新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語集合集合及其表示方法學(xué)案新人教B版必修第一冊

1.1.1集合及其表示方法

(教師獨具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.針對具體問

題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合.3.在具體情境中，了解空集

的含義.4.能正確使用區(qū)間表示一些數(shù)集.

教學(xué)重點：1.集合概念的正確理解.2.元素的三性(確定性、互異性、無序性).3.元素與

集合關(guān)系的判定.4.集合常用的兩種表示方法(列舉法、描述法).5.區(qū)間的概念.

教學(xué)難點：1.對元素的確定性的理解.2.描述法表示集合.

【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨具內(nèi)容)

一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義.于是他請教一位數(shù)學(xué)家：“先

生，您能告訴我，集合是什么嗎？”

由于集合是不定義的概念，數(shù)學(xué)家很難向那位漁民講清楚.直到有一天，數(shù)學(xué)家來到漁

民的船上，看到漁民撒下漁網(wǎng)，然后輕輕一拉，許多魚蝦在網(wǎng)中跳動.數(shù)學(xué)家非常激動，高

興地對漁民說：“這就是集合！”

你能理解這位數(shù)學(xué)家的話嗎？

【知識導(dǎo)學(xué)】

知識點一集合與元素的定義

(1)集合:把一些能夠確定的、不同的對象匯集在一起，就說由這些對象組成一個集合(有

時簡稱為集).

(2)元素：組成集合的每個對象都是這個集合的元素.

(3)表示：通常用英文大寫字母4B,C,…表示集合，用英文小寫字母a,b,c,…表

示集合中的元素.

知識點二元素與集合的關(guān)系

(1)“屬于"：如果a是集合力的元素，就記作些邑，讀作“a屬于.

(2)“不屬于"：如果a不是集合"的元素，就記作蹙&,讀作“a不屬于4'.

知識點三空集

一般地，我們把不含任何元素的集合稱為但空集(emptyset),記作空.

知識點四集合中元素的三個特性

(1)確定性；

(2)互異性;

(3)無序性.

知識點五集合的分類

⑴有限集；

⑵無限集.

知識點六幾個常用數(shù)集的固定字母表示

知識點七集合的表示方法

集合常見的表示方法有：但自然語言、，列舉法、，描述法、?“區(qū)間”(以及后面將

要學(xué)習(xí)的維恩圖法和數(shù)軸表示法等直觀表示方法).

(1)列舉法：把集合中的元素因一一列舉出來(相鄰元素之間用逗號分隔),并寫在大括

號內(nèi)，以此來表示集合的方法稱為列舉法.

(2)描述法：如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的元

素都不具有這個性質(zhì)，則性質(zhì)o(x)稱為集合4的一個西特征性質(zhì).此時，集合/可以用它

的特征性質(zhì)0(x)表示為{x1(x)}.這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為描

述法.

知識點八區(qū)間

實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為”(一8,+8),“8”讀作“無窮大”，“一8”讀作“負(fù)

無窮大”，“十8”讀作“正無窮大”.我們可以把滿足x>a,x^b,的實數(shù)x

的集合分別表示為園［a,+8),(&+8),(—8,、］,(—8,扮.

可以看出，區(qū)間實質(zhì)上是一類特殊數(shù)集(即由數(shù)軸某一段上所有點對應(yīng)的實數(shù)組成的集

合)的符號表示；

例如，大于1且小于10的所有自然數(shù)組成的集合就不能用區(qū)間(1,10)表示.

【新知拓展】

1.元素和集合關(guān)系的判斷

(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)

即可.此時應(yīng)先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的.

(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具

有的特征即可.此時應(yīng)先明確已知集合的元素具有什么特征，即該集合中元素要滿足哪些條

件.

2.集合的三個特性

(1)描述性：“集合”是一個原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的

“點”“線”“面”等概念一樣都只是描述性的說明.

