淺談高中數(shù)學(xué)課程改革概率與統(tǒng)計(jì)部分的教與學(xué)

PAGEPAGE4淺談高中數(shù)學(xué)課程改革概率與統(tǒng)計(jì)部分的教與學(xué)[摘要]：“概率與統(tǒng)計(jì)”是高中數(shù)學(xué)新課程的重要組成部分，也是最能反映數(shù)學(xué)應(yīng)用性的課程.統(tǒng)計(jì)學(xué)注重的是數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué).它們都與我們的日常生活緊密相連.本文從“概率與統(tǒng)計(jì)”的背景和地位，內(nèi)容與要求以及教學(xué)的方法和策略來(lái)分析闡述高中“概率與統(tǒng)計(jì)”的教與學(xué).通過(guò)案例和數(shù)據(jù)的分析以及概率模型的建立，讓學(xué)生更好的體會(huì)“概率與統(tǒng)計(jì)”的思想.[關(guān)鍵詞]：案例；隨機(jī)；模型Abstract：“probabilityandstatistics”constitutetheimportantpartofnewmathmaticscoursesinhighschool.Itreflectstheapplicationofmathmaticsmostly.Statisticsputemphasizeonthecollectionandanalysisofdata.Probabilityisthescienceofstudyingrandomphenomenon.Theybothhavecloserelationwithourdailylife.Thistextanalyzeanddemonstratetheteachingandlearningof“probabilityandstatistics”fromitsbackgroundandstatus,contentandrequirement,andteachingskillsandstrategy.Studentswillrealizethemainthoughtof“probabilityandstatistics”betterthroughanalyzingcase、dataandsettingthemodelofprobability.Keywords：case；random；model一、高中數(shù)學(xué)新課程概率統(tǒng)計(jì)背景和地位2003年5月出臺(tái)的<普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)>(以下簡(jiǎn)稱(chēng)<標(biāo)準(zhǔn)>)提出要將概率與統(tǒng)計(jì)作為高中數(shù)學(xué)課程的必修內(nèi)容,并提出明確的要求、說(shuō)明與建議.在我國(guó),“概率統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容從幾進(jìn)幾出到如今作為<標(biāo)準(zhǔn)>中的必修內(nèi)容,這既滿(mǎn)足信息時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求,又是數(shù)學(xué)新課程發(fā)展的必然.高中必修課程由五大模塊組成，“概率與統(tǒng)計(jì)”屬于模塊，上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的主要部分,此外還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容.其中概率、統(tǒng)計(jì)在以往是在大學(xué)講授的課程,現(xiàn)如今在中學(xué)的教材中出現(xiàn),充分體現(xiàn)其重要性和實(shí)用性.在本模塊中，學(xué)生將在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題情境，學(xué)習(xí)隨機(jī)抽樣、樣本估計(jì)總體、線(xiàn)性回歸的基本方法，體會(huì)用樣本估計(jì)總體及其特征的思想；通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，較為系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過(guò)程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異.學(xué)生將結(jié)合具體實(shí)例，學(xué)習(xí)概率的某些基本性質(zhì)和簡(jiǎn)單的概率模型，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的理解，能通過(guò)實(shí)驗(yàn)、計(jì)算模擬估計(jì)簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率.雖然現(xiàn)如今中學(xué)所講授的概率和統(tǒng)計(jì)內(nèi)容屬于簡(jiǎn)單部分,但是它為中學(xué)生提供了一個(gè)很好認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用性的平臺(tái),為學(xué)生以后進(jìn)入大學(xué)階段學(xué)習(xí)提供了一個(gè)理想的過(guò)度階段,通過(guò)對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí),學(xué)生可以充分體會(huì)到數(shù)學(xué)與我們的日常生活是緊密相連的,這樣可以大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),開(kāi)闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野!二、高中數(shù)學(xué)新課程“概率與統(tǒng)計(jì)”的內(nèi)容和特點(diǎn)分析（一）統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究如何收集、整理、分析、數(shù)據(jù)的科學(xué)，它可以為人們制定決策提供依據(jù).在客觀(guān)世界中，需要認(rèn)識(shí)的現(xiàn)象無(wú)窮無(wú)盡.要認(rèn)識(shí)某現(xiàn)象的第一步就是通過(guò)觀(guān)察或試驗(yàn)取得觀(guān)測(cè)資料，然后通過(guò)分析這些資料來(lái)認(rèn)識(shí)此現(xiàn)象.統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容（1）隨機(jī)抽樣1結(jié)合具體的實(shí)際問(wèn)題情境，理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.2在參與解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.（2）用樣本估計(jì)總體1學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫(huà)頻率分布直方圖；能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并做出合理的解釋.2在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性.3能通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異.（3）變量的相關(guān)性1通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)做出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀(guān)認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān)的過(guò)程.