新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊全冊2022新高考一輪復(fù)習(xí)課件

1.1空間向量及其運(yùn)算1.2立體幾何中的向量方法P44第一章空間向量與立體幾何2.1直線的傾斜角與斜率2.2直線的方程P982.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式P1372.4圓的方程P1652.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系P196第二章直線和圓的方程3.1橢圓P2303.2雙曲線P2803.3拋物線P319第三章圓錐曲線的方程課標(biāo)要求1.在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,了解空間直角坐標(biāo)系,感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性,會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置.2.借助特殊長方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點(diǎn)的坐標(biāo).探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式.3.了解空間向量的概念.4.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程.5.了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.6.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.7.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示.8.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.備考指導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容是在平面向量基礎(chǔ)上的推廣與擴(kuò)充,復(fù)習(xí)時要類比平面向量的相關(guān)概念、定理、公式、運(yùn)算律等,比較它們之間的異同.本節(jié)知識對數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)體現(xiàn)較多,是基礎(chǔ)性和工具性的內(nèi)容,難度不大.重點(diǎn)是理解和記憶定理、公式等,能準(zhǔn)確進(jìn)行空間向量的運(yùn)算以及應(yīng)用空間向量解決平行、垂直和夾角等問題.【知識篩查】

1.空間向量的相關(guān)概念(1)定義在空間,我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.空間向量的大小叫做空間向量的長度或模.(2)特殊的空間向量

2.空間向量的線性運(yùn)算(1)加法與減法運(yùn)算(2)數(shù)乘運(yùn)算定義:實(shí)數(shù)λ與空間向量a的積λa仍然是一個向量,稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)λ>0時,λa與向量a方向相同;當(dāng)λ<0時,λa與向量a方向相反;當(dāng)λ=0時,λa=0;λa的長度是a的長度的|λ|倍,即|λa|=|λ||a|.(3)運(yùn)算律①交換律:a+b=b+a;②結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c;③分配律:λ(a+b)=λa+λb;λ(μa)=(λμ)a.3.空間向量的基本定理(1)共線向量定理①定理:對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.溫馨提示1.定理中規(guī)定b≠0,這是因?yàn)?(1)在充分性中,當(dāng)b=0,λ≠0時,也有a=λb=0,而零向量與任一向量共線,λ并不唯一;(2)在必要性中,當(dāng)a≠0,b=0時,不存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(2)共面向量定理①定義:平行于同一個平面的向量,叫做共面向量.②共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.(3)空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空間的一個基底,其中a,b,c都叫做基向量.4.空間向量的數(shù)量積運(yùn)算(1)空間兩向量的夾角②夾角的范圍:空間任意兩個向量的夾角θ的取值范圍是[0,π].特別地,當(dāng)θ=0時,兩向量同向共線;當(dāng)θ=π時,兩向量反向共線,所以若a∥b,則<a,b>=0或π.(2)空間兩向量的數(shù)量積運(yùn)算①定義:已知兩個非零向量a,b,則|a||b|cos<a,b>叫做a,b的數(shù)量積,記作a·b.即a·b=|a||b|cos<a,b>.特別地,零向量與任意向量的數(shù)量積為

0.②運(yùn)算律結(jié)合律:(λa)·b=λ(a·b);交換律:a·b=b·a;分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.(3)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共線”的充要條件.(

)(2)對空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若(其中x,y,z∈R),則P,A,B,C四點(diǎn)共面.(

)(3)對于空間非零向量a,b,a⊥b?a·b=0.(

)(4)對于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.(

)(5)非零向量a,b,c滿足(a·b)·c=a·(b·c).(

)××√××2.已知x,y∈R,有下列說法:①若p=xa+yb,則p與a,b共面;②若p與a,b共面,則p=xa+yb;其中正確說法的個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4B①正確.②中若a,b共線,p與a不共線,則p=xa+yb不成立.③正確.④中若點(diǎn)M,A,B共線,點(diǎn)P不在此直線上,則

不成立.3.如圖,在一個60°的二面角的棱上,有兩個點(diǎn)A,B,AC,BD分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段,且AB=4,AC=6,BD=8,則CD的長為

.

4.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn),則直線AM和CN所成角的余弦值為

.

