數(shù)學(xué)-2024年高考考前20天終極沖刺攻略（新高考新題型專用）

目錄contents統(tǒng)計、排列組合及隨機變量及其分布（選填題）…………01圓錐曲線（選填題）…………21數(shù)列（選填題）………………44空間立體幾何（選填題）…………………62直線（圓）與方程（選填題）………………79④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．三．常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數(shù)型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則典例1【2023新高考1卷】記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C典例2【2023新高考全國Ⅱ卷】記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【解析】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時，，即為，易知，，即；當(dāng)時，，與矛盾，舍去．故選：C．典例3【2021新高考全國Ⅰ卷】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.【答案】①.5②.【解析】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.典例4【2021新高考全國Ⅱ卷】設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.預(yù)測1（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列，，則（

）A．32 B．27 C．22 D．17預(yù)測2（2024·河北廊坊·模擬預(yù)測）已知，且數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件預(yù)測3（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列，為其前項和，若，則（

）A．36 B．24 C．18 D．32預(yù)測4（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，下列說法正確的有（

）A． B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，不是數(shù)列中的項 D．若是數(shù)列中的項，則的值可能為6預(yù)測5（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題，其中正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列押題1：已知遞增等比數(shù)列的公比為，且滿足，下列情況可能正確的是（

）A． B． C． D．押題2：滿足，，的數(shù)列稱為盧卡斯數(shù)列，則（

）A．存在非零實數(shù)t，使得為等差數(shù)列B．存在非零實數(shù)t，使得為等比數(shù)列C．D．押題3：已知等比數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為單調(diào)數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為單調(diào)數(shù)列押題4：已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則．押題5：已知公比為q的等比數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同，且滿足，．若，則的概率為名校預(yù)測預(yù)測1：答案C【詳解】因為，，得到，所以，得到，故選：C.預(yù)測2：答案B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，因為不等于0，所以，若時，無法得出，所以“”不是“”的充分條件；若“”，則，所以“”是“”的必要條件.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B預(yù)測3：答案B【詳解】等差數(shù)列中，由，得，所以.故選：B預(yù)測4：答案ABD【詳解】對A，，故A正確；對B，當(dāng)時，公差，此時，故B正確；對C，當(dāng)時，此時，，即是數(shù)列中的項，故C錯誤；對D，當(dāng)時，，又，故D正確.故選：ABD預(yù)測5：答案ABD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，所以，對于A，由，則，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，故A正確；對于B，由，所以，則，所以數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列，故B正確；對于C，由，可得，當(dāng)時，數(shù)列不是遞增數(shù)列，故C不正確；對于D，由，可得，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確；故選：ABD名師押題押題1：答案BCD【詳解】原數(shù)列遞增等價于，或，.等價于，即.從而，或，.這意味著的范圍是或，令，或，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，從而或，這表明了的范圍是或.所以A錯誤，B正確，C正確，D正確.故選：BCD.押題2：答案BCD【詳解】對A：若數(shù)列為等差數(shù)列，則有，即，由，故有恒成立，即有，無解，故不存在這樣的實數(shù)，故A錯誤；對B：若數(shù)列為等比數(shù)列，則有，即，由，故有恒成立，即有，即，解得，此時，故存在非零實數(shù)t，使得為等比數(shù)列，故B正確；對C：由，則，即有，故C正確；對D：由，故，故，故D正確.