知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線(xiàn)性回歸方程系數(shù)公式建立線(xiàn)性回歸方程.統(tǒng)計(jì)部分知識(shí)框圖（如上所示）統(tǒng)計(jì)部分教材特點(diǎn)分析：（1）強(qiáng)調(diào)典型案例的作用，這種利用典型案例編寫(xiě)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的方式，可以使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的全過(guò)程，并在這個(gè)數(shù)據(jù)處理的過(guò)程中學(xué)習(xí)有關(guān)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)如：在運(yùn)用樣本估計(jì)總體的教學(xué)中，應(yīng)通過(guò)對(duì)具體數(shù)據(jù)的分析，使學(xué)生體會(huì)到由于樣本抽取具有隨機(jī)性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關(guān)特征，但于總體有一定的偏差.但另一方面，如果抽樣的方法比較合理，樣本的信息可以比較好地反映總體的信息，從而為人們合理地決策提供依據(jù).（二）統(tǒng)計(jì)教學(xué)通過(guò)案例來(lái)進(jìn)行并要注重?cái)?shù)據(jù)的收集高中階段統(tǒng)計(jì)教學(xué)應(yīng)通過(guò)案例的進(jìn)行，在對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析中，使學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過(guò)程，在此過(guò)程中學(xué)習(xí)一些常用的數(shù)據(jù)處理的方法，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、方法去解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用以及應(yīng)用的廣泛性.同時(shí)，具體的案例也容易幫助學(xué)生理解問(wèn)題和方法的實(shí)質(zhì).例如：對(duì)于“最小二乘法”的學(xué)習(xí)，如果直接介紹一般的最小二乘的方法，學(xué)生往往體會(huì)不到這種方法的實(shí)質(zhì)，也失去了一個(gè)分析問(wèn)題、處理數(shù)據(jù)的機(jī)會(huì).教學(xué)中，可以通過(guò)一個(gè)學(xué)生感興趣的實(shí)例，比如學(xué)生身高和體重的關(guān)系，讓學(xué)生收集到的數(shù)據(jù)做出散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖直觀(guān)認(rèn)識(shí)到變量之間存在著線(xiàn)形相關(guān)關(guān)系，然后鼓勵(lì)學(xué)生自己想辦法確定一條“比較合適”的直線(xiàn)描述這兩個(gè)變量之間線(xiàn)形相關(guān)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上再引入最小二乘法，并給出線(xiàn)形回歸方程.所以教師平時(shí)要細(xì)心收集生活中的素材、廣泛涉獵各學(xué)科知識(shí)，更多的發(fā)動(dòng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，以此積累案例開(kāi)展統(tǒng)計(jì)教學(xué)，展示統(tǒng)計(jì)的廣泛應(yīng)用.（三）注重對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象與概率意義的理解概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué).隨機(jī)現(xiàn)象是指這樣一種現(xiàn)象：在相同的條件下重復(fù)同樣的試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果不確定，以至于在試驗(yàn)之前無(wú)法預(yù)料哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，隨機(jī)現(xiàn)象表面看無(wú)規(guī)律可循，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果事先無(wú)法預(yù)料，但當(dāng)我們大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都會(huì)出現(xiàn)其頻率的穩(wěn)定性.概率教學(xué)的核心問(wèn)題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義.缺乏對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的豐富體驗(yàn)，學(xué)生往往較難建立隨機(jī)觀(guān)念.如果在概率課程中，只是要求學(xué)生處理已經(jīng)采集好的隨機(jī)問(wèn)題的有關(guān)數(shù)據(jù)，學(xué)生往往習(xí)慣的把這些數(shù)據(jù)當(dāng)作確定的數(shù)進(jìn)行處理，事實(shí)上他們的隨機(jī)觀(guān)念沒(méi)有得到發(fā)展.要使學(xué)生建立隨機(jī)觀(guān)念，必須通過(guò)設(shè)計(jì)學(xué)生熟悉而感興趣的實(shí)際問(wèn)題或游戲，讓他們親臨原始的隨機(jī)環(huán)境，親自試驗(yàn)和收集隨機(jī)數(shù)據(jù)，使他們?cè)诨顒?dòng)中逐步豐富對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，積累大量的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn).教師應(yīng)通過(guò)日常生活中的大量實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn)，體會(huì)隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性.例如學(xué)生收集同一年級(jí)學(xué)生的身高、體重，收集體育彩票各次的開(kāi)獎(jiǎng)的號(hào)碼，收集電視臺(tái)每日的天氣預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)等，這些學(xué)生熟悉的、有趣的隨機(jī)環(huán)境，比較容易使學(xué)生把要學(xué)的新知識(shí)與自己原有的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)聯(lián)系起來(lái).（四）重視對(duì)概率模型的理解和應(yīng)用以及和其他數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率是概率學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.對(duì)于這方面的學(xué)習(xí)，首要的是對(duì)各種概率模型的理解和應(yīng)用，而不是把精力主要放在套用公式上.教學(xué)中，應(yīng)注意使學(xué)生經(jīng)歷從多個(gè)實(shí)例中概括出具體的概率模型的過(guò)程，體會(huì)這些例子中的共同特點(diǎn)，注重理解各種概率模型的特點(diǎn)，并且在實(shí)際問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別模型的能力.