5.如圖,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,CD的中點(diǎn),計算:(3)EG的長;(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值.能力形成點(diǎn)1空間向量的線性運(yùn)算例1

如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè),M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,c表示以下各向量:解題心得1.選定空間不共面的三個向量作基向量,并用它們表示出指定的向量,這是用向量解決立體幾何問題的基本方法.解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形,靈活運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算法則和公式來表示所需向量.2.空間向量問題可以轉(zhuǎn)化為平面向量問題來解決,即把空間向量轉(zhuǎn)化到某一個平面上,利用三角形法則或平行四邊形法則來解決.對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在三棱錐O-ABC中,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),G是△ABC的重心,用基向量能力形成點(diǎn)2共線定理、共面定理的應(yīng)用例2

已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),用向量方法證明:(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)BD∥平面EFGH.對點(diǎn)訓(xùn)練2能力形成點(diǎn)3空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用例3

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G分別是DD1,BD,BB1的中點(diǎn).(1)求CE的長;(2)求證:EF⊥CF;(方法二:坐標(biāo)法)解題心得1.證明垂直問題利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可將向量的垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題,主要有兩種方法:(1)先把兩個向量用同一組基底表示出來,再計算它們的數(shù)量積.選擇基向量時要盡量選擇已知長度和夾角的向量作為基向量.(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計算驗(yàn)證.2.求夾角(1)結(jié)合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角的定義來求,但要注意向量夾角的取值范圍.(2)先求出兩個向量的數(shù)量積a·b,再利用公式

求cos<a,b>,最后確定<a,b>.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)如圖,已知線段AB⊥平面α,BC?α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,點(diǎn)D與點(diǎn)A在α的同側(cè),若AB=BC=CD=2,則A,D兩點(diǎn)間的距離為

.

(2)如圖,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分別為棱AB,BB'的中點(diǎn).①求證:CE⊥A'D;②求異面直線CE與AC'所成角的余弦值.(方法二:坐標(biāo)法)∵CC'⊥平面ABC,且CA⊥CB,∴以點(diǎn)C為原點(diǎn),分別以CA,CB,CC'所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).令A(yù)C=BC=AA'=2,則點(diǎn)A(2,0,0),C'(0,0,2),A'(2,0,2),E(0,2,1),D(1,1,0).方程思想與分類討論思想在空間向量中的應(yīng)用典例

已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,則x+y的值為

.

答案:4解題心得已知向量平行或垂直求參數(shù),一般要根據(jù)向量平行或垂直的坐標(biāo)表示建立參數(shù)的方程或方程組,進(jìn)而求出參數(shù)值或取值范圍.立體幾何中的向量方法課標(biāo)要求1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.4.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會向量方法在研究幾何問題中的作用.備考指導(dǎo)立體幾何解答題是高考六道大題之一,每年必考,主要考查空間線、面位置關(guān)系的性質(zhì)與判定,應(yīng)用向量方法求空間角,折疊問題以及存在性探究題等,難度中等.主要涉及邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng),考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.復(fù)習(xí)時要注意歸納常用的證明空間平行、垂直的模型與規(guī)律,認(rèn)真分析圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確寫出相關(guān)坐標(biāo),計算所求的角或角的函數(shù)值等.【知識篩查】

(3)空間平面的法向量①定義:直線l⊥α,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.給定一個點(diǎn)A和一個向量a,那么過點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合

.2.空間中直線、平面位置關(guān)系的向量表示

溫馨提示1.用向量刻畫空間中直線、平面的平行、垂直關(guān)系時,要注意線面關(guān)系與向量關(guān)系的異同,可簡記為“同類同性,異類相反”,即線線平行(垂直)、面面平行(垂直)中向量仍平行(垂直),但線面平行(垂直)中向量變?yōu)榇怪?平行).

2.因?yàn)橹本€的方向向量與平面的法向量都不是唯一的,所以應(yīng)優(yōu)先選取方便運(yùn)算的向量.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)直線的方向向量是唯一確定的.(

)(2)平面的單位法向量是唯一確定的.(

)(3)若兩條直線的方向向量不平行,則這兩條直線不平行.(

)(4)若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平行.(

)(5)兩條直線的方向向量的夾角就是這兩條直線所成的角.(

)××√××2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為(

)C3.已知點(diǎn)A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),則點(diǎn)A到直線BC的距離為(

)A4.設(shè)u,v分別是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),當(dāng)v=(3,-2,2)時,α與β的位置關(guān)系為

;當(dāng)v=(4,-4,-10)時,α與β的位置關(guān)系為

.

α⊥βα∥β當(dāng)v=(3,-2,2)時,u·v=(-2,2,5)·(3,-2,2)=0?α⊥β.當(dāng)v=(4,-4,-10)時,v=-2u?α∥β.5.過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則平面PAB與平面PCD的夾角為

.

