概率論與數(shù)理統(tǒng)計統(tǒng)計課后習題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計統(tǒng)計課后習題答案一總主編一鄒庭榮_主編一

程述漢一舒興明一

概率論與數(shù)量統(tǒng)計課后答案

第一章習題解答

1.解：(1)。={0,1,10)；

(2){i|i0,1,…，100n},其中n為小班人數(shù)；n

(3)Q={-7,XV,XXV,XXXV,…},其中,J表小擊中，X表小未擊中；

(4)Q={(x,y)|x2y2<l}。

2.解：(1)事件AB表示該生是三年級男生，但不是運動員；

(2)當全學院運動員都是三年級學生時，關(guān)系式CB是正確的；

(3)全學院運動員都是三年級的男生，ABC=C成立；

(4)當全學院女生都在三年級并且三年級學生都是女生時，=B成立。

3.解：(1)ABC；(2)AB；(3)；(4)(AB)；(5)ABC；

(6);(7);(8)ABACBC

4.解：因ABCAB,則P(ABC)WP(AB)可知P(ABC)=0所以A、B、C至少有一個

發(fā)生的概率為

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

=3X1/4-1/8+0

=5/8

5.解：(1)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.8-0.2=0.9

P(A)=P(A)-P(AB)=0.3-0.2=0.1

(2)因為P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)WP(A)+P(B)=a+8,所以最大值

maxP(AUB)=min(a+P,1);

又P(A)WP(AUB),P(B)WP(AUB)，故最小值minP(AUB)=max(a,0)

6.解：設(shè)A表示事件“最小號碼為5"，B表示事件“最大號碼為5”。

223由題設(shè)可知樣本點總數(shù)nCIO,kAC5。,kC4

2c52c411所以PA3；PB3C1012C1020

7.解：設(shè)A表示事件“甲、乙兩人相鄰”，1

若n個人隨機排成一列，則樣本點總數(shù)為n!,kAn1!.2!,

PAn1!.2!2n!n

若n個人隨機排成一圈.可將甲任意固定在某個位置，再考慮乙的位置。i表示按逆時

針方向乙在甲的第i個位置，i1?則樣本空間

Q=1,2....n1,事件A=1,n1所以

PA2n1

8.解：設(shè)A表示事件“偶遇?輛小汽車，其牌照號碼中有數(shù)8”，則其對立事件A表示

“偶遇一輛小汽車，其牌照號碼中沒有數(shù)8"，即號碼中每一位都可從除8以外的其他9

個數(shù)中取，因此A包含的基本事件數(shù)為9119,樣本點總數(shù)為10。故444

94

PA1PA1410

9.解：設(shè)A、B、C分別表示事件“恰有2件次品”、“全部為正品”、“至少有1件

次品”。

4224由題設(shè)知樣本點總數(shù)nCIO,kAC3,C7,kBC7

PAkAk31,PBB,而BC,所以nl0n6

56PC1PB

10.解：設(shè)A、B、C、D分別表示事件“5張牌為同一花色”、“3張同點數(shù)且另2張牌

也同

點數(shù)”、“5張牌中有2個不同的對（沒有3張同點）”、“4張牌同點數(shù)”。

1513125樣本點總數(shù)nC52,各事件包含的基本事件數(shù)為kAC4C13,kBC13C4C12C4

2221141kCC13C4C4C44,kDC13C4C48故所求各事件的概率為:

151312C13C4C12C4kAC4kBC13PA,PB,55nC52nC52

2221141kCC13C4C4C44C4C48kDC13PC,PD55nC52nC52

11.解：PB1PB0.4,PABPAPAB0.70.50.2

(1)PA|ABPAAB0.77PABO.70.40.292

(2)PAB|ABPAB0.22PABO.99

(3)PA|ABAB0.55P

PABl0.28

12.解:令A=｛兩件產(chǎn)品中有一件是廢品｝,B=｛兩件產(chǎn)品均為廢品｝,C二｛兩件產(chǎn)品

中有

一件為合格品｝,D=｛兩件產(chǎn)品中一件是合格品，另一件是廢品｝。則

211221111CmCmCMCmCMCMmmCMmCmmCm

PA,PAB2,PC,PCD222CMCMCMCM

所求概率為：

(1)PBAPABm1PA2Mm1

PCD2mPCMm1(2)PDC

13.解：設(shè)A、B、C分別表示事件甲、乙、丙得病，由已知有：P(A)=0.05P(B|A)

