新高考數(shù)學(xué)新題型

新高考數(shù)學(xué)新題型目錄contents三角恒等變換（選填題）……………………03平面向量（選填題）…………18指對(duì)數(shù)運(yùn)算及比較大?。ㄟx填題）…………37三角函數(shù)（選填題）………50集合（選填題）………………70試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)三角恒等變換（選填題）年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)2021年I卷6三角恒等變換已知條件求值問題2021年II卷無(wú)2022年I卷無(wú)2022年II卷6三角函數(shù)化簡(jiǎn)①三角函數(shù)和差、半角正余弦公式②三角函數(shù)和差、半角正切公式③三角函數(shù)輔助角公式④三角函數(shù)萬(wàn)能公式2023年新高考18三角恒等變換①三角函數(shù)和差、半角正余弦公式②三角函數(shù)和差、半角正切公式③三角函數(shù)輔助角公式④三角函數(shù)萬(wàn)能公式2023年新高考27三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式①三角函數(shù)和差、半角正余弦公式②三角函數(shù)和差、半角正切公式③三角函數(shù)輔助角公式④三角函數(shù)萬(wàn)能公式近三年，三角恒等變換在選填中占據(jù)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)一般來(lái)說是：已知條件求值問題（①“給角求值”②“給值求值”③“給值求角”）2、求非特殊角三角函數(shù)值運(yùn)算（①整體換元利用恒等變形公式計(jì)算其結(jié)果②對(duì)偶式處理③記住一些特殊角的三角函數(shù)值）3、正余弦三角函數(shù)值加減問題（①三角函數(shù)和差、半角正余弦公式②三角函數(shù)和差、半角正切公式③三角函數(shù)輔助角公式④三角函數(shù)三劍客）4、與齊次式互換（掌握五類變形的標(biāo)準(zhǔn)）題干的設(shè)置一般來(lái)說在上述的四項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)。三角恒等變換需要認(rèn)真分類，熟練掌握各類題的技巧，即目測(cè)題后瞬間就能想到對(duì)應(yīng)的做題方案，便可輕松搞定。三角恒等變換在2024新高考新題型中的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查齊次化和已知條件求值問題為主，三角恒等變換在選填中難度中等，考生可適當(dāng)留意常見的變換并分類，每一類總結(jié)出一個(gè)固定模板，以便此類題在高考出現(xiàn)時(shí)考生能做到心中有數(shù)，快速解答.一、已知條件求值問題Ⅰ誘導(dǎo)公式的秒記奇變偶不變，符號(hào)看象限①奇變偶不變關(guān)鍵要看所加弧度是的奇數(shù)倍還是偶數(shù)倍若是奇數(shù)倍則互變，若是偶數(shù)倍，則不變例如：∵是的3倍，3屬于奇數(shù)，故先變?yōu)棰诜?hào)看象限首先將永遠(yuǎn)看成，其次利用看上下，看左右進(jìn)行秒殺上個(gè)例題中變成后，然后判斷符號(hào)，，所以位于第四象限，利用看上下，所以原式為負(fù)，化簡(jiǎn)結(jié)果為例如：∵是的2倍，2屬于偶數(shù)，故先變?yōu)?，然后判斷符?hào)，，所以位于第三象限，利用看左右，所以原式為負(fù)，化簡(jiǎn)結(jié)果為.Ⅱ誘導(dǎo)公式的延伸結(jié)論Ⅰ：推導(dǎo)如下①當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式有②當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式有結(jié)論Ⅱ：推導(dǎo)如下①當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式有②當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式有結(jié)論Ⅲ：①當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式有②當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式有結(jié)論Ⅳ： 推導(dǎo)如下①當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式有②當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式有Ⅲ誘導(dǎo)公式的妙用技巧總結(jié)題中出現(xiàn)同名三角函數(shù)相加且首尾互余或互補(bǔ)時(shí)，則采用倒序相加的思想處理此類問題模型：…①…②由①+②得由誘導(dǎo)公式可得每一組都為0Ⅳ誘導(dǎo)公式的超級(jí)應(yīng)用技巧總結(jié)針對(duì)已知條件求值問題，則遵循以下步驟（萬(wàn)能）第一步：將目標(biāo)角和已知角全拿出來(lái)第二步：通過加減乘消去或第三步：用已知角代替目標(biāo)角第四步：利用誘導(dǎo)公式或三角恒等變換處理二、求非特殊角三角函數(shù)值運(yùn)算問題Ⅰ三角函數(shù)非特殊角選擇問題技巧總結(jié)記住常見數(shù)據(jù)： Ⅱ三角函數(shù)非特殊角填空問題技巧總結(jié)一些非特殊角的三角恒等變形求值填空題，由于最后得出的是一個(gè)具體的數(shù)值，故將其設(shè)為一個(gè)元，再利用恒等變形公式計(jì)算其結(jié)果Ⅲ針對(duì)非特殊角三角函數(shù)值運(yùn)算有兩種思路思路1：采用對(duì)偶式處理 步驟如下： 第一步：令原式為，對(duì)偶式為第二步：兩式相加，兩式相減 第三步：解二元一次方程組，求解思路2：若原式擁有兩個(gè)角的運(yùn)算，可借助三角形處理 步驟如下： 第一步：構(gòu)造△ABC,外接圓直徑第二步：應(yīng)用正弦定理求出第三步：應(yīng)用余弦定理表示求出答案三、正余弦三角函數(shù)值加減問題Ⅰ三角函數(shù)三劍客技巧總結(jié)三角函數(shù)稱為《三劍客》，《三劍客》中《知一求二》理由如下：如果已知求必須會(huì)判斷的正負(fù)判斷如下： ①關(guān)于的符號(hào)判斷當(dāng)角的終邊在區(qū)域2、3、4、5則有當(dāng)角的終邊在區(qū)域1、6、7、8則有當(dāng)角的終邊在直線上時(shí)，則有②關(guān)于的符號(hào)判斷當(dāng)角的終邊在區(qū)域8、1、2、3則有當(dāng)角的終邊在區(qū)域4、5、6、7則有當(dāng)角的終邊在直線上時(shí)，則有③關(guān)于的符號(hào)判斷當(dāng)角的終邊在區(qū)域1、2、5、6則有當(dāng)角的終邊在區(qū)域3、4、7、8則有當(dāng)角的終邊在軸上時(shí)，則有結(jié)論：④若則 Ⅰ當(dāng)角在終邊在區(qū)域1、2內(nèi)時(shí)， Ⅱ當(dāng)角在終邊在區(qū)域3、8內(nèi)時(shí)，Ⅲ當(dāng)角在終邊在區(qū)域4、7內(nèi)時(shí)， Ⅳ當(dāng)角在終邊在區(qū)域5、6內(nèi)時(shí)，⑤若則Ⅰ當(dāng)角在終邊在區(qū)域3、4內(nèi)時(shí)， Ⅱ當(dāng)角在終邊在區(qū)域2、5內(nèi)時(shí)，Ⅲ當(dāng)角在終邊在區(qū)域1、6內(nèi)時(shí)， Ⅳ當(dāng)角在終邊在區(qū)域7、8內(nèi)時(shí)，結(jié)論1：出現(xiàn)形式則采用對(duì)偶式處理 然后利用二元一次方程組快速求解特殊情況：則結(jié)論2：速記一些常見的勾股數(shù)，然后利用直角三角形處理 Ⅱ三角函數(shù)和差、半角正余弦公式技巧總結(jié)①兩角和與差的正弦公式口訣：正余余正，符號(hào)相同故：②兩角和與差的余弦公式口訣：余余正正，符號(hào)相反Ⅲ三角函數(shù)和差、半角正切公式技巧總結(jié)①②③④⑤⑥⑦只要都有只要都有只要都有⑧中，（正切恒等式）Ⅳ三角函數(shù)輔助角公式技巧總結(jié)形如：第一步：第二步：等號(hào)左側(cè)若是加號(hào)，則等號(hào)右側(cè)也為加號(hào)，等號(hào)左側(cè)若是減號(hào)，等號(hào)右側(cè)也為減號(hào).第三步：的求算，只需在第一象限標(biāo)明點(diǎn)尋找夾角即可達(dá)到秒殺的境界.注意：若果，則需提負(fù)號(hào)，繼續(xù)遵循以上步驟三角函數(shù)萬(wàn)能公式技巧總結(jié)萬(wàn)能公式如下①②③④記憶方法：令之所以稱之為萬(wàn)能公式是因?yàn)橹灰鞔_的值，則可以秒求四、與齊次式互換技巧總結(jié)形式如下： ①形如的分式，可將分子分母同時(shí)除以 得： ②形如的分式，可將分子分母同時(shí)除以 得： ③形如的式子，可將其看成分母為1的分式 即： 可將分子分母同時(shí)除以 即： ④形如 求即可 ⑤形如轉(zhuǎn)化為形式③典例1【2023新高考1卷】已知，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，而，因此，則，所以.故選：B典例2【2023新高考全國(guó)Ⅱ卷】已知為銳角，，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，而為銳角，解得：．故選：D．典例3【2022新高考全國(guó)II卷】若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.典例4【2021新高考全國(guó)Ⅰ卷】下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對(duì)于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項(xiàng)均不滿足條件.故選：A.預(yù)測(cè)1（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．預(yù)測(cè)2（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．預(yù)測(cè)3（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．預(yù)測(cè)4（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，當(dāng)取得最大值時(shí)（