45°如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=PA=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由題意,知AD⊥平面PAB,設(shè)E為PD的中點(diǎn),連接AE,則AE⊥PD,又CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE,從而AE⊥平面PCD.能力形成點(diǎn)1利用空間向量證明平行、垂直例1

如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1是正方形,AB=AC,,二面角A1-AB-C是直二面角.求證:(1)A1B1⊥平面AA1C;(2)AB1∥平面A1C1C.證明

∵二面角A1-AB-C是直二面角,四邊形A1ABB1為正方形,AA1?平面A1ABB1,∴AA1⊥平面BAC.又AB=AC,,∴∠CAB=90°,即CA⊥AB,∴AB,AC,AA1兩兩互相垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AC,AB,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)AB=2,則點(diǎn)A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).解題心得1.用向量法證明平行類問題的常用方法

2.用向量法證明垂直類問題的常用方法對點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,在三棱錐P-ABC

中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求證:AP⊥BC;(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn),且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC.證明

(1)如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線OD,OP為y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.所以點(diǎn)O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).能力形成點(diǎn)2利用空間向量解決探索性問題例2

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點(diǎn).(1)求證:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.解題心得立體幾何探索性問題的求解方法有以下兩種:(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,然后加以證明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)題目要求進(jìn)行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點(diǎn)或線,否則不存在.本題是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),借助向量運(yùn)算,判斷關(guān)于z0的方程是否有解.對點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的

倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.(1)證明

連接BD,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,連接SO,則AC⊥BD.由題意知SO⊥平面ABCD.能力形成點(diǎn)3利用空間向量求空間角命題角度1利用空間向量求直線與平面所成的角例3

如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PF⊥BF.(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.(1)證明

由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.命題角度2利用空間向量求兩個平面的夾角例4

如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求平面PAB與平面PCB的夾角的余弦值.(1)證明

由∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解

在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD,垂足為F.由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.解題心得1.利用向量法求線面角的方法:(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(或鈍角的補(bǔ)角),取其余角就是斜線和平面所成的角.2.利用向量法求兩個平面的夾角的方法:求出兩個平面的法向量分別為n1,n2,設(shè)兩個平面的夾角為θ,則cos

θ=|cos<n1,n2>|,進(jìn)而求出θ的值.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖.①求證:AB⊥CD;②若M為AD中點(diǎn),求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.①證明

∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD?平面BCD,∴AB⊥CD.②解

過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD,如圖.由①知AB⊥平面BCD,BE?平面BCD,BD?平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.(2)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,,∠BAD=120°.①求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;②求平面A1BD與平面A1AD的夾角的正弦值.能力形成點(diǎn)4利用空間向量求距離例5

如圖,△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,,求點(diǎn)A到平面MBC的距離.解

如圖,取CD的中點(diǎn)O,連接OB,OM,則OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,交線為CD,所以O(shè)M⊥平面BCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC,BO,OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.解題心得1.求解點(diǎn)到平面距離的基本步驟為:2.求平面外一點(diǎn)B到平面α的距離,可以先求出點(diǎn)B在平面內(nèi)的射影,再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式.3.求線面距離、面面距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離來解決.BC轉(zhuǎn)化與化歸思想——立體幾何中的展開問題典例

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一動點(diǎn),如圖所示,則CP+PA1的最小值為

.

解析:PA1在平面A1BC1內(nèi),PC在平面BCC1內(nèi),將其鋪平后轉(zhuǎn)化為平面上的問題.展開平面A1BC1,平面BCC1,如圖所示,計算得A1B=AB1=,BC1=2.又A1C1=6,故△A1BC1是直角三角形,∠A1C1B=90°.又△BCC1為等腰直角三角形,所以∠A1C1C=135°.設(shè)P是BC1上任一點(diǎn),則CP+PA1≥A1C,即當(dāng)A1,P,C三點(diǎn)共線時,CP+PA1有最小值.在△A1C1C中,由余弦定理,得解題心得1.“展開問題”是“折疊問題”的逆向思維,“展開問題”是指將立體圖形的表面(或部分表面)按一定的要求鋪成平面圖形,再利用平面圖形的性質(zhì)解決立體問題的一類題型.解決展開問題的關(guān)鍵是:確定需要展開立體圖形中的哪幾個面(有時需要分類討論),以及利用什么平面的性質(zhì)和定理來解決對應(yīng)的立體圖形問題.2.求立體圖形中兩條(或多條)線段長度和的最小值,只需將這些線段統(tǒng)一到一個平面上.要注意立體圖形展開前后對應(yīng)線段與角度哪些會改變,哪些不會變.變式訓(xùn)練如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點(diǎn)P,則AP+D1P的最小值為(