故選：BCD.押題3：答案BC【詳解】設(shè)數(shù)列的首項為，公比為，由題有，解得或，對于選項A，當(dāng)，為奇數(shù)時，，所以選項A錯誤，對于選項B，因為，當(dāng)，顯然有，當(dāng)時，，所以，故選項B正確，對于選項C，當(dāng)時，數(shù)列是首項為，公比為的遞增數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列是首項為，公比為的遞減數(shù)列，所以選項C正確，對于選項D，由選項B知，所以，當(dāng)時，，此時不具有單調(diào)性，所以選項D錯誤，故選：BC.押題4：答案16【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有,解得：，所以.故答案為：押題5：答案/0.25【詳解】，又是方程的兩根，又為單增等比數(shù)列，又，，，所求概率.故答案為：．空間立體幾何（選填題）年份題號知識點考點2021年I卷12三棱柱①截面周長與面積定值問題②動點構(gòu)成體積定值③動點參與的垂直問題2021年II卷10正方體動點滿足要求所存在的情況2022年I卷9正方體①線與線夾角問題②線與面夾角問題2022年II卷11空間多邊形體積之間的關(guān)系2023年新高考112正方體立體幾何的包裹問題2023年新高考29椎體①錐體的側(cè)面積問題②錐體的體積問題近三年，空間幾何體在選填中占據(jù)一個位置，考查的考點一般來說是：空間幾何體的表面積與體積（①錐體的表面積與體積②柱體的表面積與體積③組合體的表面積與體積）2、空間幾何體涉及夾角與位置問題（①線與線、線與面及面與面的夾角問題②線與面平行關(guān)系③線與面垂直關(guān)系）3、動點與截面問題（①以動點為導(dǎo)火索求新平面圖、幾何體的各種參數(shù)②截面所截面積與周長定值最值問題）題干的設(shè)置一般來說在上述的三項考點中選其一項或兩項。有關(guān)表面積與體積考生需熟記公式，有關(guān)截面問題考生需要掌握截面的作法，針對計算可以用幾何法也可借助空間向量，對于動點完全需要利用空間向量求出軌跡方程進而求其它。從近三年的全國卷的考查情況以及新高考新題型標準來看，空間幾何體是高考選填方向必不可少的一類題，類型1：正方體探究截面與動點問題，類型2：空間中線與面的位置關(guān)系。類型3：組合體表面積與體積（實際應(yīng)用）問題，尤其是臺體的表面積與體積，類型1相對有難度，其它兩類相對簡單.一、立體幾何截面問題①作出空間幾何體的截面1、作截面應(yīng)遵循的三個原則：（1）在同一平面上的兩點可引直線；（2）凡是相交的直線都要畫出它們的交點；（3）凡是相交的平面都要畫出它們的交線；2、作交線的方法有如下兩種：（1）利用基本事實3作直線；（2）利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。②判斷截面多邊形的形狀判斷截面多邊形形狀時需要注意以下幾點：1、截面與幾何體表面相交，交線不會超過幾何體表面?zhèn)€數(shù)。2、不會與同一個表面有兩條交線。3、與一對平行表面相交，交線平行（不一定等長）4、截面截內(nèi)切球或者外接球時，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關(guān)系③求解截面多邊形的周長求解截面多邊形的周長有兩個思路：（1）利用多面體展開圖進行求解；（2）在各個表面確定交線，分別利用解三角形進行求解。④求解截面多邊形的面積求解截面多邊形的面積問題的步驟：（1）通過解三角形求得截面多邊形各邊的長度；（2）判斷多邊形的形狀是否規(guī)則，若為規(guī)則圖形可直接使用面積公式求解；否則可通過切割法將多邊形分為多個三角形求解。⑤截面分割幾何體的體積問題截面分割后的幾何體易出現(xiàn)不規(guī)則的幾何體，對此往往采用“切割法”或“補形法”進行體積的求解。⑥截面最值的相關(guān)問題截面最值問題的計算，主要由以下三種方法：1、極限法：通過假設(shè)動點運動至兩端，計算最值（需注意判斷是否單調(diào)）；2、坐標法：通過建系設(shè)坐標，構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)進行求解；3、化歸法：通過圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，尋找平面圖形中的最值計算。二、垂直與平行命題判斷技巧總結(jié)結(jié)論：①要證線∥面，條件為3個，其中必有《線面》 ②要證線⊥面，條件為2個，其中必有《線∥線或面∥面》 ③要證線∥線（面∥面），條件為2或3個，其中必有《兩個線⊥面》 ④要證線⊥線（面⊥面），條件為2個，其中必有《⊥、∥（）》⑤要證線⊥線（面⊥面），條件為3個，其中必有《》三、空間幾何體表面積與體積1、空間幾何體的表面積和體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3幾何體的表面積和側(cè)面積的注意點=1\*GB3①幾何體的側(cè)面積是指(各個)側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和．=2\*GB3②組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．2、柱體、錐體、臺體側(cè)面積間的關(guān)系（1）當(dāng)正棱臺的上底面與下底面全等時，得到正棱柱；當(dāng)正棱臺的上底面縮為一個點時，得到正棱錐，則S正棱柱側(cè)＝ch′eq\o(←,\s\up7(c′＝c))S正棱臺側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′eq\o(→,\s\up7(c′＝0))S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′.