2024年-相似三角形的應用舉例(用)

27.2.3相似三角形應用舉例達連河鎮(zhèn)第一中學胡西唐1rldmm8989889(1).定義:(2).定理(平行法):(3).判定定理一(邊邊邊):(4).判定定理二(邊角邊):(5).判定定理三(角角):(6)判定定理四(斜邊、直角邊)1、判斷兩三角形相似有哪些方法?2、相似三角形有什么性質？對應角相等，對應邊的比相等復習回顧2r

光屏

光線在直線傳播過程中，遇到不透明的物體，在這個物體的后面光線不能到達的區(qū)域便產(chǎn)生影。

3rldmm8989889

在平行光線的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為平行投影。太陽光線可以看成是平行光線。4rldmm8989889

在陽光下，在同一時刻，物體的高度與物體的影長存在某種關系：物體的高度越高，物體的影長就越長

在平行光線的照射下，不同物體的物高與影長成比例5rldmm8989889埃及風景6rldmm8989889

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”。塔的４個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約２３０多米。據(jù)考證，為建成大金字塔，共動用了１０萬人花了２０年時間.原高１４６．５９米，但由于經(jīng)過幾千年的風吹雨打,頂端被風化吹蝕.所以高度有所降低。小小旅行家:走近金字塔7rldmm8989889小小考古家:

埃及著名的考古專家穆罕穆德決定重新測量胡夫金字塔的高度.在一個烈日高照的上午.他和兒子小穆罕穆德來到了金字塔腳下,他想考一考年僅14歲的小穆罕穆德.給你一條2米高的木桿,一把皮尺.你能利用所學知識來測出塔高嗎?2米木桿皮尺8rldmm8989889ACBDE┐┐借太陽的光輝助我們解題,你想到了嗎?9rldmm8989889世界上最高的樓——臺北101大樓怎樣測量這些非常高大物體的高度？10rldmm8989889物1高：物2高=影1長：影2長知識要點測高的方法

測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決。

11rldmm8989889

古代一位數(shù)學家想出了一種測量金字塔高度的方法：如圖所示，為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O′B′，比較棒子的影長A′B′與金字塔的影長AB，即可近似算出金字塔的高度OB．用相似三角形求不能直接測量的高度12rldmm8989889解：

由于太陽光是平行光線，因此∠OAB＝∠O′A′B′

又∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°∴△OAB∽△O′A′B′∴OB∶O′B′＝AB∶A′B′即該金字塔高為137米．例1：如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB.13rldmm8989889例2：據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度。

如圖,如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BOOBA(F)ED14rldmm8989889DEA(F)BO解：太陽光是平行線，因此∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO∽△DEFBOEFOAFD=OA×EFFDBO==201×23=134(m)答:金字塔的高為134m2m3m201m?例題DEA(F)BO2m3m201m?15rldmm89898891、在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例，在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米？解:設高樓的高度為X米，由題意得：答:樓高36米.體驗：16rldmm89898892.如圖,鐵道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m,當短臂端點下降0.5m時,長臂端點升高

m。

OBDCA┏┛(第2題)8給我一個支點我可以撬起整個地球!---阿基米德1m16m0.5m？17rldmm89898893.(深圳市中考題)小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h.(設網(wǎng)球是直線運動)ADBCE┏┏0.8m5m10m？2.4m18rldmm8989889世界上最寬的河——亞馬孫河怎樣測量河寬？19rldmm8989889例3:如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．

此時如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．ADCEB20rldmm8989889解：

∵∠ADB＝∠EDC,∠ABC＝∠ECD＝90°

∴△ABD∽△ECD答：兩岸間的大致距離為100米．

此時如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．(方法一)例3:如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．

ADCEB21rldmm8989889(方法二)

我們在河對岸選定一目標點A，在河的一邊選點D和E，使DE⊥AD，然后選點B，作BC∥DE，與視線EA相交于點C。此時，測得DE、BC、BD就可以求兩岸間的大致距離AB了。ADEBC此時如果測得DE＝120米，BC＝60米，BD＝50米，求兩岸間的大致距離AB．請同學們自已解答并進行交流22rldmm8989889STPQRba例4:為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個目標點P,在近岸取點Q和S,使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當?shù)狞cT,確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R.如果測得QS=45m,ST=90m,QR=60m,

求河的寬度PQ.