)D將△A1AB與△A1BD1放在同一平面內(nèi),如圖所示.連接AD1,則AD1為AP+D1P的最小值.因?yàn)锳A1=A1D1=1,∠AA1D1=90°+45°=135°,2.1直線的傾斜角與斜率2.2直線的方程第二章直線和圓的方程課標(biāo)要求1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式.3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式,體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系.4.掌握兩條直線平行和垂直的判定和應(yīng)用.備考指導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容在高考中主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度中等.主要考查直線的傾斜角與斜率、直線方程的幾種形式及直線平行和垂直的應(yīng)用.本節(jié)知識也常和圓、橢圓、雙曲線或拋物線的知識相聯(lián)系,特別是常出現(xiàn)于圓錐曲線的解答題中.新高考強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化背景下的知識考查,因此要注重知識在實(shí)際情境中的理解和應(yīng)用,要加強(qiáng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的素養(yǎng).【知識篩查】

1.直線的傾斜角(1)定義:當(dāng)直線l與x軸相交時,以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍:直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.2.直線的斜率(1)定義:一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=tanα.傾斜角是90°的直線沒有斜率.(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為問題思考1直線都有傾斜角,是不是都有斜率?傾斜角越大,其斜率就越大嗎?3.直線方程的五種形式

問題思考2“截距”與“距離”有何區(qū)別?當(dāng)截距相等時應(yīng)注意什么?“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的對應(yīng)坐標(biāo)值,它可正,可負(fù),也可以是零,而“距離”是一個非負(fù)數(shù).當(dāng)截距相等時,應(yīng)注意考慮過原點(diǎn)的特殊情況.4.兩條直線的位置關(guān)系(1)平面內(nèi)兩條直線有兩種位置關(guān)系:相交、平行.(2)兩條直線平行的判定:①對于兩條不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2.②當(dāng)直線l1,l2不重合,且斜率都不存在時,l1∥l2.(3)兩條直線垂直的判定:①當(dāng)兩條直線l1,l2的斜率存在時,設(shè)為k1,k2,則有l(wèi)1⊥l2?k1k2=-1.②當(dāng)兩條直線l1,l2中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,l1⊥l2.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若直線的斜率為tanα,則其傾斜角為α.(

)(2)斜率相等的兩條直線的傾斜角不一定相等.(

)(3)若直線在x軸、y軸上的截距分別為m,n,則直線方程可記為

.(

)(4)經(jīng)過任意兩個不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線,其方程都可以用(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(

)(5)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時,一定有k1=k2?l1∥l2.(

)×××√×2.若過點(diǎn)M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率為1,則m的值為(

)A.1 B.4 C.1或3 D.1或4A3.(多選)下列關(guān)于直線l:x+my-1=0(m∈R)的說法不正確的是(

)A.直線l的斜率為-m B.直線l的斜率為C.直線l過定點(diǎn)(0,1) D.直線l過定點(diǎn)(1,0)ABC當(dāng)m≠0時,直線l的方程為y=(x-1),其斜率為

,過定點(diǎn)(1,0);當(dāng)m=0時,直線l的方程為x=1,其斜率不存在,過點(diǎn)(1,0),故A,B不正確,D正確.將點(diǎn)(0,1)的坐標(biāo)代入直線l的方程得m-1=0,即m=1,故只有當(dāng)m=1時,直線l才會過點(diǎn)(0,1),故C不正確.4.過點(diǎn)P(2,-2),且平行于直線2x+y+1=0的直線的方程為(

)A.2x+y-2=0 B.2x-y-2=0C.2x+y-6=0 D.2x+y+2=05.若直線l1:(a+1)x+ay-1=0與l2:ax+(3-2a)y=0互相垂直,則實(shí)數(shù)a的值為

.

A設(shè)與直線2x+y+1=0平行的直線的方程為2x+y+m=0(m≠1),代入點(diǎn)P的坐標(biāo),可得2×2-2+m=0,即m=-2.因此過點(diǎn)P(2,-2),且平行于直線2x+y+1=0的直線的方程為2x+y-2=0.故選A.0或4因?yàn)橹本€l1:(a+1)x+ay-1=0與l2:ax+(3-2a)y=0互相垂直,所以a(a+1)+a(3-2a)=0,解得a=0或a=4.能力形成點(diǎn)1直線的傾斜角與斜率例1

(1)設(shè)直線l的方程為x+ycosθ+3=0(θ∈R),則直線l的傾斜角α的取值范圍是(

)C(2)已知直線l過點(diǎn)P(1,0),且與以A(2,1),為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為

.

拓展延伸若將例1(2)中點(diǎn)P(1,0)改為點(diǎn)P(-1,0),其他條件不變,則直線l的斜率的取值范圍為

.