）A． B． C． D．預(yù)測(cè)5（2024·青海西寧·模擬預(yù)測(cè)）已知,則（

）A． B． C． D．押題1已知，則（

）A． B． C． D．押題2已知，則（

）A．3 B． C． D．2押題3已知，則（

）A． B． C． D．押題4若，且，則（

）A． B． C． D．1押題5已知滿足，則（

）A． B． C． D．名校預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)1：答案A【詳解】，解得，所以.故選：A.預(yù)測(cè)2：答案B【詳解】因?yàn)?，又，所以，因?yàn)?，則.故選：B.預(yù)測(cè)3：答案C【詳解】由，得，即，所以，所以，所以.故選：C.預(yù)測(cè)4：答案A【詳解】，其中，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，故選：A.預(yù)測(cè)5：答案C【詳解】因?yàn)?又,所以,故選C.名師押題押題1：答案B【詳解】由可得，又，則，故故選：B．押題2：答案A【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所以，?故選：A押題3：答案A【詳解】，，，，故選：A．押題4：答案A【詳解】由得，即，因?yàn)?，所以，所以，結(jié)合，且，得，所以.故選：A.押題5：答案B【詳解】由，得，所以.故選：B平面向量（選填題）年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)2021年I卷10坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量與三角函數(shù)的綜合2021年II卷15平面向量平面向量數(shù)量積2022年I卷3平面向量用基底表示某向量2022年II卷4坐標(biāo)向量平面向量數(shù)量積2023年新高考13坐標(biāo)向量平面向量數(shù)量積16平面向量平面向量與雙曲線綜合2023年新高考213平面向量平面向量數(shù)量積近三年，平面向量在選填中占據(jù)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)一般來(lái)說是：1、平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)及共線定理（①平面向量的四則運(yùn)算②平面向量共線定理）2、平面向量極化恒等式及等和線（①極化恒等式②等和線定理）3、平面向量建系法及對(duì)角線向量定理（①平面向量建系法.②對(duì)角線向量定理③平面向量奔馳定理及向量四心④平面向量的基本運(yùn)算及基底）題干的設(shè)置一般來(lái)說在上述的三項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)。平面向量題目中若表示向量則最好采用建系的思想，平面向量題目中若表示求向量積最值問題則最好采用極化恒等的思想，另外考生們要想靈活應(yīng)用小技巧則需在有限的時(shí)間內(nèi)多推導(dǎo)幾遍，考場(chǎng)中便可輕松搞定。從近三年的全國(guó)卷的考查情況來(lái)看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，其中平面向量數(shù)量積定值和向量積最值考查比較頻繁平面向量三類題目比重相當(dāng)，新高考主要以基向量表示平面向量及向量積最值的形式考查，因小結(jié)論偏多，考生需多推導(dǎo)一遍，試題靈活，下面為考生已總結(jié)..一、平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)及共線定理平面向量的四則運(yùn)算技巧總結(jié)①向量加法與減法的法則：平行四邊形法則：以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和.圖形表示：字母表示：，坐標(biāo)表示：記，則三角形法則：如果把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，那么這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.圖形表示：字母表示：坐標(biāo)表示：記，則②向量數(shù)乘的定義實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作圖形表示：字母表示：坐標(biāo)表示：記，則③兩個(gè)向量的數(shù)量積圖形表示：字母表示：坐標(biāo)表示：記，，則注意：1、向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.2、設(shè)，，⊥.3、兩個(gè)向量，的夾角公式：.平面向量共線定理技巧總結(jié)定理1：已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然平面向量共線定理證明若點(diǎn)互不重合，是三點(diǎn)所在平面上的任意一點(diǎn)，且滿足，則三點(diǎn)共線.證明:(1)由三點(diǎn)共線.由得.即，共線，故三點(diǎn)共線.(2)由三點(diǎn)共線.由三點(diǎn)共線得，共線，即存在實(shí)數(shù)使得.故.令，則有.推廣1：分點(diǎn)恒等式①當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)；③當(dāng)時(shí)；④當(dāng)時(shí)，⑤當(dāng)時(shí)，④中的結(jié)論仍然成立結(jié)論：分點(diǎn)恒等式：在中，為直線上一等分點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有分點(diǎn)恒等式變形：在中，是上的點(diǎn)，如果，則二、平面向量極化恒等式及等和線向量方法證明:平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.證明：不妨說則，（1）（2）（1）（2）兩式相加得：結(jié)論：定理：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.將上面（1）（2）兩式相減，極化恒等式即：（平行四邊形模式）AABCM在三角形中（為的中點(diǎn)），恒等式：因?yàn)?，所以（三角形模式）極化恒等式的作用主要在于，它可以將兩個(gè)向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)向量的“和向量”與“差向量”，因此，當(dāng)兩個(gè)向量的“和向量”或“差向量”為定向量時(shí)，常常可以考慮利用極化恒等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.常見的解決的題型:有中點(diǎn)或能構(gòu)造中點(diǎn)的積的向量題。平面向量共線定理：已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然。等和線：平面內(nèi)一組基底，及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或在平行于的直線上，則（定值）。反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。結(jié)論：（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；（2）當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；（3）當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；（4）當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時(shí)，；（5）若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；（6）定值的變化與等和線到點(diǎn)的距離成正比。證明過程：如圖所示，直線，為直線上任一點(diǎn)，設(shè)．當(dāng)直線不過點(diǎn)時(shí)，直線與直線的交點(diǎn)記為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若，則.由與相似，知必存在一個(gè)常數(shù)，使得，則.又，所以以上過程可逆．因此得到結(jié)論：，則（定值），反之亦成立．三、平面向量建系法及對(duì)角線向量定理常見的坐標(biāo)系建立①邊長(zhǎng)為的等邊三角形 ②知道夾角的任意三角形③正方形 ④矩形⑤平行四邊形⑥直角梯形 ⑥等腰梯形⑦圓建系原則：盡可能讓多個(gè)點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上.解題步驟：第一步：將已知條件進(jìn)行坐標(biāo)處理；第二步：利用平面向量共線坐標(biāo)表示列式求解；第三步：得出結(jié)論.對(duì)角線向量定理：證明過程：在中，由余弦定理的向量式有；在中，同理有.所以在四邊形中，即，表明四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積可用四條邊的長(zhǎng)度表示。結(jié)論1：當(dāng)時(shí)，有.當(dāng)對(duì)角線相互垂直時(shí)，四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等．結(jié)論2：這些結(jié)論適用于任何情況奔馳定理技巧總結(jié)Ⅰ：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，，，求證：證明過程：如圖延長(zhǎng)與邊相交于點(diǎn)，則，推論：已知為內(nèi)一點(diǎn)，且．則有①．②．Ⅱ：奔馳定理在三角形四心中的具體形式：（1）是的重心.（2）是的內(nèi).（3）是的外心.（4）是的垂心.四心的概念介紹（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。模型總結(jié)：模型一：是的重心.證法1：設(shè)是的重心.證法2：如圖三點(diǎn)共線，且分為2：1，是的重心模型二：為的垂心.證明：如圖所示是三角形的垂心，垂直，垂直，是垂足.同理，為的垂心模型三：設(shè),,是三角形的三條邊長(zhǎng)，O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.證明：分別為方向上的單位向量，平分,)，令（)化簡(jiǎn)得模型四：為的外心。（證明略）模型五：變形四心變形1：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的重心證明：，分別為邊的中點(diǎn).//點(diǎn)的軌跡一定通過的重心.變形2：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心證明：分別為方向上的單位向量，平分,點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心.變形3：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心證明：垂直，垂直，是垂足.===+=0點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心.變形4：是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心證明：，為邊上的高∴.變形5：已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的外心。證明：取BC中點(diǎn)M,則，,移項(xiàng)后同乘，即變形6：若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的垂心證明：得,即，同理可得典例1【2021新高考1卷】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來(lái)說故錯(cuò)誤；故選：AC典例2【2021新高考全國(guó)Ⅱ卷】已知向量，，，_______．【答案】【解析】由已知可得，因此，.故答案為：.典例3【2022新高考全國(guó)Ⅰ卷】在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．典例4【2022新高考全國(guó)Ⅱ卷】已知向量，若，則（）A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】解：,,即,解得,故選：C典例5【2023新高考全國(guó)Ⅰ卷】已知向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，由可得，，即，整理得：．故選：D．預(yù)測(cè)1（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，則（

