《高等數(shù)學(xué)》上冊總復(fù)習(xí)題001

高等數(shù)學(xué)（上）總復(fù)習(xí)第一章函數(shù)與極限第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二章導(dǎo)數(shù)與微分第五章定積分積微分習(xí)題課安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics1959第四章不定積分第六章定積分的應(yīng)用⑴函數(shù)的定義⑵函數(shù)定義域的求法1.1、函數(shù)第一章函數(shù)與極限第一章根本要求⑶函數(shù)的根本性質(zhì)⑷分段函數(shù)⑸初等函數(shù)1.2、極限及連續(xù)⑴概念⑵11個(gè)重要定理⑶數(shù)列的極限1.3、極限的求法⑴未定式的定值法⑵類未定式⑷極限中常數(shù)確實(shí)定(重點(diǎn))⑸雜題⑶6類重要公式⒊理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念；⒋掌握根本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形；⒌會(huì)建立簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式；⒈理解函數(shù)的概念；⒉了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性；第一章基本要求⒍理解極限的概念、掌握極限四那么運(yùn)算法那么；⒎了解兩個(gè)極限存在準(zhǔn)那么，會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限；⒏了解無窮小、無窮大及無窮小的階，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限；⒐理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念；⒑了解間斷點(diǎn)的概念，并會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型；⒒了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。⑴函數(shù)的定義1.1、函數(shù)設(shè)有兩個(gè)變量x和y,x的變域?yàn)镈,假設(shè)對D中每個(gè)x值,按照一定的法那么,變量y有一個(gè)確定的值與之對應(yīng),那么稱y為x的函數(shù),記作y=f(x).函數(shù)概念的兩要素①定義域≌自變量x的變化范圍(假設(shè)是解析式,那么使運(yùn)算有意義的實(shí)自變量值的集合即定義域)。②對應(yīng)關(guān)系≌給定x的值,求y的方法.解題提示當(dāng)且僅當(dāng)給定的兩個(gè)函數(shù),其定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí),才表示同一函數(shù),否那么表示不同的函數(shù).例1解

1.1、函數(shù)⑵函數(shù)定義域的求法記住下面簡單函數(shù)的定義域解題提示求復(fù)雜函數(shù)的定義域,就是求解由簡單函數(shù)的定義域所構(gòu)成的不等式組之解集.1.1、函數(shù)例2解例3解自我檢查試題一1.1例4解自我檢查試題二1.11.1、函數(shù)⑶函數(shù)的根本性質(zhì)①奇偶性圖形：偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱,奇函數(shù)那么關(guān)于原點(diǎn)對稱.運(yùn)算性質(zhì)：奇函數(shù)代數(shù)和為奇,偶函數(shù)代數(shù)和為偶.奇?zhèn)€奇函數(shù)的積為奇,偶個(gè)同函數(shù)的積為偶.一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇.1.1、函數(shù)例5判別下列函數(shù)的奇偶性

②周期性1.1、函數(shù)設(shè)f(x)在區(qū)間X上有定義,假設(shè)存在一個(gè)與x無關(guān)的正數(shù)T,使對任一x?X,恒有f(x+T)=f(x),那么稱f(x)是以T為周期的函數(shù),把滿足上式最小正數(shù)T稱為f(x)的周期.運(yùn)算性質(zhì)：f(x)的周期為T,

f(ax+b)的周期為T/|a|.f(x),g(x)均以T為周期,那么f(x)±g(x)也以T為周期.f(x),g(x)分別以T1,T2為周期,那么f(x)±g(x)是以T1,T2的最小公倍數(shù)T為周期.例6(P250Ex5-3.9)設(shè)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù),

證明③有界性1.1、函數(shù)設(shè)f(x)在區(qū)間X上有定義,假設(shè)$M>0,使對一切x?X,恒有|f(x)|≤M,那么稱f(x)在區(qū)間X上有界,假設(shè)不存在這樣的M>0,那么稱f(x)在區(qū)間X上無界.例7例8

④單調(diào)性1.1、函數(shù)設(shè)f(x)在區(qū)間X上有定義,例9

設(shè)f(x)在(0,+∞)內(nèi)連續(xù),且f(x)>0.證明函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).證∴F(x)在(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).1.1、函數(shù)⑷分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，對應(yīng)于不同區(qū)間段有著不同的表達(dá)式，那么該函數(shù)稱為分段函數(shù)。常見有

②取整函數(shù)：y=[x]表示x的最大整數(shù)局部①符號(hào)函數(shù)③狄利克雷函數(shù)注意:一般而言，分段函數(shù)不是初等函數(shù).1.1、函數(shù)⑸初等函數(shù)①反函數(shù)求反函數(shù)的步驟1.1、函數(shù)②復(fù)合函數(shù)③初等函數(shù)熟記三個(gè)恒等式例10

求y=的反函數(shù).

1.2、極限與連續(xù)⑴概念①數(shù)列極限②函數(shù)極限③左右極限左極限右極限1.2、極限與連續(xù)④無窮小:以0為極限的量稱為無窮小量。⑤無窮大:函數(shù)的絕對值無限增大的量為無窮大量。注:無窮大是特殊無界變量,但無界變量未必是無窮大.例如⑥無窮小的比較.0,,1aba且窮小是同一過程中的兩個(gè)無設(shè)1.2、極限與連續(xù)例11當(dāng)x→0時(shí),1.2、極限與連續(xù)⑦函數(shù)連續(xù)性的概念定義：注：f(x)在x0處連續(xù)三個(gè)條件：*f(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),那么稱f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)。⑧間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)類型:第一類(可去,跳躍),第二類(無窮,震蕩).1.2、極限與連續(xù)定理1定理2定理3定理4定理5

：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.定理6(夾逼定理)例12求⑵11個(gè)重要定理1.2、極限與連續(xù)定理7無窮小的運(yùn)算性質(zhì)⑴有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍為無窮小;⑵有限個(gè)無窮小的乘積仍為無窮小;⑶無窮小乘以有界變量仍為無窮小.例13求例14求定理8(無窮小與無窮大關(guān)系)在同一變化趨勢下,無窮大的倒數(shù)為無窮??；非零的無窮小的倒數(shù)為無窮大。定理9(極限的四那么運(yùn)算法那么)即函數(shù)和差積商的極限等于函數(shù)極限的和差積商。定理10(洛必達(dá)法那么)兩類未定式的極限.定理11初等函數(shù)在其定義域的區(qū)間內(nèi)連續(xù).⑶6類重要公式1.2、極限與連續(xù)②①例15求例16解法討論1.2、極限與連續(xù)解1.2、極限與連續(xù)③例17解：④1.2、極限與連續(xù)⑤⑥⑴未定式的定值法1.3、極限的求法①型的求解方法a.因式分解或有理化消去零因子法求極限;b.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;c.洛必達(dá)法那么;d.變量替換;例18例191.3、極限的求法②型的求解方法a.洛必達(dá)法那么;b.變量替換法化為第①種0:0型;例20③，求解方法a.通分;b.根式有理化；c.變量替換。④。⑤⑵類未定式1.3、極限的求法⑶數(shù)列的極限1.3、極限的求法①子序列的極限與函數(shù)的極限等值②單調(diào)有界數(shù)列必有極限。③利用極限定義求極限。④當(dāng)n→∞時(shí)n項(xiàng)和的極限。⑤當(dāng)n→∞時(shí)n項(xiàng)乘積的極限。⑷極限式中常數(shù)確實(shí)定1.3、極限的求法⑸雜例定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.第一章函數(shù)與極限⑴未定式的定值法推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的函