解題心得1.由直線傾斜角的取值范圍求直線斜率的取值范圍或由直線斜率的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍時,常借助正切函數(shù)y=tan

x在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性求解.2.已知過一定點(diǎn)的直線與已知線段相交,求直線斜率的取值范圍時,注意當(dāng)直線傾斜角為

時,直線斜率不存在.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共線,則a等于(

)A(2)已知點(diǎn)A(-2,-3)和點(diǎn)B(-1,0)是平面直角坐標(biāo)系中的定點(diǎn),直線y=kx+1與線段AB始終相交,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A能力形成點(diǎn)2求直線的方程例2

(1)若直線經(jīng)過點(diǎn)A(-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍,則該直線的方程為

.

x+2y+1=0或2x+5y=0解題心得1.求直線方程時,應(yīng)結(jié)合所給條件選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式,并注意各種形式的適用條件.2.若采用截距式,則應(yīng)注意分類討論,判斷截距是否為零;若采用點(diǎn)斜式,則應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.對點(diǎn)訓(xùn)練2B(2)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中點(diǎn)M在y軸上,BC的中點(diǎn)N在x軸上,則直線MN的方程為

.

5x-2y-5=0能力形成點(diǎn)3兩條直線的平行與垂直例3

(1)已知直線mx+2y+3=0與直線3x+(m-1)y+m=0平行,則實(shí)數(shù)m等于(

)A.-2 B.3C.5 D.-2或3A由題意可知m≠0.∵直線mx+2y+3=0與直線3x+(m-1)y+m=0平行,(2)已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.①當(dāng)l1∥l2時,求a的值;②當(dāng)l1⊥l2時,求a的值.解

①若l1∥l2,則a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1.當(dāng)a=2時,l1:2x+2y+6=0,即x+y+3=0,l2:x+y+3=0,此時l1與l2重合,不符合題意,舍去.當(dāng)a=-1時,l1∥l2.故a的值為-1.解題心得1.當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.2.在判斷兩條直線平行、垂直時,也可直接利用直線的一般式方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)直線l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8,則“m=-1或m=-7”是“l(fā)1∥l2”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B(2)(多選)已知直線l1:x+ay-a=0和直線l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列說法正確的是(

)A.l2始終過定點(diǎn)B.若l1∥l2,則a=1或a=-3C.若l1⊥l2,則a=0或a=2D.當(dāng)a>0時,l1始終不過第三象限ACD能力形成點(diǎn)4直線方程的綜合應(yīng)用命題角度1與基本不等式相結(jié)合的最值問題例4

已知直線l過點(diǎn)M(2,1),且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則當(dāng)

取得最小值時,直線l的方程是

.x+y-3=0命題角度2與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題例5

設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角的取值范圍為,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為(

)A命題角度3與圓相結(jié)合的問題例6

已知直線l將圓C:x2+y2+x-2y+1=0平分,且與直線x+2y+3=0垂直,則直線l的方程為

.

2x-y+2=0解題心得1.解決與基本不等式相結(jié)合的最值問題,注意“1”的代換技巧的應(yīng)用,并且注意等號成立條件的驗(yàn)證.2.解決與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題,一般是利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值等于切線的斜率來求解相關(guān)問題.3.解決直線方程與圓的方程相結(jié)合的問題,一般是利用直線和圓的位置關(guān)系求解.對點(diǎn)訓(xùn)練4D(方法一)如圖,過點(diǎn)P作圓x2+y2=1的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.由題意知|OP|=2,|OA|=1,(2)經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x軸、y軸的正半軸于A,B兩點(diǎn),當(dāng)△AOB面積最小時,直線l的方程為

.

x+2y-4=0(3)已知點(diǎn)P為曲線

上任意一點(diǎn),則當(dāng)曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率最小時,該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為

.

易錯警示——忽略過原點(diǎn)的情況致錯典例

過點(diǎn)A(3,-1),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條答案:B

解析:①當(dāng)所求的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時,設(shè)該直線的方程為x+y=a(a≠0),把點(diǎn)A(3,-1)的坐標(biāo)代入所設(shè)的方程得a=2,則所求直線的方程為x+y=2,即x+y-2=0.②當(dāng)所求的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時,設(shè)該直線的方程為y=kx,把點(diǎn)A(3,-1)的坐標(biāo)代入所設(shè)的方程得k=-,則所求直線的方程為y=-x,即x+3y=0.綜上,所求直線的方程為x+y-2=0或x+3y=0.故選B.