=0.4P(C|AB)=0.8則甲、乙、丙均得病的概率為：

P(ABC)=P(A)P(BA)P(C|AB)=0.016

14.解：令Ai從甲團中任選兩人，有i名中國旅游者，i0,1,2

B=｛從乙團中隨機選一人是中國人｝,貝I」：

i2iCnCmaiPAi,PBAi2ab2Cnm

i2iCnCmai由全概率公式有：PBPAiPB|Ai

2iOiOCnmab222

15.解：令2｛天下雨｝,B=｛外出購物｝貝ij：P(A)=0.3,P(BA)=0.2,

P(B|A)=0.9

(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(BA)=0.69

(2)P(AB)=PAPB|A2PB23

16.解：令人=(學生知道答案｝,B=｛學生不知道答案｝，C=｛學生答對)

P(A)=0.5P{B}=0.5P(C|A)=1P(C|B)=0.25

由全概率公式：P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(CB)

=0.5+0.5X0.25=0.625所求概率為：P(AC)=0.50.80.6253

17.解：令事件Ai第i次取到的零件是一等品，i1,2

Bi取到第i箱,i1,2則PBlPB20.5

(1)PAlPBlPA1|B1PB2PAl|B20.5

(2)PA2|A110180.50.4

5030PA1A2PBlPA1A2|B1PB2PA1A2|B2PAI0.4

0.5

10918170.50.48560.4

18.證明：因PA|BPAB則

PABPABPAPABPB1PBPB

經(jīng)整理得：PABPAPB

即事件A與B相互獨立。

19.解：由已知有PABPAB1,又A、B相互獨立，所以A與B相互獨

立；A與4

B相互獨立。則可從上式解得：P(A)=P(B)=1/2

20.解：設(shè)A“密碼被譯出”，

Ai="第i個人能譯出密碼”，i=1,2,3

則P(A1)111,P(A2),P(A3)534

P(A)P(A1A2A3)又Al,A2,A3相互獨立,

因此P(A)1P(A1A2A3)

=1P(A1)P(A2)P(A3)

=1(1)(1)(1)0.6

21.解：設(shè)Ai“第i次試驗中A出現(xiàn)”，i1,2,3,4則此4個事件相互獨立。由題

設(shè)有：151314PAlA2A3A41PA1A2A3A4

11PA0.594

解得P(A)=0.2

22.解：設(shè)A、B、C分別表示事件：甲、乙、丙三門大炮命中敵機，D表示敵機被擊

落。于是有D=ABCABCABCABC故敵機被擊落的概率為：

4

PAPBPCPAPBPCPAPBPCPAPBPC

PDPABCPABCPABCPABC0.70.80.90.70.80.10.70.20.

90.30.80.9

二0.902

23.解：設(shè)A、B、C分別表示事件：甲、乙、丙三人釣到魚，則

P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(C)=0.9

(1)三人中恰有一人釣到魚的概率為：

PABCABCABCPABCPABCPABC

=0.4X0.4X0.1+0.6X0.6X0.1+0.6X0.4X0.9

=0.268

(2)三人中至少有一人釣到魚的概率為：

PABC1PABC1PAPBPC

=1-0.6X0.4X0.1

二0.976

24.解：設(shè)口="甲最終獲勝”，A="第一、二回合甲取勝”；B="第一、二回合乙取

勝”；C="第一、二回合甲、乙各取勝一次”。則：

PA2,PB2,PC2

PDAl.PD|BO.PD|CPD.由全概率公式得：

PDPAPD|APBPD|BPCPD|C

2202PD

2

所以P(D)=12

25.解：由題設(shè)500個錯字出現(xiàn)在每一頁上的機會均為1/50,對給定的一頁，500個錯

字是否出現(xiàn)在上面，相當于做500次獨立重復試驗。因此出現(xiàn)在給定的一頁上的錯字個數(shù)

