天津北辰區(qū)天辰高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

天津北辰區(qū)天辰高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知x、y滿足約束條件，則z=2x+4y的最小值為(

) A．﹣6 B．5 C．10 D．﹣10參考答案：A考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直線y=﹣x+，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=﹣x+的截距最小，此時(shí)z最小，由，解得，即A（3，﹣3），此時(shí)z=2×3+4×（﹣3）=﹣6，故選：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．2.某地舉辦科技博覽會(huì)，有3個(gè)場(chǎng)館，現(xiàn)將24個(gè)志愿者名額分配給這3個(gè)場(chǎng)館，要求每個(gè)場(chǎng)館至少有一個(gè)名額且各場(chǎng)館名額互不相同的分配方法共有（

）種A．222

B．253

C．276

D．284參考答案：A3.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和，則（n∈N+）的最小值為（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由題意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和，從而可得，換元，利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13成等比數(shù)列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴an=2n﹣1，∴Sn==n2，∴=．令t=n+1，則=t+﹣2≥6﹣2=4當(dāng)且僅當(dāng)t=3，即n=2時(shí)，∴的最小值為4．故選：A．4.設(shè)不等式組，表示平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù).

設(shè)函數(shù)f(x)在0，1上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①；②；③，則等（）A．

B．

C．1

D．

參考答案：D6.若（為實(shí)常數(shù)）在區(qū)間上的最小值為-4，則a的值為（A）4

(B)-3

(C)-4

(D)-6

參考答案：答案：C7.若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)到一條準(zhǔn)線的距離之比為3：2，則雙曲線的離心率是

（A）3

（B）5

（C）

（D）參考答案：【解析】D解析：本小題主要考查雙曲線的性質(zhì)及離心率問題。依題不妨取雙曲線的右準(zhǔn)線，則左焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，左焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，依題即，∴雙曲線的離心率8.已知球?yàn)槔忾L(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C9.函數(shù)是偶函數(shù)，且時(shí)，，若，則a的取值范圍是（

）A．(－∞,0)∪(2,+∞)

B．(－∞,0)∪(1,2)

C．(－∞,0)

D．(－∞,0)∪(3,+∞)參考答案：A10.如圖是函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象，則函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．分析： 由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸確定a的范圍，據(jù)g（x）的表達(dá)式計(jì)算g（）和g（1）的值的符號(hào)，從而確定零點(diǎn)所在的區(qū)間．解答： 解：由函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象得0＜b＜1，f（1）=0，從而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（，1）；故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè),則二項(xiàng)式展開式中的第4項(xiàng)為_______.參考答案：-128012.已知點(diǎn)A（﹣2，3）在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則|BF|=．參考答案：10【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意先求出準(zhǔn)線方程x=﹣2，再求出p，從而得到拋物線方程，寫出第一象限的拋物線方程，設(shè)出切點(diǎn)，并求導(dǎo)，得到切線AB的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式得到方程，解出方程求出切點(diǎn)，再由兩點(diǎn)的距離公式可求得．【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣2，3）在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上，即準(zhǔn)線方程為：x=﹣2，∴p＞0，﹣=﹣2即p=4，∴拋物線C：y2=8x，在第一象限的方程為y=2，設(shè)切點(diǎn)B（m，n），則n=2，又導(dǎo)數(shù)y′=2，則在切點(diǎn)處的斜率為，∴=，即m+2=2﹣3，解得：=2或（舍去），∴切點(diǎn)B（8，8），又F（2，0），∴|BF|==10．故答案為：10．13.定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四個(gè)式子：①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②；③n（n+1）；④n（n+1）f（1）．其中與f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）相等的是．參考答案：①②③【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】由已知，定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，依次對(duì)下面四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷，【解答】解：由定義知f（1）+f（2）+…+f（n）=f（1）+2f（1）+…+nf（1）==f（1）=n（n+1）；故①②③正確，④不正確；故應(yīng)填①②③．14.設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和，且，為常數(shù)列，則

.參考答案：考點(diǎn)：1.數(shù)列遞推式；2.裂項(xiàng)相消求和．【方法點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消在使用過程中有一個(gè)很重要得特征，就是能把一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)裂為兩項(xiàng)的差，其本質(zhì)就是兩大類型類型一:型，通過拼湊法裂解成；類型二：通過有理化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、階乘和組合數(shù)公式直接裂項(xiàng)型；該類型的特點(diǎn)是需要熟悉無理型的特征，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和階乘和組合數(shù)公式。無理型的特征是，分母為等差數(shù)列的連續(xù)兩項(xiàng)的開方和，形如型，常見的有①；②對(duì)數(shù)運(yùn)算本身可以裂解；③階乘和組合數(shù)公式型要重點(diǎn)掌握和.15.已知棱長(zhǎng)為1的立方體ABCD﹣A1B1C1D1，則從頂點(diǎn)A經(jīng)過立方體表面到達(dá)正方形CDD1C1中心M的最短路線有