⑵整體性：集合是一個整體，暗含“所有”“全部"''全體”的含義，因此一些對象

一旦組成了集合，這個集合就是這些對象的總體.

(3)廣泛性：組成集合的對象可以是數(shù)、點、圖形、多項式、方程，也可以是人或物，

甚至一個集合也可以是某集合的一個元素.

3.使用列舉法表示集合時需注意的幾點

(1)元素之間用“，”隔開；

(2)元素不重復(fù)，滿足元素的互異性；

(3)元素?zé)o順序，滿足元素的無序性；

(4)對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必

須把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號.

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)某校高一年級16歲以下的學(xué)生能構(gòu)成集合.()

(2)已知/是一個確定的集合，a是任一元素，要么ad4,要么因4二者必居其一且

只居其一.()

(3)對于數(shù)集/={1,2,x},若貝I」x=0.()

(4)對于區(qū)間[2a,a+1],必有a<0.()

(5)集合{了|了=/，xGR)與{s|s=/，大GR}的元素完全相同.()

答案⑴V(2)V(3)X(4)X(5)V

2.做一做

(1)下列所給的對象能組成集合的是()

A.“金磚國家”成員國B.接近1的數(shù)

C.著名的科學(xué)家D.漂亮的鮮花

(2)用適當(dāng)?shù)姆?e,在)填空.

00,0{0},0N,

-2N*,-Z,y[2Q,

兀________R.

(3)不等式2x—123的解集可以用區(qū)間表示為.

答案⑴A(2)陣ee陣陣陣e

(3)[2,+8)

題型一集合概念的理解

例1下列所給的對象能構(gòu)成集合的是.

①所有的正三角形；

②高一數(shù)學(xué)必修第一冊課本上的所有難題；

③比較接近1的正數(shù)全體；

④某校高一年級的全體女生；

⑤平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點的距離等于1的點的集合；

⑥參加2019年世乒賽的年輕運動員；

⑦a,b,a,c.

［解析］①能構(gòu)成集合.其中的元素需滿足三條邊相等.

②不能構(gòu)成集合.因“難題”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的，不確定的，故不能構(gòu)成集合.

③不能構(gòu)成集合.因“比較接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合.

④能構(gòu)成集合.其中的元素是“高一年級的全體女生”.

⑤能構(gòu)成集合.其中的元素是“到坐標(biāo)原點的距離等于1的點”.

⑥不能構(gòu)成集合.因為“年輕”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的，不確定的，故不能構(gòu)成集合.

⑦不能構(gòu)成集合.因為兩個a是重復(fù)的，不符合集合元素的互異性.

［答案］①④⑤

金版點睛

判斷一組對象能否構(gòu)成集合的方法

(1)關(guān)鍵：看是否給出一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對于任何一個對象能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不

是給定集合的元素.

(2)切入點：解答此類問題的切入點是集合元素的特性，即確定性、互異性和無序性.

［跟蹤訓(xùn)練1］判斷下列說法是否正確？并說明理由.

(1)大于3的所有自然數(shù)組成一個集合；

(2)未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合；

31

(3)1,0.5,--萬組成的集合含有四個元素；

(4)出席2019年全國兩會的所有參會代表組成一個集合.

解(1)中的對象是確定的，互異的，所以可構(gòu)成一個集合，故正確.

(2)中的“高科技”標(biāo)準(zhǔn)是不確定的，所以不能構(gòu)成集合，故錯誤.

(3)中由于0.5=/不符合集合中元素的互異性，故錯誤.

(4)中的對象是確定的，所以可以構(gòu)成一個集合，故正確.

題型二元素與集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用

例2(1)下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是()

①JIGR；?A/3$Q；③0GN*；④|一4性N*.

A.1B.2C.3D.4

,6一

(2)集合力中的元素x滿足^-GN,xGN,則集合力中的元素為________.

6—X

［解析］(1)：口是實數(shù)，羽是無理數(shù)，.??①②正確；：N*表示正整數(shù)集，而0不是正

整數(shù)，故③不正確；又1—41=4是正整數(shù)，故④不正確，...正確的共有2個.