）A． B．C．若，則 D．若，則預(yù)測(cè)2（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若與的夾角為，則（

）A． B． C． D．預(yù)測(cè)3（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，，則的最大值等于（

）A． B． C．2 D．預(yù)測(cè)4（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．4 B．2 C． D．5預(yù)測(cè)5（2024·寧夏固原·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則（

）A． B．1 C． D．2押題1：在平行四邊形中，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．押題2：平面向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．押題3：若向量，，，則（

）A． B． C． D．押題4：正方形的邊長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，則（

）A．4 B．3 C． D．押題5：如圖，已知AB是圓的直徑，是圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積記為，圓的面積記為，當(dāng)取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．名校預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)1：答案D【詳解】選項(xiàng)A：若，則，即，與與為兩個(gè)不共線的單位向量矛盾，故選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：設(shè)與的夾角為，則，，所以，故選項(xiàng)B說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若，則，所以，，即，所以，又，所以，故選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)得，設(shè)與的夾角為，則，，所以，所以，即，所以，故選項(xiàng)D說法正確；故選：D預(yù)測(cè)2：答案A【詳解】由題意得，所以．故選：A預(yù)測(cè)3：答案A【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以點(diǎn)共圓，要使的最大，即為直徑，在中，由余弦定理可得，又由正弦定理，即的最大值等于，故選：A.預(yù)測(cè)4：答案C【詳解】因?yàn)椋运?，所?故選：C預(yù)測(cè)5：答案B【詳解】由題意知，，由，得，解得，因此，解得，即，所以.故選：B名師押題押題1：答案B【詳解】因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，則由，∴.故選：B.押題2：答案C【詳解】由可得，而在方向上的投影向量為.故選：C.押題3：答案A【詳解】因?yàn)?，所以，解?故選：A押題4：答案D【詳解】.故選：D.故選：ABD押題5：答案A【詳解】由題意可知：，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，可知直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為，可設(shè)，可得，則，且，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，且，可知當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取到最大值，此時(shí)，且，所以.故選：A.指對(duì)冪運(yùn)算及比較大?。ㄟx填題）年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)2021年I卷13指對(duì)冪指數(shù)與函數(shù)奇偶性綜合2021年II卷7指對(duì)冪指對(duì)冪數(shù)值的比較大小2022年I卷7指對(duì)冪指對(duì)冪數(shù)值的比較大小2022年II卷無(wú)2023年新高考14復(fù)合函數(shù)指數(shù)的運(yùn)算及函數(shù)單調(diào)性求參2023年新高考24復(fù)合函數(shù)含對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)與函數(shù)奇偶性綜合近三年，指對(duì)冪運(yùn)算在選填中很大可能占據(jù)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)一般來(lái)說是：1、對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（給定實(shí)際應(yīng)用含對(duì)數(shù)表達(dá)式求值或參數(shù)）2、指對(duì)數(shù)與函數(shù)的奇偶性綜合（已知超越函數(shù)的奇偶性求參數(shù)）3、指對(duì)冪數(shù)值的比較大小題干的設(shè)置一般來(lái)說在上述的三項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)。針對(duì)考點(diǎn)1著重了解函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)的含義，考點(diǎn)2一般需要代值求算但要注意此值必定在定義域內(nèi)，考點(diǎn)3盡量轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)利用單調(diào)性比較，也可借助換底公式轉(zhuǎn)化為常見數(shù)據(jù)求算，另外考生們考試前需要借助計(jì)算器多記幾組對(duì)數(shù)值，方便考試急用。從近三年的全國(guó)卷的考查情況以及新高考新題型標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，指對(duì)冪運(yùn)算及比較大小是高考選填方向必不可少的一類題，新高考主要以比較大小及指對(duì)數(shù)應(yīng)用為主，但也不能忽略奇偶性的參合.一、指對(duì)數(shù)運(yùn)算指數(shù)基本運(yùn)算技巧總結(jié)1、有理數(shù)指數(shù)冪的分類⑴正整數(shù)指數(shù)冪⑵零指數(shù)冪⑶負(fù)整數(shù)指數(shù)冪⑷0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.2、有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)⑴⑵⑶⑷3、根式的定義一般地，如果，那么叫做的次根式，其中叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做開方數(shù).4、對(duì)于根式，要注意以下幾點(diǎn)⑴且；⑵當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；⑶負(fù)數(shù)沒有偶次方根；⑷的任何次方根都是5、多重根號(hào)問題，首先先寫成指數(shù)形式，6、指數(shù)的逆運(yùn)算過程指數(shù)特殊運(yùn)算技巧總結(jié)形如，求下列各種形式的值的思路．