高考數(shù)學(xué)學(xué)科備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列五（解析幾何存在問(wèn)題及應(yīng)對(duì)策略）

②當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線(xiàn)，所以．當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，將代數(shù)化，即角相等的證明可以有兩個(gè)思路，即從數(shù)量關(guān)系或幾何關(guān)系來(lái)思考．為此，不妨設(shè)．思路1：從圖形中直線(xiàn)的傾斜角直接切入，由位置特征，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為；思路2：從數(shù)量關(guān)系角度看，通過(guò)向量運(yùn)算去獲取，淡化幾何特征，直接采取坐標(biāo)運(yùn)算，即證；思路3：從幾何角度看，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為運(yùn)用角平分線(xiàn)定理，現(xiàn)坐標(biāo)化，即證；思路4:從幾何角度看，在坐標(biāo)幾何中，構(gòu)造直角三角形相似來(lái)證．思路5：從幾何角度看，視為角平分線(xiàn)，用點(diǎn)到兩邊的距離進(jìn)行代數(shù)化．思路6：角平分線(xiàn)具有對(duì)稱(chēng)性，故可證明點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)BM上．這么多的思路，如何代數(shù)化，要不要求坐標(biāo)？程序化（算術(shù)化）：即設(shè)直線(xiàn)方程，遵循不斷求出的思路進(jìn)行運(yùn)算，求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，后再計(jì)算；結(jié)構(gòu)化（關(guān)系化）：即設(shè)直線(xiàn)方程，找出A，B坐標(biāo)關(guān)系（這里的策略就是通常所說(shuō)的“設(shè)而不求”，再對(duì)要證的結(jié)構(gòu)關(guān)系進(jìn)行推演．事實(shí)上，程序化和結(jié)構(gòu)化的代數(shù)思維沒(méi)有特別的優(yōu)劣，它都是代數(shù)思維的重要特征，它是一個(gè)不斷螺旋上升的過(guò)程，只是大家目前都喜歡用結(jié)構(gòu)化的思維，忽視程序化的思維，這是不對(duì)的，對(duì)結(jié)構(gòu)化思維的形成與培養(yǎng)也不利．另外，即便用結(jié)構(gòu)化思維進(jìn)行推演，在設(shè)方程上也有此許的差別，如設(shè)的方程為或設(shè)，還是有講究的．【評(píng)析】解析法的過(guò)程，充滿(mǎn)著概念與思辯，需要大家細(xì)細(xì)品味！絕不是機(jī)械模仿能達(dá)到的．（三）增強(qiáng)幾何意識(shí)，配合解析工具，巧妙轉(zhuǎn)化解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量．?dāng)?shù)學(xué)試題中很多圖形性質(zhì)就和“平幾”知識(shí)相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時(shí)引用，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解．提高學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力——實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，陌生問(wèn)題熟悉化．例如：①?zèng)]有圖形，不妨畫(huà)個(gè)圖形，以便直觀思考；②“設(shè)—列—驗(yàn)”是求軌跡的通法；③消元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)（方程），判別式，韋達(dá)定理，中點(diǎn)，弦長(zhǎng)公式等要把握好；④多感悟“設(shè)—列—解”，“設(shè)”：設(shè)什么？坐標(biāo)、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量關(guān)系，“解”：解就是轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)、變形，向目標(biāo)靠攏；⑤緊扣題意，聯(lián)系圖形，數(shù)形結(jié)合；⑥一旦與自己熟悉的問(wèn)題接軌立即入位．【例11】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：，點(diǎn)A是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線(xiàn)段PQ長(zhǎng)的取值范圍為．分析：?jiǎn)栴}歸結(jié)——定直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離問(wèn)題；策略突破——解直角三角形，化歸為圓心到直線(xiàn)的距離．求解過(guò)程分析：首先要明確目標(biāo)所在三角形及與圓的相關(guān)幾何特性：根據(jù)圓的垂徑定理，在等腰與中，；接著結(jié)合解三角形，問(wèn)題溯源，選定較為直觀的幾何變量，構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)解析式：；最后回歸題意確定變量的范圍，計(jì)算求解，又，所以，因此線(xiàn)段長(zhǎng)的取值范圍為．歸納：直線(xiàn)與圓的三種位置關(guān)系：相切，相交，相離．解決直線(xiàn)與圓的問(wèn)題時(shí)，一方面，要運(yùn)用解析幾何的一般方法，即代數(shù)化方法，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；另一方面，由于直線(xiàn)與圓和平面幾何聯(lián)系非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖形，挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問(wèn)題較為簡(jiǎn)捷地得到解決．