服從二項概率公式，所以所求概率為：

P=C

k3500k500Ik11500kkl1C500k02k49500k0.9974

26.解：設(shè)A="廠長作出正確決策”。

每個顧問向廠長貢獻意見是相互獨立的，因此5個顧問向廠長貢獻正確意見相當于做5

次重復試驗，則所求概率為：

P(A)=

5Ck35k50.6k0.45k0.3174第二章習題解答

1.設(shè)Fl(x)與F2(x)分別是隨機變量X與Y的分布函數(shù)，為使aFl(x)bF2(x)是某個隨

機變量的分布函數(shù)，則a,b的值可取為(A).

3222,bB.a,b5533

1313C.a,bD.a,b2222A.a

2.一批產(chǎn)品20個，其中有5個次品，從這批產(chǎn)品中隨意抽取4個，求這4個產(chǎn)品中的

次品數(shù)X的分布律.

解：因為隨機變量X={這4個產(chǎn)品中的次品數(shù)}

X的所有可能的取值為：0,1,2,3,4.40cl5c591且P{X0}0.2817；

4C20323

31C15C455P{X1)450.4696；C20969

2cl5c5270P{X2)40.2167；C20323

13C15C510P{X3)40.0310；C20323

0C15C541P(X4)40.0010.

X01234

p0.28170.46960.21670.0310O.OO1O

C20969

X3.如果服從OT分布，又知取1的概率為它取0的概率的兩倍，寫出的分布律和分

布函數(shù).

解：設(shè)P{x1}p,則P{x0}1p.

由知，

X01

P1/32/3

P2(1p),所以p23

X當x0時，F(xiàn)(x)P{Xx}0；

6

當0x1時、F(x)P{Xx)P{X0}1；3

當x1時，F(xiàn)(x)P{Xx}P{X0}P{X1}1.

0X的分布函數(shù)為：F(x)1/3

1x00x1.x1

4.一批零件中有7個合格品，3個不合格品，安裝配件時，從這批零件中任取一個，若

取出不合格品不再放回，而再取一個零件，直到取得合格品為止，求在取出合格品以前，

已取出不合格品數(shù)的概率分布.

解：設(shè)X={在取出合格品以前，已取出不合格品數(shù)}.

則X的所有可能的取值為0,1,2,3.

7；10

377P(x1};10930

3277P{x2}；1098120

32171P{x3).10987120P{x0}

所以X

X0123

p7/107/307/1201/120

5.從一副撲克牌(52張)中發(fā)出5張，求其中黑桃張數(shù)的概率分布.

解：設(shè)X=｛其中黑桃張數(shù)｝.

則X的所有可能的取值為0,1,2,3,4,5.

05C13C392109P{x0}0,2215；5C529520

14C13C3927417P{x1}0,4114；5C5266640

23C13C3927417P{x2}0.2743；5C5299960

32C13C3916302P{x3}0.0815；5C52199920

41cl3c39429P{x4}0.0107；5C5239984

50C13C3933P{x5}0.0005.5C52666407

所以X的概率分布為：

X012345

P0.22150.41140.27430.08150.0107O.OOO5

6.自動生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為p,當在生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進

行調(diào)整，求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)X的概率函數(shù).

解：由己知，XG(p)

所以P(Xi)p(lp)i,i0,1,2

7.一汽車沿--街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或

綠是相互獨立的，且紅、綠兩種信號顯示時間相同.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通

過的路口數(shù).求X的概率分布.

解：X的所有可能的取值為0,1,2,3.

且P{X0}1；2

U1P{X1}；224

11UP{X2}；

X0123

P1/21/41/81/8

2228

1111P{X3}；2228

所以X的概率分布為

8.一家大型工廠聘用了100名新員工進行上崗培訓，據(jù)以前的培訓情況，估計大約有

蝴的培訓者不能完成培訓任務(wù)求：

(1)恰有6個人不能完成培訓的概率；

(2)不多于4個的概率.