（1）；根據(jù)計(jì)算即可；（2）；根據(jù)計(jì)算即可；（3）．由于，進(jìn)而根據(jù)即可求解.（4）；根據(jù)計(jì)算即可（5）根據(jù)計(jì)算即可（6）根據(jù)計(jì)算即可對(duì)數(shù)基本運(yùn)算技巧總結(jié)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則①外和內(nèi)乘：②外差內(nèi)除：③提公次方法：④特殊對(duì)數(shù)：⑤指中有對(duì)，沒心沒肺，真數(shù)為幾，直接取幾：2、對(duì)數(shù)的定義一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記,其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)3、換底公式①常用換底②倒數(shù)原理③約分技巧④具體數(shù)字歸一處理：二、指對(duì)冪比較大小指對(duì)數(shù)大小比較問題技巧總結(jié)指對(duì)數(shù)大小比較問題已經(jīng)成為高考的重難點(diǎn)問題，我們這里介紹五大核心思想.核心思想一：同步《升降》次法 形如：注意：一般情況下以為底的對(duì)數(shù)比較大小，底數(shù)真數(shù)次方一起同升同降.口訣：為底眼睛亮，底真次方同升降.核心思想二：先分離常數(shù)再比大小當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系，必須先將對(duì)數(shù)分離常數(shù)后作比較. ① ②口訣：底真出現(xiàn)倍數(shù)時(shí)，分離常數(shù)用起來(lái)核心思想三：利用糖水變甜不等式比較大小當(dāng)對(duì)數(shù)比較大小形式中出現(xiàn)底數(shù)與真數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可以采用糖水不等式放縮處理.形如：則存在，或模型演練：①比較與的大小根據(jù)糖水不等式，令，即故②比較與的大小根據(jù)糖水不等式，令，即故口訣：底大真小底大者大，底小真大底小者大.核心思想四：由引出的大小比較問題如圖所示：①在在，在時(shí)，取得最大值且為②極大值左偏，且③若，則若，則口訣：大指小底永為大（大小指）核心思想五：對(duì)數(shù)等比定理三、指對(duì)數(shù)奇偶性函數(shù)奇偶性的妙解技巧總結(jié)①：基本方法判定函數(shù)的奇偶性使用前提：函數(shù)表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，定義域也容易求解.解題步驟：第一步：確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；第二步：若是，則確定與的關(guān)系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；第三步:得出結(jié)論.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式使用前提：已知函數(shù)在給定的某個(gè)區(qū)間上的解析式，求其在對(duì)稱區(qū)間(或?qū)ΨQ區(qū)間的子區(qū)間)上的解析式.解題步驟：第一步：首先設(shè)出所求區(qū)間的自變量；第二步：運(yùn)用已知條件將其轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間滿足的的取值范圍；第三步：利用已知解析式確定所求區(qū)間相應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式.分段函數(shù)的奇偶性使用前提：所給函數(shù)的解析式為分段函數(shù)，需要判定函數(shù)的奇偶性秒殺：口訣：奇函數(shù)定奇變偶、偶函數(shù)定偶變奇，奇雙負(fù)，偶單負(fù).定義在上任意的函數(shù)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，當(dāng)以分段函數(shù)形式出現(xiàn)奇偶性時(shí)，則函數(shù)一定滿足：Ⅰ：奇函數(shù)Ⅱ：偶函數(shù)若不容易拆分出奇函數(shù)和偶函數(shù)之和時(shí)，則直接采用Ⅰ：奇函數(shù)Ⅱ：偶函數(shù)解題步驟：解題模板1：利用傳統(tǒng)的方法分類討論確定函數(shù)的奇偶性第一步：確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；第二步：若是，則確定與的關(guān)系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；第三步：得出結(jié)論.解題模板2：第一步：確定函數(shù)的定義域第二步：寫出形式的分段函數(shù)第三步：確定函數(shù)的奇偶性常見基本函數(shù)的奇偶性：(1)一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是非奇非偶函數(shù).(2)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是非奇非偶函數(shù).(3)反比例函數(shù)是奇函數(shù).(4)指數(shù)函數(shù)(且)是非奇非偶函數(shù)(5)對(duì)數(shù)函數(shù)(且，)是非奇非偶函數(shù).(6)三角函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù).(7)常值函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).特殊函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)：兩指兩對(duì)⑴，⑵函數(shù)⑶，⑷函數(shù)，函數(shù)⑸函數(shù)考點(diǎn)：形如①已知奇函數(shù)，則②已知奇函數(shù)，則偶函數(shù)：⑴函數(shù)⑵函數(shù)⑶函數(shù)類型的一切函數(shù).典例1【2023新高考1卷】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D典例2【2023新高考全國(guó)Ⅱ卷】若為偶函數(shù)，則（）．A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故此時(shí)為偶函數(shù).故選：B.典例3【2022新高考全國(guó)Ⅰ卷】設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故典例4【2021新高考全國(guó)Ⅰ卷】已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【答案】1【解析】因?yàn)?，故，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時(shí)，整理得到，故，故答案為：1預(yù)測(cè)1（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（

