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文檔簡介
杠桿專題-新疆哈密市第四中學2023-2024學年中考四模數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.如果向北走6km記作+6km,那么向南走8km記作()A.+8kmB.﹣8kmC.+14kmD.﹣2km2.如圖,△ABC的面積為12,AC=3,現(xiàn)將△ABC沿AB所在直線翻折,使點C落在直線AD上的C處,P為直線AD上的一點,則線段BP的長可能是()A.3 B.5 C.6 D.103.如圖,⊙O的半徑為6,直徑CD過弦EF的中點G,若∠EOD=60°,則弦CF的長等于()A.6 B.6 C.3 D.94.如圖,A、B為⊙O上兩點,D為弧AB的中點,C在弧AD上,且∠ACB=120°,DE⊥BC于E,若AC=DE,則的值為()A.3 B. C. D.5.古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1,3,6,10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1,4,9,16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn),任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中,符合這一規(guī)律的是()A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+316.如圖,直線AB∥CD,∠C=44°,∠E為直角,則∠1等于()A.132° B.134° C.136° D.138°7.在實數(shù)π,0,,﹣4中,最大的是()A.π B.0 C. D.﹣48.如圖,在平行四邊形ABCD中,點E在邊DC上,DE:EC=3:1,連接AE交BD于點F,則△DEF的面積與△BAF的面積之比為()A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:19.如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=1.點E在邊AB上,點F在邊CD上,點G、H在對角線AC上.若四邊形EGFH是菱形,則AE的長是()A.2 B.3 C.5 D.610.二次函數(shù)y=(2x-1)2+2的頂點的坐標是()A.(1,2) B.(1,-2) C.(,2)
D.(-,-2)二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11.菱形ABCD中,,其周長為32,則菱形面積為____________.12.用配方法將方程x2+10x﹣11=0化成(x+m)2=n的形式(m、n為常數(shù)),則m+n=_____.13.已知a+=2,求a2+=_____.14.若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個根,則6m2﹣9m+2016的值為_____.15.如圖,矩形OABC的兩邊落在坐標軸上,反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限的分支過AB的中點D交OB于點E,連接EC,若△OEC的面積為12,則k=_____.16.函數(shù)中,自變量的取值范圍是______三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)關于x的一元二次方程ax2+bx+1=1.(1)當b=a+2時,利用根的判別式判斷方程根的情況;(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根,寫出一組滿足條件的a,b的值,并求此時方程的根.18.(8分)為實施“農村留守兒童關愛計劃”,某校結全校各班留守兒童的人數(shù)情況進行了統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)各班留守兒童人數(shù)只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六種情況,并制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖:求該校平均每班有多少名留守兒童?