解題心得解決此類問題易出現(xiàn)的錯誤有:(1)直接設(shè)出截距式方程,忘記過原點(diǎn)的情況;(2)混淆截距與距離.因此,涉及截距、距離等直線問題,要注意分類討論思想的應(yīng)用,考慮直線過原點(diǎn)這一特殊情形.變式訓(xùn)練經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等的直線方程為

.

x-y-1=0或x+y-5=0或2x-3y=02.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式課標(biāo)要求1.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.能結(jié)合二元一次方程組的解的情況(唯一解、無解、無窮多解)理解兩條直線相交、平行、重合的條件,解決有關(guān)兩條直線位置關(guān)系的問題.3.探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.備考指導(dǎo)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式在高考中一般不單獨(dú)命題,多與圓、圓錐曲線的知識相融合,主要體現(xiàn)在兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解,三種距離公式的應(yīng)用.要重視本節(jié)知識的基礎(chǔ)地位,比如解析幾何方面的選擇題、填空題和圓錐曲線的解答題中往往會用到交點(diǎn)坐標(biāo)和距離公式.本節(jié)要注意公式的正確理解,尤其注意公式的適用條件,常用的思想方法有:轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、代入驗(yàn)證法、直線系法等.應(yīng)加強(qiáng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的素養(yǎng).【知識篩查】

1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

2.三種距離

溫馨提示應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時應(yīng)注意:(1)將直線方程化為最簡的一般形式;(2)利用兩條平行直線間的距離公式時,應(yīng)使兩條平行直線的方程中x,y的系數(shù)分別對應(yīng)相等.1.與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).2.與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).3.過直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.【知識鞏固】

×√√2.已知直線l1:x-y=0與l2:2x-3y+1=0的交點(diǎn)在直線mx+3y+5=0上,則m的值為(

)A.3 B.5 C.-5 D.-83.已知A(-2,-4),B(1,5)兩點(diǎn)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.-3 B.3或-3 C.3 D.1DB4.已知點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在y軸上,線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,4),則AB的長為

.

5.直線2x+2y+1=0與x+y+2=0之間的距離是

.

10根據(jù)題意,設(shè)A(a,0),B(0,b).因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,4),所以a=6,b=8,所以A(6,0),B(0,8),能力形成點(diǎn)1兩條直線的交點(diǎn)與距離問題例1

(1)若直線l與直線y=1,x-y-7=0分別交于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)是P(1,-1),則直線l的斜率是(

)A(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2),且原點(diǎn)到直線l的距離為1,則直線l的方程為(

)A.3x-4y-5=0

B.x=-1或3x-4y-5=0C.y=-1

D.3x+4y-5=0B當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,滿足原點(diǎn)到直線l的距離為1.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0.(3)已知直線y=kx+2k+1與直線

的交點(diǎn)位于第一象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.

(方法二)如圖,直線

與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4,0),B(0,2).直線方程y=kx+2k+1可化為y-1=k(x+2),則該直線過定點(diǎn)P(-2,1),斜率為k.因?yàn)閮蓷l直線的交點(diǎn)在第一象限,所以兩條直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn)),所以k需滿足kPA<k<kPB.解題心得1.求過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的方法先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程.2.利用距離公式應(yīng)注意:(1)點(diǎn)P(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b|;(2)使用兩條平行線間的距離公式時,要保證兩個直線方程中x,y的系數(shù)對應(yīng)相等.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)若兩條平行直線l1:x-2y+m=0與l2:2x+ny-6=0之間的距離為,則m+n的值為(

)A.3或-17 B.-17

C.-3 D.17或-3A所以|m+3|=10,解得m=-13或m=7.當(dāng)m=-13時,m+n=-13-4=-17;當(dāng)m=7時,m+n=7-4=3.所以m+n的值為3或-17.(2)已知點(diǎn)A(-2,1)和點(diǎn)B關(guān)于直線l:x+y-1=0對稱,斜率為k的直線m過點(diǎn)A交直線l于點(diǎn)C,若△ABC的面積為2,則k的值為(

)B能力形成點(diǎn)2對稱問題命題角度1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱例2

過點(diǎn)P(0,1)作直線l,使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分,則直線l的方程為

.

x+4y-4=0設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8-2a),則由題意知,點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(-a,2a-6)在l2上,則有-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即點(diǎn)A(4,0)在直線l上,故直線l的方程為

,即x+4y-4=0.命題角度2點(diǎn)關(guān)于直線對稱例3

如圖,已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后射到直線OB上,再經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P,則光線所經(jīng)過的路程是(

)C由已知得直線AB的方程為x+y=4.如圖,點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D(4,2),關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(-2,0).易知點(diǎn)C,D在直線MN上,命題角度3直線關(guān)于點(diǎn)對稱例4