）A． B．C． D．預(yù)測(cè)2（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．15預(yù)測(cè)3（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．預(yù)測(cè)4（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件預(yù)測(cè)5（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)中，懸鏈線指的是一種曲線，是兩端固定的一條（粗細(xì)與質(zhì)量分布）均勻、柔軟（不能伸長(zhǎng)）的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，它被廣泛應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，比如計(jì)算山脈的形狀、婲述星系的形態(tài)、研究植物的生長(zhǎng)等等．在合適的坐標(biāo)系中，這類曲線可用函數(shù)（其中為非零常數(shù)，）來(lái)表示，當(dāng)取到最小值為2時(shí)，下列說法正確的是（

）A．此時(shí) B．此時(shí)的最小值為2C．此時(shí)的最小值為2 D．此時(shí)的最小值為0押題1：近年來(lái)，中國(guó)成為外來(lái)物種入侵最嚴(yán)重的國(guó)家之一，物種入侵對(duì)中國(guó)生物多樣性、農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)等構(gòu)成巨大威脅．某地的一種外來(lái)動(dòng)物數(shù)量快速增長(zhǎng)，不加控制情況下總數(shù)量每經(jīng)過7個(gè)月就增長(zhǎng)1倍．假設(shè)不加控制，則該動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長(zhǎng)到1億只大約需要）（

）A．8年 B．10年 C．12年 D．20年押題2：已知，，，則（

）A． B． C． D．押題3：已知函數(shù)，若，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．押題4：設(shè)命題，使是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減；命題，則下列命題為真的是（

）A． B． C． D．押題5：科學(xué)家從由實(shí)際生活得出的大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若（，），則k的值為（

