中學(xué)高二3月月考數(shù)學(xué)（理）試卷

中學(xué)高二3月月考數(shù)學(xué)（理）試卷

姓名:年級(jí):學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評(píng)卷人得分

一、選擇題（共10題，共50分）

n

1、已知Fp尸2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且乙？1尸尸2=3則橢圓和雙曲線的

離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）

4/2P

A.~B.~C.3D.2

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a,雙曲線的實(shí)半軸為半焦距為0,

FF

|尸乙|=r1（|PF2|=^li2l=2。，橢圓和雙曲線的離心率分別為根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可

知，設(shè)"戶(hù)2=3則由余弦定理可得4c2=（n）2+卜2）2-2?了2cos3①在橢圓中，①化簡(jiǎn)

為即4c2=4。2-3?了2“?②，在雙曲線中，①化簡(jiǎn)為即4c2=44+n『2”?③，由②③可得

2

上+；=4（1+iy-L+n=（i+￡xn生

勺電-,由柯西不等式得'"儲(chǔ)「"。2日，4――3,故選A

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用橢圓與雙曲線定義、性質(zhì)和離心率，以及柯西不等式求最值，屬于難

題.求解與圓錐曲線性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)

涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的

內(nèi)在聯(lián)系.離心率問(wèn)題，先構(gòu)造a，c的齊次式，從而構(gòu)造出關(guān)于°的等式與不等式求解.

2、直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且側(cè)棱長(zhǎng)為2,則這個(gè)三棱柱的外接球的體積

為（）

47r32n

A3B.4"。丁D.16"

【考點(diǎn)】

【答案】c

【解析】R

設(shè)三棱柱外接球的球心為°,球半徑為「，三棱柱的底面三角形4BC的中心為0,如圖，則°4=「，

因?yàn)槿庵母邽?,0D=又在正三角形中，48=3,可得4。=亞???在直角三角形中，

0筋=0D2+AD?,有廠2=J+詢(xún)2,...「=2,則這個(gè)三棱柱的外接球的體積為

4TTo32n

V=x_

33,故選c.

3、一個(gè)圓錐被過(guò)頂點(diǎn)的平面截去了較少的一部分幾何體，余下的幾何體的三視圖如下，則余下部分的幾何

體的體積為（）

「4

p

俯視圖

匣+岳臣+后

A.3B.3

航，2616njG

"T+

c.33D.93

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】

，=3穹2=2收

試題分析：由已知中的三視圖,圓錐母線'12J,

圓錐的高“"后一F=2,

圓錐底面半徑為r=-以’=2,

2

截去的底面弧的圓心角為120。，截去的面積是底面圓面積的

S=—+sin120'=?力+6

底面剩余部分為323

r=-S'A=-x（iff+^）x2=—^+―

故幾何體的體積為：33393,

故選D.

4、如圖，如圖，已知正三棱柱SC-4與G的各條棱都相等，M是側(cè)棱CG的中點(diǎn)，則異面直線《與和

所成角的大小是（）

A.90'B.60'c.45'D.30"

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】

試題分析：設(shè)BC的中點(diǎn)為0,連接A0,瓦0.因三棱柱是底面為正三角形的直棱柱，所以A0J■平面

BCC1B1,AO-LBM,又因點(diǎn)M為CJ的中點(diǎn)，在正方形中可得，BM,所以BM平面A°Bt.又因

AB〔u平面AOBj,所以BMAB].故異面直線和3M所成角的大小是90".選A.

5、先后拋擲兩枚均勻的骰子，骰子向上的面的點(diǎn)數(shù)分別為2°,則log2x'=1的概率為（）

1511

A.6B.36C.12D.2

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】因?yàn)槊款w骰子朝上的點(diǎn)數(shù)都有6種情況，所以X，y的情況有6X6=36種，若Iog2x）'=l,則

3_1

y=2x,其情況有x=l,y=2/=2,y=4）=3,y=6,共3種情況，則，的概率為而=11,故選

c.

