行波波動(dòng)方程

行波波動(dòng)方程§2.1行波

一．機(jī)械波的產(chǎn)生二．描述波的物理量

§2.2平面簡諧波

一．波函數(shù)二．波動(dòng)曲線

§2.3

波動(dòng)方程第二章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)：21.3，21.6，21.7，第2頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

振動(dòng)在空間的傳播過程叫做波動(dòng)第二章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波。如聲波、水波、地震波等變化電場或變化磁場在空間的傳播稱為電磁波。如無線電波、光波、等雖然各類波的本質(zhì)不同，各有其特殊的性質(zhì)和規(guī)律，但在形式上它們也具有許多共同的特征。如都具有一定的傳播速度，都伴隨著能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉或衍射等現(xiàn)象。第3頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一.機(jī)械波的產(chǎn)生§2.1行波

機(jī)械波產(chǎn)生的條件振源作機(jī)械振動(dòng)的物體——波源媒質(zhì)傳播機(jī)械振動(dòng)的物體在物體內(nèi)部傳播的機(jī)械波，是靠物體的彈性形成的，因此這樣的媒質(zhì)又稱彈性媒質(zhì)。什么是物質(zhì)的彈性？第4頁,共64頁，2024年2月25日，星期天2.3物體的彈性變形物體包括固體、液體和氣體，在受到外力作用時(shí)，形狀或體積都會(huì)發(fā)生或大或小的變化。這種變化統(tǒng)稱為形變當(dāng)外力不太大因而引起的形變也不太大時(shí)，去掉外力，形狀或體積仍能復(fù)原。這個(gè)外力的限度稱作彈性限度。在彈性限度內(nèi)，外力和形變具有簡單的關(guān)系，由于外力施加的方式不同，形變可以有以下幾種基本方式：線變切變體變第5頁,共64頁，2024年2月25日，星期天⑴

線變一段固體棒，當(dāng)在其兩端沿軸的方向加以方向相反大小相等的外力時(shí)，其長度會(huì)發(fā)生改變，伸長或壓縮視二者方向而定。以F表示力的大小，以S表示棒的橫截面積，則叫F∕S叫做應(yīng)力，以l表示棒的長度，實(shí)驗(yàn)表明：在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。以Δl表示在外力F作用下的長度變化。則Δl∕l叫相對(duì)長度變化，又叫應(yīng)變第6頁,共64頁，2024年2月25日，星期天⑴

線變胡克定律在彈性限度內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。為關(guān)于長度的比例系數(shù)，它隨材料不同而不同，叫楊氏模量。第7頁,共64頁，2024年2月25日，星期天⑵

切變一塊矩形材料，當(dāng)它的兩個(gè)側(cè)面受到與側(cè)面平行的大小相等方向相反的力作用時(shí)，形狀就要發(fā)生改變，如圖，外力F和施力面積S之比，為切變的應(yīng)力施力面積相互錯(cuò)開而引起的材料角度的變化ф，叫切變的應(yīng)變。這種形式的形變叫切變。第8頁,共64頁，2024年2月25日，星期天⑵

切變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)，切變的應(yīng)力也和應(yīng)變成正比。稱作切變彈性模量。由材料的性質(zhì)決定。第9頁,共64頁，2024年2月25日，星期天⑶

體變一塊物質(zhì)周圍受到的壓強(qiáng)改變時(shí)，其體積也會(huì)發(fā)生改變，如圖，以

V表示原體積，ΔP表示壓強(qiáng)的改變，以ΔV∕V表示相應(yīng)體積的相對(duì)變化，即應(yīng)變，則有叫體變彈性模量,它由物質(zhì)的性質(zhì)決定,“－”表示壓強(qiáng)的增大總導(dǎo)致體積的減小第10頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一.機(jī)械波的產(chǎn)生§2.1行波

機(jī)械波產(chǎn)生的條件振源作機(jī)械振動(dòng)的物體——波源媒質(zhì)傳播機(jī)械振動(dòng)的物體在物體內(nèi)部傳播的機(jī)械波，是靠物體的彈性形成的，因此這樣的媒質(zhì)又稱彈性媒質(zhì)。機(jī)械振動(dòng)是如何靠彈性來傳播呢？第11頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