67NO,6—x>0,

(2)V--eN,x￡N,???<6-x即

6—xx20,

.??0Wx<6,.'.^=0,1,2,3,4,5.

當(dāng)X分別為0,3,4,5時，益一相應(yīng)的值分別為1，2,3,6,也是自然數(shù)，故填0,3,4,5.

［答案］(DB(2)0,3,4,5

金版點睛

L常用數(shù)集之間的關(guān)系

2.確定集合中元素的三個注意點

判斷集合中元素的個數(shù)時，注意集合中的元素必須滿足互異性.

集合中的元素各不相同，也就是說集合中的元素一定要滿足互異性.

若集合中的元素含有參數(shù)，要抓住集合中元素的互異性，采用分類討論的方法進(jìn)

行研究.

［跟蹤訓(xùn)練2］(1)用符號“e”或“陣”填空.

①。N*；②1N；

③1.5Z；@272Q；

⑤4R；⑥若/+1=0,則xR.

(2)設(shè)xGR,集合力中含有三個元素3,x,x-2x.

①求實數(shù)x應(yīng)滿足的條件；

②若一2G4求實數(shù)x的值.

答案(1)①陣②e③陣④陣⑤e⑥莊(2)見解析

解析(1)①不是正整數(shù)，，。邨*.

②是自然數(shù)，...leN.

③5是小數(shù)，不是整數(shù)，1.5軌.

④：2也是無理數(shù)，.2出軟.

⑤???4+4是無理數(shù)，無理數(shù)是實數(shù)，；.4+m6艮

⑥?..滿足f+1=0的實數(shù)不存在，

.?.X為非實數(shù)，，uR.

"xW3,

(2)①根據(jù)集合元素的互異性，可知(xWV—2x,

、六一2x#3,

即xWO,且xW3且x￥—1.

(2)x—2x=［x—1)*—12—1,且一264x——2.

題型三集合中元素的特性

例3已知集合/有三個元素：a—3,2a—1,a+l,集合方也有三個元素：0,1,x.

(1)若一3G4求a的值；

(2)若*68,求實數(shù)x的值.

［解］⑴由一3e/且才+121,可知a—3=—3或2a—1=—3,

當(dāng)@一3=—3時，a=0；當(dāng)20一1=一3時，a=—1.

經(jīng)檢驗，0與一1都符合要求.

得a—0或一1.

(2)當(dāng)x=0,1,—1時，都有六66,

但考慮到集合元素的互異性，xWO,xWl,故x=-L

金版點睛

利用集合元素互異性求參數(shù)問題

(1)根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異

性對集合中元素進(jìn)行檢驗.(也是本講易錯問題)

(2)利用集合中元素的特性解題時，要注意分類討論思想的應(yīng)用.

2

［跟蹤訓(xùn)練3］己知集合/包含三個元素：a-2,2a+5a)12,且一364求a的值.

解因為/包含三個元素a—2,2a?+5a,12,

且一3G4所以a—2=-3或2a~+5a=—3,

3

解得a=-1或a=--

當(dāng)a=—1時，/中三個元素為：一3,-3,12,不符合集合中元素的互異性，舍去.

當(dāng)a=—|?時，/中三個元素為：一3，—3,12,滿足題意.故a=一

題型四集合的分類

例4下列各組對象能否構(gòu)成集合？若能，請指出它們是有限集、無限集，還是空集.

(1)非負(fù)奇數(shù)；

(2)小于18的既是正奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中所有第三象限的點；

(4)在實數(shù)范圍內(nèi)方程(V—1)(V+2x+l)=0的解集；

fX—X-1-1—Q

(5)在實數(shù)范圍內(nèi)方程組,'的解構(gòu)成的集合.

［解］(1)能構(gòu)成集合，是無限集.