并將該條形統(tǒng)計圖補充完整;某愛心人士決定從只有2名留守兒童的這些班級中,任選兩名進行生活資助,請用列表法或畫樹狀圖的方法,求出所選兩名留守兒童來自同一個班級的概率.19.(8分)如圖所示,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求證:BC=DE.20.(8分)如圖,在平面直角坐標系中,等邊三角形ABC的頂點B與原點O重合,點C在x軸上,點C坐標為(6,0),等邊三角形ABC的三邊上有三個動點D、E、F(不考慮與A、B、C重合),點D從A向B運動,點E從B向C運動,點F從C向A運動,三點同時運動,到終點結束,且速度均為1cm/s,設運動的時間為ts,解答下列問題:(1)求證:如圖①,不論t如何變化,△DEF始終為等邊三角形.(2)如圖②過點E作EQ∥AB,交AC于點Q,設△AEQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關系式及t為何值時△AEQ的面積最大?求出這個最大值.(3)在(2)的條件下,當△AEQ的面積最大時,平面內是否存在一點P,使A、D、Q、P構成的四邊形是菱形,若存在請直接寫出P坐標,若不存在請說明理由?21.(8分)如圖,拋物線經過點A(﹣2,0),點B(0,4).(1)求這條拋物線的表達式;(2)P是拋物線對稱軸上的點,聯(lián)結AB、PB,如果∠PBO=∠BAO,求點P的坐標;(3)將拋物線沿y軸向下平移m個單位,所得新拋物線與y軸交于點D,過點D作DE∥x軸交新拋物線于點E,射線EO交新拋物線于點F,如果EO=2OF,求m的值.22.(10分)已知:如圖所示,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A(1,0),B(3,0)(1)求拋物線的表達式;(2)設點P在該拋物線上滑動,且滿足條件S△PAB=1的點P有幾個?并求出所有點P的坐標.23.(12分)如圖,男生樓在女生樓的左側,兩樓高度均為90m,樓間距為AB,冬至日正午,太陽光線與水平面所成的角為,女生樓在男生樓墻面上的影高為CA;春分日正午,太陽光線與水平面所成的角為,女生樓在男生樓墻面上的影高為DA,已知.求樓間距AB;若男生樓共30層,層高均為3m,請通過計算說明多少層以下會受到擋光的影響?參考數(shù)據(jù):,,,,,24.為提高城市清雪能力,某區(qū)增加了機械清雪設備,現(xiàn)在平均每天比原來多清雪300立方米,現(xiàn)在清雪4000立方米所需時間與原來清雪3000立方米所需時間相同,求現(xiàn)在平均每天清雪量.
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、B【解析】
正負數(shù)的應用,先判斷向北、向南是不是具有相反意義的量,再用正負數(shù)表示出來【詳解】解:向北和向南互為相反意義的量.若向北走6km記作+6km,那么向南走8km記作﹣8km.故選:B.【點睛】本題考查正負數(shù)在生活中的應用.注意用正負數(shù)表示的量必須是具有相反意義的量.2、D【解析】
過B作BN⊥AC于N,BM⊥AD于M,根據(jù)折疊得出∠C′AB=∠CAB,根據(jù)角平分線性質得出BN=BM,根據(jù)三角形的面積求出BN,即可得出點B到AD的最短距離是8,得出選項即可.【詳解】解:如圖:
過B作BN⊥AC于N,BM⊥AD于M,
∵將△ABC沿AB所在直線翻折,使點C落在直線AD上的C′處,
∴∠C′AB=∠CAB,
∴BN=BM,
∵△ABC的面積等于12,邊AC=3,
∴×AC×BN=12,
∴BN=8,
∴BM=8,
即點B到AD的最短距離是8,
∴BP的長不小于8,
即只有選項D符合,
故選D.【點睛】本題考查的知識點是折疊的性質,三角形的面積,角平分線性質的應用,解題關鍵是求出B到AD的最短距離,注意:角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.3、B【解析】
連接DF,根據(jù)垂徑定理得到,得到∠DCF=∠EOD=30°,根據(jù)圓周角定理、余弦的定義計算即可.【詳解】解:連接DF,∵直徑CD過弦EF的中點G,∴,∴∠DCF=∠EOD=30°,∵CD是⊙O的直徑,
∴∠CFD=90°,
