正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)2021/5/91

利用正弦線作出的圖象.---11---1--作法:(1)等分;(2)作正弦線;(3)平移;(4)連線.

一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象(幾何法)1、用幾何法作正弦函數(shù)的圖像2021/5/92正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

(1)等分作法：(2)作余弦線(3)豎立、平移(4)連線---1-----11---11---1--2、用幾何法作余弦函數(shù)的圖像:2021/5/93正弦曲線---------1-1

由終邊相同的角三角函數(shù)值相同，所以y＝sinx的圖象在…

，[-4

，-2

]，[-2

，0]，[0，2

]，[2

，4

]，…與y＝sinx，x

[0，2

]的圖象相同，于是平移得正弦曲線.2021/5/94因?yàn)榻K邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以y=cosx的圖象在……，…與y=cosx,x∈[0,2π]的圖象相同余弦曲線---------1-1返回單擊：2021/5/95與x軸的交點(diǎn):圖象的最高點(diǎn):圖象的最低點(diǎn):

觀察

y＝sinx，x

[0，2

]

圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和圖象與x軸的交點(diǎn)？坐標(biāo)分別是什么？---11-五點(diǎn)作圖法2021/5/96正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)圖象的最高點(diǎn)圖象的最低點(diǎn)與x軸的交點(diǎn)圖象的最高點(diǎn)圖象的最低點(diǎn)(五點(diǎn)作圖法)---11--1----11--1簡圖作法(1)列表(列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo))(3)連線(用光滑的曲線順次連結(jié)五個(gè)點(diǎn))(2)描點(diǎn)(定出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn))2021/5/971.試畫出正弦函數(shù)在區(qū)間上的圖像.五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：利用五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)作簡圖的方法稱為“五點(diǎn)法”課堂練習(xí)2021/5/982.試畫出余弦函數(shù)在區(qū)間上的圖像.五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：并注意曲線的“凹凸”變化.課堂練習(xí)2021/5/99列表：列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo)．連線：用光滑的曲線順次連結(jié)五個(gè)點(diǎn)．描點(diǎn)：定出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．五點(diǎn)作圖法2021/5/910x6yo--12345-2-3-41

定義域(1)

值域xR[－1,1]

二、正弦函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，取最小值－1；時(shí)，取最大值1；觀察正弦曲線，得出正弦函數(shù)的性質(zhì)：2021/5/911周期的概念一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)

x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)

T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．對于一個(gè)周期函數(shù)，如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做它的最小正周期．2021/5/912

由公式sin(x＋k·2

)＝sinx(k

Z)可知：正弦函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，2

，4

，…

，－2

，－4

，…

，2k

(k

Z且k≠0)都是正弦函數(shù)的周期．

2

是其最小正周期

.

(2)正弦函數(shù)的周期性2021/5/913

(3)

正弦函數(shù)的奇偶性由公式sin(－x)＝－sinx圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱.正弦函數(shù)是奇函數(shù)．xyo--1234-2-31

2021/5/914在閉區(qū)間

上,是增函數(shù)；

(4)正弦函數(shù)的單調(diào)性xyo--1234-2-31

xsinx

…0……

…-1010-1在閉區(qū)間

上，是減函數(shù).？？？觀察正弦函數(shù)圖象2021/5/915

余弦函數(shù)的單調(diào)性

y=cosx(xR)

xcox-

……0…

…

-1010-1增區(qū)間為其值從-1增至1[

+2k

,

2k],kZ減區(qū)間為，

其值從1減至-1[2k

,

2k+

],kZyxo--1234-2-31

2021/5/916y=sinxy=cosx圖象RR[1,1][1,1]時(shí)ymax=1時(shí)ymin=

1時(shí)ymax=1時(shí)ymin=

1xyo--1234-21

定義域值域最值y=0xyo--1234-21

2021/5/917y=sinxy=cosx圖象周期性奇偶性單調(diào)性

2

2

奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)增區(qū)間:單調(diào)減區(qū)間:單調(diào)增區(qū)間:單調(diào)減區(qū)間:xyo--1234-21

xyo--1234-21

2021/5/918

例1.

用“五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)在區(qū)間[0，2π]的圖像。（1)y=2+sinx;(2)y=sinx-1；(3)y=3sinx.y=sinx-1x∈[0,2π]y=sin3xx∈[0,2π]y=2+sinxx∈[0,2π]．．．．xy0π．2π1-1x232021/5/919例2.求下列函數(shù)的最大值與最小值，及取到最值時(shí)的自變量的值.(1)(2)解:(1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，(2)視為當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，2021/5/920例3.當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求不等式的解集.xyO2ππ1-1變式問題:如果x∈R呢?2021/5/921例4.下列函數(shù)的定義域：

1

y=

2

y=2021/5/922例5.求下列函數(shù)的最值：

1

y=sin(3x+)-1

2

y=sin2x-4sinx+5

2021/5/923例6.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx

函數(shù)在上單調(diào)遞減[

+2k,

+2k],kZ函數(shù)在上單調(diào)遞增[

+2k,

+2k],kZ(2)y=3sin(2x-)

單調(diào)增區(qū)間為所以：解：單調(diào)減區(qū)間為2021/5/924例7.不通過求值，比較下列各對函數(shù)值的大?。?/p>

(1)sin()和sin()；(2)sin和sin解(1)因?yàn)榍襶＝sinx在上是增函數(shù)．

(2)因?yàn)樗詓in＞sin

．

且y＝sinx

在上是減函數(shù)，所以例題講解2021/5/925例8.判斷f(x)=xsin(+x)奇偶性解函數(shù)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對稱所以函數(shù)y=xsin(+x)為偶函數(shù)解題思路函數(shù)的奇偶性定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)奇函數(shù)想一想這類題有什么規(guī)律？2021/5/9261選擇題函數(shù)y=4sinx,x[-,]的單調(diào)性（）A在[-，0]上是增函數(shù)，[0，]是減函數(shù)；B在[-/2，/2]上是增函數(shù)，在[-，/2]上是減函數(shù)；C在[0，]上是增函數(shù)，在[-，0]上是減函數(shù)；D在[/2，]及[-，-/2]上是增函數(shù)，在[-/2，/2]上是減函數(shù)。②函數(shù)y=cos(x+/2),xR()A是奇函數(shù)；B是偶函數(shù)；

C既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

D有無奇偶性不能確定。BA練習(xí)2021/5/927不通過求值，比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。?/p>

3判斷下列函數(shù)的奇偶性：

①

②

（答案：①偶函數(shù)②既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)）

>>><2021/5/928歸納小結(jié)2021/5/929y=sinxy=cosx圖象RR[1,1][1,1]時(shí)ymax=1時(shí)ymin=

1時(shí)ymax=1時(shí)ymin=

1xyo--1234-21

定