例如：對(duì)于古典概型的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生通過(guò)實(shí)例理解古典概型的特征，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問(wèn)題化為古典概型.概率論與我們的日常生活是緊密相連的，它的應(yīng)用性是非常廣泛的.教師在教學(xué)的過(guò)程中，除了與實(shí)際生活中的例子相結(jié)合外，也要注重與其他高中數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合，這樣可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)是相通的，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，下面我舉一個(gè)利用三角形知識(shí)和幾何概型相結(jié)合的例子.例：在長(zhǎng)度為a的線(xiàn)段內(nèi)任取兩點(diǎn)，將其分成三段，求它們構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.解：設(shè)線(xiàn)段被分成三段長(zhǎng)，分別為x,y和a-x-y,則樣本空間為由x0,y0以及x+ya所構(gòu)成的圖形，其面積；有利事件A(即x,y,a-x-y三段構(gòu)成三角形）的基本事件集：由線(xiàn)段x,y,a-x-y所圍成的三角形其面積為S,由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)有：0xa/2，0ya/2,0a-x-ya/2，0xa/2,0ya/2,a/2x+ya,(它們構(gòu)成三角形的DCE)則其面積，于是由幾何概型的概率計(jì)算公式有:P(A)=概率還可以與方程，函數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，這里就不再一一舉例.（五）注重建立正確的概率直覺(jué)學(xué)生存在著一些生活經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)，但是其中往往有一些是錯(cuò)誤的.例如：將一枚均勻的硬幣任意擲出，很多學(xué)生可能認(rèn)為“100次出現(xiàn)50次正面”是必然的，或者說(shuō)，它的概率應(yīng)該很大，但計(jì)算表明這個(gè)概率只有8%左右.又如：中獎(jiǎng)率為1/1000的彩票，一些學(xué)生可能認(rèn)為買(mǎi)1000張就一定會(huì)中獎(jiǎng)，而實(shí)際上買(mǎi)1000張會(huì)中獎(jiǎng)的概率約為63%；擲一枚均勻的硬幣5次，朝上的面都是正面，第6次該得到的是正面還是反面，有的學(xué)生認(rèn)為應(yīng)是正面而有的認(rèn)為應(yīng)是反面，而事實(shí)上不管前5次試驗(yàn)的結(jié)果是什么，由試驗(yàn)的獨(dú)立性，第6次出現(xiàn)正、反面的概率都是1/2，和前面的試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)關(guān)的.逐步消除錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)，建立正確的概率直覺(jué)是概率教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo).要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，必須讓學(xué)生親自經(jīng)歷對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的探索過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生首先猜測(cè)結(jié)果發(fā)生的概率；然后親自動(dòng)手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并將所得結(jié)果與自己的猜測(cè)進(jìn)行比較；最后可以建立理論的概率模型，并與實(shí)際結(jié)果聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生在此過(guò)程中不斷將自己的最初猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論概率進(jìn)行比較，這將促進(jìn)他們修正自己的錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)，建立正確的概率直覺(jué).例如：對(duì)于“擲100次硬幣出現(xiàn)50次正面”的概率，有人給出了一個(gè)擲均勻硬幣的模擬實(shí)驗(yàn)（費(fèi)勒著《概率論及其應(yīng)用》），這試驗(yàn)相當(dāng)于100個(gè)人，每人都擲100次均勻的硬幣，記錄下各自擲出正面的次數(shù)如下：48，46，40，50，49，48，54，53，45，4854，46，53，55，50，54，41，48，51，5343，52，57，51，51，50，52，53，49，4658，60，54，55，50，48，47，57，53，5549，50，45，52，52，48，47，47，46，5153，52，46，52，44，51，49，59，50，5547，51，41，48，59，51，50，55，39，4153，51，49，44，52，50，57，46，57，4851，50，50，56，43，46，48，56，59，4952，56，54，46，48，55，58，59，53，51這里共擲了10000次，正面出現(xiàn)的次數(shù)，即上述100個(gè)數(shù)字之和，為4979，這表明正面出現(xiàn)的概率為0.4979，可以認(rèn)為硬幣是均勻的.另一方面，在上述100個(gè)數(shù)字中，50出現(xiàn)了9次，即“擲100次硬幣，出現(xiàn)50次正面”的頻率是9/100，和0.08相差不大，以上的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)無(wú)疑將有利于學(xué)生消除錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn).結(jié)束語(yǔ)綜上所述，概率與統(tǒng)計(jì)是兩門(mén)與日常生活緊密相連的課程，因此教師在講授這兩門(mén)課的過(guò)程中應(yīng)使學(xué)生體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)的基本思想，要注重提供現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題情境，重視問(wèn)題的背景及統(tǒng)計(jì)與概率在日常生活和科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用；充分利用計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù)提供更為直觀(guān)、科學(xué)、準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)和資料，讓學(xué)生真實(shí)地參與，使他們面對(duì)要解決的問(wèn)題，主動(dòng)設(shè)計(jì)方案、收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、制定決策，與他人進(jìn)行討論與交流，讓學(xué)生得到鍛煉，從而提高學(xué)生