解:設(shè)*={不能完成培訓的人數(shù)}.則XB(100,0.04),

6(1)P{X6}C1000.0460.96940.1052;

4

(2)P{X4}C

kOklOOO.04k0.96100k0.629.

9.一批產(chǎn)品的接收者稱為使用方，使用方風險是指以高于使用方能容許的次品率p接

受一批產(chǎn)品的概率.假設(shè)你是使用方，允許次品率不超過P0.05,你方的驗收標準為從

這批產(chǎn)品中任取100個進行檢驗，若次品不超過3個則接受該批產(chǎn)品.試求使用方風險是

多少？（假設(shè)這批產(chǎn)品實際次品率為0.06）.

解：設(shè)乂=｛100個產(chǎn)品中的次品數(shù)｝,則XB（100,0.06）,

所求概率為P｛X3｝C

k3kl00(0.06)k(0.94)100k0.1430.

10.甲、乙兩人各有賭本30元和20元，以投擲一枚均勻硬幣進行賭博.約定若出現(xiàn)正

8面，則甲贏10元，乙輸10元；如果出現(xiàn)反面，則甲輸10元，乙贏10元.分別求投擲

一次后甲、乙兩人賭本的概率分布及相應(yīng)的概率分布函數(shù).

解：設(shè)X甲=｛投擲一次后甲的賭本｝,*乙=｛投擲一次后乙的賭本｝.

則X甲的取值為20,40,且

P{X甲20}P{X甲40}11,P{X乙10}P{X乙30},22

所以X甲與X乙的分布律分別為：

2040

八甲

P-U2U2~

X乙103。

~PU2U2-

0,1FX(x)，甲2

l,x200,120x4,0FX(x)，乙2

x401,x1010x30x30

11.設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為：（1）PXka2k,k1,2,,100；

（2）PXka2k.k1,2,，分別求（1）、（2）中常數(shù)a的值.

解：（1）因為PXka2

kIk1100100k1,

2(12100)11,所以a即a.100122(21)

(2)因為PXka2

kIk1k1,

1

即a1,所以a1.12

12.己知-電話交換臺服從4的泊松分布，求：(1)每分鐘恰有8次傳喚的概率;

(2)每分鐘傳喚次數(shù)大于8次的概率.

解：設(shè)*={每分鐘接到的傳喚次數(shù)},則XP(),查泊松分布表得

(1)P{X8}P{X8}P{X9}0.05110.02140.0297；

(2)P{X8}0.02136.

13.一口袋中有5個乒乓球，編號分別為1、2、3、4、5,從中任取3個，以示3個球

9中最小號碼，寫出X的概率分布.

解：X的所有可能的取值為1,2,3.

2C463P{x1}3；C5105

C323P{x2}3；C510

2C21P{x3}3.C510

所以X

X103

P6/103/101/10

14.已知每天去圖書館的人數(shù)服從參數(shù)為(0)的泊松分布.若去圖書館的讀者中

每個人借書的概率為P(0PD,且讀者是否借書是相互獨立的.求每天借書的人數(shù)X的

概率分布.

解：設(shè)Y{每天去圖書館的人數(shù)}，則YP(),

P{Yi}i

i!e,i0,1,2,

當{Yi}時，XB(i,p),

P{Xk}P{Yi}Cikpkdp)ik

ik

ik

ii!eCp(lp)kikikikii!ei!pk(lp)ik

k!(ik)!

ikii!ei!kpk

ik

kikp(lp)e(1p)ikk!(ik)!k!ik(ik)!

kpk

k!e(ik)!(1p)

ikikikkpkk!ee(1p)(p)k

pek!

(P)k

pe,k0,1,2,即X的概率分布為P{Xk}k!

15.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)axb,0x1,其它0,10

且PXPX,試求常數(shù)a和b.11ab解：

PX3(axb)dx；031831313

114a2b,PXl(axb)dx3393

由ab4a2b17得，a1.5,b.1839324

16.服從柯西分布的隨機變量€的分布函數(shù)是F(x)=A+Barctanx,求常數(shù)A,B;

P{X1}以及概率密度f(x).