（2）當(dāng)圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時，得到圓柱；當(dāng)圓臺的上底面半徑為零時，得到圓錐，則S圓柱側(cè)＝2πrleq\o(←,\s\up7(r′＝r))S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圓錐側(cè)＝πrl.①求空間幾何體表面積的常見類型及思路1、求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積；2、求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系3、求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積；②空間幾何體的體積1、處理空間幾何體體積的基本思路（1）轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；（2）拆：將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個規(guī)則的幾何體，便于計算；（3）拼：將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如有時將一個三棱錐復(fù)原成一個三棱柱，將一個三棱柱復(fù)原乘一個四棱柱，還臺位錐，這些都是拼補的方法。2、求體積的常用方法（1）直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計算；（2）割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算；（3）等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面作為三棱錐的底面進行等體積變換③平移法求異面直線所成角的步驟第一步平移：平移的方法一般有三種類型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；(3)補形平移第二步證明：證明所作的角是異面直線所成的角或其補角第三步尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之第四步取舍：因為異面直線所成角θ的取值范圍是0°＜θ≤90°，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為異面直線所成的角三、空間幾何體動態(tài)問題立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；立體幾何中的動點軌跡問題一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型，空間中軌跡問題的解答思路：根據(jù)已知條件確定和待求點相關(guān)的平行、垂直等關(guān)系；（2）用動點的坐標、、z表示相關(guān)點的坐標、、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（3）根據(jù)軌跡形狀即可求解出軌跡的長度等其他量.立體幾何最值：1、計算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上的最值問題時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；2、對于幾何體內(nèi)部的折線的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，結(jié)合勾股定理求解．空間中動線段的距離和的最值問題，可以類比平面中的距離和的最值處理利用對稱性來處理于轉(zhuǎn)化，另外異面直線間的公垂線段的長度可利用點到平面的距離來處理.計算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；典例1【2023新高考1卷】下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）A.直徑為的球體B.所有棱長均為的四面體C.底面直徑為，高為的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項C：因為正方體體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.典例2【2023新高考全國Ⅱ卷】已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.面積為【答案】AC【解析】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項正確；B選項，圓錐的側(cè)面積為，B選項錯誤；C選項，設(shè)是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.故選：AC.典例3【2022新高考全國Ⅰ卷】南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（）A. B.C.D.【答案】C【解析】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．典例4【2022新高考全國Ⅱ卷】如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】設(shè)，因為平面，，則，，連接交于點，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.典例5【2021新高考全國Ⅱ卷】正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.預(yù)測1（2024·甘肅白銀·模擬預(yù)測）如圖，這是一件西周晚期的青銅器，其盛酒的部分可近似視為一個圓臺（設(shè)上、下底面的半徑分別為厘米，厘米，高為厘米），則該青銅器的容積約為（?。?/p>

