shù).

【解答】解：由二項(xiàng)式定理得（X2+Z）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：

X

Tr+l=cg（X2）5r（2）-2rC5X10-3r>

由10-3r=4,解得r=2,

/.（X2+2）5的展開(kāi)式中X，的系數(shù)為22^=40.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中X，的系數(shù)的求法，考查二項(xiàng)式定理、通項(xiàng)公式

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

6.（5分）直線(xiàn)x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x-2）2+y2=2

上，則4ABP面積的取值范圍是（)

A.[2,6]B.[4,8]C.[&,3&]D.[2心3&]

【考點(diǎn)】J9：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；49：綜合法；5B：直線(xiàn)與圓.

【分析】求出A(-2,0),B(0,-2),|AB|=272＞設(shè)P(2+&cos8,&sin8),

點(diǎn)P到直線(xiàn)x+y+2=0的距離：d-2+V^cos88+21上:呼8^-)+41

V2V2

e［泥，班］,由此能求出^ABP面積的取值范圍.

【解答】解：?直線(xiàn)x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，

.?.令x=0,得y=-2,令y=0,得x=-2,

AA(-2,0),B(0,-2),AB=74+4=272-

?點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上，.,.設(shè)p(2+'./2cos6,&sin8),

點(diǎn)P到直線(xiàn)x+y+2=0的距離：

.|2+V2coSe+V^sine+2|l2sin(e+^)+41

--------窺-----------=-------72-------'

JT

1r|2sin(6+--)+4|

Vsin(6嚀)?[-1，s，-*.d=-----------五J-----------?[加，班],

...△ABP面積的取值范圍是：

[yX2V2xV2,"2V^xW?=[2,6].

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形面積的取值范圍的求法，考查直線(xiàn)方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距

離公式、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考

查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

7.(5分)函數(shù)y=-x，+x2+2的圖象大致為()

【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專(zhuān)題】38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(0,2),排除A,B.

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)=-4x3+2x=-2x(2x2_0,

由「(x)>0得2x(2x2-1)<0,

得x<-返或0Vx<返，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

22

由fz(x)<0得2x(2x2*4-1)>0,

得x>返或-返Vx<0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，排除C,

22

也可以利用f(1)=-1+1+2=2>0,排除A,B,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)過(guò)定點(diǎn)以及判斷函數(shù)

的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.

8.(5分)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式

相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4,P(x=4)

<P(X=6),貝Up=()

A.0.7B.0.6C.0.4D,0.3

【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；51：概率與

統(tǒng)計(jì).

【分析】利用已知條件，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布，利用方差轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,看做是獨(dú)立重復(fù)

事件，滿(mǎn)足X?B(10,p),

P(x=4)<P(X=6),可得叫p4(l-p)6<*p6(ip)4,可得l-2p<0.即

p>3.

因?yàn)镈X=2.4,可得10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4(舍去).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法，獨(dú)立重復(fù)事件的

應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

222

9.(5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若^ABC的面積為

4

則C=()

A.—B.—C.—D.—

2346

【考點(diǎn)】HR：余弦定理.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形.

222222

【分析】推導(dǎo)出SMBC=\bsi乩=&+?-c,從而sinC=a+鼠一。=cosC,由此

3

能求出結(jié)果.

【解答】解：,?.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

222

AABC的面積為a+b-c,

4

12.k2_2

..SAABC=—absinQ=------------>

2,,2_2

sinC=&--+=——2—=cosC,

2ab

VO<C<n,：.C=-.

4

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角的求法，考查余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

10.（5分）設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，^ABC為等邊

三角形且面積為9?,則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）

A.1273B.1873C.24MD.54T

【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LG：球的體積和表面積.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合

法；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】求出，^ABC為等邊三角形的邊長(zhǎng)，畫(huà)出圖形，判斷D的位置，然后求

解即可.

