新教材2021秋高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)習(xí)題：綜合練八

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專題綜合練八（7.3-7.4）

（60分鐘100分）

一、選擇題（每小題5分，共45分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但

不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分）

1.函數(shù)y=tan,+苧的最小正周期為（）

7171

A.B.2C.7iD.2.71

選

n

2.設(shè)函數(shù)f(x)=cos3X+6在［-兀，用的圖象大致如圖，貝Uf（x）的

最小正周期為（）

10兀c7?！?兀-3兀

B.不C?4D?5

選c.由圖可得：函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)［-竽，,將它代入函數(shù)f（x）可得:

cos1-與?+V=o,又|-野，o］是函數(shù)f(x)圖象與X軸負(fù)半軸的

第一個(gè)交點(diǎn)，

所以一/'3+="2，解得3=1，

冗

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)=管27r=77f1=4y.

2

3若f(x)=碑cos［x+］在［-a閨是減函數(shù)則a的最大值是()

71c兀-3九一

A.B.2C.1D.71

選A.因?yàn)閒(x);也COS［x+R，

兀

所以由0+2k?i<x+-<7i+2k7i(k￡Z),

兀371

得_a+2k?i<x<^+2k;i(k￡Z),

_..713兀

因此［-a,a］u［-4，彳］，

匚LI\I兀3兀

所以-a<a,-a>-4,a<y,

所以0<a端,從而a的最大值為上

4.函數(shù)y=2sin,xGR的最小正周期是()

7171

A.12B.6C.71^2D.7o

選A.函數(shù)y=2sin最的最小正周期為：T=胃=12.

6

5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（-1,1）上是增函數(shù)的是（）

A.y二;B.y=tanx

C.y=-sinxD.y=cosx

選B.A選項(xiàng)，y=：的定義域?yàn)椋?8,0）U（0,+8）,故A不滿足題

A.

意；D選項(xiàng)，余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，故D不滿足題意；

B選項(xiàng)，正切函數(shù)y=tanx是奇函數(shù)，且在［-1?上單調(diào)遞增，故

在區(qū)間（-1,1）是增函數(shù),即B正確;

C選項(xiàng)，正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，且在［-，野上單調(diào)遞增，所

以在區(qū)間1-1,1）是增函數(shù)；

因此y=-sinx是奇函數(shù)，且在］-1,1）上單調(diào)遞減，故C不滿足

題意.

6.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期為71的函數(shù)是（）

A.y=tan2xB.y=|cosx|

C.y=cos2xD.y=sin2x

?7171,071k?l71k?l

選D.A:由-5+k兀<2X<5+1<兀k￡2得+7<X<T+—k￡Z

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

____JT

又因?yàn)閠an（-2x）=-tan2x，則y=tan2x為奇函數(shù)最小正周期為］,

A不正確；

B:由|cos(-x)|=|cosx|可知，y=|cosx|為偶函數(shù)，故B不正確;

C：由cos(-2x)=cos2x可知，y=cos2x為偶函數(shù)，故C不正確；

D：由sin(-2x)=-sin2x可知，y=sin2x為奇函數(shù),最小正周期為

271

T二兀

7.(多選)若將函數(shù)f(x)=cos［x+總的圖象向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)

度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是()

A.g(x)的最小正周期為71

B.g(x)在區(qū)間,2］上單調(diào)遞減

C.x二已是函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸

D.g(x)在］-,看上的最小值為-1

「「兀)兀一

選AD.g(x)=cos2lx+gI+=

COS，x+1.g(x)的最小正周期為71,選項(xiàng)A正確；當(dāng)X￡0q時(shí),

2x+］W圖，故g(x)在［0,0上有增有減，選項(xiàng)B錯(cuò)誤準(zhǔn)囿

TT_______

二0,故X=五不是g(x)圖象的一條對(duì)稱軸，選項(xiàng)C不正確；當(dāng)

x￡~616時(shí)，2x+^e0,y，且當(dāng)2x+1=y，即x=1時(shí),

g(x)取最小值-；,D正確.