）

A．立方厘米 B．立方厘米C．立方厘米 D．立方厘米預(yù)測2（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，已知在長方體中，，點為棱上的一個動點，平面與棱交于，則下列說法正確的是（

）（1）三棱錐的體積為20（2）直線與平面所成角正弦值的最大值為（3）存在唯一的點，使得平面，且（4）存在唯一的點，使截面四邊形的周長取得最小值A(chǔ)．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）預(yù)測3（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）棱長為1的正方體中，點P為上的動點，O為底面ABCD的中心，則OP的最小值為（

）A． B． C． D．預(yù)測4（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則（

）A． B． C． D．預(yù)測5（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知是直線，，是兩個不同的平面，下列正確的命題是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則押題1：已知正方體的棱長為1，，分別為棱，上的動點，則（

）A．四面體的體積為定值 B．四面體的體積為定值C．四面體的體積最大值為 D．四面體的體積最大值為押題2：設(shè)這兩個平面，是兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則押題3：已知四棱錐，底面ABCD是正方形，平面，，PC與底面ABCD所成角的正切值為，點M為平面內(nèi)一點（異于點A），且，則（

）A．存在點M，使得平面B．存在點M，使得直線與所成角為C．當(dāng)時，三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)時，以P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為押題4：在正方體中，為的中點，在棱上，且，則過且與垂直的平面截正方體所得截面的面積為.押題5：在直三棱柱中，，為的中點，點滿足，則異面直線所成角的余弦值為．名校預(yù)測預(yù)測1：答案D【詳解】依題意可得該青銅器的容積約為（立方厘米）.故選：D預(yù)測2：答案D【詳解】對于（1），如圖過點作垂線，垂足為，易知，在長方體中，平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，所以點到平面平面的距離等于點到平面的距離，即為，三棱錐的體積為，故（1）錯誤；對于（2），平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，距離為，所以當(dāng)最小時即當(dāng)點與點重合時，此時直線與平面所成角的正弦值最大，最大值為，故（2）正確；對于（3），若，可知點與點重合，又因為，易知與不垂直，故與不垂直，與平面不垂直，故（3）錯誤；對于（4），四邊形的周長，周長取得最小值即最小，將平面與將平面放在同一平面內(nèi)，可知最小值為，所以截面四邊形的周長取得最小值，故（4）正確.綜上，說法正確的有（2）（4）.故選：D.預(yù)測3：答案C【詳解】由題意可得OP的最小值為點到線段的距離，在平面內(nèi)過點作于點，由題意可得，，，平面，因為平面，則，因為，故，即.故選：C.預(yù)測4：答案D【詳解】如圖，設(shè)，因為在矩形中，，所以，因為底面，所以分別是與底面所成的角，即，所以.因為，所以，解得(負根舍去)，所以.故選：D.預(yù)測5：答案D【詳解】選項A：根據(jù)給定條件有或；選項B：根據(jù)給定條件有或；選項C：根據(jù)給定條件有與的位置可能平行、相交或m在α內(nèi)；選項D：因為，所以存在直線使得，又因為，所以，因為，所以.故選：D.名師押題押題1：答案BCD【詳解】A：因為的面積為，到平面的距離不是定值，所以四面體的體積不是定值，故A錯誤；B：因為的面積為，P到矩形的距離為定值，所以到平面的距離為，則四面體的體積為，故B正確；C：當(dāng)Q與重合時，取得最大值，為，當(dāng)與重合時，到平面的距離d取得最大值，在正中，其外接圓的半徑為，則，故四面體的體積最大值為，故C正確；D：過點作，，，設(shè)，，則，，，，，，故四面體的體積為，其最大值為，故D正確．故選：BCD押題2：答案BD【詳解】對于選項A，因為，則，所以選項A錯誤，對于選項B，因為，由線面垂直的性質(zhì)知，，所以選項B正確，對于選項C，因為，則與可能是異面直線，也可能是相交直線，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，垂直同一直線的兩個平面互相平行，所以選項D正確，故選：BD.押題3：答案BC【詳解】對于A，假設(shè)存在點M，使得平面，由于平面，平面，則平面平面，平面平面，平面，則，由于，平面，故直線重合，即M點落在上，由于，即M落在以A為圓心，以為半徑的圓面內(nèi)(不包含圓)，這與M點落在上矛盾，A錯誤；對于B，以A為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，平面，則即為與底面所成角，故，而，故，則，結(jié)合A的分析，可取，則,由于直線與所成角范圍為，故此時直線與所成角為，即存在點M，使得直線與所成角為，B正確；對于C，當(dāng)時，當(dāng)M位于的延長線時，的高最大為，此時面積最大，最大值為，則三棱錐的體積最大值為，C正確；對于D，當(dāng)時，，以P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線是以P為圓心，為半徑的圓與側(cè)面展開圖的交線，如下圖，由于,則,即,則，則，則，根據(jù)對稱性有，故的長為，又球與底面的交線是以A為圓心，為半徑的四分之一圓，故長度為，故以P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為，D錯誤，故選：BC押題4：答案【詳解】如圖所示，取，連接，易知面，而面，故，連接，且顯然成立，由已知得，故，則，而，面，所以平面，且面，所以，取為的中點，，則且，，面，所以平面，因為平面，，同理可得，所以等腰梯形為所得截面，又，作，顯然，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積為．