【解答】解：AABC為等邊三角形且面積為9近,可得亨XAB2=9?，解得AB=6,

球心為0,三角形ABC的外心為。，顯然D在09的延長(zhǎng)線(xiàn)與球的交點(diǎn)如圖：

吟X乎X6=2%,。。'寸42_（2行產(chǎn)2,

則二棱錐D-ABCIWJ的最大值為：6,

則三棱錐D-ABC體積的最大值為：g乂近^X63=18?.

34

故選：B.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，考查空間想象能力以及

計(jì)算能力.

22

11.(5分)設(shè)Fi,F2是雙曲線(xiàn)C：工-2_=1(a>0.b>0)的左，右焦點(diǎn)，0

2,2

ab

是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)F2作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為P,若|PFi|=?|OP],

則C的離心率為()

A.遂B.2C.如D.V2

【考點(diǎn)】KC：雙曲線(xiàn)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線(xiàn)的定義、性

質(zhì)與方程.

【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求出|PF21=b,再求出|OP|=a,在三角形F1PF2

中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|?|PF2|COSNPF2。，代值化

簡(jiǎn)整理可得?a=c，問(wèn)題得以解決.

22.

【解答】解：雙曲線(xiàn)C：工-±_=1(a>0.b>0)的一條漸近線(xiàn)方程為y=^x,

22

akba

??.點(diǎn)F2到漸近線(xiàn)的距離d=,be=b,即|PF21=b,

VTTbi

0P=22=22=aj

??7lOF2|-|PF2|Vc-bCOSNPF2O=5

V|PFi|=V6lOP|,

PFi|=V6a>

在三角形F1PF2中,由余弦定理可得回1|2=底2|2+,五|2-2底2|?忤曲|8$/

PF2O,

6a2=b2+4c2-2XbX2cXA=4c2-3b2=4c2-3(c2-a2),

c

即3a2=c2,

即&a=c,

/.e=-￡.=-../3，

a

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，余弦定理，離心

率，屬于中檔題.

12.(5分)設(shè)a=logo.20.3,b=log20.3,貝lj()

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<O<abD.ab<O<a+b

【考點(diǎn)】4M：對(duì)數(shù)值大小的比較.

【專(zhuān)題】33：函數(shù)思想；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得答案.

【解答】解：?.飛=嗨,20.3=出且，b=log20.3=ll三W,

-lg5lg2

5

?IgO.3JLgO.3JgO.3（lg5-lg2）=lgS31g彳

??ab-^21g21g51g21g5'

IgO.3IgO.32go。3”g二

ab="^g2=1g21g5-'

?.?卡>lg2獨(dú)@<0，

行§21g21g5

Aab<a+b<0.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)值大小的比較，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知向量&=（1，2）,b=（2,-2）,c=（1，入）.若<:〃（2a+b），

則入=1.

—_2-

【考點(diǎn)】96：平行向量（共線(xiàn)）；9J：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；40：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出％+E=（4,2）,再由向量平行的性質(zhì)能求

出入的值.

【解答】解：???向量W=（1，2）,b=（2,-2）,

/.2a+b=（4,2）,

Vc=（1,入），（2a+b）?

?1X

"W力’

解得人=1.

2

故答案為：1.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量平行的性質(zhì)等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

14.（5分）曲線(xiàn)y=（ax+1）e*在點(diǎn)（0,1）處的切線(xiàn)的斜率為-2,則a=-3.

【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】球心函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線(xiàn)的斜率列出方程求解即可.

【解答】解：曲線(xiàn)y=（ax+1）ex,可得y'=ae*+（ax+1）ex,

曲線(xiàn)y=（ax+1）ex在點(diǎn)（0,1）處的切線(xiàn)的斜率為-2,

可得：a+l=-2,解得a=-3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用切線(xiàn)的斜率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算

能力.

15.(5分)函數(shù)f(x)=cos(3X+2L)在［0,TI］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

6

【考點(diǎn)】51：函數(shù)的零點(diǎn).

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；38：對(duì)應(yīng)思想；40：定義法；57：三角函數(shù)的圖像與性

質(zhì).

【分析】由題意可得f(x)=cos(3X+2L)=0,可得3x+2L=2L+kn,kGZ,即

662

x=2L+lkn,即可求出.