sinx,sinx>cosx

8.(多選)對(duì)于函數(shù)f(x)=1,下列說(shuō)法中正確的是

Icosx,sinx<cosx

A.該函數(shù)的值域是[-1,1]

B.當(dāng)且僅當(dāng)x=2k;i+3(k￡Z)時(shí)，函數(shù)取得最大值1

C.當(dāng)且僅當(dāng)x=2E+苧(k￡Z)時(shí)函數(shù)取得最小值-半

I乙

D.當(dāng)且僅當(dāng)2k?i+7i<x<2k7i+工-(k￡Z)時(shí),f(x)<0

選CD.畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象(如圖所示)，由圖象容易看出，該函數(shù)的

值域是-.當(dāng)且僅當(dāng)x=2k?i+冷或x=2k;i,k￡Z時(shí)，函數(shù)取

得最大值1.當(dāng)且僅當(dāng)x=2E+苧，k￡Z時(shí)，函數(shù)取得最小值-坐.

3JT__

當(dāng)且僅當(dāng)2k?i+7i<x<2kji+了，k￡Z時(shí)，f(x)<0,故CD正確.

9.(多選)以下正確的結(jié)論是()

A.函數(shù)y=tanx圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為住,

B.函數(shù)y=|sinx+11的最小正周期為兀

C.y=sin12x+2的表達(dá)式可以改寫(xiě)為f(x)=cos(<n-2x)

D.正切函數(shù)y=tanx的圖象沒(méi)有對(duì)稱軸

選AD.由正切函數(shù)圖象特征可知AD正確；

y=|sinx+，的最小正周期為2冗，故B不正確;

TT,_____

y=sin(2x+q)的表達(dá)式可以改寫(xiě)為f(x)

=-cos生-2x),故C不正確.

二、填空題(每小題5分，共15分)

JIJI],,JT

[，將f(x)的圖象向右平移4

個(gè)單位得到g(x)的圖象，若g(-X)+g(x)=0,貝u(P=.

將f(x)=2cos(2x+(p)的圖象向右平移2個(gè)單位得到g(x)的圖象，所以

g(x)=2cos12x-￡+j,

又g(-x)+g(x)=0,所以g(x)為奇函數(shù),

.兀兀

因此只需-2+(P=2+k兀，k￡Z,

5兀

貝U稅二d+k?i,kGZ,

又間44)，所以中=

型案,--

口木.6

11已知函數(shù)f(x)=sin(3x+cp)[3>0,0<(p<^的圖象關(guān)于點(diǎn)耳，oj對(duì)

稱關(guān)于直線x=-1對(duì)稱最小正周期TGa,力，則T=,

f(x)的減區(qū)間是

由于f(x)的最小正周期Teg,力,3>0，所以N需，J=2<3<4.

由于f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)好,。］對(duì)稱，關(guān)于直線x=-(對(duì)稱，

“兀

嚴(yán)+(P=1K171

所以,兀兀，kl出匕，兩式相加得2(p=(kl+k2)7l+為,

-40+(P=k27l+2

?兀7C兀

ki,k2ez,由于0<(p<］,0<2(p<7i,所以2(p=］=>(p=4.

則個(gè)co+=km=>3=4ki-1,ki￡Z,結(jié)合2<co<4可得3=3,

所以f(x)=sin,+皆.

所以f(x)的最小_正_周期為T(mén)=f27r.

兀71371

由2k;i+2<3x+4<2k;i+爹,k^Z,

&刀/日2k兀7i2k7i57i,~

解得亍+正<x<-^-+夜,kGZ,

所以f(x)的減區(qū)間為

2k兀兀2k7i5加］八一r、

［亍+適，亍+司—Z).