故答案為：12押題5：答案【詳解】如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)異面直線所成的角為，則．故答案為：.直線（圓）與方程（選填題）年份題號知識點考點2021年I卷11圓①點線距②角度最值時求其它2021年II卷11直線與圓直線與圓的位置關(guān)系2022年I卷14圓①圓與圓的位置關(guān)系②圓與圓的公切線問題2022年II卷15直線與圓①直線與圓的位置關(guān)系②線關(guān)于線對稱2023年新高考16圓圓的切線問題2023年新高考29直線與圓直線與圓的位置關(guān)系近三年，直線與圓在選填中占據(jù)一個位置，考查的考點一般來說是：直線（①直線：傾斜角與斜率、斜率求算、夾角公式②平行與垂直定理及直線求法、對稱、距離及最值問題）2、圓（①各種方程、直線（圓）與圓的位置關(guān)系②四點共圓、三類切線、弦長、最值）題干的設(shè)置一般來說在上述的多項考點中選其一項或兩項。直線與圓有關(guān)定值與最值需考生需熟悉技巧，其次掌握直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系，對稱也是高考的重點內(nèi)容，設(shè)置此類題難度一般，用心研究必能奪分。從近三年的全國卷的考查情況以及新高考新題型標準來看，直線與圓是高考選填方向必不可少的一類題，類型1：圓上的動點到定直線的最值問題。類型2：圓的三類切線。類型3：對稱及阿波羅尼斯圓，尤其是阿波羅尼斯圓，考生需從多方面認識，類型3相對有難度，其它兩類相對簡單.此類題目一定采用數(shù)形結(jié)合.一、圓的取值范圍與最值問題涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題二、直線的交點坐標與距離公式①：直線的交點求兩直線與的交點坐標，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可．若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標．求兩直線的交點坐標實際上就是解方程組，看方程組解的個數(shù)．②過兩條直線交點的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個方程中，無論取什么實數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．③兩點間的距離公式兩點間的距離公式為．此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離來解決．另外在下一章圓的標準方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握．④：點到直線的距離公式點到直線的距離為．（1）點到直線的距離為直線上所有的點到已知點的距離中最小距離；（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等．⑤兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；（2）利用兩條平行直線間的距離公式時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式．圓：①：圓的標準方程，其中為圓心，為半徑．（1）如果圓心在坐標原點，這時，圓的方程就是．有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標軸相切時：；過原點：（2）圓的標準方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點．（3）標準方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數(shù)，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數(shù)法．②：點和圓的位置關(guān)系如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點在圓上（2）若點在圓外（3）若點在圓內(nèi)③：圓的一般方程當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．由方程得（1）當(dāng)時，方程只有實數(shù)解．它表示一個點．（2）當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當(dāng)時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．④：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：（1）根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程．（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．三、對稱全覆蓋①點關(guān)于線對稱的點的求算點關(guān)于直線的對稱點為②線關(guān)于點對稱的直線求算直線關(guān)于點對稱的直線為③線關(guān)于線對稱的直線方程求算直線關(guān)于直線對稱直線為其中注意：特殊情況Ⅰ：點關(guān)于直線對稱的點坐標為．點關(guān)于直線對稱的點坐標為．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為．Ⅱ：點關(guān)于直線對稱的點坐標為．點關(guān)于直線對稱的點坐標為．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為；直線關(guān)于直線對稱的直線方程為；《記憶方法》或者④正規(guī)方法點關(guān)于直線成軸對稱問題（所有對稱都可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于線對稱）由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線”利用“垂直”“平分”這兩個條件建立方程組，就可求出對頂點的坐標一般情形如下：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則有，可求出、．⑤萬能對稱原理（曲線關(guān)于直線對稱的原理）曲線（或直線）關(guān)于直線的對稱曲線（或直線）的方程為：．