∴CF=CD?cos∠DCF=12×=,故選B.【點睛】本題考查的是垂徑定理的推論、解直角三角形,掌握平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧是解題的關鍵.4、C【解析】
連接D為弧AB的中點,根據(jù)弧,弦的關系可知,AD=BD,根據(jù)圓周角定理可得:在BC上截取,連接DF,則≌,根據(jù)全等三角形的性質可得:即根據(jù)等腰三角形的性質可得:設則即可求出的值.【詳解】如圖:連接D為弧AB的中點,根據(jù)弧,弦的關系可知,AD=BD,根據(jù)圓周角定理可得:在BC上截取,連接DF,則≌,即根據(jù)等腰三角形的性質可得:設則故選C.【點睛】考查弧,弦之間的關系,全等三角形的判定與性質,等腰三角形的性質,銳角三角函數(shù)等,綜合性比較強,關鍵是構造全等三角形.5、C【解析】
本題考查探究、歸納的數(shù)學思想方法.題中明確指出:任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.由于“正方形數(shù)”為兩個“三角形數(shù)”之和,正方形數(shù)可以用代數(shù)式表示為:(n+1)2,兩個三角形數(shù)分別表示為n(n+1)和(n+1)(n+2),所以由正方形數(shù)可以推得n的值,然后求得三角形數(shù)的值.【詳解】∵A中13不是“正方形數(shù)”;選項B、D中等式右側并不是兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.故選:C.【點睛】此題是一道找規(guī)律的題目,這類題型在中考中經常出現(xiàn).對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化,是按照什么規(guī)律變化的.6、B【解析】過E作EF∥AB,求出AB∥CD∥EF,根據(jù)平行線的性質得出∠C=∠FEC,∠BAE=∠FEA,求出∠BAE,即可求出答案.解:過E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠C=∠FEC,∠BAE=∠FEA,∵∠C=44°,∠AEC為直角,∴∠FEC=44°,∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°,∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°,故選B.“點睛”本題考查了平行線的性質的應用,能正確作出輔助線是解此題的關鍵.7、C【解析】
根據(jù)實數(shù)的大小比較即可得到答案.【詳解】解:∵16<17<25,∴4<<5,∴>π>0>-4,故最大的是,故答案選C.【點睛】本題主要考查了實數(shù)的大小比較,解本題的要點在于統(tǒng)一根據(jù)二次根式的性質,把根號外的移到根號內,只需比較被開方數(shù)的大小.8、B【解析】
可證明△DFE∽△BFA,根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案.【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴DC∥AB,∴△DFE∽△BFA,∵DE:EC=3:1,∴DE:DC=3:4,∴DE:AB=3:4,∴S△DFE:S△BFA=9:1.故選B.9、C【解析】試題分析:連接EF交AC于點M,由四邊形EGFH為菱形可得FM=EM,EF⊥AC;利用”AAS或ASA”易證△FMC≌△EMA,根據(jù)全等三角形的性質可得AM=MC;在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC=,且tan∠BAC=;在Rt△AME中,AM=AC=,tan∠BAC=可得EM=;在Rt△AME中,由勾股定理求得AE=2.故答案選C.考點:菱形的性質;矩形的性質;勾股定理;銳角三角函數(shù).10、C【解析】試題分析:二次函數(shù)y=(2x-1)+2即的頂點坐標為(,2)考點:二次函數(shù)點評:本題考查二次函數(shù)的頂點坐標,考生要掌握二次函數(shù)的頂點式與其頂點坐標的關系二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11、【解析】分析:根據(jù)菱形的性質易得AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,再判定△ABD為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質可得AB=BD=8,從而得OB=4,在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理可得OA=4,繼而求得AC=2AO=,再由菱形的面積公式即可求得菱形ABCD的面積.