新教材人教A版高中數(shù)學必修第一冊期末綜合測試 基礎(chǔ)篇一（解析）

期末綜合測試一基礎(chǔ)篇

一、單項選擇題

1.(2019?唐山一中高一期中)已矢口集合A={X|X2-2X-3<0},集合B={X|2X+I>1},則CBA=()

A.[3,+oo)B.(3,+oo)

C.(-oo,-1]U[3,+co)D.(-co,-1)U(3,+oo)

【答案】A

【解析】因為A={x|Y—2x—3<0}={x[(x+l)(x—3)<0}=(—l,3),B={%|2X+1)1}=(-1,+a)),

所以CBA=[3,+S)；故選A.

-%//I—

2.(2019?重慶高一期末)函數(shù)/(x)=YLH+iog2(%—1)的定義域為()

x-2

A.(1,4)B.(2,4)C.(1,2)(2,4)D.(1,2)(2,4]

【答案】D

-4-x>0

【解析】由題意{x—2#0得1〈尤<4且故選D.

%—1>0

3.（2019?河南高一月考）若0<%<丁<1,貝IJ（）

A.3，<3'B.logA.3>log>3

c.log/〉log4yD.O

【答案】B

【解析】對于A,因為尤<）且函數(shù)y=3*為遞增函數(shù)，所以3工<31故A不正確;

對于3,因為。<X<y<i,且函數(shù)y=iog3］為遞增函數(shù)，所以iog3x<log3y<0,

所以丁L>丁匚，即log*3〉logy3,故3正確；

log3Xlog3y

對于C,因為0<x<y<l,且函數(shù)_y=log4x為遞增函數(shù)，所以log4x<log4y,故C不正確；

對于。，因為0<x<y<1,且函數(shù)y=（:廠為遞減函數(shù)，所以（：廠>4）',故D不正確.故選B.

7T1

4.（2019?江西高二月考）已知aw（-5,0）,sin（九一2a）=-耳，則sina-cosa=（）

A.立B.一旦C.@D._逅

2222

【答案】D

【解析】因為sin(7r-2a)=——，所以sin2a=-L,即2sinacosa=——,

222

所以(sintz-cos］)?=1-2sinacosa=1+g=m，又ce［一］,。］,所以sin。vcostz,

所以得到sine-coscr=-乂5.故選：D.

2

5.（2019?蒼南縣樹人中學高一期中）若對任意的實數(shù)xeR,不等式爐+如+2m—320恒成立,

則實數(shù)機的取值范圍是

A.[2,6]'B.[-6,-2]

C.（2,6）D.（-6,-2）

【答案】A

【解析】對任意實數(shù)xeH,不等式必+3+2m—320恒成立，則

m2-4（2/?7-3）=m2-8m+12<0-解得2WmW6，即實數(shù)加的取值范圍是[2,6],故選A.

6.（2019?重慶市云陽江口中學校高一月考）股票價格上漲10%稱為“漲?！?，下跌10%稱為“跌停”.某

位股民購進某只股票，在接下來的交易時間內(nèi)，這只股票先經(jīng)歷了3次漲停，又經(jīng)歷了3次跌停，

則該股民在這支股票上的盈虧情況（不考慮其他費用）為（）

A.略有盈利B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況

【答案】B

【解析】由題意可得：（1+10%）3（1-10%）3=0993?0,97<1.

因此該股民這只股票的盈虧情況為：略有虧損.故選：B.

7.（2019?山西高一期中）已知函數(shù)/（x）=sin2x,則下列說法正確的是（）

A./（無）的最小正周期為2乃B.”尤）在區(qū)間[-王，-]上是增函數(shù)

22

C.〃尤）的圖像關(guān)于點（色,0）對稱D.Ax）的圖像關(guān)于直線x=￡對稱

42

【答案】D

1mo2v?1

【解析】函數(shù)y（x）=sin2x=------^―=coslx+—.,

''222

27r

得：/(%)的最小正周期為學=乃，A不正確；

冗冗

/(%)在區(qū)間上，2Kq-兀，兀此時函數(shù)不單調(diào)，B不正確；

當X=?時，cos2x=0,所以“力的圖像關(guān)于點對稱，C不正確；

當時，cos2x=—1,的圖像關(guān)于直線x=］對稱正確.故選D.