證明：設(shè)是曲線上的任意一點，它關(guān)于l的對稱點為，則于是①∵與關(guān)于直線對稱．∴②②代入①，得，此即為曲線的方程．四、最值問題Ⅰ求直線上一點到兩定點的距離之差的最大值的方法當(dāng)兩點在直線的兩側(cè)時，可以在直線上找到一點,使得最大.理由如下：作點關(guān)于直線的對稱點,連接并延長交于點，連接,則點即為所求點，此時最大.且若在直線上取不同于點的點,連接,則.在中，（三角形中兩邊之差小于第三邊）即②求直線上一點到兩定點的距離之和的最小值的方法當(dāng)兩點在直線的同側(cè)時，可以在直線上找到一點,使得最小.理由如下：作點關(guān)于直線的對稱點,連接交于點，連接,則點即為所求點，此時最小.且若在直線上取不同于點的點,連接,則.在中，（三角形中兩邊之和大于第三邊）即Ⅱ形如：若是定圓上的一動點，則求和這兩種形式的最值思路1：幾何法①的最值，設(shè)，圓心到直線的距離為由即可解得兩個值，一個為最大值，一個為最小值②的最值：即點與原點連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得斜率的最大值和最小值思路2：代數(shù)法①的最值，設(shè)，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于，求得的兩個值，一個為最大值，一個為最小值.②的最值：設(shè)，則，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于，求得的兩個值，一個為最大值，一個為最小值.五、圓的三類切線問題第一類：求過圓上一點的圓的切線方程的方法正規(guī)方法：第一步：求切點與圓心的連線所在直線的斜率第二步：利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為第三步：利用點斜式求出切線方程注意：若則切線方程為，若不存在時，切線方程為秒殺方法：①經(jīng)過圓上一點的切線方程為②經(jīng)過圓上一點的切線方程為③經(jīng)過圓上一點的切線方程為第二類：求過圓外一點的圓的切線方程的方法方法一：幾何法第一步：設(shè)切線方程為，即，第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得，切線方程即可求出方法二:代數(shù)法第一步：設(shè)切線方程為，即，第二步：代入圓的方程，得到一個關(guān)于的一元二次方程，由可求得，切線方程即可求出注意：過圓外一點的切線必有兩條，當(dāng)上面兩種方法求得的只有一個時，則另一條切線的斜率一定不存在，可得數(shù)形結(jié)合求出.第三類：求斜率為且與圓相切的切線方程的方法方法一：幾何法第一步：設(shè)切線方程為，即第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得，切線方程即可求出.方法二:代數(shù)法第一步：設(shè)切線方程為，第二步：代入圓的方程，得到一個關(guān)于的一元二次方程，由可求得，切線方程即可求出方法三：秒殺方法已知圓的切線的斜率為，則圓的切線方程為已知圓的切線的斜率為，則圓的切線方程為六、阿波羅尼斯圓考點阿氏圓是指：平面上的一個動點到兩個定點的距離的比值等于，且的點的軌跡稱之為阿氏圓。即：，如下圖所示：Ⅰ：證明方法一：初中知識證明：前提基礎(chǔ)：知識點1：內(nèi)角平分線定理及逆定理若是的角平分線，則有：。即“兩腰之比”等于“兩底邊之比”。其逆定理也成立：即，則有：AD是∠BAC的角平分線。知識點2：外角平分線定理及其逆定理若是外角的角平分線，則有。即“兩腰之比”等于“兩底邊之比”。其逆定理也成立：即，則有：是外角的角平分線。證明如下：①如上圖，根據(jù)阿氏圓的定義：當(dāng)點位于圖中點位置時有：，當(dāng)點位于圖中點位置時有：，所以有：，所以是的角平分線，當(dāng)點位于圖中點位置時有：，所以有：，所以是的角平分線，又故，所以動點是在以為直線的圓上。②由上述過程，我們可以更進一步推導(dǎo)出阿氏圓的直徑，設(shè)定點間距離，∵，∴∵∴ ∴同理，∵ ∴∵∴∴∴直徑。證明方法二：高中解析幾何建立直角坐標系，如下圖所示以定直線所在直線為軸，點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)，則，，設(shè)，則，即，兩邊平方，整理得：，又，配方得：由圓的方程可知：此方程表示是以為圓心，為半徑的圓。Ⅱ：阿氏圓常用于解決形如：類線段最值問題：其中是動點，是定點，且動點在阿氏圓上運動,我們總結(jié)出更加一般的解題步驟，使這種題變成套路題，直接秒殺。類問題解題步驟：運用：動點在圓上運動，兩線段(帶系數(shù))相加求最小值。形如：的最小值(為系數(shù))，原理：構(gòu)造共邊共角相似，轉(zhuǎn)移帶系數(shù)的邊，利用兩點間線段最短求最小值，解題步驟：第一步:計算出動點所在圓的半徑r；第二步：在題中尋找：(相似比)，若找不到，則需要將系數(shù)k提到括號外邊再尋找相似比；比如，找不到相似比為3:5時，需要經(jīng)過如下變形：,對帶系數(shù)的線段PA去尋找相似比為5:3。第三步：利用共邊共角模型，在第2步:定邊所在的三角形中構(gòu)造共邊共角相似模型，此時定邊與動點構(gòu)成一個三角形(此步非常重要，是核心)；第四步：利用相似轉(zhuǎn)移帶系數(shù)的邊；第五步：由兩點間線段最短求最小值。Ⅲ:其他結(jié)論①當(dāng)時，在圓內(nèi)，在圓外，當(dāng)時，在圓外，在圓內(nèi)，②③過點作圓的切線,則分別為的內(nèi)，外角平分線.典例1【2023新高考1卷】過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.典例2【2023新高考全國Ⅱ卷】已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值______．【答案】（中任意一個皆可以）【解析】設(shè)點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．典例3【2022新高考全國Ⅰ卷】寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設(shè)過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時，因為，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.典例4【2022新高考全國Ⅱ卷】設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】解：關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：典例5【2021新高考全國Ⅱ卷】已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（）A.若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B.若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D.若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.預(yù)測1（2024·遼寧撫順·模擬預(yù)測）已知直線與圓相交于兩點，為坐標原點，則的面積為（