）A．11 B．15 C．19 D．21名校預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)1：答案A【詳解】設(shè)，則，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，又，得，所以，故選：A預(yù)測(cè)2：答案D【詳解】由題意知，，當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要15次．故選：D預(yù)測(cè)3：答案D【詳解】因?yàn)椋裕碛忠蛟诙x域內(nèi)為減函數(shù)，故，而，因，，且，故，即，所以．故選：D.預(yù)測(cè)4：答案D【詳解】若，符合，但此時(shí)，不滿足充分性，若，符合，但是，不滿足必要性.故選：D預(yù)測(cè)5：答案B【詳解】函數(shù)，為非零常數(shù)，，由取到最小值為2，得，對(duì)于A，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選：B名師押題押題1：答案C【詳解】設(shè)經(jīng)過個(gè)月動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長(zhǎng)到1億，所以，所以，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：，所以，所以，而，所以該動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長(zhǎng)到1億只大約需要12年.故選：C.押題2：答案C【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：C押題3：答案C【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：C.押題4：答案A【詳解】對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故命題為真命題；對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，，不滿足，故命題為假命題．所以“”為真命題，“”為假命題，“”為假命題，“”為假命題．故選：A．押題5：答案A【詳解】，即，則，得.故選：A三角函數(shù)（選填題）年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)2021年I卷4正弦函數(shù)正弦函數(shù)的單調(diào)性10三角函數(shù)與平面向量①平面向量表示三角函數(shù)②輔助角公式異名變同名③正弦函數(shù)求值2021年II卷無(wú)2022年I卷6三角函數(shù)求三角函數(shù)的表達(dá)式從而求值2022年II卷9三角函數(shù)①三角函數(shù)單調(diào)性②三角函數(shù)極值點(diǎn)③三角函數(shù)對(duì)稱軸及切線2023年新高考115余弦函數(shù)余弦函數(shù)零點(diǎn)求參問題2023年新高考216正弦函數(shù)①根據(jù)圖像求表達(dá)式②求值問題近三年，三角函數(shù)在選填中占據(jù)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)一般來(lái)說是：1、求正余切函數(shù)圖象性質(zhì)、值域（最值）（①求正弦函數(shù)圖象性質(zhì)②求余弦函數(shù)圖象性質(zhì)③求正切函數(shù)圖象性質(zhì)④九大模型求最值）2、確定解析式（兩大思路）3、平移變換（正規(guī)方法及秒殺方法）題干的設(shè)置一般來(lái)說在上述的三項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)。有關(guān)三角函數(shù)考生需熟記三大基本圖像，有關(guān)詳細(xì)問題考生需要將三角函數(shù)所研究的角度k令為t，畫出簡(jiǎn)化后三角函數(shù)圖像，研究各項(xiàng)問題，最后一步記得反解x，選擇題中求單調(diào)性及最值秒殺技巧下面有介紹。從近三年的全國(guó)卷的考查情況以及新高考新題型標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，三角函數(shù)是高考選填方向必不可少的一類題，預(yù)測(cè)：多選題形式給定部分三角函數(shù)圖像，求出單調(diào)性、最值、零點(diǎn)及平移問題，單選一般以含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求最值，此類難度偏小，熟練即可.一、求正余切函數(shù)圖象性質(zhì)、值域（最值）問題求正余切函數(shù)圖象性質(zhì)技巧總結(jié)正弦、余弦、正切函數(shù)性質(zhì)有單調(diào)性、周期性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心大前提必須熟悉掌握三大基本圖象的畫法《基本函數(shù)法》①正弦圖象②余弦圖象③正切圖象考點(diǎn)1：?jiǎn)握{(diào)性Ⅰ：求的單調(diào)性，是不影響單調(diào)性的⑴若，則令只要求的單調(diào)性即可，假如求遞增區(qū)間，由基本圖象得反解范圍⑵若，則先將由負(fù)變正，令只要求的單調(diào)性即可，假如求遞增區(qū)間，將基本圖象沿軸對(duì)稱所得目標(biāo)圖象反解范圍⑶若，則先將由負(fù)變正，則令只要求的單調(diào)性即可，假如求遞增區(qū)間，由基本圖象得反解范圍Ⅱ：求的單調(diào)性，是不影響單調(diào)性的⑴若，則令只要求的單調(diào)性即可，假如求遞增區(qū)間，由基本圖象得反解范圍⑵若，則先將由負(fù)變正，令只要求的單調(diào)性即可，假如求遞增區(qū)間，由基本圖象得反解范圍⑶若，則先將由負(fù)變正，則令只要求的單調(diào)性即可，假如求遞增區(qū)間，將基本圖象沿軸對(duì)稱所得目標(biāo)圖象反解范圍Ⅲ：求的單調(diào)性，是不影響單調(diào)性的⑴若，則令只要求的單調(diào)性即可，假如求遞增區(qū)間，由基本圖象得反解范圍⑵若，則先將由負(fù)變正，令只要求的單調(diào)性即可，假如求遞增區(qū)間，將基本圖象沿軸對(duì)稱所得目標(biāo)圖象反解范圍⑶若，則先將由負(fù)變正，則令只要求的單調(diào)性即可，假如求遞增區(qū)間，由基本圖象得反解范圍考點(diǎn)2：周期性①：求及的周期性，最小正周期為②:求及的周期性，最小正周期為③：求及的周期性，最小正周期為④:若函數(shù)的周期是,則函數(shù)的周期⑤：求的周期性，最小正周期為⑥：求的周期性，最小正周期為⑦：若函數(shù)的圖象由兩條對(duì)稱軸，則函數(shù)是周期函數(shù)，⑧：若函數(shù)的圖象存在對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，⑨：若函數(shù)的圖象存在對(duì)稱軸對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，考點(diǎn)3：對(duì)稱軸Ⅰ：求的對(duì)稱軸，是不影響對(duì)稱軸的則令只要求得的對(duì)稱軸，由基本圖象,反解即可Ⅱ：求的對(duì)稱軸，是不影響對(duì)稱軸的則令只要求得的對(duì)稱軸，由基本圖象反解即可Ⅲ：求的對(duì)稱軸，是不影響對(duì)稱軸的則令只要求得的對(duì)稱軸，將基本圖象下面部分翻上去得反解即可Ⅳ：求的對(duì)稱軸，是不影響對(duì)稱軸的則令只要求得的對(duì)稱軸，將基本圖象下面部分翻上去得反解即可Ⅴ:求的對(duì)稱軸，是不影響對(duì)稱軸的則令只要求得的對(duì)稱軸，將基本圖象下面部分翻上去得,反解即可考點(diǎn)4：對(duì)稱中心Ⅰ：求的對(duì)稱軸，是不影響對(duì)稱中心的則令只要求得的對(duì)稱中心，基本圖象,反解即對(duì)稱中心Ⅱ：求的對(duì)稱中心，是不影響對(duì)稱中心的則令只要求得的對(duì)稱中心，由基本圖象反解即對(duì)稱中心Ⅲ：求的對(duì)稱中心，是不影響對(duì)稱中心的則令只要求得的對(duì)稱中心，由基本圖象,反解即可Ⅳ：求的對(duì)稱中心，是不影響對(duì)稱中心的則令只要求得的對(duì)稱中心，由基本圖象,反解即可角函數(shù)單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸（選擇題）技巧總結(jié)①單調(diào)區(qū)間：第一步：確定周期及周期的一半，將選項(xiàng)端點(diǎn)作差 