6、從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋中任取2個(gè)球，則下列每對(duì)事件中，互斥事件的對(duì)數(shù)是（）對(duì)

（1）“至少有1個(gè)白球”與“都是白球”（2）“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”

（3）“至少有1個(gè)白球”與“恰有2個(gè)白球”（4）“至少有1個(gè)白球"與“都是紅球"

A.0B.10.2D.3

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】對(duì)于（1）,“至少有1個(gè)白球”，包括“兩個(gè)白球”和“一白一紅”兩種情況，兩事件可以同時(shí)

發(fā)生，不是互斥事件；對(duì)于（2）,“至少有1個(gè)白球”，包括“兩個(gè)白球”和“一白一紅”兩種情況，“至

少有1個(gè)紅球”，包括“兩個(gè)紅球”和“一白一紅”兩種情況，兩事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件；對(duì)

于（3）,“至少有1個(gè)白球”與“恰有2個(gè)白球”，兩事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件；對(duì)于（4）,

“至少有1個(gè)白球”與“都是紅球”，不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，即互斥事件的對(duì)數(shù)是1,故選氏

7、下表是降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量X（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)

A

數(shù)據(jù),根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程y=°-7x+035,那么表中m的值為（）

【考點(diǎn)】

【答案】D

—3+4+5+6—2,5+m+4+4.S11+m

【解析】=根據(jù)表格所給的數(shù)據(jù)可以求出，*=5=4,5,y=44,這組

114-m

數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，407X45+0.35,.??租=3,故選D

8、一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2,再減去80,得到一組新數(shù)據(jù)，若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2,方差

是4.4,則原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是

A.40.6,1.1B.48.8,4.4

C.81.2,44.4D.78.8,75.6

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】試題分析：設(shè)原來(lái)的一組數(shù)據(jù)是叮'“2…

???每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以2,再都減去80得到新數(shù)據(jù)且求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2,方差是4.4,

2刀]—80+2/-80+—80

2X]+2X2++2xn

n=1.2+80=8L2

又??.數(shù)據(jù)都減去同一個(gè)數(shù)，沒(méi)有改變數(shù)據(jù)的離散程度，

,24,2々…24的方差為：44,

從而原來(lái)數(shù)據(jù)的方差為：122X4.4=1.1

9、設(shè)仃七八表示三條不同的直線，表示三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若Z〃a,?n〃5il/?t則“，夕；

②若而，凡則〃〃a；

③若血霜為異面直線，m//a,n〃a，血〃〃6，則a〃尸.

④若a_L/?,a_Ly,則yJ./?其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B,2C.3D,4

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】對(duì)于①，若1/?；由空間線面的性質(zhì)定理可知a，夕，正確；對(duì)于②，若

mla,mlnf因?yàn)?有可能在平面"內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，若血，八為異面直線，m//a,n//a,

m〃S，"〃尸，根據(jù)面面平行的判定定理可得戈〃夕，故正確；對(duì)于④，若則可能〃/夕，

故錯(cuò)誤，真命題的個(gè)數(shù)為2,故選B.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定，屬于難題.空

間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫(huà)圖（尤其是畫(huà)長(zhǎng)方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法

（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷

它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).

10、已知命題P：Vx>°,2'>1.則為（）

XX

A7%>0,2<1B.3%>0（*D.,2>1

【考點(diǎn)】

【答案】B

x

【解析】：全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，」?命題P：Vx>°，2'>1的否定「P為：3%>0,2<1f故

選B.

二、填空題（共4題，共20分）

11、點(diǎn)尸在正方體'S,?！?131010］的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：

①三棱錐"一"iPC的體積不變；

②41P〃平面'C°l；

③DP1FC1；④平面PDB11平面.

其中正確的命題序號(hào)是

【考點(diǎn)】

對(duì)于①，因?yàn)?0'/Bel,從而801//平面4010,故上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，???以

P為頂點(diǎn)，平面為底面，則三棱錐”—DiPC的體積不變，正確；對(duì)于②，連接.1B，41cl容易證明

41C1//41D且相等，由于①知：，平面S'l'i//平面所以可得41P〃面，②正確；對(duì)于③，

由于DC_L平面BCBIG，」.DCJ.Be]，若DP上BC],則_L平面DCP,BQ，尸。，則為中點(diǎn),

與動(dòng)點(diǎn)矛盾，錯(cuò)誤；對(duì)于④，連接"Bl,由且可得D81J.面，由面面垂直的

判定知平面PD811平面，④正確，故答案為①②④.