【例12】如圖所示，過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，射線(xiàn)OA和OB分別和圓交于D、E兩點(diǎn)，若，則的最小值等于A．B．C．D．【分析】問(wèn)題歸結(jié)——求面積之比，需要把表示成某個(gè)變量（斜率）的函數(shù)，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；策略突破——通過(guò)圖像，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)（1，0），可得（這是關(guān)鍵），從而得到，最后轉(zhuǎn)化為，求得最值．【解答】設(shè)、，由得，即．又所以，即．設(shè)、，直線(xiàn)OA：，直線(xiàn)OB：，則．由得，同理．由得，同理．所以，，，．所以．歸納：1．解析幾何研究的對(duì)象是幾何圖形，善用巧用幾何圖形的特征，把幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示，從而縮短思維鏈條，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程；2．在幾何圖形中，利用解三角形和三角形相似等知識(shí)，轉(zhuǎn)化為邊角之間的關(guān)系解決解析幾何問(wèn)題．其中，解三角形的畫(huà)圖用圖，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想；利用角或邊的關(guān)系消角（邊），體現(xiàn)了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程組求三角函數(shù)值，體現(xiàn)了方程思想．（四）重視平面解析幾何中代數(shù)方法的思維訓(xùn)練代數(shù)的思維特征，可以概括為程序化：即有點(diǎn)類(lèi)似于解應(yīng)用題的算術(shù)思維，遵循不斷求出的計(jì)算，即便引進(jìn)參數(shù)，也當(dāng)成假設(shè)已知，參與運(yùn)算；構(gòu)造性的：即有點(diǎn)類(lèi)似于解應(yīng)用題的方程思維，注重尋找關(guān)系，“設(shè)而不求”，推演求解．復(fù)習(xí)教學(xué)中，要通過(guò)恰當(dāng)?shù)氖吕?，?xùn)練學(xué)生的代數(shù)思維，這使得解析幾何的代數(shù)方法不是一招一式的技巧，而是有著行動(dòng)指南的思維模式.【例13】（2020年八省聯(lián)考第7題）已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)，直線(xiàn)是圓的兩條切線(xiàn)，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.程序化：先利用點(diǎn)求拋物線(xiàn)方程，利用相切關(guān)系求切線(xiàn)AB，AC，再分別聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)求出點(diǎn)，即求出直線(xiàn)方程.整個(gè)過(guò)程有點(diǎn)象對(duì)幾何畫(huà)圖的順序．結(jié)構(gòu)性：由在拋物線(xiàn)上，故，即，拋物線(xiàn)方程為，又點(diǎn)B在拋物線(xiàn)上，故設(shè)點(diǎn)B從坐標(biāo)為，則直線(xiàn)AB方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)AB與圓相切，所以，則，又，所以，即，所以點(diǎn)B在直線(xiàn)；同理點(diǎn)C在直線(xiàn)上，故直線(xiàn)BC的方程為，故選B【評(píng)析】運(yùn)算繁雜是解析幾何最突出的特點(diǎn)．首先，解題中要指導(dǎo)學(xué)生克服只重視思路、輕視動(dòng)手運(yùn)算的缺點(diǎn)．運(yùn)算能力差是學(xué)生普遍存在的問(wèn)題，不僅在解析幾何問(wèn)題中要加強(qiáng)訓(xùn)練，在其它板塊中也要加強(qiáng)訓(xùn)練，只有把提高學(xué)生的運(yùn)算能力貫徹于教學(xué)的過(guò)程之中，才能收到較好的效果．其次，要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的求簡(jiǎn)意識(shí)，尤其是“設(shè)而不求”，充分發(fā)揮圓錐曲線(xiàn)的定義和利用平面幾何知識(shí)化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用．【例13】過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則圓的方程為A．B．C．D．分析一：?jiǎn)栴}歸結(jié)——確定圓的方程的基本要素：過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)AB的方程及與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)；策略突破——圓的兩個(gè)關(guān)鍵量的代數(shù)形式：圓心和半徑，確定參變量，引入關(guān)聯(lián)變量——斜率的倒數(shù)t，可設(shè)直線(xiàn)AB：；轉(zhuǎn)化為參數(shù)t的等量關(guān)系式；求解過(guò)程分析：聯(lián)立方程組消元得到；由韋達(dá)定理得，則，直徑；求半徑，由得方程，則。回歸圓：圓心，半徑的平方，答案選B．分析二：?jiǎn)栴}歸結(jié)——確定圓的方程的最基本要素：過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)AB的方程及與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)；策略突破——圓的兩個(gè)關(guān)鍵量的幾何性質(zhì)：作弦的中垂線(xiàn)，求其與直徑所在直線(xiàn)的交點(diǎn)．