1AF()lim(ABarctanx)ABOx22解：由得

F()lim(ABarctanx)ABIBI

x2

所以F(x)11arctanx；2

PX1}P{1x1}F(l)F(1)0.5；

f(x)F'(x)1.21x1

17.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

0,F(x)Ax2,

1,x00xlx1

求：(1)常數(shù)A的值；(2)X的概率密度函數(shù)f(x)；(3)PX2.

解：(1)由F(x)的連續(xù)性得F(10)F(10)F(l)1

0,x022AIF(x)Ax1即lim,所以，x,0x1；x11,x1

2x,0x1(2)f(x)F'(x)；0,其他

(3)P{X2}F(2)1.

11

A

，當x12

18.設(shè)隨機變量X的分布密度函數(shù)為f(x)x

0,其它

試求：(1)系數(shù)A；(2)P

1

(3)X的分布函數(shù)F(x).X2

2

1

解：(1

y]]-X2

)因為1

f(x)dx

Aarcsinx1A

1

x11；所以A

/rvLl-.v2

,f(x)0,其它

21111

(2

)PX2If(x)dxarcsinx

13222

1

⑶當x1時，f(x)P{Xx}0,當0x

n

1時，f(x)P{Xx}

1

arcsinx,2

1

當x

1時，f(x)P(Xx)

1

1,

0,

11

所以F(x)arcsinx,

21,

xllxlxl

19.假設(shè)你要參加在11層召開的會議，在會議開始前5min你正好到達10層電梯口，

已知在任意一層等待電梯的時間服從0到10min之間的均勻分布.電梯運行一層的時

間為10s,從11層電梯口到達會議室需要20秒.如果你不想走樓梯而執(zhí)意等待電梯，

則你能準時到達會場的概率是多少？

解：設(shè)*={在任意一層等待電梯的時間}，則XU(0,10),

由題意，若能準時到達會場，則在10等電梯的時間不能超過4.5min,所求概率為

P{X4.5}

4.50

0.45.

100

20.設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時間X(min)服從的指數(shù)分布.某顧客在窗口

等待服務(wù)，若超過10min,他就離開.若他一個月到銀行5次，求：(1)一個月內(nèi)他未

等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)Y的分布；

15

Y1.(2)求P12

解：(1)由已知，XE(),YB(5,p)

101015其中pP{X10}1P{X10}1所以Y的分布為

f(x)dx10115dxe25

kkkP{Yk}C5p(lp)5kC5(e2)k(le2)5k,(k0,1,2,3,4,5)；

(2)PY11P{Y0}1C50(e2)0(1e2)50.5167.

21.設(shè)隨機變量)CN(5,4),求使:

(1)PX0.903；(2)PX50.01.

解：由X~N(5,4)得

(1)PXPX5~N(0,1)25X55()0.903

222

5

21.3,所以7.6；查標準正態(tài)分布表得:

(2)由PX50.01得，P

所以PX50.99X5PX5

X5P0()2()10.99222222

即()0.995,查標準正態(tài)分布表得

222.58,所以5.16

22.設(shè)X~N(10,22),求P10X13,PX2.

解：由X~N(10,22)得X10~N(0,1)2

X10P10X13=P01.5(1.5)(0)0.99320.50.4932；

2

PX102P{2X102}

P(1X101}(1)(1)2(1)120.841310.6826.2

23.某地8月份的降水量服從185mm,28mm的正態(tài)分布，求該地區(qū)8月份降水量

超過250mm的概率.

13

解：設(shè)隨機變量X={該地8月份的降水量},

則XN(185,282),從而

所求概率為X185N(0,1)28

P{X250}PX1852501851(2.32)10.98980.01022828

24.測量某一目標的距離時，產(chǎn)生的隨機誤差X(cm)服從正態(tài)分布N(0,400),求在3次

測量中至少有1次誤差的絕對值不超過30cm的概率.