8.(2019?黑龍江大慶中學高一期中(理))已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當xe(O,M)時，

〃力=2'-2,則不等式/(log?尤)>0的解集為()

A.B.gl,Q+oo)

C.(2,+co)D.(2,+co)

【答案】B

【解析工???/(九)是定義在H上的奇函數(shù)，二/(。)=0,當x<0：,-x>0,

此時/(—x)=2f—2,???/(九)是奇函數(shù)，.?./(—x)=2f—2=—/(x),

即/(x)=2—2-。》<0,

當log2」=0,即x=l時，不等式〃log2X)>0不成立；

當現(xiàn)2%>0,即x>l時，〃1嗎尤)=2臉，_2>0,解得：x>2

1OfeX

當log2X<0,即0<x<l時，/(log2x)=2-2->0,解得:<x<l,

綜合得：不等式川嗎工)>0的解集為［,1］。(2,+8),故選B.

二、多項選擇題

9.(2019?蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學高一月考)已知集合A={x|(a2-l)x2+(a+l)x+l=o}中有

且僅有一個元素，那么a的值為()

5

A.-1B.1C.-D.0

3

【答案】BC

【解析】：???集合A={4x@R|(“2-1)x2+(a+1)%+1=0}中有且僅有一個元素，

，方程(a2-1)x2+(a+1)x+l=O有且只有一個實數(shù)根;

???①當〃2-1=0,〃+屏0時，a=l；

②當a2-1^0,〃+1)2-4x(a2-1)=0

解得，〃=-1(舍去)或4=°；或』.故選BC

33

10.(2019?山東省淄博實驗中學高一月考)下面命題正確的是()

A.是，<1”的充分不必要條件

a

B.命題“若光<1,則好<1”的否定是“存在改<1,則

C.設(shè)x,yeR，則“％之2且y22”是“f+/24”的必要而不充分條件

D.設(shè)a,beR,則“a/0”是“"*0”的必要不充分條件

【答案】ABD

【解析】選項A:根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：由a>1,能推出,<1，但是由!<1,不能推出a>1，例

aa

如當a<0時，符合L<1,但是不符合。>1,所以本選項是正確的；

a

選項B:根據(jù)命題的否定的定義可知：命題“若x<l廁必<1”的否定是“存在X<1,則fNl”.

所以本選項是正確的；

選項C：根據(jù)不等式的性質(zhì)可知：由2且y22能推出犬+丁2之4，本選項是不正確的；

選項D：因為6可以等于零，所以由aw0不能推出w0，再判斷由"wO能不能推出awO,最后判

斷本選項是否正確.故選：ABD

II.(2019Tli東章丘四中高一月考)將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向左平移弓個單位長度后得到函數(shù)

g(x)的圖象，則()

A.g(x)在0,^|上的最小值為一日B.g(x)在0,^上的最小值為-1

C.g(x)在上的最大值為且D.g(x)在上的最大值為1

_z」2L/_

【答案】AD

【解析】將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向左平移6個單位長度后得到函數(shù)g(x)=sin(2x+g),

xe0，f，,g<2x+g<?曰<sin(2x+?)<l故選AD.