12、設(shè)p：|4x-3|41,q:(x-a)(x-a-l)<0)若P是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【考點(diǎn)】

1

1

［解析］由命題P：14X-3|<1,可得彳士x三1,由命題q:（x_Q）（x_a_l）W0,可得QKXSQ+1,

1

J.2

；p是q的充分不必要條件，+1-1,解得，故答案為.

x2y21

13、焦點(diǎn)在X軸上的橢圓2+拓=1的離心率為"則機(jī)=

【考點(diǎn)】

3

【答案"

x2y21#-m13

【解析】；焦點(diǎn)在軸上的橢圓2十浜的離心率為2,裝2,解得〃1一2,故答案為.

14、看如下程序框圖，若輸入P=200,則輸出結(jié)果是

【考點(diǎn)】

【答案】8

【解析】執(zhí)行程序框圖，輸入P=200,s=2,八=4,第一次循環(huán)s=8,n=6；第二次循環(huán)

s=48,n=8.第三次循環(huán)s=384,n=10,s>200,推出循環(huán)，輸出n=10-2=8,故答案為8

三、解答題（共5題，共25分）

15、一動(dòng)圓與圓°1:（、一1）2+}'=1外切，與圓。2：（%+I』+），2=9內(nèi)切

（1）求動(dòng)圓圓心用的軌跡心的方程.

（2）設(shè)過(guò)圓心°1的直線/：x=my+1與軌跡相交于4、8兩點(diǎn)，△“口。？（°2為圓的圓心）的內(nèi)

切圓N的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線］的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】

［答案］(1)不+至=1(2)Smax=I^

【解析】試題分析：⑴利用動(dòng)圓與圓°色一1卜+產(chǎn)=1外切，與圓。2：(%+1)“+產(chǎn)=9內(nèi)切，

可得|M°J=R+1,\MO2\=3-R,A|MOj+|M02|=4由橢圓定義知M是以。網(wǎng)為焦點(diǎn)的

橢圓，從而可得動(dòng)圓圓心的軌跡L的方程；(2)當(dāng)SdAB。二最大時(shí)，「也最大，內(nèi)切圓的面積也最

大，表示出三角形的面積，利用換元法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，可求得最值.

試題解析：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為半徑為R,即可求得結(jié)論.

由題意，動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，???=A+lJMOzI=3-R,???+\M02］=4,

由橢圓定義知在為焦點(diǎn)的橢圓上，且a=2，c=l,?.?””=。2—°2=4—1=3,.??動(dòng)圓圓心的軌跡的

方程為.

(2)如圖，設(shè)內(nèi)切圓N的半徑為，與直線’的切點(diǎn)為C,則三角形的面積

=r

^AABO2乂+|力。21+)^02|)=刑4?！?14。21)+(俗。]|+|8。2〔)卜=2a7,=4r

最大時(shí)，也最大，內(nèi)切圓的面積也最大，設(shè)4卜1，力)，員孫力)6'1>°。'2<°),則

x=my+1

[1，/_

S=0+=

AABO2v°l^,1^11'M由【了+3—1,得

—3m+6M2+1-3m-

⑶丁廣+4)y2+6my-9=0,解得當(dāng)一3m24-4'力~-3m2+4

_12M+1_______

?,^AABO2-3m2+4,令t=Jm?+1,貝|jtN],且"t2=t2_],有

_12t__12t_121

S^AB°2-3(產(chǎn)一1)+4-^77-姿,令f(t)=3t+；貝/(t)=3-"當(dāng)時(shí)，r(t)>o，r⑴在

12_

S

[1,+8)上單調(diào)遞增，有/'(t)Nf(l)=4,^ABO2-4—3,即當(dāng)亡=1,山=0時(shí)，4r有最大值3,

_399

得尸max=不，這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積為正7r''存在直線=1,的內(nèi)切圓的面積最大值為正"

16、直三棱柱"8,一"品。1中，AA{=AB=AC=1,分別是的中點(diǎn)，AE0

為棱勺氏上的點(diǎn).

⑴證明：W力馬

JI4

（2）是否存在一點(diǎn)，使得平面。七尸與平面4BC所成銳二面角的余弦值為言？若存在，說(shuō)明點(diǎn)的位

置，若不存在，說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】

【答案】（1）略（2）。為的中點(diǎn)

【解析】試題分析：對(duì)于問(wèn)題（1）可以先證明兩兩垂直，然后再建立空間直角坐標(biāo)系用向量

法進(jìn)行證明；對(duì)于問(wèn)題（2）可在（1）中建立的坐標(biāo)系下，分別求出平面DEF與平面4BC的法向量，再

叵

根據(jù)二面角的余弦公式，即可確定是否存在一點(diǎn)°,使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為14.