第二步：將選項(xiàng)給定的區(qū)間任一端點(diǎn)值代入表達(dá)式 第三步：確定第二步求出的弧度為基礎(chǔ)函數(shù)的那個(gè)位置，根據(jù)走勢(shì)判斷即可②對(duì)稱中心：第一步：將選項(xiàng)給定的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)代入表達(dá)式 第二步：確定第一步求出的弧度為基礎(chǔ)函數(shù)的那個(gè)位置，根據(jù)位置判斷即可③對(duì)稱軸：第一步：將選項(xiàng)給定的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)代入表達(dá)式第二步：確定第一步求出的弧度為基礎(chǔ)函數(shù)的那個(gè)位置，根據(jù)位置判斷即可九大模型求最值模型一：形如利用的有界性，注意：同時(shí)乘正則保序，同時(shí)乘負(fù)則反序.模型二：形如既可以利用分離常數(shù)法求解，也可以建立關(guān)于的不等式根據(jù)三角函數(shù)有界性求解.模型三：形如，令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.模型四：形如當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)楫?dāng)定義域?yàn)槟硞€(gè)給定區(qū)間時(shí)，利用三角函數(shù)圖象求最值.模型五:形如借助斜率公式(圓)及數(shù)形結(jié)合求解.模型六:形如∵故可以采用判別式處理.模型七:形如利用輔助角公式,輔助角公式中的符號(hào)完全由原式?jīng)Q定,而(最好借助圖象)然后利用三角函數(shù)圖象求最值模型八:形如利用基本不等式求最值模型九:形如應(yīng)考慮轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值二、確定解析式問題秒殺：思路1：形如：第一步：定AK,借助函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)確定參數(shù)AK的值第二步：定周期，借助函數(shù)圖象及五點(diǎn)作圖法中的“五點(diǎn)”確定函數(shù)的周期 第一點(diǎn)（即圖象第一次上升時(shí)與軸的交點(diǎn)）橫坐標(biāo)滿足 第二點(diǎn)（即圖象的“峰點(diǎn)”）橫坐標(biāo)滿足 第三點(diǎn)（即圖象下降時(shí)與軸的交點(diǎn)）橫坐標(biāo)滿足 第四點(diǎn)（即圖象的“谷點(diǎn)”）橫坐標(biāo)滿足 第五點(diǎn)（即圖象第二次上升時(shí)與軸的交點(diǎn)）橫坐標(biāo)滿足求只需在部分圖象中尋求“五點(diǎn)”中任意兩點(diǎn)建立二元一次方程組即可思路2：形如：第一步：定AK,借助函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)確定參數(shù)AK的值第二步：定周期∵，∴往往通過求來(lái)確定，可以通過已知曲線及其與軸的交點(diǎn)來(lái)確定。注意：①相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的水平距離為 ②相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)（最低點(diǎn)）之間的水平距離為③相鄰的最高點(diǎn)（最低點(diǎn)）與平衡點(diǎn)之間的水平距離為第三步：求求只需在部分圖象中尋求“五點(diǎn)”中任意一點(diǎn)建立一元一次方程即可（同思路1第二步）三、平移變換問題技巧總結(jié)正規(guī)方法：左加右減，上加下減，左右只針對(duì)而言（解決題干有平移信息的選擇題）秒殺：第一步：明確誰(shuí)平移得到誰(shuí) 第二步：:解出:解出第三步：確定左右平移了多少注意：先平移后伸縮與先伸縮后平移的區(qū)別典例1【2023新高考1卷】已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.典例2【2023新高考全國(guó)Ⅱ卷】已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則______．【答案】【解析】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)?，所以，．故答案為：．典?【2022新高考全國(guó)Ⅰ卷】記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A典例4【2022新高考全國(guó)Ⅱ卷】已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A.在區(qū)間單調(diào)遞減B.在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C.直線是曲線的對(duì)稱軸D.直線是曲線的切線【答案】AD【解析】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱軸；對(duì)D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．典例5【2021新高考全國(guó)Ⅰ卷】下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對(duì)于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項(xiàng)均不滿足條件.故選：A.預(yù)測(cè)1（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．若且，則C．若在上有且僅有2個(gè)不同的解，則的取值范圍為D．存在，使得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)預(yù)測(cè)2（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．預(yù)測(cè)3（2024·山西朔州·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．是的一個(gè)對(duì)稱中心C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．在上恰有3個(gè)零點(diǎn)預(yù)測(cè)4（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，（參考數(shù)據(jù)），則下列說法正確的是（