12.（2019?福建三明一中高一期中）下列說法正確的是（）

A.函數(shù)〃x）=!在定義域上是減函數(shù)

B.函數(shù)/（%）=2、—￡有且只有兩個零點

C.函數(shù)、=2因的最小值是1

D.在同一坐標系中函數(shù)y=2工與y=2T的圖象關(guān)于》軸對稱

【答案】CD

【解析】對于A,/（力=!在定義域上不具有單調(diào)性，故命題錯誤；

對于B,函數(shù)/（力=2、-f有三個零點，一個負值，兩個正值，故命題錯誤;

對于C,：區(qū)之0,；.2兇22。=1,.?.函數(shù)y=2兇的最小值是1,故命題正確；

對于D,在同一坐標系中，函數(shù)y=2%與y=2）的圖象關(guān)于y軸對稱，命題正確.，故選：CD

三、填空題

13.（2018?上海市新川中學高一期中）若關(guān)于x的不等式〃1+法+0>0的解集為{R-ivx<2},則關(guān)

于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是.

【答案】（―8,—1）uQ,+s]

【解析】???關(guān)于x的不等式。/+力x+c>o的解集為{R-1VxV2},

「be

.\a<0,且-1+2=一一，—1x2二—.

aa

a1b1

b=~a>Ofc=~2a>0f——,—=—.

c2c2

故關(guān)于X的不等式。%2+加;+〃>0,即/+J_>0,即（x+1）（x——）>0,

222

故不<-1或x>；,故關(guān)于無的不等式cx2-^bx^a>0的解集是（一0°，-1）。&，+8）

14.（2019秋?余姚市高一期中）若〃>0,存1,則函數(shù)f（x）=3+log（J+1）的圖象恒過定點;

a

當。>1時，函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間是.

【答案】（0,3）,（-00,0],（或（-00,0））

【解析】當爐+1=1,即x=0時，f（0）=3+k?g/=3,故/（x）恒過定點（0,3）,

當時，y=3+log°a為（0,+oo）上的增函數(shù)，故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，

于3的單調(diào)遞減區(qū)間為〃=/+1>0,且單調(diào)遞減的區(qū)間，

：.f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-00,0],（或（-8,0））

52

15.（2019?上海市新中高級中學高一月考）已知lgx+lgy=l,那么一+一的最小值為

xy

【答案】2

【解析】由lgx+lgy=l,得1g孫=1即孫=10,且x〉0,y>0,

.52_5y+2x2x+5y2j2x-5y7W)

Xy砂10-105

52

當且僅當2x=5y=10時取等號，所以一+一的最小值是2.故答案為：2.

%y

JI4

16.（2019?全國高一月考）已知sin（一+。）=—,貝！Jsin2cr=

45

7

【答案】—

25

（兀、44

【解析】由$111〔1+夕）=1可得^-（51110+（：052）=不，

兩邊平方得一（sintz+coser）2=-，整理得：sin2a=一.

22525

四、解答題

17.（2019?赤峰二中高一月考）己知函數(shù)/（x）=x+工,

x

（I）證明f（x）在[1,+00）上是增函數(shù)；

（II）求f（x）在口，4]上的最大值及最小值.

17

【答案】（1）見解析（2）—

4

(1)(1)

【解析】：（I）設(shè)玉,WG[L+°°），且西<々,則八％）-y（xj=

I石1

%工2

1<%!<x2，x2-x1>0x{x2>1,/.玉工2-1>0

???(工2”>0，/(/)-/(%)>。,即/(%)</(%2)

，y=/(%)在［L+8)上是增函數(shù).

(ii)由(i)可知y(x)=x+!在［i,4］上是增函數(shù)

X

，當X=1時，/(同加丁/⑴二？

17

；?當尤=4時，/口幾二/口卜了

17

綜上所述，/(九)在［1,4］上的最大值為I，最小值為2.

3x+9,x—2

18.(2019?全國高一課時練)已知函數(shù)/(%)=?/一1,一2蜷尤<1.