(2)小于18的質(zhì)數(shù)是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶數(shù)，其余的都是正奇數(shù)，所以能構(gòu)

成集合，是有限集.

(3)第三象限的點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都小于0,能構(gòu)成集合，是無限集.

(4)能構(gòu)成集合，注意集合中元素的互異性，集合中的元素是一1,1,是有限集.

(5)由Y—x+l=0的判別式/=—3〈0,方程無實根，由此可知方程組

周一x+l=0,

,,無解，能構(gòu)成集合，是空集.

［x+y=l

金版點睛

集合的分類方法

判斷集合是有限集，還是無限集，關(guān)鍵在于弄清集合中元素的構(gòu)成，從而確定集合中元

素的個數(shù).

［跟蹤訓(xùn)練4］指出下列各組對象是否能組成集合，若能組成集合，則指出集合是有限

集、無限集，還是空集.

(1)平方等于1的數(shù)；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐標(biāo)系中第二象限的點；(4)被3

除余數(shù)是1的正數(shù)；(5)平方后等于一3的實數(shù)；(6)15的正約數(shù).

解(1)中對象能組成集合，它是一個有限集；(2)中對象能組成集合，它是一個無限集;

(3)中對象能組成集合，它是一個無限集；(4)中對象能組成集合，它是一個無限集；(5)中

對象能組成集合，它是一個空集；(6)中對象能組成集合，它是一個有限集.

題型五用列舉法表示集合

例5用列舉法表示下列集合：

4

(1)方程萬7=。的所有實數(shù)根組成的集合；

(2)不大于10的質(zhì)數(shù)集；

(3)一次函數(shù)y=x與尸2x—1圖像的交點組成的集合.

x—4

［解］(1)方程F7=o的實數(shù)根為2,

x十2

故其實數(shù)根組成的集合為{2}.

(2)不大于10的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,故不大于10的質(zhì)數(shù)集為｛2,3,5,7).

y=x,x=l,

⑶由解得

y=2x-1,y=l.

故一次函數(shù)y=x與y=2x—1圖像的交點組成的集合為｛(1,1)｝.

金版點睛

用列舉法表示集合應(yīng)注意的三點

(1)應(yīng)先弄清集合中的元素是什么，是數(shù)還是點，還是其他元素.

⑵集合中的元素一定要寫全，但不能重復(fù).

(3)若集合中的元素是點，則應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對用小括號括起來表示一個元素.

［跟蹤訓(xùn)練5］用列舉法表示下列集合：

「2X一6〉0,

(1)不等式組,、的整數(shù)解組成的集合;

(2)式子反十斗(口￥0,6W0)的所有值組成的集合.

ab

2x—6〉0,

解⑴由得3〈忘6,

l+2x23x-5

又x為整數(shù)，故x的取值為4,5,6,組成的集合為｛4,5,6｝.

(2)：a#0,好0,

與6可能同號也可能異號，貝U：

①當(dāng)a〉0,6>0時，皿+亨=2；

ab

②當(dāng)a〈0,伙0時，—+^=-2；

ab

\|引

③當(dāng)a〉0,伙0或a〈0,6〉0時，—a+^=0.

ab

故所有值組成的集合為｛—2,0,2).

題型六用描述法表示集合

例6用描述法表示下列集合：

(1)坐標(biāo)平面內(nèi)，不在第一、三象限的點的集合;

(2)所有被3除余1的整數(shù)的集合；

(3)使了=步+：_6有意義的實數(shù)x的集合?

［解］(1)因為不在第一、三象限的點分布在第二、四象限或坐標(biāo)軸上，所以坐標(biāo)平面

內(nèi)，不在第一、三象限的點的集合為{(x,y)|xjWO,x￡R,y￡R}.

(2)因為被3除余1的整數(shù)可表示為3刀+1,所以所有被3除余1的整數(shù)的集合

為{x|x=3/?+l,〃￡Z}.

(3)要使-有意義,

則x+x—6W0.

由系+x—6=0,得荀=2,X2=-3.