直線y=-4x+1關(guān)于點(diǎn)M(2,3)對稱的直線方程為

.4x+y-21=0(方法一)設(shè)P(x,y)為所求直線上任意一點(diǎn),Q(x0,y0)為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2,3)的對稱點(diǎn),則點(diǎn)Q在直線y=-4x+1上.所以y0=-4x0+1,所以6-y=-4(4-x)+1,即4x+y-21=0.故所求直線方程為4x+y-21=0.(方法二)由題意可知,所求直線與直線y=-4x+1平行,且點(diǎn)M到兩條直線的距離相等.將直線方程y=-4x+1化為4x+y-1=0.設(shè)所求直線方程為4x+y+c=0(c≠-1),解得c=-21或c=-1(舍去).故所求直線方程為4x+y-21=0.命題角度4直線關(guān)于直線對稱例5

直線2x-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱的直線方程是

.x-2y+3=0設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x,y),點(diǎn)P關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn)為P'(x0,y0),又點(diǎn)P'在直線2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故所求直線方程為x-2y+3=0.解題心得1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱:求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(a,b)的對稱點(diǎn)Q的問題,主要依據(jù)M是線段PQ的中點(diǎn),即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱:求已知點(diǎn)A(m,n)關(guān)于已知直線l:y=kx+b的對稱點(diǎn)A'(x0,y0)的坐標(biāo),主要依據(jù)直線l是線段AA'的垂直平分線,分別以垂直和平分關(guān)系列出方程,得到關(guān)于x0,y0的方程組.3.直線關(guān)于點(diǎn)的對稱:求直線l關(guān)于點(diǎn)M(m,n)的對稱直線l'的問題,主要依據(jù)直線l'上的任意一點(diǎn)T(x,y)關(guān)于點(diǎn)M(m,n)的對稱點(diǎn)T'(2m-x,2n-y)在直線l上.4.直線關(guān)于直線的對稱:此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決.其中有兩種情況:一是已知直線與對稱軸相交;二是已知直線與對稱軸平行.對點(diǎn)訓(xùn)練2已知直線l:3x-y+3=0,求:(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線x-y-2=0關(guān)于直線l對稱的直線方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱的直線方程.解

(1)設(shè)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),故點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,7).(2)設(shè)點(diǎn)A(x,y)為所求直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A'(x0,y0),(3)設(shè)點(diǎn)P(x,y)為所求直線上任意一點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(1,2)的對稱點(diǎn)(2-x,4-y)在直線l上,所以3(2-x)-(4-y)+3=0,即3x-y-5=0.故所求直線方程為3x-y-5=0.方法技巧——妙用直線系求直線方程

在求解直線方程的題目中,可采用設(shè)直線系方程的方式簡化運(yùn)算.常見的直線系有平行直線系,垂直直線系和過直線交點(diǎn)的直線系.1.平行直線系典例1

求與直線3x+4y+1=0平行,且過點(diǎn)A(1,2)的直線的方程.解:由題意,設(shè)所求直線方程為3x+4y+c=0(c≠1),因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)A(1,2),所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11.故所求直線方程為3x+4y-11=0.2.垂直直線系典例2

求經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),且與直線2x+y-10=0垂直的直線的方程.解:因?yàn)樗笾本€與直線2x+y-10=0垂直,所以設(shè)該直線方程為x-2y+C=0,又所求直線過點(diǎn)A(2,1),所以2-2×1+C=0,解得C=0,故所求直線方程為x-2y=0.3.過直線交點(diǎn)的直線系典例3

求經(jīng)過兩條直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點(diǎn)P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程.(方法二)由題意可知l2與l3不垂直.∵直線l過直線l1和l2的交點(diǎn)P,∴可設(shè)直線l的方程為x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.又l與l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,解得λ=11.∴直線l的方程為12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.解題心得設(shè)直線系方程求直線方程屬于待定系數(shù)法的范疇,能很大程度上簡化計算步驟,減少運(yùn)算量.要注意利用直線系方程解題時,應(yīng)理解參數(shù)的特點(diǎn),比如典例3方法二中,當(dāng)λ∈R時,直線系x-2y+4+λ(x+y-2)=0不包含直線x+y-2=0,因此要檢驗(yàn)直線x+y-2=0是否符合題意.2.4圓的方程課標(biāo)要求1.能通過實(shí)際案例理解構(gòu)成圓的幾何要素.2.在平面直角坐標(biāo)系中,能推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并掌握其應(yīng)用.3.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程的互化,并能從二元二次方程的角度理解圓與方程的關(guān)系.4.能根據(jù)給定的條件求圓的方程,并能應(yīng)用圓的方程解決實(shí)際問題.備考指導(dǎo)圓的方程是高考命題的重點(diǎn),在高考中以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度中等.主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程的應(yīng)用,經(jīng)常與直線知識進(jìn)行綜合考查,有時也與橢圓、雙曲線、拋物線知識相融合.本節(jié)常用的方法有公式法、代入法、待定系數(shù)法.要強(qiáng)化知識在實(shí)際情境的應(yīng)用,加強(qiáng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).【知識篩查】