93

【解答】解：...f(x)=cos(3x+—)=0,

6

/.3x+-ZL=2_+kn,kGZ,

62

x=__+J^kn,k?Z,

93

當(dāng)k=0時(shí)，x=—,

9

當(dāng)k=l時(shí)，x=An,

9

當(dāng)k=2時(shí)，x=—n,

9

當(dāng)k=3時(shí)，x=—n,

9

*.,xe［0,nJ,

X=—,或X=&,ggx=—n,

999

故零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,

故答案為：3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

16.(5分)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線(xiàn)C：y2=4x,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的

直線(xiàn)與C交于A,B兩點(diǎn).若NAMB=90。，則k=

2.

【考點(diǎn)】K8：拋物線(xiàn)的性質(zhì)；KN：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐

曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】由已知可求過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y=k(x-1),然后聯(lián)立直線(xiàn)與拋

2222

物線(xiàn)方程組可得，kx-2(2+k)x+k=0,可表示xi+x2,xix2,yi+y2>yiy2>

由NAMB=90。，向量的數(shù)量積為0,代入整理可求k.

【解答】解：?拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),

.,.過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y=k(x-1),

’2

22

聯(lián)立y=4x可得,k2x2,2(2+k)x+k=0,

y=k(x-l)

設(shè)A(xi，yi),B(X2,y2),

2

則X]+X2=4+2占，X1X2=1,

k2

22

yi+y2=k(X1+X2-2)=A,yiy2=k(xi-1)(X2-1)=k[xiX2-(X1+X2)+1]=-4,

k

VM(-1,1),

AMA=(xi+1,yi-1),MB=(x2+l,y2-1),

VZAMB=90o,AMA*MB=0

/?(xi+1)(X2+I)+(yi-1)(y2-1)=0,

整理可得，X1X2+(X1+X2)+yiy2-(yi+y2)+2=0,

/.1+2+A-4-1+2=0,

k2k

即k2-4k+4=0,

k=2.

故答案為：2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題的難點(diǎn)是本題

具有較大的計(jì)算量.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要

求作答。(一)必考題：共60分。

17.（12分）等比數(shù)列｛aj中，ai=l,a5=4a3.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式;

(2)記Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m.

【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)歹!].

【分析】(1)利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程，求出公比4=±2,由此能求出｛a/

的通項(xiàng)公式.

(2)當(dāng)ai=l,q=-2時(shí)，Sn=Ll上空，由Sm=63,得Sm=4(1/=63,mGN,

33

n

無(wú)解;當(dāng)ai=l,q=2時(shí)，Sn=2-1,由此能求出m.

【解答】解：(1)???等比數(shù)列｛an｝中,31=1,35=433.

.,.lXq4=4X(lXq2),

解得q=±2,

n1

當(dāng)q=2時(shí)，an=2',

當(dāng)q=-2時(shí)，an=(-2)nr,

...｛an｝的通項(xiàng)公式為，an=2n-l,或Hn=(-2)廠】.

(2)記Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和.

當(dāng)ai=l,q=-2時(shí)，Sn=&l=1-(-2)”=1-(-2)11,

1-q1-(-2)3

由Sm=63,得Sm=!-L2)m=63,mEN,無(wú)解；

3

當(dāng)ai=l,q=2時(shí)，口)/-岑*一1,

l-q1-2

由Sm=63,得Sm=2m-1=63,m?N,

解得m=6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),

考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

18.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)

任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將

他們隨機(jī)分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人

用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了

如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由；

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)

間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過(guò)m不超過(guò)m

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

附：|<2=n(ad-be)乙，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【考點(diǎn)】BL：獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專(zhuān)題】38：對(duì)應(yīng)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)判斷第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間較少些，效率

更高；

(2)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算它們的中位數(shù)，再填寫(xiě)列聯(lián)表；

(3)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論.