23rldmm8989889∠P=∠P解：∵∠PQR=∠PST=90°STPQRba解得PQ=90例題求河寬?∴

△PQR∽△PST∴45m60m90m∴答：河寬大約為90m.24rldmm8989889知識要點測距的方法

測量不能到達兩點間的距離,常構造相似三角形求解。

ADCEB25rldmm8989889練習1.在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例.在某一時刻,有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米,某一高樓的影長為60米,那么高樓的高度是多少米?解：答：高樓的高度為36米。∵在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例26rldmm89898892.如圖,鐵道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m,當短臂端點下降0.5m時,長臂端點升高

m。

OBDCA┏┛81m16m0.5m？27rldmm8989889練習3.為了測量一池塘的寬AB,在岸邊找到了一點C,使AC⊥AB，在AC上找到一點D，在BC上找到一點E,使DE⊥AC，測出AD=35m，DC=35m，DE=30m,那么你能算出池塘的寬AB嗎?ABCDE28rldmm89898894.數(shù)學興趣小組測校內一棵樹高，有以下兩種方法：DEABC方法一：如圖，把鏡子放在離樹（AB）8M點E處，然后沿著直線BE后退到D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE=2.8M，觀察者目高CD=1.6M；29rldmm89898894.數(shù)學興趣小組測校內一棵樹高，有以下兩種方法：

方法二：如圖，把長為2.40M的標桿CD直立在地面上，量出樹的影長為2.80M，標桿影長為1.47M。分別根據(jù)上述兩種不同方法求出樹高（精確到0.1M）請你自己寫出求解過程，并與同伴探討，還有其他測量樹高的方法嗎？DCEBA30rldmm89898895.小華為了測量所住樓房的高度，他請來同學幫忙，測量了同一時刻他自己的影長和樓房的影長分別是0.5米和15米．已知小華的身高為1.6米，那么他所住樓房的高度為

米．31rldmm89898896.如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的點處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為

米．32rldmm8989889例5：已知左，右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD=5m。一個身高1.6m的人沿著正對著兩棵樹的一條水平直路從左向右前進，當他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看見右邊較高的樹的頂端點C？KⅡ盲區(qū)觀察者看不到的區(qū)域。仰角：視線在水平線以上的夾角。水平線視線視點觀察者眼睛的位置。(1)FBCDHGlAK(1)FBCDHGlAⅠK33rldmm8989889FABCDHGKⅠⅡl(2)分析：假設觀察者從左向右走到點E時，他的眼睛的位置點F與兩顆樹的頂端點A、C恰在一條直線上,如果觀察者繼續(xù)前進，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區(qū)之內，觀察者看不到它。E34rldmm8989889由題意可知，AB⊥L，CD⊥L，∴AB∥CD，∴△AFH∽△CFK∴FHFK=AHCK即FHFH+5=8-1.612-1.6解得：FH=8∴當他與左邊的樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區(qū)之內，就不能看見右邊較高的樹的頂端點C35rldmm8989889挑戰(zhàn)自我1.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？NMQPEDCBA解：設正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD與PN相交于點E。設正方形PQMN的邊長為x毫米?！逷N∥BC，∴△APN∽△ABC∴AEAD=PNBC因此，得x=48（毫米）。答：-------。80–x80=x12036rldmm89898892.如圖，要在底邊BC=160cm，高AD=120cm，的△ABC鐵皮余料上截取一個矩形EFGH，使點H在AB上，點G在AC上，點E、F在BC上，AD交HG于點M，此時。（3）以面積最大的矩形EFGH為側面，圍成一個圓柱形的鐵桶，怎樣圍時，才能使鐵桶的體積最大？請說明理由（注：圍鐵桶側面時，接縫無重疊，底面另用材料配備）。（1）設矩形EFGH的長HG=y，寬HE=x，確定y與x的函數(shù)關系式；（2）當x為何值時，矩形EFGH的面積S最大；37rldmm89898893.如圖，兩根電線桿相距1m,分別在高10m的A處和15m的C處用鋼索將兩桿固定,求鋼索AD與鋼索BC的交點M離地面的高度MH.38rldmm89898894、如圖，已知零件的外徑a為25cm

，要求它的厚度x，需先求出內孔的直徑AB，現(xiàn)用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。O（分析：如圖，要想求厚度x，根據(jù)條件可知，首先得求出內孔直徑AB。而在圖中可構造出相似形，通過相似形的性質，從而求出AB的長度。）39rldmm8989889