）A．是周期為的周期函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．在內(nèi)共有4個(gè)極值點(diǎn)D．設(shè)，則在上共有5個(gè)零點(diǎn)預(yù)測(cè)5（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，函數(shù)的圖象與x軸的其中兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，與y軸交于點(diǎn)C，D為線段BC的中點(diǎn)，，，，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在單調(diào)遞減 D．為奇函數(shù)押題1：已知函數(shù)（），則下列說法正確的是（

）A．若，則是的圖像的對(duì)稱中心B．若恒成立，則的最小值為2C．若在上單調(diào)遞增，則D．若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則押題2：已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為D．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移單位長(zhǎng)度得到押題3：函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．C．的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．設(shè)函數(shù)，則在上的最小值為押題4：要得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的C．縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度押題5：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的最大值為．名校預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)1：答案ACD【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，若且，則，故B不正確；對(duì)于C，若，則，若在上有且僅有2個(gè)不同的解，如圖所示：

可得，解得，也就是的取值范圍為，故C正確；對(duì)于D，，可知當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.預(yù)測(cè)2：答案AC【詳解】對(duì)于A：，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B：，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：，所以為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.預(yù)測(cè)3：答案AC【詳解】對(duì)于A，由題設(shè)可得，故其最小正周期為，故A正確.對(duì)于B，，故不是的一個(gè)對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確.對(duì)于D，由可得，而時(shí)，，故即或，故D錯(cuò)誤.故選：AC預(yù)測(cè)4：答案BCD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，令，得到，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取等號(hào)，所以，不是變號(hào)零點(diǎn)，即，不是的極值點(diǎn)，由，即，又，解得或或或，由圖象知，每一個(gè)解都是變號(hào)零點(diǎn)，所以在內(nèi)共有4個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以的周期為，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由得到，，，列表如下，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增單調(diào)遞增又，，，則在上的大致圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)無(wú)解，由，則，又，則，又由，，故只需再畫出在圖象即可，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，作出的圖象，注意到，所以時(shí)，的圖象在圖象下方，由圖可知與在上有5個(gè)交點(diǎn)，所以在上共有5個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確，

故選：BCD.預(yù)測(cè)5：答案CD【詳解】由題可，，，則，有，，，，把代入上式，得，解得(負(fù)值舍去)，，，由，解得，，解得，，對(duì)A，的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)D：，為奇函數(shù)，故D正確.故選：CD.名師押題押題1：答案ABC【詳解】選項(xiàng)A：若，則，由正弦函數(shù)的圖象可知是的圖像的對(duì)稱中心，A說法正確；選項(xiàng)B：若恒成立，則，解得，又，所以的最小值為2，B說法正確；選項(xiàng)C：令，顯然在上單調(diào)遞增，且，若在上單調(diào)遞增，則，解得，所以，C說法正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，D說法錯(cuò)誤；故選：ABC押題2：答案BCD【詳解】對(duì)于AB，因?yàn)楹瘮?shù)，故A錯(cuò)誤；所以，故B正確；對(duì)于C，令，解得，故C正確；對(duì)于D，的圖象向右平移單位長(zhǎng)度可得，故D正確.故選：BCD押題3：答案ABD【詳解】由圖象可知，，所以，即，又因?yàn)?，所以，故A正確；所以的解析式為，，，所以，解得，故B正確；所以，故點(diǎn)不是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；,因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取的最小值為，故D正確.故選：ABD.押題4：答案BC【詳解】對(duì)于A，所得解析式為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，所得解析式為，B正確；對(duì)于C，所得解析式為，C正確；對(duì)于D，所得解析式為，D錯(cuò)誤.故選：BC押題5：答案【詳解】由題得：，令，則在單調(diào)遞減，故，由，故，所以的最大值為，故答案為：.集合（選填題）年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)2021年I卷1集合集合中交集問題2021年II卷2集合集合中補(bǔ)集與并集2022年I卷1集合集合中交集問題2022年II卷1集合集合中交集問題2023年新高考11集合集合中交集問題2023年新高考22集合利用集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值或范圍近三年，集合在選填中占據(jù)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)一般來(lái)說是：1、集合的含義與表示2、集合間的基本關(guān)系3、集合的基本運(yùn)算題干的設(shè)置一般來(lái)說在上述的多項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)。集合需考生需熟悉技巧，其次掌握集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值或范圍，集合的基本運(yùn)算也是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，設(shè)置此類題難度一般，用心研究必能奪分。從近三年的全國(guó)卷的考查情況以及新高考新題型標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，集合是高考選填方向必不可少的一類題，預(yù)測(cè)：類型1：集合的基本運(yùn)算。類型2：集合間的基本關(guān)系。，考生需從多方面認(rèn)識(shí)，兩類型都相對(duì)簡(jiǎn)單.涉及集合中研究對(duì)象為不等式此類題目一定采用數(shù)形（數(shù)軸）結(jié)合，端點(diǎn)值單獨(dú)討論及驗(yàn)證.一、關(guān)于集合的元素的特征問題(1)確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立.(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.(3)無(wú)序性：集合中的元素的次序無(wú)先后之分.如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個(gè)集合，它們都表示同一個(gè)集合.結(jié)論：（1）（類比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（3）若則（類比，則）（4）一般地，一個(gè)集合元素若為n個(gè)，則其子集數(shù)為2n個(gè)，其真子集數(shù)為2n-1個(gè)，特別地，空集的子集個(gè)數(shù)為1，真子集個(gè)數(shù)為0。二、集合的運(yùn)算1.并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn圖表示：（1）“xA，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”．（2）兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復(fù)元素只出現(xiàn)一次).2.交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：（1）并不是任何兩個(gè)集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，而是．（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時(shí)“A與B的公共元素都屬于A∩B”．（3）兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.3.補(bǔ)集全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U.補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一