詳解:∵菱形ABCD中,其周長為32,∴AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵,∴△ABD為等邊三角形,∴AB=BD=8,∴OB=4,在Rt△AOB中,OB=4,AB=8,根據(jù)勾股定理可得OA=4,∴AC=2AO=,∴菱形ABCD的面積為:=.點睛:本題考查了菱形性質:1.菱形的四個邊都相等;2.菱形對角線相互垂直平分,并且每一組對角線平分一組對角;3.菱形面積公式=對角線乘積的一半.12、1【解析】
方程常數(shù)項移到右邊,兩邊加上25配方得到結果,求出m與n的值即可.【詳解】解:∵x2+10x-11=0,∴x2+10x=11,則x2+10x+25=11+25,即(x+5)2=36,∴m=5、n=36,∴m+n=1,故答案為1.【點睛】此題考查了解一元二次方程-配方法,熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.13、1【解析】試題分析:∵==4,∴=4-1=1.故答案為1.考點:完全平方公式.14、2.【解析】
把x=m代入方程,求出2m2﹣3m=2,再變形后代入,即可求出答案.【詳解】解:∵m是方程2x2﹣3x﹣2=0的一個根,∴代入得:2m2﹣3m﹣2=0,∴2m2﹣3m=2,∴6m2﹣9m+2026=3(2m2﹣3m)+2026=3×2+2026=2,故答案為:2.【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值和一元二次方程的解,解此題的關鍵是能求出2m2﹣3m=2.15、12.【解析】
設AD=a,則AB=OC=2a,根據(jù)點D在反比例函數(shù)y=的圖象上,可得D點的坐標為(a,),所以OA=;過點E作EN⊥OC于點N,交AB于點M,則OA=MN=,已知△OEC的面積為12,OC=2a,根據(jù)三角形的面積公式求得EN=,即可求得EM=;設ON=x,則NC=BM=2a-x,證明△BME∽△ONE,根據(jù)相似三角形的性質求得x=,即可得點E的坐標為(,),根據(jù)點E在在反比例函數(shù)y=的圖象上,可得·=k,解方程求得k值即可.【詳解】設AD=a,則AB=OC=2a,∵點D在反比例函數(shù)y=的圖象上,∴D(a,),∴OA=,過點E作EN⊥OC于點N,交AB于點M,則OA=MN=,∵△OEC的面積為12,OC=2a,∴EN=,∴EM=MN-EN=-=;設ON=x,則NC=BM=2a-x,∵AB∥OC,∴△BME∽△ONE,∴,即,解得x=,∴E(,),∵點E在在反比例函數(shù)y=的圖象上,∴·=k,解得k=,∵k>0,∴k=12.故答案為:12.【點睛】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題,求得點E的坐標為(,)是解決問題的關鍵.16、x≠1【解析】
解:∵有意義,∴x-1≠0,∴x≠1;故答案是:x≠1.三、解答題(共8題,共72分)17、(2)方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)b=-2,a=2時,x2=x2=﹣2.【解析】
分析:(2)求出根的判別式,判斷其范圍,即可判斷方程根的情況.(2)方程有兩個相等的實數(shù)根,則,寫出一組滿足條件的,的值即可.詳解:(2)解:由題意:.∵,∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)答案不唯一,滿足()即可,例如:解:令,,則原方程為,解得:.點睛:考查一元二次方程根的判別式,當時,方程有兩個不相等的實數(shù)根.當時,方程有兩個相等的實數(shù)根.當時,方程沒有實數(shù)根.18、解:(1)該校班級個數(shù)為4÷20%=20(個),只有2名留守兒童的班級個數(shù)為:20﹣(2+3+4+5+4)=2(個),該校平均每班留守兒童的人數(shù)為:=4(名),補圖如下:(2)由(1)得只有2名留守兒童的班級有2個,共4名學生.