試題解析：（1）證明：因?yàn)榈?，“同//嗎所以4E_L48,

又因?yàn)?1'*■DAE=",所以481面,

又因?yàn)槿拭妫?/p>

所以A8—C,

以力為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4一町'z,則有

4（000）0（0,1,務(wù)/晟0）M/OOI）,

設(shè)D（乂y,z）,而=2福且入e（0,l）,即（x,yz—l）=入（1,0,0）,則

DAO」)，所以"尸=弓一石f

因?yàn)楸?(°%)，所以"TE=14=0,所以DF-E

y

(2)結(jié)論：存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為

理由如下：

由題可知面的法向量”

fn-EF=O

設(shè)面的法向量為“=QJ，Z),則［nDF=O

—.Ill-.11

迎=(一7=<7)再尸=(「Z不一D

因?yàn)?2222,

/ill3

+罰+產(chǎn)=0X=2(1^)Z

1+24

(1-A)x+^y-z=0卜=^17

所以即

令z=2(l_/l),則n=(3J+2Z2(l-2))

因?yàn)槠矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為，

皿⑺疝=3=華.廠⑻3一.呼

所以1刑1川14,即―+(1+2產(chǎn)+4(1-4)214,

-=12

解得‘或”=耳(舍)，所以當(dāng)為41口1中點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足要求

17、從某學(xué)校高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和

195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組［155,160)；第二組［160,165)、…、第八組［190,195］,

下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、

第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)估計(jì)這所學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高180cm以上(含180cm)的人數(shù);

(3)由直方圖估計(jì)男生身高的中位數(shù).

【考點(diǎn)】

【答案】(1)144；⑵詳見(jiàn)解析；⑶174.5

【解析】試題分析：(1)由頻率分布直方圖，可得前五組頻率，利用各矩形面積和為1,可得后三組頻率和

人數(shù)，又可得后三組的人數(shù)，可得平均身高；(2)由頻率分布直方圖得第八組頻率為°?0°8X5=0.04

可得人數(shù)為2人，設(shè)第六組人數(shù)為m根據(jù)第七組人數(shù)列方程求得血=4進(jìn)而可得結(jié)果；(3)設(shè)中位數(shù)為八，

n-1700.5-0.32

由［155,170］頻率為032,可得八［170,175］,5=0.2,從而可得結(jié)果.

試題解析：(1)由直方圖,前五組頻率為(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)X5=082,后三組頻率

為1-0.82=0.18.

這所學(xué)校高三男生身高在180cm以上(含180cm)的人數(shù)為800X0.18=144人.

(2)由頻率分布直方圖得第八組頻率為0.008X5=0.04,人數(shù)為0.04X50=2人，

設(shè)第六組人數(shù)為m,則第七組人數(shù)為0.18X50—2—m=7—m,

又m+2=2(7—m),所以m=4,即第六組人數(shù)為4人，第七組人數(shù)為3人，頻率分別為0.08,0.06.

頻率除以組距分別等于0.016,0.012,見(jiàn)圖.

w-1700.5-0.32

(3)設(shè)中位數(shù)為3由口55,170］頻率為0.32,所以〃w［170,175),502,解得=174.5

18、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PDJ■平面4BCD,底面A8CD為平行四邊形，AADB=90

AB=2AD

（l）證明：PALBD.

（Il）若尸D={D,求直線P8與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）4

【解析】試題分析：（1）由平面.BCD,可得到BD_LPD,結(jié)合BD_LND,根據(jù)線面垂直的判

11

定定理即可得到8D平面P/D,從而可得出入BD.（2）首先以D4DBQP三直線為xyz軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)PD=40=1,從而可確定圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量垂直數(shù)量積為零列

1----

方程組求出平面PCD的法向量，設(shè)直線四與平面所成角為6,則根據(jù)即0=icos<11'PB及空間

向量夾角余弦公式，即可求得sin?

試題解析：（1）平面u平面4BCD,PD_LBD,即，又BD_LflPD=D,

BD,L平面P4D,Pi4c平面PAD,??.PAJ.BD

<A

（2）分別以三直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，貝心（。。0）/（1，0,0）,8（0,我0）,

。（-1,E0）,尸（001）,???DC=（-1,#,O）,DP=