新人教版高中數(shù)學(xué)必修一復(fù)習(xí)提綱

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數(shù)學(xué)必修一復(fù)習(xí)提綱

第一章集合及其運(yùn)算

一.集合的概念、分類：

集合的特征：

（1）確定性（2）無序性⑶互異性

三.表示方法：

⑴列舉法⑵描述法（3）圖示法（4）區(qū)間法

四.兩種關(guān)系：

附屬關(guān)系：對象e、任集合；包含關(guān)系：集合屋、￡集合

五.三種運(yùn)算：

B={x|xeB}

交集:

A\JB={x\xe^x&B}

并集:

補(bǔ)集:

六.運(yùn)算性質(zhì)：

（D41]0=4，/00=。

⑵空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

⑶假設(shè)”那么"「8=力，A\JB=B_

⑷An（QA）=0,AUQ）=U,HCA）^.

⑸（C=跆AB）

（6）集合…’"J的所有子集的個(gè)數(shù)為2",所有真子集的個(gè)數(shù)為2"-1,所有非空真子集的個(gè)

數(shù)為2"-2,所有二元子集（含有兩個(gè)元素的子集）的個(gè)數(shù)為‘J”

第二章函數(shù)指

數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

分?jǐn)?shù)指數(shù)暴與根式：

1bx八_axannn〃上n〃an

如果一，那么稱是的次方根，”的次方根為0,假設(shè)HU,那么當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的次方

根有1個(gè)，記做C；當(dāng)狷偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒有微方根，正數(shù)的“次分根有2個(gè)，其中正的次方緇

記做丘負(fù)的標(biāo)方根記做一西.

1.負(fù)數(shù)沒有偶次方根；

fa力為奇數(shù)

2.兩個(gè)關(guān)系式：（◎"=〃；V1〃為偶數(shù)

3、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義：〃"二C

1

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的意義:

4、分?jǐn)?shù)指數(shù)第的運(yùn)算性質(zhì):

〃〃/+勿=刖一〃

⑴加?a*=〃切+〃⑵

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⑶(Qm)〃=Qmn(Q?b)m=Qm-bm

(4);

⑸a0=l,其中m、"均為有理數(shù)，a,b均為正整數(shù)

二.對數(shù)及其運(yùn)算

1,定義：假設(shè)ab=N（a〉O,且”1,N>0）,那么b=%N

2.兩個(gè)對數(shù):

⑴常用對數(shù)：a=l°,b=1ogJ=lgN

⑵自然對數(shù)：a=e“2.71828,b=log?=lnN

3.三條性質(zhì)：

log1=0

（1）1的對數(shù)是0,即a:

loga=1

（2）底數(shù)的對數(shù)是1,即。

⑶負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).

4.四條運(yùn)算法那么：

M?

log（MN）=logM+logNlog—二logM-logN

（1）aaa⑵°Na°

log鼐"=llogM

logMn=nlogM

⑹aa;(4)“。.

5.其他運(yùn)算性質(zhì)：

⑴對數(shù)恒等式：Ologai=b.

log.

logb=

log)

⑵換底公式:

logblogc=logclogbloga=1

⑶abiaab

n..

logbn=—logb

m

(4)ama

函數(shù)的概念

一.映射：設(shè)A、B兩個(gè)集合，如果按照某中對應(yīng)法那么/,對于集合A中的任意一個(gè)元素，在集合B

中都有唯一的一個(gè)元素與之對應(yīng)，這樣的對應(yīng)就稱為從集合A到集合B的映射.

二.函數(shù)：在某種變化過程中的兩個(gè)變量*、y,對于X在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對應(yīng)

法那么，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么稱'是x的函數(shù)，記做，=/（、），其中x稱為自變量，x變

化的范圍叫做函數(shù)的定義域，和*對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值，的變化范圍叫做函數(shù)的值域.

三.函數(shù)'=f（X）是由非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映

射.四.函數(shù)的三要素：解析式；定義域：值域.

函數(shù)的解析式

--根據(jù)對應(yīng)法那么的意義求函數(shù)的解析式；

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例如：八石+1）=》+2出,求函數(shù)/（M的解析式.

函數(shù)的解析式一般形式，求函數(shù)的解析式；

例如：/（M是一次函數(shù)，且_/1/（刈]=4、+3,函數(shù)/（M的解析

式.三.由函數(shù)人方的圖像受制約的條件，進(jìn)而求/（動(dòng)的解析式.

函數(shù)的定義域

根據(jù)給出函數(shù)的解析式求定義域：

⑴整式：xeR

⑵分式：分母不等于0

⑶偶次根式：被開方數(shù)大于或等于0

（4）含0次累、負(fù)指數(shù)累：底數(shù)不等于0

⑸對數(shù)：底數(shù)大于0,且不等于1,真數(shù)大于0

二.根據(jù)對應(yīng)法那么的意義求函數(shù)的定義域：

例如：）=/（'）定義域?yàn)镻A],求J=/（3x+2）定義域；

/=/（3*+2）定義域?yàn)閇2,5],求#=/（*）定義域；

三.實(shí)際問題中，根據(jù)自變量的實(shí)際意義決定的定義域.

函數(shù)的值域

根本函數(shù)的值域問題：

名稱解析式值域

一次函數(shù)y—標(biāo)+bR

「4〃C一。2

[-------*)

〃>0時(shí)，4a

二次函數(shù)y=ax/2+法+,

/4ac一%i

(-8,-------]

時(shí)，4〃

k

反比例函數(shù)y=-且"°}

X

指數(shù)函數(shù)y=a=U|j>0}

對數(shù)函數(shù)y=logx

aR

y=sinx

0,1-1

三角函數(shù)y=cosx

y—tanxR

二.求函數(shù)值域（最值）的常用方法：函數(shù)的值域決定于函數(shù)的解析式和定義域，因此求函數(shù)值域的方法

往往取決于函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，常用解法有：觀察法、配方法、換元法（代數(shù)換元與三角換元）、常

數(shù)別離法、單調(diào)性法、不等式法、*反函數(shù)法、*判別式法、*幾何構(gòu)造法和*導(dǎo)數(shù)法等.