設A1,A2來自一個班,B1,B2來自一個班,有樹狀圖可知,共有12中等可能的情況,其中來自一個班的共有4種情況,則所選兩名留守兒童來自同一個班級的概率為:=.【解析】(1)首先求出班級數(shù),然后根據(jù)條形統(tǒng)計圖求出只有2名留守兒童的班級數(shù),再求出總的留守兒童數(shù),最后求出每班平均留守兒童數(shù);(2)利用樹狀圖確定可能種數(shù)和來自同一班的種數(shù),然后就能算出來自同一個班級的概率.19、證明見解析.【解析】試題分析:由可得則可證明,因此可得試題解析:即,在和中,考點:三角形全等的判定.20、(1)證明見解析;(2)當t=3時,△AEQ的面積最大為cm2;(3)(3,0)或(6,3)或(0,3)【解析】
(1)由三角形ABC為等邊三角形,以及AD=BE=CF,進而得出三角形ADF與三角形CFE與三角形BED全等,利用全等三角形對應邊相等得到BF=DF=DE,即可得證;(2)先表示出三角形AEC面積,根據(jù)EQ與AB平行,得到三角形CEQ與三角形ABC相似,利用相似三角形面積比等于相似比的平方表示出三角形CEQ面積,進而表示出AEQ面積,利用二次函數(shù)的性質求出面積最大值,并求出此時Q的坐標即可;(3)當△AEQ的面積最大時,D、E、F都是中點,分兩種情形討論即可解決問題;【詳解】(1)如圖①中,∵C(6,0),∴BC=6在等邊三角形ABC中,AB=BC=AC=6,∠A=∠B=∠C=60°,由題意知,當0<t<6時,AD=BE=CF=t,∴BD=CE=AF=6﹣t,∴△ADF≌△CFE≌△BED(SAS),∴EF=DF=DE,∴△DEF是等邊三角形,∴不論t如何變化,△DEF始終為等邊三角形;(2)如圖②中,作AH⊥BC于H,則AH=AB?sin60°=3,∴S△AEC=×3×(6﹣t)=,∵EQ∥AB,∴△CEQ∽△ABC,∴=()2=,即S△CEQ=S△ABC=×9=,∴S△AEQ=S△AEC﹣S△CEQ=﹣=﹣(t﹣3)2+,∵a=﹣<0,∴拋物線開口向下,有最大值,∴當t=3時,△AEQ的面積最大為cm2,(3)如圖③中,由(2)知,E點為BC的中點,線段EQ為△ABC的中位線,當AD為菱形的邊時,可得P1(3,0),P3(6,3),當AD為對角線時,P2(0,3),綜上所述,滿足條件的點P坐標為(3,0)或(6,3)或(0,3).【點睛】本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的性質和判定、菱形的判定和性質、二次函數(shù)的性質等知識,解題的關鍵是學會構建二次函數(shù)解決最值問題,學會用分類討論的思想思考問題,屬于中考壓軸題.21、(1);(2)P(1,);(3)3或5.【解析】
(1)將點A、B代入拋物線,用待定系數(shù)法求出解析式.(2)對稱軸為直線x=1,過點P作PG⊥y軸,垂足為G,由∠PBO=∠BAO,得tan∠PBO=tan∠BAO,即,可求出P的坐標.(3)新拋物線的表達式為,由題意可得DE=2,過點F作FH⊥y軸,垂足為H,∵DE∥FH,EO=2OF,∴,∴FH=1.然后分情況討論點D在y軸的正半軸上和在y軸的負半軸上,可求得m的值為3或5.【詳解】解:(1)∵拋物線經過點A(﹣2,0),點B(0,4)∴,解得,∴拋物線解析式為,(2),∴對稱軸為直線x=1,過點P作PG⊥y軸,垂足為G,∵∠PBO=∠BAO,∴tan∠PBO=tan∠BAO,∴,∴,∴,,∴P(1,),(3)設新拋物線的表達式為則,,DE=2過點F作FH⊥y軸,垂足為H,∵DE∥FH,EO=2OF∴,∴FH=1.點D在y軸的正半軸上,則,∴,∴,∴m=3,點D在y軸的負半軸上,則,∴,∴,∴m=5,∴綜上所述m的值為3或5.【點睛】本題是二次函數(shù)和相似三角形的綜合題目,整體難度不大,但是非常巧妙,學會靈活運用是關鍵.22、(1)y=﹣x2+4x﹣3;(2)滿足條件的P點坐標有3個,它們是(2,1)或(2+,﹣1)或(2﹣,﹣1).【解析】
(1)由于已知拋物線與x軸的交點坐標,則可利用交點式求出拋物線解析式;(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,可設P(t,-t2+4t-3),根據(jù)三角形面積公式得到?2?|-t2+4t-3|=1,
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