機(jī)械波的傳播第12頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

縱波和橫波按質(zhì)元振動(dòng)方向與波傳播的方向之間的關(guān)系波劃分為橫波縱波振動(dòng)方向與波傳播方向垂直的波。振動(dòng)方向與波傳播方向在一條直線上的波。如彈簧中傳播的波以及聲波如細(xì)繩中傳播的波波傳播是由于質(zhì)元的形變，對(duì)橫波、縱波來說，質(zhì)元發(fā)生形變情形是什么樣的呢？第13頁,共64頁，2024年2月25日，星期天橫波從圖上可以明顯看出在橫波中各質(zhì)元發(fā)生切變，外形有波峰波谷之分橫波只能在彈性固體中傳播第14頁,共64頁，2024年2月25日，星期天縱波在縱波中，各質(zhì)元發(fā)生長變或體變，因而媒質(zhì)的密度發(fā)生改變，各處疏密不同，所以縱波也叫疏密波?？v波在氣體、液體、固體媒質(zhì)中都可以傳播第15頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

波的特征

不管是橫波還是縱波，在波傳播的過程中，媒質(zhì)中各質(zhì)元均在各自的平衡位置附近振動(dòng)，質(zhì)元本身并不遷移，質(zhì)元并未“隨波逐流”

。(2)“上游”的質(zhì)元依次帶動(dòng)“下游”的質(zhì)元振動(dòng)。(3)

某時(shí)刻某質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻

于“下游”某處出現(xiàn)---波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播

(4)在媒質(zhì)中沿波傳播方向，相隔一定距離存在同相質(zhì)元----質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)相同第16頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

波的幾何描述波的傳播是振動(dòng)的傳播而非質(zhì)元的遷移，由于振動(dòng)狀態(tài)常用位相來表示，所以振動(dòng)狀態(tài)的傳播也可以用位相的傳播來說明。為了形象直觀地表示媒質(zhì)中各質(zhì)元的位相的關(guān)系以及波傳播的方向，常用幾何圖形加以描述。波線：用帶箭頭的線表示波傳播的方向。波面：媒質(zhì)中振動(dòng)位相相同的質(zhì)元組成的曲面。波前：波源開始振動(dòng)后，在同一時(shí)刻，振動(dòng)到達(dá)的各點(diǎn)構(gòu)成的面,顯然是一個(gè)同位相面，由于這一波面在波傳播方向的最前方，所以又叫做波前或波陣面。第17頁,共64頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)波前的形狀不同，波可分為平面波，球面波，柱面波。球面波平面波波線

波面第18頁,共64頁，2024年2月25日，星期天二．描述波的物理量

周期T、頻率ν波是機(jī)械振動(dòng)的傳播，在傳播的過程中，媒質(zhì)的各個(gè)質(zhì)元都在平衡位置附近作機(jī)械振動(dòng)。由于振動(dòng)具有時(shí)間上的周期性，所以波也具有時(shí)間上的周期性，即每隔一定的時(shí)間，媒質(zhì)中各質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)都將復(fù)原。媒質(zhì)中振動(dòng)狀態(tài)復(fù)原時(shí)所需的最短時(shí)間，也即質(zhì)元完成一次全振動(dòng)的時(shí)間叫波的周期，周期的倒數(shù)叫頻率。第19頁,共64頁，2024年2月25日，星期天在媒質(zhì)中沿波傳播方向，每隔一定距離，媒質(zhì)的質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)在各時(shí)刻都相同

----質(zhì)元的振動(dòng)同相表明波具有空間上的周期性。引入波長的概念來描述波在空間上的周期性。第20頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

波長λ在波的傳播方向上兩個(gè)相鄰的同相質(zhì)元之間的距離叫做波長。記作

λ從外形上看，橫波的一個(gè)波長中有一個(gè)波峰和一個(gè)波谷，相鄰兩個(gè)波峰或波谷之間的距離等于一個(gè)波長λλ第21頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

波長λ在波的傳播方向上兩個(gè)相鄰的同相質(zhì)元之間的距離叫做波長。記作

λ縱波的一個(gè)波長內(nèi)有一個(gè)疏部和一個(gè)密部。相鄰兩個(gè)密部或疏部之間的距離等于一個(gè)波長λλ橫波中的一峰一谷和縱波的一疏一密構(gòu)成了一個(gè)“完整波”——包含了全部振動(dòng)狀態(tài)，因此一個(gè)波長就是一個(gè)“完整波”的長度。第22頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

周期T、頻率ν與波長λ的關(guān)系波的時(shí)間上的周期性和空間上的周期性是密切聯(lián)系的，這種聯(lián)系就表現(xiàn)在：在一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，某一確定的振動(dòng)狀態(tài)，也即某一確定的位相，所傳播的距離正好是一個(gè)波長。如果以u(píng)表示振動(dòng)狀態(tài)或振動(dòng)相的傳播的速度，則這一聯(lián)系可用公式表示為這是表示波的基本特征的重要公式第23頁,共64頁，2024年2月25日，星期天將上式改寫表明：波的頻率等于單位時(shí)間內(nèi)通過媒質(zhì)某一點(diǎn)的“完整波”的個(gè)數(shù)。第24頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