所以使尸父+：—6有意義的實數(shù)*的集合為{川學(xué)2且xW—3,xGR}.

金版點睛

用描述法表示集合的注意點

(1)用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型.一般

地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示.

(2)用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含

義或取值范圍.

(3)多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi).

［跟蹤訓(xùn)練6］試用描述法表示下列集合：

(1)方程V—x—2=0的解集；

(2)大于一1且小于7的所有整數(shù)組成的集合.

解(1)方程d—x—2=0的解可以用x表示，它滿足的條件是d—x—2=0,

因此，方程的解集用描述法表示為{xGR|f—x—2=0}.

(2)大于一1且小于7的整數(shù)可以用x表示，

它滿足的條件是xGZ,且一1＜矛＜7,

因此，該集合用描述法表示為{xeZ［一1＜京7}.

題型七列舉法和描述法的綜合運用

例7集合［={x|Af—8x+16=0},若集合/只有一個元素，試求實數(shù)A的值，并用

列舉法表示集合A.

［解］①當(dāng)A=0時，原方程為16—8x=0,

x=2,此時力={2},符合題意.

②當(dāng)4W0時，由集合力中只有一個元素，

方程融-8矛+16=0有兩個相等實根.

即/=64—64"=0,即孑=1,從而荀=*2=4,

集合力={4}.

綜上所述，實數(shù)"的值為0或1.當(dāng)A=0時，/={2}；

當(dāng)k=\時，/={4}.

［條件探究］把本例條件“只有一個元素”改為“有兩個元素”，求實數(shù)4取值范圍的

集合.

解由題意可知方程kx-8x-\-16=0有兩個不等的實根.解

〔/=64-64">0,

得4<1且4W0.

；?4的取值范圍的集合為{⑷1且4W0}.

金版點睛

分類討論思想在集合中的應(yīng)用

⑴①本題在求解過程中，常因忽略討論A是否為0而漏解.②由AV—8x+16=0是否

為一元二次方程而分A=0和AW0兩種情況，注意做到不重不漏.

(2)解答與集合描述法有關(guān)的問題時，明確集合中的代表元素及其共同特征是解題的切

入點.

［跟蹤訓(xùn)練7］(1)設(shè)集合6=xGN其GN.

乙IX

①試判斷元素1,2與集合8的關(guān)系；

②用列舉法表示集合B.

⑵已知集合4={x|x2—ax+6=0},若/=⑵3},求a,6的值.

6

解(1)①當(dāng)x=l時，F(xiàn)=2GN.

乙IJ-

當(dāng)x=2時，表=,N.所以1G62初.

6

②???;^￡N,x￡N,???2+萬只能取2,3,6,

2十x

???x只能取0,1,4.???8={0,1,4}.

(2)由2={2,3}知，方程^-^x+b=0的兩根為2,3,由根與系數(shù)的關(guān)系，得

2+3=H,

因此a=5,6=6.

2X3=6,

題型八集合中的新定義問題

例8已知集合/={1,2,4},則集合8={（x,y）\x^A,ye⑷中元素的個數(shù)為（）

A.3B.6C.8D.9

［解析］根據(jù)已知條件，列表如下：

由上表可知，8中的元素有9個，故選D.

［答案］D

金版點睛

本例借助表格語言，運用列舉法求解.表格語言是常用的數(shù)學(xué)語言，表達(dá)問題清晰，明

了；列舉法是分析問題的重要的數(shù)學(xué)方法，通過“列舉”直接解決問題或發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律,

此方法通常配合圖表含樹形圖使用.

［跟蹤訓(xùn)練8］定義A*B={z\z=xy,x^A,,設(shè)A={1,2},B={0,2},則集合

弟方中的所有元素之和為（）

A.0B.2

C.3D.6

答案D

解析根據(jù)已知條件，列表如下：

根據(jù)集合中元素的互異性，由上表可知A*B={0,2,4},故集合A*B中所有元素之和