答-案：42n［「亍2k?i+適7i，亍2kn+同5兀叱@

12.如圖表示相對(duì)于平均海平面的某海灣的水面高度h(m)在某天0~

24時(shí)的變化情況，則水面高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解+析式為

根據(jù)題圖設(shè)h=Asin(cot+(p),

貝UA=6,T=12,所以看=12,所以3=看.

將點(diǎn)(6,0)作為“五點(diǎn)法”作圖中的第一點(diǎn)，

所需x6+p=0,所以(p=-71,

(兀、71

所以h=6sinI-7iI=-6sin&t,t肝[0,24].

兀

答案：h=-6sint,tG[0,24]

三、解答題(每小題10分，共40分)

13.設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,x￡R.

(1)已知0e[0,2K],函數(shù)y=f(x+0)是偶函數(shù),求0的值；

(2)若3f(a)-f[a-2]=0,求cos2a+2sinacosa的值.

⑴由題意，函數(shù)f(x)=sinx,xGR,

則y=f(x+0)=sin(x+0),

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+9)是偶函數(shù)，

所以f(0+0)=±1,即sin0=±1,

JT

解得0=-+k7i,kZ,

又因?yàn)?引0,2冗],

所以e/或咨.

(2)由3f(a)-fja-胃=0,

可得3sina-sin(a-習(xí)=0,

所以3sina+cosa=0,

可得tana=-,

cos2a+2sinacosa1+2tana

又由cos2a+2sinacosa=-------;---------;-----=----;------

sin2a+cos2atan2a+1

14.已知f(x)=x2+2xtan0-1,x￡［-1,小］,其中昨卜］5

⑴當(dāng)。二V時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)求9的取值范圍，使y=f(x)在區(qū)間[-1,小]上是單調(diào)函數(shù).

兀(、行、24I-

⑴當(dāng)。二-d時(shí)，f(x)=[x-3,xG[-1,],

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)X=-1時(shí)，f(x)的最大值為：小.

(2)函數(shù)f(x)=x2+2xtan0-1=(x+tan0)2-(1+tan?。)圖象的對(duì)稱軸

為x=

-tan0,

因?yàn)閥=f(x)在［-1,3］上是單調(diào)函數(shù)，

所以-tan-1或-tan0>^/3,

即tan0>1或tang-布.

因此,o角的取值范圍是1-f,-1］晤周.

15.如圖，半徑為4m的水輪繞著圓心0逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，水輪圓心0距離水面2m，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從離

開(kāi)水面的時(shí)刻(Po)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

⑴求點(diǎn)P距離水面的高度y(m)與時(shí)間t(s)滿足的函數(shù)關(guān)系；

(2)求點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間.

(1)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由于水輪繞著圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可設(shè)點(diǎn)P到水面的距離y(m)

(兀71I

與時(shí)間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系y=Asin(?t+cp)+2［-5<9<夕.

因?yàn)樗喢糠昼娹D(zhuǎn)4圈，T=a=15,

匚Li、］27i2兀

所以3二亍二記

因?yàn)樗啺霃綖?m,A=4,

所以y=4sin+2

當(dāng)t=0時(shí)，y=0,所以(p=,

所以y=4sin|j^t-+2.

(2)由于最高點(diǎn)距離水面的距離為6,

所以6=4sin唐唱+2^sinl=1,

127r7T7T

所以-2+2kji(keZ),

所以t=5+15k(k￡Z),

所以當(dāng)k=0時(shí)，即t=5(s)時(shí)，點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn).

16.在自然條件下，對(duì)某種細(xì)菌在一天內(nèi)存活的時(shí)間進(jìn)行了一年的統(tǒng)

計(jì)與測(cè)量彳導(dǎo)到10次測(cè)量結(jié)果(時(shí)間近似到01小時(shí))，結(jié)果如表所示:

1月2月3月4月5月6月8月9月1()月12月

口期

1口28日21口27口6口21口13口20口25口21口

日期位置

1598011712617222526