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江蘇省徐州市睢寧高級(jí)中學(xué)2024年高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某幾何體的三視圖如圖所示,若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則該幾何體的體積是A. B. C. D.2.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.3.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是()A.B.C.D.4.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i5.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),其中是實(shí)數(shù),則等于()A. B. C. D.6.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.7.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的最大值為,若存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立,則的最小值為()A. B. C. D.9.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,則()A.12 B.10 C.8 D.10.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長(zhǎng)除以倍的塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.設(shè)胡夫金字塔的高為,假如對(duì)胡夫金字塔進(jìn)行亮化,沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶,則需要燈帶的總長(zhǎng)度約為A. B.C. D.11.復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i12.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)常數(shù),如果的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為-80,那么______.14.某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知5號(hào)、31號(hào)、44號(hào)學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是__________.15.正四棱柱中,,.若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且,則與平面所成角的正切值的最大值為_(kāi)__________.16.展開(kāi)式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρcos2θ=4asinθ?(a>0),直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+(I)寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程(不要求具體過(guò)程);(II)設(shè)P(-2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.18.(12分)已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),與拋物線相交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)),過(guò)做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線、,交拋物線于另兩點(diǎn)、,記拋物線在點(diǎn)的切線的傾斜角為,直線的傾斜角為,求證:與互補(bǔ).19.(12分)已知定點(diǎn),,直線、相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn),使得直線與斜率之積為定值,若存在,求出坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。20.(12分)已知,,(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知銳角的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,且,,求邊上的高的最大值.21.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍22.(10分)已知是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿(mǎn)足,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)直線與拋物線交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線的最大距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體,其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形,圓錐的高為4,底面半徑為2,則其體積為,.故選B點(diǎn)睛:由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫(huà)出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.2、D【解析】
利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因?yàn)?由誘導(dǎo)公式可得,,即,因?yàn)?所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.3、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是,故選B.4、D【解析】
兩邊同乘-i,化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點(diǎn)睛】的共軛復(fù)數(shù)為5、A【解析】
對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),由于為純虛數(shù),則化簡(jiǎn)后的復(fù)數(shù)形式中,實(shí)部為0,得到的值,從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以,得所以.故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,純虛數(shù)的概念,屬于簡(jiǎn)單題.6、A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個(gè)選項(xiàng),再求時(shí)的函數(shù)值,再排除一個(gè),得正確選項(xiàng).【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),排除B,C,當(dāng)時(shí),,排除D,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時(shí)可通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù),以及函數(shù)值的變化趨勢(shì),排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得正確結(jié)論.8、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到,進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值,區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期,最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2,存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立,則區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期,即故答案為:B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用,以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用,題目比較綜合.9、B【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得,再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得結(jié)論.【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列,∴,,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.10、D【解析】
設(shè)胡夫金字塔的底面邊長(zhǎng)為,由題可得,所以,該金字塔的側(cè)棱長(zhǎng)為,所以需要燈帶的總長(zhǎng)度約為,故選D.11、B【解析】
復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)部為0,虛部不為0,求出,即得.【詳解】∵為純虛數(shù),∴,解得..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類(lèi),屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】試題分析:因?yàn)閍n+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式:,令,解得.∴,解得.故答案為:-2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.14、18【解析】
根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)求出另一個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,已知其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)為5,31,44,故還有一個(gè)抽取的個(gè)體的編號(hào)為18,故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡(jiǎn)單題.15、2.【解析】
如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),由得,證明為與平面所成角,令,用三角函數(shù)表示出,求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),則,,又,得即;又平面,為與平面所成角,令,當(dāng)時(shí),最大,即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查了立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,考查了直線與平面所成角的計(jì)算.對(duì)于這類(lèi)題,一般是建立空間直角坐標(biāo),在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)內(nèi)引入?yún)?shù),將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力和直觀想象能力.16、70【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為:70.【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理,屬基礎(chǔ)題。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(I)x2=4aya>0,x-y+1=0【解析】
(I)利用所給的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程,直接整理化簡(jiǎn)得到直角坐標(biāo)方程和普通方程;(II)聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C的直角坐標(biāo)方程,結(jié)合韋達(dá)定理以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】(I)曲線C:ρcos2可得ρ2cos2直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,x-y=-1,得x-y+1=0;(II)將x=-2+22t,y=-1+2t韋達(dá)定理:t1由題意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和普通方程的互化,以及參數(shù)方程的綜合知識(shí),結(jié)合等比數(shù)列,熟練運(yùn)用知識(shí),屬于較易題.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)題意,設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程,根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)題意,設(shè)的方程為,聯(lián)立方程得,同理可得,進(jìn)而得到,再利用點(diǎn)差法得直線的斜率,利用切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得直線的斜率,進(jìn)而可得與互補(bǔ).【詳解】(1)由題意設(shè)直線的方程為,令、,聯(lián)立,得,根據(jù)拋物線的定義得,又,故所求拋物線方程為.(2)依題意,設(shè),,設(shè)的方程為,與聯(lián)立消去得,,同理,直線的斜率=切線的斜率,由,即與互補(bǔ).【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,直線斜率的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.19、(1);(2)存在定點(diǎn),見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),則,利用,求出曲線的方程.(2)由已知直線過(guò)點(diǎn),設(shè)的方程為,則聯(lián)立方程組,消去得,設(shè),,,利用韋達(dá)定理求解直線的斜率,然后求解指向性方程,推出結(jié)果.【詳解】解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),則,,,即,化簡(jiǎn)得:。由已知,故曲線的方程為。(2)由已知直線過(guò)點(diǎn),設(shè)的方程為,則聯(lián)立方程組,消去得,設(shè),,則又直線與斜率分別為,,則。當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,。所以存在定點(diǎn),使得直線與斜率之積為定值?!军c(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)的最小正周期為:;函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為:;(2).【解析】
(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式,結(jié)合二倍角的正弦公式、輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)成余弦型函數(shù)解析式形式,利用余弦型函數(shù)的最小正周期公式和單調(diào)性進(jìn)行求解即可;(2)由(1)結(jié)合,求出的大小,再根據(jù)三角形面積公式,結(jié)合余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)的最小正周期為:;當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為:;(2)因?yàn)?,所以設(shè)邊上的高為,所以有,由余弦定理可知:(當(dāng)用僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),所以,因此邊上的高的最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的二倍角公式、誘導(dǎo)公式、輔助角公式,考查了余弦定理、三角形面積公式,考查了基本不等式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21、(1).(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)通過(guò)討論x的范圍,得到關(guān)于x的不等式組,解出取并集即可;(Ⅱ)求出f(x)的最大值,得到關(guān)于a的不等式,解出即可.試題解析:(1)不等式等價(jià)于或或,解得或,所以不等式的解集是;(2),,,解得實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛:含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類(lèi)討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.22、(1);(2).【解析】
(1)求得點(diǎn)的坐標(biāo),可得出直線的方程,與拋物線的
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