【解答】解：(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，

第一種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間主要集中在72?92之間，

第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間主要集中在65?85之間，

所以第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間較少些，效率更高；

(2)這40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間按從小到大的順序排列后，

排在中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是79和81,計(jì)算它們的中位數(shù)為m=^坦_=80；

2

由此填寫(xiě)列聯(lián)表如下;

超過(guò)m不超過(guò)m總計(jì)

第一種生產(chǎn)方式15520

第二種生產(chǎn)方式51520

總計(jì)202040

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，計(jì)算

已n(ad-bc)2-40X(15X15-5X5)2635

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20X20X20X20-，

???能有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

19.(12分)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧而所在平面垂

直，M是而上異于C,D的點(diǎn).

(1)證明：平面AMD,平面BMC；

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

【考點(diǎn)】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5H：空間向

量及應(yīng)用.

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的判定定理證明MC,平面ADM即可.

(2)根據(jù)三棱錐的體積最大，確定M的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的

坐標(biāo)，利用向量法進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(1)證明：在半圓中，DM±MC,

?正方形ABCD所在的平面與半圓弧而所在平面垂直,

，AD，平面DCM,則AD，MC,

VADnDM=D,

.?.MC，平面ADM,

VMCc平面MBC,

，平面AMD,平面BMC.

(2)???△ABC的面積為定值,

要使三棱錐M-ABC體積最大，則三棱錐的高最大，

此時(shí)M為圓弧的中點(diǎn)，

建立以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖

?正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,

AA(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),

則平面MCD的法向量2(1,0,0),

設(shè)平面MAB的法向量為：=(x,y,z)

K0AB=(0，2,0),AM=(-2,1,1),

由n*AB=2y=0,n*AM=-2x+y+z=0,

令x=l,

貝l]y=0,z=2,BPn=(1，0，2),

則cos<n，=------

IinIInII"Vl+4炳

則面MAB與面MCD所成二面角的正弦值sina=

A

x

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相應(yīng)的判定

定理以及建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.

22

20.(12分)已知斜率為k的直線(xiàn)I與橢圓C：三_+，=1交于A,B兩點(diǎn)，線(xiàn)段

43

AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0).

(1)證明：k<-X；

2

(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且祚+直+祚=1.證明：I前，I而I，

I而I成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

【考點(diǎn)】K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；KL：直線(xiàn)與橢圓的綜合.

【專(zhuān)題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5E：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題.

【分析】<1)設(shè)A(xi,yi),B(X2,丫2),利用點(diǎn)差法得6(Xi-X2)+8m(yi-

y2)=0,kJ1一2=_

xi-x28m41n

12

又點(diǎn)M(1,m)在橢圓內(nèi)，即Ljy1,(m>0)，解得rn的取值范圍，即可

43

得k<-A.,

2

(2)設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),P(X3,丫3),可得XI+X2=2

SFP+FA+FB=0>可得X3-1=0,由橢圓的焦半徑公式得則|FA=a-exi=2-ixi,

2

|FB|=2-1x2,|FP|=2-1x3=2..即可證明|FA|+|FB|=2|FP|,求得A,B坐標(biāo)

222

再求公差.

【解答】解：(1)設(shè)A(Xi,yi),B(X2,y2),

?線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M(1,m),

Xi+X2=2,yi+y2=2m

22

將A,B代入橢圓C：2+匚=1中，可得

43

(o2

3xf+4yf=12

《，

o2

3xj+4yj=12

兩式相減可得，3(xi+x2)(xi-x2)+4(yi+y2)(yi-y?)=0,

即6(Xi-X2)+8m(yi-y2)=0,

?,yl-y2__6__3

??Ll\----------------------------

xi-x28m4m

12

點(diǎn)M(1,m)在橢圓內(nèi)，即(m>0)，

43

解得0<m<旦

2

?13/1

??k二-―?

4m2

(2)證明：設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),P(X3,丫3),

可得XI+X2=2,

....

*?*FF+FA+FB=0,F(1,0),/.xi-1+x2-1+X3-1=0,yi+y2+y3=0,

/.X3=l?y3="(yi+y2)=-2m

Vm>0,可得P在第四象限，故丫3=-2_,m=—,k=-1

24

由橢圓的焦半徑公式得則IFA|=a-exi=2-J^xi,|FB|=2-—X2,|FP|=2-—X3=—.