）A． B．2 C． D．4預(yù)測2（2024·遼寧葫蘆島·模擬預(yù)測）已知為圓上動點，直線和直線（，）的交點為，則的最大值是（

）A． B． C． D．預(yù)測3（2024·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)直線系（其中0，m，n均為參數(shù)，，），則下列命題中是真命題的是（

）A．當(dāng)，時，存在一個圓與直線系M中所有直線都相切B．存在m，n，使直線系M中所有直線恒過定點，且不過第三象限C．當(dāng)時，坐標原點到直線系M中所有直線的距離最大值為1，最小值為D．當(dāng)，時，若存在一點，使其到直線系M中所有直線的距離不小于1，則預(yù)測4（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線與圓，點，則下列命題中是假命題的是（

）.A．若點在圓外，則直線與圓相離 B．若點在圓內(nèi)，則直線與圓相交C．若點在圓上，則直線與圓相切 D．若點在直線上，則直線與圓相切預(yù)測5（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是曲線．則下列說法正確的是（）A．曲線的方程為B．若直線與曲線相交，則弦最短時C．當(dāng)三點不共線時，若點，則射線平分D．過A作曲線的切線，切點分別為，則直線的方程為押題1：如圖，在平面直角坐標系中，已知點，是線段上的動點，點與點關(guān)于直線對稱．則下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)時，點的坐標為B．的最大值為4C．當(dāng)點在直線上時，直線的方程為D．正弦的最大值為押題2：已知點為圓：上的動點，點的坐標為，，設(shè)點的軌跡為曲線，為坐標原點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最大值為2B．曲線的方程為C．圓與曲線有兩個交點D．若，分別為圓和曲線上任一點，則的最大值為押題3：已知R，為坐標原點，函數(shù)．下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)時，若的解集是，則B．當(dāng)時，若有5個不同實根，則C．當(dāng)時，若，曲線與半徑為4的圓有且僅有3個交點，則D．當(dāng)時，曲線與直線所圍封閉圖形的面積的最小值是33押題4：已知圓，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若圓和圓外離，則B．若圓和圓外切，則C．當(dāng)時，圓和圓有且僅有一條公切線D．當(dāng)時，圓和圓相交押題5：已知直線與圓交于，兩點，則的最小值為．名校預(yù)測預(yù)測1：答案A【詳解】設(shè)點到直線的距離為，則，又，所以．故選：A預(yù)測2：答案A【詳解】由、，有，故，對有，故過定點，對有，故過定點，則中點為，即，，則，故點在以為直徑的圓上，該圓圓心為，半徑為，又在原，該圓圓心為，半徑為，又，則.故選：A.預(yù)測3：答案ABD【詳解】A選項，當(dāng)，時，，設(shè)圓為，則圓心到直線的距離，故與總相切，A正確；B選項，當(dāng)時，，由于，故直線恒過，若時，直線為，若時，直線的斜率為，故直線不過