1.圓的定義及方程(1)定義:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為(a,b),半徑為r.溫馨提示1.當(dāng)D2+E2-4F=0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有實(shí)數(shù)解

它表示一個點(diǎn).2.當(dāng)D2+E2-4F<0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有實(shí)數(shù)解,它不表示任何圖形.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2,點(diǎn)(x0,y0).(1)(x0-a)2+(y0-b)2=r2?點(diǎn)在圓上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2>r2?點(diǎn)在圓外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi).【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(

)(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圓心為(a,b),半徑為t的圓.(

)(4)已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則以AB為直徑的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(

)√××√√2.圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是(

)A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=23.(多選)圓x2+y2-4x-1=0(

)A.關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱

B.關(guān)于直線y=0對稱C.關(guān)于直線x+3y-2=0對稱

D.關(guān)于直線x-y+2=0對稱D因?yàn)閳A心為(1,1)且過原點(diǎn),所以該圓的半徑

,所以該圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.ABC圓的方程可化為(x-2)2+y2=5,可知圓心為(2,0),故圓關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱,且關(guān)于經(jīng)過點(diǎn)(2,0)的直線對稱.4.若點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-1,1) B.(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)5.已知方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

A∵點(diǎn)(1,1)在圓內(nèi),∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-1<a<1.(-1,3)x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0可化為(x-2)2+(y+m)2=3+2m-m2,故有3+2m-m2>0,解得-1<m<3.能力形成點(diǎn)1求圓的方程例1

(1)過點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程為(

)A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4C由題意易知線段AB的垂直平分線的方程為y=x,所以所求圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為2,所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.故選C.(2)已知圓E經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),B(2,0),且圓心在x軸的正半軸上,則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)C解題心得求圓的方程時,應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說,求圓的方程有兩種方法:(1)幾何法:通過研究圓的性質(zhì),求出圓的圓心及半徑等基本量.確定圓心的坐標(biāo)時,常用到三個性質(zhì):①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上;②圓心在任意一條弦的垂直平分線上;③當(dāng)兩圓內(nèi)切或外切時,切點(diǎn)與兩圓圓心共線.(2)代數(shù)法:設(shè)出圓的方程,用待定系數(shù)法求解.①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出a,b,r的值;②若已知圓上三點(diǎn)的坐標(biāo),則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,求出D,E,F的值.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知圓C的半徑為5,圓心在x軸的負(fù)半軸上,且被直線3x+4y+4=0截得的弦長為6,則圓C的方程為(

)A.x2+y2-2x-3=0

B.x2+y2+16x+39=0C.x2+y2-16x-39=0

D.x2+y2-4x=0B設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)(a<0),解得a=-8,則圓C的方程為(x+8)2+y2=25,即x2+y2+16x+39=0.故選B.(2)已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的方程為(

)A.(x+1)2+(y-1)2=2

B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2

D.(x+1)2+(y+1)2=2B能力形成點(diǎn)2與圓有關(guān)的軌跡問題例2

如圖,已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C是圓x2+y2=1上的動點(diǎn),連接BC并延長至點(diǎn)D,使得|CD|=|BC|,求AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.解

設(shè)動點(diǎn)P(x,y),由題意可知P是△ABD的重心.設(shè)動點(diǎn)C(x0,y0)(y0≠0),依題意,C為BD的中點(diǎn),B(1,0),則D(2x0-1,2y0).又A(-1,0),解題心得求與圓有關(guān)的軌跡方程問題時,根據(jù)題設(shè)條件的不同,常采用以下方法:(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件求出軌跡方程.(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義求出軌跡方程.(3)幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)求出軌跡方程.(4)相關(guān)點(diǎn)代入法:找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式,進(jìn)而求出軌跡方程.對點(diǎn)訓(xùn)練2已知圓x2+y2=4上一定點(diǎn)A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動點(diǎn).(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程;(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.解

(1)由題意知A,P兩點(diǎn)不重合,設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x-2,2y),其中x≠2.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1(x≠2).(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON,圖略,則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,即x2+y2-x-y-1=0.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.能力形成點(diǎn)3與圓有關(guān)的最值問題命題角度1斜率型最值問題例3

已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,求

的最大值和最小值.命題角度2截距型最值問題例4

在例3的條件下求y-x的最大值和最小值.