解：由XN(0,400)得XN(0,1)20

設(shè)丫={在3次測量中誤差的絕對值不超過30cm的次數(shù)},則YB(3,p)其中

pP{X30}P{30X30}P{1,5X1.5)

(1.5)(1.5)2(1.5)120.933210.8664

所以P{3次測量中至少有1次誤差的絕對值不超過30cm}=P{Y1}

01P{Y0}1C30.866400.133230.9976

25.已知測量誤差X~N(7.5,102),X的單位是1nm，問必須進行多少次測量，才能使至少

有一次測量的絕對誤差不超過10mm的概率大于0.9.

解：設(shè)必須進行n次測量才能使至少有一次測量的絕對誤差不超過10mm的概率大于0.

9.

由已知X~N(7.5,10),2X7.5~N(0,1)10

設(shè)丫=5次測量中，絕對誤差不超過10mm的次數(shù)}，則YB(n,p)其中

pP{X10}PX7.50.25}(0.25)0.598710

所求概率為P{Y1}0.9,即P{Y0}0.1

OCnO.598700.4013n0.1,解之得，n3

必須進行3次測量，才能使至少有一次測量的絕對誤差不超過10mm的概率大于0.9.

26.參加某項綜合測試的380名學生均有機會獲得該測試的滿分500分.設(shè)學生的得分

X~N(,2),某教授根據(jù)得分X將學生分成五個等級：A級：得分X()；B級：

X()；C級：()X；口級：(2)X()；F級：

X(2).已知A級和C級的最低得分分別為448分和352分，貝人

14

(1)和是多少？(2)多少個學生得B級？

解：(1)由已知，448400,解之得35248

X(2)P{X}P{01}

(1)(0)0.84130.50.3413

由于0.3413X380=129.66,故應(yīng)有130名學生得B級。

Y=-3X+1-5-214

P0.250.30.250.2

Z=X?+I125

P0.250.50.25

27.已知隨機變量X的概率分布如下,

X-1012

P0.20.250.300.25

2求Y3X1及ZX1的概率分布.

解：Y3X1的所有可能的取值為4,1,-2,-5.且P{Y4}P{X1}0.2；

P{Y1}P{X0}0.25；

P(Y2}P{X1}0.3；

P{Y5}P{X2}0.25.

所以丫3X1ZX21的所有可能的取值為1,2,5

且P{Z1}P{X0}0.25；

P{Z2}P{X1}P{X1}0.5；

P{Z5}P{X2}0.25.

所以ZX1的分布律為

228.設(shè)隨機變量X~N(0,1),求Y12X的密度函數(shù).解：由X?N(0,1),得pX(x)1

2ex2

2,設(shè)Y12X的分布函數(shù)為FY(y),則15

FY(y)P{Yy)P{12Xy}P{X

當y2l時，1y2

FY(y)P{Yy}P{X

當y<l時，1yP{}1；2

FY(y)P{Yy}P{X

1P(X1y21y2

1ylyX}1P{22

1yly)FX()].1[FX(22

1yly)FX()],1[FX(即FY(y)220,

pY(y)FY(y)y1,y1.

1yllylp()p(),X2X2220,

1(y1)

e8,20,

29.隨機變量X的概率密度為2yl,y1.yl.y1.

2,x0f(x)(x21)

x00,

求YInX的密度函數(shù).

解：由于y=lnx是一個單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為Xe,y

min{f(00),f()},max{f(00),f()}.

利用公式得Y=lnX的密度函數(shù)為

pY(y)pX(e)(e)yy16ey

,(y).e2y12

30.設(shè)通過點(0,1)的直線與x軸的交角在[0,]上服從均勻分布，求這直線在x軸

上截距X的密度函數(shù).

解：以a表示過(0,1)點的直線與x軸的交角，

見圖1。由題意知：隨機變量a在(0,n)內(nèi)服從均勻分

布，故得a的概率密度為1,pa(x)0,0x，其它.

設(shè)隨機變量X表示直線在x軸上的截矩，易知圖1

Xctg,即Xctg,其分布函數(shù)為：

FX(x)P{Xx}P{ctgx}P{ctgx}

P{arcctg(x)}F[arcctg(x)]。

其密度函數(shù)為

pX(x)FX(x){F[arcctg(x)]}

第三章習題解答

1.設(shè)隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布為

若X,Y相互獨立，則(A).