回歸確定圓心，作圖如下，求解過(guò)程分析：立足拋物線(xiàn)的概念認(rèn)識(shí)：直角梯形中，有兩個(gè)等腰與，結(jié)合平行性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理可得；立足圓的概念整體認(rèn)識(shí)所得：點(diǎn)與點(diǎn)均在圓上；回顧確定圓心的位置基本方法：作弦的中垂線(xiàn)，求其與直徑所在直線(xiàn)的交點(diǎn)；計(jì)算求解：設(shè)，的中點(diǎn)為，，，則，所以，所以圓心的坐標(biāo)為；半徑為，故選B．【反思?xì)w納】1．兩種二次曲線(xiàn)的交匯需分清“主次”，充分利用相關(guān)概念與性質(zhì)分步朝探究目標(biāo)化歸；2．兩支圓錐曲線(xiàn)交匯是全國(guó)卷高考常見(jiàn)的考查方式，本題涉及圓錐曲線(xiàn)的概念、圓的切線(xiàn)問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題主要以方程思想和數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)處理，還應(yīng)注意恰當(dāng)運(yùn)用平面幾何知識(shí)對(duì)其進(jìn)行求解．【例14】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作軸的垂線(xiàn)，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為．求證：對(duì)任意＞0，都有PA⊥PB．分析一：?jiǎn)栴}歸結(jié)——討論與橢圓有關(guān)的多條直線(xiàn)的位置關(guān)系；策略突破——通過(guò)設(shè)線(xiàn)PA，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，得到點(diǎn)P，A，C的坐標(biāo)，從而得到直線(xiàn)AB的方程，再得到PB的斜率，從而證明，證明到PA⊥PB．解答：將直線(xiàn)PA的方程代入，解得，記，則，，于是，故直線(xiàn)AB的斜率為，其方程為，代入橢圓方程得，解得或，因此，于是直線(xiàn)PB的斜率＝，因此，所以PA⊥PB．分析二：?jiǎn)栴}歸結(jié)——討論與橢圓有關(guān)的多條直線(xiàn)的位置關(guān)系；策略突破——目標(biāo)是證明PA⊥PB，即只需證明．解答：設(shè)，，則，，且兩式相減得，，即，即，故，所以＝＝＝，所以PA⊥PB．【反思?xì)w納】1．方法一，利用直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立，求點(diǎn)坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化求直線(xiàn)的斜率，最后利用斜率乘積等于-1證明垂直，這是常規(guī)方法，思維比較自然，但計(jì)算量大；方法二，利用點(diǎn)A、C在橢圓上，所以滿(mǎn)足橢圓方程，利用點(diǎn)差法，先求出，再利用，得到結(jié)論，方法很巧妙；2．設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，但目的不是求出坐標(biāo)，而是通過(guò)它作為媒介尋求變量間的關(guān)系，確立解題目標(biāo)，簡(jiǎn)化運(yùn)算和快速準(zhǔn)確解決問(wèn)題，這就是設(shè)而不求．3．對(duì)于橢圓，有如下結(jié)論：若是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)，P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)（不同于），則=，特殊地，若是橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，更有此結(jié)論，該結(jié)論還可推廣到橢圓的弦中點(diǎn)，以及雙曲線(xiàn)也有類(lèi)似的結(jié)論．（五）函數(shù)方程思想引領(lǐng)，強(qiáng)化整體意識(shí)【例15】（2015天津理19）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上且位于第一象限，直線(xiàn)被圓截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)為，．（1）求直線(xiàn)的斜率；（2）求橢圓的方程；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線(xiàn)的斜率大于，求直線(xiàn)（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍．分析：?jiǎn)栴}歸結(jié)——通過(guò)幾何圖形，求直線(xiàn)的斜率，橢圓的離心率以及直線(xiàn)的斜率范圍；策略突破——(1)由橢圓知識(shí)先求出的關(guān)系，設(shè)直線(xiàn)的方程為，求出圓心到直線(xiàn)的距離，由勾股定理可求斜率的值；(2)由(1)設(shè)橢圓方程為，直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由可求出，從而可求橢圓方程；(3)設(shè)出直線(xiàn)：，與橢圓方程聯(lián)立，求得，求出的范圍，即可求直線(xiàn)的斜率的取值范圍．解答：(1)由已知有，又由，可得，，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，由已知有，解得．(2)由(1)得橢圓方程為，直線(xiàn)的方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為．(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，又由已知，得，解得或，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得．