2222

則|FA|+|FB|=4-,(X1+X2)=3，|FA|+|FB|=2|FP|,

'_7_

聯(lián)立『-x+?,可得IX1-X21(叼+X2)2-4X|X2邛

22

k3x+4y=12

所以該數(shù)列的公差d滿(mǎn)足2d=+LX1-X21=+2/區(qū)，

-2-14

???該數(shù)列的公差為土三叵.

28

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了點(diǎn)差法、焦半徑公

式，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用與計(jì)算能力的考查.屬

于中檔題.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)In(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明：當(dāng)-l<x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a.

【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專(zhuān)題】34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(1)對(duì)函數(shù)f(x)兩次求導(dǎo)數(shù)，分別判斷「(x)和f(x)的單調(diào)性，

結(jié)合f(0)=0即可得出結(jié)論；

(2)令h(x)為「(x)的分子，令h"(0)計(jì)算a,討論a的范圍，得出f(x)

的單調(diào)性，從而得出a的值.

【解答】(1)證明：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(2+x)In(1+x)-2x,(x>-1).

F(x)=ln(x+l)f"(x)=~~~

x+1(x+1)2

可得xG(-1,0)時(shí)，f"(x)WO,xG(0,+8)時(shí)，f"(x)20

.?.￥(x)在(-1,0)遞減，在(0,+8)遞增，

：.V(x)K(0)=0,

：.f(x)=(2+x)In(1+x)-2x在(-1,+8)上單調(diào)遞增，又f(0)=0.

當(dāng)-l<x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.

(2)解：由f(x)=(2+x+ax2)In(1+x)-2x,得

22

F(x)=(l+2ax)In(1+x)+2+x+ax-2=ax-x+(l+2ax)(1+x)ln(x+l),

x+1x+1

令h(x)=ax2-x+(l+2ax)(1+x)In(x+1),

h'(x)=4ax+(4ax+2a+l)In(x+1).

當(dāng)a20,x〉0時(shí)，h，(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

h(x)>h(0)=0,即「(x)>0,

Af(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故x=0不是f(x)的極大值點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)a<0時(shí)，h"(x)=8a+4aln(x+1)+1-2a,

x+1

顯然h"(x)單調(diào)遞減，

①令h"(0)=0,解得a=-1.

6

二.當(dāng)-1Vx<0時(shí)，h〃(x)>0,當(dāng)x>0時(shí)，h〃(x)<0,

???卜(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

二?h'(x)Wh'(0)=0,

Ah(x)單調(diào)遞減，又h(0)=0,

.,.當(dāng)-1<x<0時(shí)，h(x)>0,即「(x)>0,

當(dāng)x>0時(shí)，h(x)<0,即「(x)<0,

：.f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

，x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，符合題意；

l+6al+6a

②若-l<a<0,則h"(0)=l+6a>0,h"(e-1)=(2a-1)(1-e)

6

<0,

，h"(x)=0在(0,+8)上有唯——個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為xo，

...當(dāng)OVxVxo時(shí),h"(x)>0,hz(x)單調(diào)遞增，

(x)>卜(0)=0,即f'(x)>0,

Af(x)在(0,xo)上單調(diào)遞增，不符合題意；

③若a<-L,則h"(0)=l+6a<0,h"(-1--1)=(1-2a)e2>0,

6e2

，h"(x)=0在(-1,0)上有唯—個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為xi,

??.當(dāng)Xi<x<0時(shí)，h"(x)<0,hz(x)單調(diào)遞減，

；.卜(x)>卜(0)=0,Ah(x)單調(diào)遞增，

h(x)<h(0)=0,即F(x)<0,

Af(x)在(xi,0)上單調(diào)遞減，不符合題意.

綜上，a=--.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性與極值的計(jì)算，零點(diǎn)

的存在性定理，屬于難題.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的參數(shù)方程為，x=cos8,(e為參