2112A.a,bB.a,b9999

1121C.a,bD.a,b3333

解：根據(jù)離散型隨機變量獨立性的定義，

p{x=ly=2}=p{x=l}p(y=2)即：1/9=(1/6+1/9+1/18)(l/9+a)得：a=2/9

p{x=ly=3}=p{x=l}p{y=3}得：b=l/9

2.同時擲兩顆質(zhì)體均勻的骰子，以X,Y分別表示第1顆和第2顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則

(A).

11A.P{Xi,Yj},i,j1,2,6B.P{XY)3636

11C.P{XY}D.P{XY}22

解：根據(jù)離散型隨機變量獨立性的定義,

111P{Xi.Yj}p{Xi}p{Yj},i,j1,2,66636

因為所有的樣本點為(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)一直到(6,1)(6,2)(6,

3)(6,4)(6,5)(6,6)共36個

15X=Y共6個，故B選項P{XY},則C選項P{XY}66

21XY的樣本點數(shù)為21個，P{XY)36

23.若X~N(1,12),Y~N(2,2),且X,Y相互獨立，則(C).

2A.XY~N(12,(12)2)B.XY~N(12,122)

22C.X2Y~N(122,1242)D.2XY~N(212,2122)

參看課本69頁推論2：隨機變量Xi~N(i,i2)(i1,2n),且X1,X2,Xn相互

獨立，常數(shù)al,a2,an不全為零，則有

18

n

n22aX~Na,aiiiiii

ili1i1

n

4.已知X~N(3,1Y),

Z~(A).

N~(且2,1)X,相Y互獨立，記ZX2Y1,則

A.N(0,5)B.N(0,12)C.N(0,54)D.N(1,2)5.已知(X,Y)的密度函數(shù)為

Csin(xy),0x,y

f(x,y)4

其它0,

則C的值為(D).A.

12

B.C.22

21D.

21

解：根據(jù)..維隨機變量密度函數(shù)的性質(zhì)：

0

f(x,y)dxdy1

0

即：44csin(xy)dxdy1解得：c=21

Ae(2x3y),x,y06,為使f(x,y)為二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度,

其他0,則A必為(B).

A.0B.6C.10D.16解：同上題類似

32

xy,0x2,0y1

7.設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y)2,則(X,Y)在以

其他0,(0,0),(0,2),(2,1)為頂點的三角形內(nèi)取值的概率為(C).

A.0.4B,0.5C.0.6D.0.8

解：以(0,0),(0,2),(2,1)為頂點的三角形內(nèi)，密度函數(shù)解析式不唯一。

3

以(0,0),(0,1),(2,1)為頂點的三角形內(nèi),f(x,y)xy2

2以(0,1),(2,1),(0,2)為頂點的三角形內(nèi)，f(x,y)0所以，pdxx

02

32

xydy=0.622

1

8.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為19

11,1x,yxf(x,y)2x2yx0,其它

判斷X與Y是否相互獨立.

解：根據(jù)課本62頁定理1,先求fx(x),fY(y),然后看fx(x)fY(y)f(x,y)是否成立。

經(jīng)判斷，不獨立

9.一個袋中有4個球，分別標有數(shù)字1、2、2、3,從袋中隨機取出2個球，令

(X,Y)的聯(lián)合分布列.

123

101/61/12

21/61/61/6

31/121/60

X、Y分別表示第一個球和第二個球上的號碼，求:

其它概率直接求即可。

10

X-101

_LJL1

P474

Y0I

11

P22

又已知P{XY0}1,試求(X,Y)

X01

-11/40

001/2

11/40

的聯(lián)合分布，并判斷X和丫是否獨立.解：由P{XY0}1得：p{x=-ly=l}=0,

p{x=ly=l}=0

根據(jù)聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系，p{y=l}=l/2,得p{x=0y=l}=l/2

p(x=0)=l/2,得p{x=0y=0}=0,p{x=l}=l/4,得p{x=ly=0}=l/4

聯(lián)合分布為：

(X,Y)(0,0)(-1,1)(-1,3)(2,0)

P1/61/31/125/12

因為，所以X,丫不獨立

11.設(shè)(X,Y)的分布列如下，寫出X與丫的邊緣分布.