=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得綜上所述，直線(xiàn)的斜率的取值范圍是．【例16】（2021新高考I卷、20）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿(mǎn)足．記的軌跡為．（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)的兩條直線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之和．分析：（1）的軌跡是雙曲線(xiàn)的右支，根據(jù)題意建立關(guān)于，，的方程組，解出即可求得的方程；（2）思路一、設(shè)出直線(xiàn)的參數(shù)方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，由參數(shù)的幾何意義可求得，同理求得，再根據(jù)，即可得的值．思路二、設(shè)直線(xiàn)方程，將其與的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，再表示出及，同理設(shè)出直線(xiàn)的方程，表示出及，根據(jù)，即可得的值．解答：（1）由雙曲線(xiàn)的定義可知，的軌跡是雙曲線(xiàn)的右支，設(shè)的方程為，根據(jù)題意，解得，的方程為；（2）解法一：設(shè)，直線(xiàn)的參數(shù)方程為，將其代入的方程并整理可得，，由參數(shù)的幾何意義可知，，，則，設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為，，，同理可得，，依題意，，則，又，故，則，即直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之和為0．解法二：設(shè)，直線(xiàn)的方程為，，，，，設(shè)，將直線(xiàn)方程代入的方程化簡(jiǎn)并整理可得，，所以，即.由韋達(dá)定理有，，又由可得，同理可得，，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，同理可得，又，則，化簡(jiǎn)可得，又，則，所以，即直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之和為0．歸納：1．求軌跡方程要注意利用圓錐曲線(xiàn)的定義解題．涉及多個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，可用動(dòng)點(diǎn)代入法或參數(shù)法求解，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)．與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的軌跡求解，也要注意取值范圍和“雜點(diǎn)”的去除．2．對(duì)于最值、定值、范圍問(wèn)題的處理，常采用①幾何法：利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；②代數(shù)法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求函數(shù)的最值，確定某幾何量的值域或取值范圍，一般需要建立起方程或不等式，或利用圓錐曲線(xiàn)的有界性來(lái)求解．（六）素養(yǎng)導(dǎo)向，強(qiáng)化思維，通性通法為本1．試題的主要類(lèi)型如下表考什么必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)、教育價(jià)值怎么考基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性考多難題型與難度1.直線(xiàn)的方程、直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系考查直線(xiàn)方程、方程中系數(shù)幾何意義等問(wèn)題題型：跨分支交匯，多題型呈現(xiàn)難度：隨主考內(nèi)容而變2．圓與圓錐曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)考查圓錐曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)問(wèn)題題型：選擇題或填空題難度：基礎(chǔ)題3．直線(xiàn)與(圓)圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題題型：解答題難度：中檔題或難題4．與(圓)圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的范圍與最值主要考查與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的范圍與最值問(wèn)題，常與函數(shù)、不等式交匯命題題型：解答題難度：中檔題或難題5．定點(diǎn)、定值的探究與證明①考查以直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)為載體，探究直線(xiàn)或曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題；②考查與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的定值問(wèn)題．題型：解答題難度：中檔題或難題6．(圓)圓錐曲線(xiàn)中的點(diǎn)、線(xiàn)、參數(shù)等存在性問(wèn)題①考查以圓錐曲線(xiàn)為載體，探究平分面積的線(xiàn)、平分線(xiàn)段的點(diǎn)等問(wèn)題；②考查某解析式成立的參數(shù)是否存在問(wèn)題．題型：解答題難度：中檔題或難題歸避模式，雙曲線(xiàn)也可以考大題，如八省聯(lián)考．2．做法建議建議對(duì)以上幾類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行整理，每類(lèi)問(wèn)題的教學(xué)都要注意講關(guān)鍵、講重點(diǎn)、講難點(diǎn)、講思想、講規(guī)律