反函數(shù)

反函數(shù)：設(shè)函如的值域是0,根據(jù)這個(gè)函數(shù)中X,）的關(guān)系，用）把》表示出，得

到x=（PG，）.假設(shè)對于c中的每一j值，通過*=做夕），都有唯一的一個(gè)乂與之對應(yīng)，那么，^二中⑺

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就表示J是自變量，》是自變量）的函數(shù)，這樣的函數(shù)'=（*＞。'）0'￡。叫做函數(shù)）=/3）3€/）的反

函數(shù)，記作X=戶5，習(xí)慣上改寫成J=/T（M.

函數(shù)/（必存在反函數(shù)的條件是：X、）一一對

應(yīng).三.求函數(shù)/（M的反函數(shù)的方法：

⑴求原函數(shù)的值域，即反函數(shù)的定義域

⑵反解，用）表示乂，得》=/TGO

⑶交換乂、），得

（4）結(jié)論，說明定義域

四.函數(shù)）=/（必與其反函數(shù)的關(guān)系：

⑴函數(shù)）=/（'）與的定義域與值域互換.

⑵假設(shè)-產(chǎn)/3）圖像上存在點(diǎn)那么）=尸（⑼的圖像上必有點(diǎn)3"）,即假設(shè)/（〃）=",那

么=a.

⑶函數(shù)J=/3）與J=尸3的圖像關(guān)于直線J=X對稱.

函數(shù)的奇偶性：

一.定義：對于函數(shù)/（、）定義域中的任意一個(gè)X,如果滿足/（一"）=一/（刈，那么稱函數(shù)/（⑼為奇函數(shù)；

如果滿足/D=/3）,那么稱函數(shù)/⑸為偶函數(shù).

二.判斷函數(shù)/（M奇偶性的步驟：

i.判斷函數(shù)/（M的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果對稱可進(jìn)一步驗(yàn)證，如果不對稱；

1驗(yàn)證/出與八一⑼的關(guān)系，假設(shè)滿足八一⑼=一/⑺，那么為奇函數(shù)，假設(shè)滿足八一必=/（"）,那

么為偶函數(shù)，否那么既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

二.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.

三./（⑼、雙⑼分別是定義在區(qū)間河、N（“nN0°）上的奇（偶）函數(shù)，分別根據(jù)條件判斷以下函

數(shù)的奇偶性.

1

f(x)-/(Mf(x)+/x)f(x)-g(M/"(M送3)

/'(M

奇奇奇奇偶

奇

奇偶奇

偶奇奇

偶

偶偶偶偶偶

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五.假設(shè)奇函數(shù)/（X）的定義域包含°,那么

六.一次函數(shù)'二版+"/力⑴是奇函數(shù)的充要條件是。：。；

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aH0）是偶函數(shù)的充要條件是b=

0.函數(shù)的周期性：

定義：對于函數(shù)/（X）,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有

f（x+T）=f（x）,那么/（X）為周期函數(shù)，7為這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期.

2.如果函數(shù)/（X）所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做/（X）的最小正周期.如

工

果函數(shù)f（x）的最小正周期為T,那么函數(shù)f（ax）的最小正周期為Ia

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：一般的，對于給定區(qū)間上的函數(shù)"X）X勺，

,如果對于屬于此區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值I,

X<X

當(dāng)I2時(shí)滿足：

⑴,那么稱函數(shù)/（X）在該區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵,那么稱函數(shù)/（X）在該區(qū)間上是減函數(shù).

判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：

1.定義法：

（1）取值；⑵作差、變形；⑶判斷：（4）定論：

*2.導(dǎo)數(shù)法：

⑴求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)/'（X）；

⑵解不等式廣⑶>°，所得x的范圍就是遞增區(qū)間；

⑶解不等式/‘（刈<°,所得X的范圍就是遞減區(qū)間.

3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

對于復(fù)合函數(shù)y=/【g（x）】，設(shè)u=g（x）,那么了=/2），可根據(jù)它們的單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù)

y=/w（x）］,具體判斷如下表：

y=f(u)增增減減

u=g(x)增減增減

y=f[g(x)]增減減增

4.奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相

同.函數(shù)的圖像

根本函數(shù)的圖

像.二.圖像變換:

-------------------------------------------優(yōu)質(zhì)文木-----------------------------

y=/(x)—y=fM+k

將y=圖像上每一點(diǎn)向上優(yōu)>°)或向下伙<°)平移1幻個(gè)單位，可得

y=/(?+&的圖像

y=/Wty=f(x+h)

將y=fM圖像上每一點(diǎn)向左(〃>0)或向右(〃<°)平移I〃I個(gè)單位，可得

y=1(x+用的圖像

y=/(?ty=af{x)

將y=/a)圖像上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸(">1)或壓縮

為原來的“倍，可得y=4(?的圖像

y=/(x).y=f(ax)

將y=/(x)圖像上的每一點(diǎn)縱橫坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮(">1)或拉伸

2

(0<4<1)為原來的.，可得y=/(ax)的圖像

y=/(x)一y=f(-x)

關(guān)于y軸對稱

y=/(x)-y=-/(x)

關(guān)于無軸對稱

y=/(x)ty=/(|x|)

將y=/(x)位于>軸左側(cè)的圖像去掉，再將)'軸右側(cè)的圖像沿)'軸對稱到左

側(cè)，可得的圖像

y=/(M—H)l