波速u波速的大小決定于媒質(zhì)的性質(zhì)，振動(dòng)狀態(tài)或振動(dòng)位相的傳播速度，也稱相速度E—

楊氏彈性模量

—

體密度(2)

固體棒中的縱波(1)

固體中的橫波G—

切變模量∵G<E,固體中

ｕ橫波<ｕ縱波第25頁,共64頁，2024年2月25日，星期天(3)

彈性繩上的橫波T—

繩的初始張力,

—

繩的線密度(4)

流體中的聲波k—體積模量,

0—無聲波時(shí)的流體密度=Cp/Cv

,

—

摩爾質(zhì)量理想氣體:第26頁,共64頁，2024年2月25日，星期天§2.2簡諧波如果媒質(zhì)中所傳播的是簡諧振動(dòng)，則媒質(zhì)中各質(zhì)元均作簡諧振動(dòng)，則相應(yīng)的波稱作簡諧波，又叫正弦波。平面簡諧波：波面是平面的簡諧波。球面簡諧波：波面是球面的簡諧波。第27頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一．平面簡諧波的波函數(shù)（波的表達(dá)式）波函數(shù)的含義：與簡諧振動(dòng)表達(dá)式對(duì)比說明x=Acos(

t

o)是簡諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程表示時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移，取決于位相

t

o第28頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一．平面簡諧波的波函數(shù)（波的表達(dá)式）

波函數(shù)波的表達(dá)式給出一個(gè)能夠描述媒質(zhì)中所有質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方程，即振動(dòng)表達(dá)式應(yīng)表示出所有質(zhì)元在時(shí)刻t的位移，除了取決

t

o

外，還應(yīng)與質(zhì)元的位置坐標(biāo)有關(guān)第29頁,共64頁，2024年2月25日，星期天下面來寫出平面簡諧波的表達(dá)式假設(shè)一平面簡諧波在理想的、不吸收振動(dòng)能量的均勻無限大媒質(zhì)中傳播。波傳播的速度為，方向如圖選擇平行波線方向的直線為x軸?！竦?0頁,共64頁，2024年2月25日，星期天在垂直x軸的平面上的各質(zhì)元（振動(dòng)狀態(tài)相同），它們?cè)谕粫r(shí)刻對(duì)各自的平衡位置有相同的位移。因此，對(duì)于平面波來說只需知道x軸上各質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)就可以了。●即:平面波的波函數(shù)給出的是x軸上各質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式第31頁,共64頁，2024年2月25日，星期天已知平面簡諧波沿x軸正向傳播，

x軸上質(zhì)元離開平衡位置的位移用y表示●設(shè)t時(shí)刻位于原點(diǎn)o的質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式為：第32頁,共64頁，2024年2月25日，星期天由假設(shè)，在振動(dòng)傳播過程中，媒質(zhì)并不吸收振動(dòng)的能量，所以各質(zhì)元的振動(dòng)的振幅相等。則當(dāng)o

點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)以波速u傳到任一點(diǎn)P時(shí)●●

P點(diǎn)質(zhì)元將以相同的振幅和頻率，重復(fù)o

點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)，但P點(diǎn)振動(dòng)的位相要比

o

點(diǎn)落后。第33頁,共64頁，2024年2月25日，星期天由于沿波傳播方向每隔一個(gè)波長λ，位相就要落后2π，每隔單位長度位相落后2π∕λ

設(shè)P點(diǎn)距o

點(diǎn)的距離為x，P點(diǎn)振動(dòng)的位相要比

o

點(diǎn)落后x

2π

∕λ

●●第34頁,共64頁，2024年2月25日，星期天P點(diǎn)振動(dòng)的位相要比

o

點(diǎn)落后x2π∕λ

●●t時(shí)刻o點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)位相：t時(shí)刻P點(diǎn)質(zhì)元的振動(dòng)位相：第35頁,共64頁，2024年2月25日，星期天●●結(jié)果：t時(shí)刻P點(diǎn)質(zhì)元振動(dòng)的振幅和頻率與o

點(diǎn)相同，

P點(diǎn)振動(dòng)的位相t時(shí)刻P點(diǎn)質(zhì)元振動(dòng)的表達(dá)式：第36頁,共64頁，2024年2月25日，星期天●●因?yàn)镻點(diǎn)是任選的，上式就是x軸上任意質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式，即平面簡諧波的波函數(shù)利用關(guān)系波函數(shù)還有其它形式第37頁,共64頁，2024年2月25日，星期天令波數(shù)第38頁,共64頁，2024年2月25日，星期天討論