X-102Y013

Pi.5/121/65/12P..7/121/31/12

12.XY20

Cxex(y1),x0,y0f(x,y)其它0,

求常數(shù)C及邊緣分布密度函數(shù).

解：考查二維隨機變量密度函數(shù)的性質(zhì)及密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)的關(guān)系由

f(x,y)dxdy1得:

0OCxex(yl)dxdy1所以C=1邊緣密度公式：fY(y)

ex,帶入得：fX(x)0,f(x,y)dxfX(x)f(,xy)dy1x0,

fY(y)(y1)2

x00,yOy0

13.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為

21xxy,0x1,0y2f(x,y)30,其它

(1)求X和丫的邊緣密度,并判斷X和丫是否獨立;(2)求PXY1解:

(1)與上題類似，判斷是否獨立,看fx(x)fY(y)f(x,y)是否成立。

(2)求區(qū)域上的概率。即高等數(shù)學上求二重積分。

121PXY1(x2+xy)dydx=65/7201x3

14.獨立投擲一枚均勻的骰子兩次，記B、C為兩次中各出現(xiàn)的點數(shù),求一元二次方程

x2BxC0有實根的概率和有重根的概率.

解：方程有實根即B24C0B24C,參看選擇第二題，樣本點數(shù)為19,故P=19/36.

方程有重根即B24C0B24C,樣本點為2個，P=2/36.

15.證明二維正態(tài)隨機變量(X,Y)相互獨立的充要條件是0.

證明：參見教材61頁例3.

16.設(shè)G是由直線y0,xy8及x0所圍成的三角形區(qū)域，二維隨機變量(X,Y)在

G上服從均勻分布，求：

(1)(X,Y)的聯(lián)合概率密度；(2)X,丫的邊緣分布密度函數(shù)；

(3)條件密度fY|X(y|x)和fX|Y(x|y).

21

解：(1)由均勻分布的定義(64頁例6),D為平面上面積為A的有界區(qū)域.

1

,(x,y)D

f(x,y)A

0,其它

I

求區(qū)域的面積A=32,所以fx,y32

0

(2)邊緣密度公式：fY(y)

0x8,0y8x

其他

f(x,y)dxfX(x)

，將密度函f(,xy)dy

數(shù)帶入得

8x

fXx32

0

0x8

8y

,fYy32

其他0

0y8其他

(3)條件密度公式:fY|Xyx

fx,yfx.y

fX|YxyfXxfYyl7.設(shè)隨機變量X與丫相互獨立，且分別服從參數(shù)為1和2的

泊松分布，求

ZXY的概率分布.

解：P(Xk)

Ik

k!

e

1

，P(Yk)

2k

k!

e2,k1,2,

P{Zk}P{XYk}

iJk

P(Xi,Yj)

li

i!e

1

ijkk

P{Xi}P{Yj}

li

i!e

1

2j

j!

e2

iJk

i0

(ki)!

1

2ki

2

12

k!eikie12i0i!(ki)!k!k

Ckili2ki

i0

k

e()/k!12

2

k

k!

e(12)

即Z服從參數(shù)為1+2的泊松分布.18.設(shè)(X,Y

X-112

-15/202/206/20

23/203/201/20

求：Z1X丫和Z2XY的分布列.

22

1

Z2=XY-1-2124

P2/209/205/203/201/20

19.(系統(tǒng)管理)設(shè)某系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1與L2連接而成，已知L1與

L2的壽命(單位：年)分別為隨機變量X與Y,它們的分布密度為

ex,x0ey,y0fY(y)fX(x)xOy00,0,

式中的，口與L2的連接方式為(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)；(3)留L2備用.若系

統(tǒng)L的壽命為Z,試求Z的分布密度，若0.1,0.2,試求P{Z10}.解：(1)串

聯(lián)的情況。

由于當U和L2中有一個損壞時，系統(tǒng)L就停止工作，所以這時L的壽命為

Z=min(X,Y)

不難求得