-x+1,x>1

——r--r---L————r

■"HP""■"1__j

L.--.J

L____j

__j

0

L-.--J

L--_____

1-一__j

L-...J

(1)做出函數(shù)圖象；

(2)說明函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間(不需要證明)；

(3)若函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)>=小的圖象有四個交點，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)me(-1,0)

【解析】(1)如圖:

(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(t,—2)和(0,1)；單調(diào)遞減區(qū)間為(—2,0)和(L+oo).

⑶根據(jù)圖象易得：使得y=m和y=/(x)有4個交點即可.故加?—1,0)

19.(2019.山西高一期中(文))已知函數(shù)/(x)=sin2x-2sin2x.

(1)求函數(shù)〃尤)的最小正周期；

(2當xe[0,—]時，求函數(shù)/(x)的值域.

2

【答案】(1)萬；(2)[-2,72-1].

【解析】

【分析】(1)由三角函數(shù)的公式化簡已知函數(shù)可得f(x)+易得周期；

(2)由x的范圍，結(jié)合不等式的性質(zhì)，一步步可得值域，先求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域

可得答案.

【詳解】(1)因為/(x)=sin2x-(l-cos2x)=0sin]2x+：]-l,

2九

所以函數(shù)/(X)的最小正周期為T=W=7l.

^717171571

(2)x0,一時，2xH—￡—,—,

2444

20.(2019?江蘇高二期中)某工廠今年初用128萬元購進一臺新的設(shè)備，并立即投入使用，計劃第

一年維修、保養(yǎng)費用8萬元，從第二年開始，每年的維修、保養(yǎng)修費用比上一年增加4萬元，該設(shè)

備使用后，每年的總收入為54萬元，設(shè)使用尤年后設(shè)備的盈利總額y萬元.

（1）寫出y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）從第幾年開始，該設(shè)備開始盈利？

（3）使用若干年后，對設(shè)備的處理有兩種方案：①年平均盈利額達到最大值時，以42萬元價格賣

掉該設(shè)備；②盈利額達到最大值時，以10萬元價格賣掉該設(shè)備.問哪種方案處理較為合理？請說明

理由.

【答案】（1）y=-2f+48x-128（萬元）；（2）第4年該設(shè)備開始盈利；（3）選擇方案①處理較

為合理，理由見解析

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意總收入去掉每年的維修費之和及購置費用即為盈利，寫出函數(shù)關(guān)系即可（2）由（1）,

令y>0,解一元二次不等式求解即可（3）分別計算兩種方案，根據(jù)均值不等式及二次函數(shù)求最值，

比較大小即可.

【詳解】（1）由題意使用x年的維修，保養(yǎng)費用為（萬元）

所以盈利總額y=54無—+6x）—128=—2JC2+48%—128（萬元）.

（2）由y>0,得一2/+48x—128>0，HPx2-24x+64<0.

解得12-46<X<12+46

由xeN*，得4WxW20.

答：第4年該設(shè)備開始盈利.

（3）方案①年平均盈利^-=48-21X+—L48-4764=16,

X\X）

當且僅當兀=處，即％=8時取“="，-=16.

%）max

所以方案①總利潤為16x8+42=170（萬元），

方案②y=—2（x—12）2+160,%=12時Vmax=160,

所以方案②總利潤為160+10=170（萬元），

答：選擇方案①處理較為合理.

21.(2019?山西高一期中(文))已知函數(shù)/(x)=sinx+acosx(xeR),:是函數(shù)/(九)的一個

零點.

(1)求。的值；

(2)若a、且+半，=卓，求sin(1+^)的值.

【答案】(1)-1-.(2)旦.

2

【解析】

【分析】(1)由/[71=0可求出實數(shù)°的值；

(2)利用輔助角公式得出/(x)=-利用已知條件求出sin。、cos分的值，并利用

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosa、sin"的值，最后利用兩角和的正弦公式可求出sin(a+p)的

值.

【詳解】⑴?是函數(shù)y=/(%)的一個零點，.?./[7]=sin?+acos(=0,.?.a=—l；

/L+^=V2sina=^,.■,Sina=—.

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