條．參考答案：2【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題．【分析】由題意，經(jīng)過邊DD1或DC時(shí)，路線最短，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，經(jīng)過邊DD1或DC時(shí)，路線最短，有2條．故答案為：2．16.如圖，四面體OABC的三條棱OA、OB、OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3，D為四面體OABC外一點(diǎn)．給出下列命題． ①不存在點(diǎn)D，使四面體ABCD有三個(gè)面是直角三角形 ②不存在點(diǎn)D，使四面體ABCD是正三棱錐 ③存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并且相等 ④存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球面上 其中真命題的序號(hào)是． 參考答案：③④【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體；棱錐的結(jié)構(gòu)特征． 【分析】對(duì)于①可構(gòu)造四棱錐CABD與四面體OABC一樣進(jìn)行判定； 對(duì)于②，使AB=AD=BD，此時(shí)存在點(diǎn)D，使四面體ABCD是正三棱錐； 對(duì)于③取CD=AB，AD=BD，此時(shí)CD垂直面ABD，即存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并且相等； 對(duì)于④先找到四面體OABC的內(nèi)接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r，可判定④的真假． 【解答】解：對(duì)于①，∵四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3， ∴AC=BC=，AB= 當(dāng)四棱錐CABD與四面體OABC一樣時(shí)，即取CD=3，AD=BD=2，四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直， 此時(shí)點(diǎn)D，使四面體ABCD有三個(gè)面是直角三角形，故①不正確； 對(duì)于②，由①知AC=BC=，AB=， 使AB=AD=BD，此時(shí)存在點(diǎn)D，CD=，使四面體C﹣ABD是正三棱錐，故②不正確； 對(duì)于③，取CD=AB，AD=BD，此時(shí)CD垂直面ABD，即存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并且相等，故③正確； 對(duì)于④，先找到四面體OABC的內(nèi)接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r即可 ∴存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球面上，故④正確 故答案為：③④． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，以及構(gòu)造法的運(yùn)用，屬于中檔題． 17.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

。參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

某工廠生產(chǎn)A，B兩種元件，已知生產(chǎn)A元件的正品率為75%，生產(chǎn)B元件的正品率為80%，生產(chǎn)1個(gè)元件A，若是正品則盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)1個(gè)元件B，若是正品則盈利40元，若是次品則虧損5元．

(I)求生產(chǎn)5個(gè)元件A所得利潤(rùn)不少于140元的概率；

(Ⅱ)設(shè)X為生產(chǎn)1個(gè)元件A和1個(gè)元件B所得總利潤(rùn)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案：略19.已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且C=2A，cosA=．（1）求c：a的值；（2）求證：a，b，c成等差數(shù)列；（3）若△ABC周長(zhǎng)為30，∠C的平分線交AB于D，求△CBD的面積．參考答案：考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理．專題：解三角形．分析：（1）由C=2A，得到sinC=sin2A，求出sinC與sinA之比，利用正弦定理求出c與a之比即可；（2）由cosC=cos2A，把cosA的值代入求出cosC的值，進(jìn)而求出sinC的值，由cosA的值求出sinA的值，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)sin（A+C），把各自的值代入求出sin（A+C）的值，即為sinB的值，進(jìn)而得到sinA+sinC=2sinB，利用正弦定理化簡(jiǎn)即可得證；（3）由2b=a+c，且a+b+c=30，得到b=10，由c：a=3：2，得到a=8，c=12，過D作DE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，由∠BCA=2∠A，且∠BCA的平分線交AB于點(diǎn)D，得到AD=CD，求出AE的長(zhǎng)，在三角形ADE中求出AD的長(zhǎng)，利用角平分線定理求出BD的長(zhǎng)，利用三角形面積公式求出三角形BCD面積即可．解答：解：（1）∵C=2A，∴sinC=sin2A，∴==2cosA=，則由正弦定理得：c：a=sinC：sinA=3：2；（2）∵cosC=cos2A=2cos2A﹣1=2×﹣1=，∴sinC==，∵cosA=，∴sinA==，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，∴sinA+sinC==2sinB，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2b=a+c，則a，b，c成等差數(shù)列；（3）由2b=a+c，且a+b+c=30，得到b=10，由c：a=3：2，得到a=8，c=12，過D作DE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，∵∠BCA=2∠A，且∠BCA的平分線交AB于點(diǎn)D，∴∠A=∠ACD，即AD=CD，∴AE=b=5，∵cosA=，AD=，由角平分線定理得：===，∴BD=AD=，則S△CBD=××8×=．點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．20.(本小題滿分10分)選修:幾何證明選講如圖所示，是半圓的直徑，，垂足為，，與、分別交于點(diǎn)、．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)證明：．參考答案：21.（本小題滿分12分）如圖所示，在直三棱柱中，底面的棱，且．點(diǎn)、在側(cè)棱上，且.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．參考答案：22.在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)（1，0）的距離與它到直線x=﹣1的距離相等．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+b與曲線C相切于點(diǎn)P，與直線x=﹣1相交于點(diǎn)Q．證明：以PQ為直徑的圓恒過x軸上某定點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），然后直接利用拋物線的定義求得拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程為：y=kx+b（k≠0），聯(lián)立直線方程和拋物線方程化為關(guān)于y的一元二次方程后由判別式等于0得到k與b的關(guān)系，求出Q的坐