平面簡諧波波函數(shù)的物理意義

當(dāng)x一定時(shí)，即對(duì)于某一確定位置（x＝x0）的質(zhì)元。波函數(shù)給出了x＝x0處質(zhì)元作簡諧振動(dòng)的表達(dá)式第39頁,共64頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)t一定時(shí)，即對(duì)于某一確定時(shí)刻（t＝t0）。波函數(shù)給出了t0時(shí)刻各個(gè)質(zhì)元離開平衡位置的位移當(dāng)x、t變化時(shí)，波函數(shù)給出了任意x

處質(zhì)元在任意t

時(shí)刻離開平衡位置的位移第40頁,共64頁，2024年2月25日，星期天表達(dá)式也反映了波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播●●●第41頁,共64頁，2024年2月25日，星期天沿負(fù)向傳播的平面簡諧波的表達(dá)式●●第42頁,共64頁，2024年2月25日，星期天二．波動(dòng)曲線根據(jù)波動(dòng)表達(dá)式以t時(shí)刻，質(zhì)元的平衡位置x為橫坐標(biāo)，以質(zhì)元離開平衡位置的位移y為縱坐標(biāo)，畫出的曲線，叫t時(shí)刻波形曲線。xyo

u→

t第43頁,共64頁，2024年2月25日，星期天xyo

t

u→

波形曲線上兩相鄰波峰或波谷之間的距離等于一個(gè)波長，表示一個(gè)周期內(nèi)波傳播的距離。

波形曲線上波峰或波谷的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于波的振幅，表示質(zhì)元離開平衡位置的最大位移。-AA

λ

λ第44頁,共64頁，2024年2月25日，星期天xyo

t

u→

λ

t＋Δto-AA

不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)有不同的波形曲線

第45頁,共64頁，2024年2月25日，星期天將平面簡諧波的波函數(shù)分別對(duì)t及x求兩次偏導(dǎo)數(shù)比較兩式波動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)學(xué)推導(dǎo)§2.4波動(dòng)方程第46頁,共64頁，2024年2月25日，星期天——波動(dòng)方程注意：波動(dòng)方程是由平面簡諧波推導(dǎo)出的，但對(duì)其它平面波仍然成立，從數(shù)學(xué)上，平面簡諧波波函數(shù)只是上述波動(dòng)方程的一個(gè)特解。第47頁,共64頁，2024年2月25日，星期天——波動(dòng)方程波動(dòng)方程的動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)以平面波在固體細(xì)長棒中的傳播為例以上是按運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)來討論波動(dòng)過程的傳播規(guī)律，還可以進(jìn)一步從動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)，更本質(zhì)地分析波動(dòng)方程的意義.設(shè)有一截面積為S，密度為ρ的固體細(xì)棒，一平面縱波沿棒長方向傳播。第48頁,共64頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)有縱波傳播時(shí)，該體積元發(fā)生線變，設(shè)t時(shí)刻體積元正被拉長(先做力分析—應(yīng)力分析）：這一體積元的長度為dx，體積選棒長的方向?yàn)閤軸，在棒上距o點(diǎn)x處附近取一體積元ab，

●●●●左端受到應(yīng)力為σ，方向向左；右端受到應(yīng)力為σ＋dσ

，方向向右；第49頁,共64頁，2024年2月25日，星期天●●●●應(yīng)力是x和t

的函數(shù)t

時(shí)刻體積元所受合力體積元質(zhì)量為根據(jù)牛頓第二定律有第50頁,共64頁，2024年2月25日，星期天●●●●●●●在應(yīng)力作用下體積元發(fā)生線變（分析長度方向的變化—應(yīng)變分析）：a端發(fā)生的位移為y，b端發(fā)生的位移為y＋dy由圖上幾何關(guān)系，體積元長度變化為dyt

時(shí)刻第51頁,共64頁，2024年2月25日，星期天由圖上幾何關(guān)系，體積元長度變化為dy●●●●●●●t

時(shí)刻體積元的原長dx體積元的應(yīng)變?yōu)橛珊硕?/p>

楊氏模量。第52頁,共64頁，2024年2月25日，星期天●●●●●●●t

時(shí)刻牛頓第二定律應(yīng)力公式速度公式第53頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例1.⑴o點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；⑶P點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；⑹Q，P點(diǎn)的位相差⑵波函數(shù)⑷Q點(diǎn)振動(dòng)方向⑸P點(diǎn)振動(dòng)方向；xyo●●mm第54頁,共64頁，2024年2月25日，星期天⑴o點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式；解：設(shè)

o點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式xyo●●由波形圖第55頁,共64頁，20