5.如圖：小明想測量一顆大樹AB的高度，發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，測得CD=4m,BC=10m，CD與地面成30度角，且測得1米竹桿的影子長為2米，那么樹的高度是多少？CABD40rldmm89898896、小明在某一時刻測得1m的桿子在陽光下的影子長為2m,他想測量電線桿AB的高度,但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=2m,BC=10m,CD與地面成45°,求電線桿的高度.ABDCEF41rldmm89898897.教學樓旁邊有一棵樹，數(shù)學興趣小組的同學們想利用樹影測量樹高。課外活動時在陽光下他們測得一根長為1米的竹竿的影長是0.9米，但當他們馬上測量樹高時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上。他們測得落在地面的影長2.7米，落在墻壁上的影長1.2米，請你和他們一起算一下，樹高多少米？圖1142rldmm89898898.為了測量路燈（OS）的高度,把一根長1.5米的竹竿（AB）豎直立在水平地面上,測得竹竿的影子（BC）長為1米,然后拿竹竿向遠離路燈方向走了4米（BB‘）,再把竹竿豎立在地面上,測得竹竿的影長（B‘C‘）為1.8米,求路燈離地面的高度.hSACBB'OC'A'43rldmm89898899、如圖，有一路燈桿AB(底部B不能直接到達)，在燈光下，小明在點D處測得自己的影長DF＝3m，沿BD方向到達點F處再測得自己得影長FG＝4m，如果小明得身高為1.6m，求路燈桿AB的高度。

DFBCEGA44rldmm898988910、小麗利用影長測量學校旗桿的高度.由于旗桿靠近一個建筑物,在某一時刻旗桿影子中的一部分映在建筑物的墻上.小麗測得旗桿AB在地面上的影長BC為20m,在墻上的影長CD為4m,同時又測得豎立于地面的1m長的標桿影長為0.8m,請幫助小麗求出旗桿的高度.CBD1m0.8mE45rldmm898988911、小軍想出了一個測量建筑物高度的方法:在地面上C處平放一面鏡子,并在鏡子上做一個標記,然后向后退去,直至看到建筑物的頂端A在鏡子中的象與鏡子上的標記重合.如果小軍的眼睛距地面1.65m,BC、CD的長分別為60m、3m,求這座建筑物的高度.ABCDEαα46rldmm8989889課堂小結:一、相似三角形的應用主要有如下兩個方面

1測高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)2測距(不能直接測量的兩點間的距離)二、測高的方法

測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長的比例”的原理解決三、測距的方法測量不能到達兩點間的距離,常構造相似三角形求解47rldmm8989889課堂小結:四、相似三角形的應用的主要圖形

48rldmm8989889利用三角形相似可以解決一些不能直接測量的物體的長度的問題49rldmm8989889作業(yè)：課堂作業(yè)：課本p5510P5611P558家庭作業(yè)：練習冊相應部分

50rldmm898988951rldmm8989889樂山大佛新課導入52rldmm8989889世界上最高的樹——紅杉53rldmm8989889教學目標

會應用相似三角形性質、判定解決實際問題．知識與能力54rldmm8989889

通過利用相似三角形解決實際問題中不能直接測量的物體的長度的問題，讓學生體會數(shù)學轉化的思想，并體會如何用已學習的數(shù)學知識解決實際問題．過程與方法

讓學生體會用數(shù)學知識解決實際問題的成就感和快樂．

情感態(tài)度與價值觀55rldmm8989889教學重難點

相似三角形性質與判定的應用．相似三角形性質與判定的應用．從識圖能力入手，明確應用相似三角形判定、性質的前提是尋找和問題有關的兩塊三角形．56rldmm8989889例題

古希臘數(shù)學家、天文學家泰勒斯利用相似三角形的原理，測量金字塔的高度。57rldmm8989889DEA(F)BO2m3m201m解：太陽光是平行線，因此∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO∽△DEFBOEF=BO==134OAFDOA·EFFD=201×2358rldmm8989889AFEBO┐┐還可以有其他方法測量嗎？一題多解OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAF平面鏡59rldmm8989889怎樣測量旗桿的高度?

搶答60rldmm8989889ＡＢＯＡ′Ｂ′Ｏ′6m1.2m1.6m61rldmm8989889∠P=∠P分析：∵∠PQR=∠PST=90°STPQRba得PQ=90例題求河寬?∴

△PQR∽△PST∴45m60m90m∴62rldmm89898891.相似三角形的應用主要有兩個方面：（1）測高

測量不能到達兩點間的距離,常構造相似三角形求解。（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接測量的兩點間的距離）

測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決。（2）測距課堂小結63rldmm89898892.解相似三角形實際問題的一般步驟：（1）審題。（2）構建圖形。（3）利用相似解決問題。64rldmm8989889隨堂練習1.鐵道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m,當短臂端點下降0.5m時,長臂端點升高______m。8OBDCA┏┛1m16m0.5m？2.某一時刻樹的影長為8米,同一時刻身高為1.5米的人的影長為3米,則樹高為_