2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第36講數(shù)列的綜合應(yīng)用學(xué)生版

第37講數(shù)列的綜合應(yīng)用（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）[A組]—應(yīng)知應(yīng)會(huì)1．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學(xué)專著，書(shū)中有如下問(wèn)題：今有女子善織，日增等尺，七日織28尺，第二日，第五日，第八日所織之和為15尺，則第十五日所織尺數(shù)為A．13 B．14 C．15 D．162．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．53．明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學(xué)命題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠(yuǎn)望魏巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增；共燈三百八十一，”“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增），根據(jù)此詩(shī)，可以得出塔的第四層燈的數(shù)量為A．12 B．24 C．48 D．964．對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)，使對(duì)任意，都有成立，則稱數(shù)列是有界的．若有數(shù)列滿足，則下列條件中，能使有界的是A． B． C． D．5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若，則稱項(xiàng)為“和諧項(xiàng)”，則數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為A． B． C． D．6．如果一個(gè)數(shù)列由有限個(gè)連續(xù)的正整數(shù)按從小到大的順序組成（數(shù)列的項(xiàng)數(shù)大于，且所有項(xiàng)數(shù)之和為，那么稱該數(shù)列為“型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”，例如，數(shù)列3，4，5，6，7為“25型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”，則“5336型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”的個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．57．河南洛陽(yáng)的龍門(mén)石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門(mén)石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國(guó)四大石窟．在龍門(mén)石窟的某處“浮雕像”共有7層，每一層的數(shù)量是它下一層的2倍，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案．已知該處共有1016個(gè)“浮雕像”，則正中間那層的“浮雕像”的數(shù)量為A．508 B．256 C．128 D．648．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則滿足的最小正整數(shù)的值為A．1010 B．1011 C．2020 D．20219．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則滿足的A．50 B．51 C．100 D．10110．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多斐波那契于1202年提出的數(shù)列．斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，，此數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為A． B．，且（1），（2） C． D．11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢”，翻譯過(guò)來(lái)就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇．這個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了古代對(duì)數(shù)列問(wèn)題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為130尺，則在第幾天墻才能被打穿？A．6 B．7 C．8 D．912．已知等比數(shù)列的公比為3，前項(xiàng)和為，若關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則的取值范圍為A．，， B．，， C．，， D．，，13．《塵劫記》是在元代的《算學(xué)啟蒙》和明代的《算法統(tǒng)宗》的基礎(chǔ)上編撰的一部古典數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)這樣的問(wèn)題：假設(shè)每對(duì)老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半．1個(gè)月后，有一對(duì)老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2個(gè)月后，每對(duì)老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此類推，假設(shè)個(gè)月后共有老鼠只，則．14．已知數(shù)列中，，，，若對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足以下關(guān)系：，，，記其前項(xiàng)和為．（1）．（2）設(shè)，，為常數(shù)），．16．定義：數(shù)列，滿足，則稱數(shù)列為的“友好數(shù)列”．若數(shù)列的通項(xiàng)公式，，則數(shù)列的“友好數(shù)列“的通項(xiàng)公式為；記數(shù)列的前項(xiàng)和為．且，則的取值范圍是．17．已知是首項(xiàng)不為1的正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：．18．已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)對(duì)一切正整數(shù)恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，8成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（Ⅲ）若數(shù)列滿足，求證：．20．各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列如果滿足：存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，且存在正整數(shù)，使得或成立，則稱數(shù)列為“緊密數(shù)列”，稱為“緊密數(shù)列”的“緊密度”．已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，，，為常數(shù)）恒成立．（1）當(dāng)，，時(shí)，①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②證明數(shù)列是“緊密度”為3的“緊密數(shù)列”；（2）當(dāng)時(shí)，已知數(shù)列和數(shù)列都為“緊密數(shù)列”，“緊密度”分別為，，且，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．[B組]—強(qiáng)基必備1．斐波拉契數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在數(shù)學(xué)上，斐波拉契數(shù)列定義如下：，，隨著的增大，越來(lái)越逼近黃金分割，故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列，而以、為長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)方形稱為“最美長(zhǎng)方形”，已知某“最美長(zhǎng)方形”的面積約為200平方厘米，則該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)大約是A．20厘米 B．19厘米 C．18厘米 D．17厘米2．定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列是等積數(shù)列且，前41項(xiàng)的和為103，則這個(gè)數(shù)列的公積為A．2 B．3 C．6 D．83．對(duì)于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．4．定義：若數(shù)列滿足，則稱該數(shù)列為“切線一零點(diǎn)數(shù)列”已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，數(shù)列為“切線一零點(diǎn)數(shù)列”，設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．則．5．已知有窮數(shù)列且．定義數(shù)列的“