有趣的一筆畫

有趣的一筆畫如果用筆在紙上連續(xù)不斷又不重復(fù)，一筆畫成某種圖形，這種圖形就叫一筆畫。下面的畫能一筆畫成，你也試著描一描，畫一畫吧！那么是不是所有的圖形都能一筆畫成呢？那我們就要一起學(xué)習(xí)一筆畫的規(guī)律。其實一筆畫是一個幾何問題，傳統(tǒng)意義上的幾何學(xué)是研究圖形的形狀大小等性質(zhì)，而存在一些幾何問題，它們所研究的對象與圖形的形狀和線段的長短沒關(guān)系，而只和線段的數(shù)目和它們之間的連接關(guān)系有關(guān)，比方一筆畫問題就是如此。一筆畫問題是一個簡單的數(shù)學(xué)游戲，即平面上由曲線段構(gòu)成的一個圖形能不能一筆畫成，使得在每條線段上都不重復(fù)？例如漢字‘日’和‘中’字都可以一筆畫的，而‘田’和‘目’那么不能。(在日本動畫片一休中，是采用對折紙張的方法畫出‘田’和‘目’的一筆畫〕也是可取之處。【一筆畫問題的規(guī)律】早在18世紀，瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉就找到了一筆畫的規(guī)律。歐拉認為，能一筆畫的圖形必須是連通圖。連通圖就是指一個圖形各局部總是有邊相連的．但是，不是所有的連通圖都可以一筆畫的。能否一筆畫是由圖的奇、偶點的數(shù)目來決定的。數(shù)學(xué)家歐拉找到一筆畫的規(guī)律是：1．但凡由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。2．但凡只有兩個奇點的連通圖〔其余都為偶點〕，一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。3．其他情況的圖都不能一筆畫出。〔有偶數(shù)個奇點除以二便可算出此圖需幾筆畫成〕比方附圖：〔a〕為〔1〕情況，因此可以一筆畫成；〔b〕〔c〕〔d〕那么沒有符合以上兩種情況，所以不能一筆畫成。補充：相關(guān)名詞的含義◎頂點與指數(shù)：設(shè)一個平面圖形是由有限個點及有限條弧組成的，這些點稱為圖形的頂點，從任一頂點引出的該圖形的弧的條數(shù)，稱為這個頂點的指數(shù)。◎奇頂點：指數(shù)為奇數(shù)的頂點?！蚺柬旤c：指數(shù)為偶數(shù)的頂點練習(xí)1、下面這些圖形，哪個能一筆畫？哪個不能筆畫？〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔〕〔〕〔〕〔〕分析圖〔1〕一筆畫出，可以從圖中任意一點開始畫該圖，畫到同一點結(jié)束。經(jīng)過嘗試后，可以發(fā)現(xiàn)圖〔2〕不能一筆畫出。圖〔3〕不是連通的，顯然也不能一筆畫出。圖〔4〕也可以一筆畫出，且從任何一點出發(fā)都可以。通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)一個幾何圖形中和一點相連通的線的條數(shù)不同。由一點發(fā)出有偶數(shù)條線，那么這個點叫做偶點。相應(yīng)的，由一點出發(fā)有奇數(shù)條數(shù)，那么這個點叫做奇點。再看圖〔1〕、〔4〕，其中每一點都是偶點，都可以一筆畫，且可以從任意一點畫起。而圖〔2〕有4個奇點，2個偶點，不能一筆畫成。2、下面的圖能一筆畫成嗎？如果能，應(yīng)怎樣畫？描一描。分析：〔1〕從任意一點出都可以一筆畫成，因為它的每一個點都是與兩條線相連的偶點。關(guān)于圖〔2〕，經(jīng)過反復(fù)試驗，也可找到畫法：由ABCADC。圖中B、D為偶點，A、C為奇點，即圖中有兩個奇點，兩個偶點。要想一筆畫，需從奇點出發(fā)，回到奇點。經(jīng)過嘗試，圖〔3〕無法一筆畫成，而圖中有4個奇點，5個偶點。解圖〔1〕、〔2〕可以一筆畫。這樣我們可以發(fā)現(xiàn)能否一筆畫和奇點、偶點的數(shù)目有著緊密的關(guān)系。如果圖形只有偶點，可以以任意一點為起點，一筆畫出。如果只有兩個奇點，也可以一筆畫出，但必須從奇點出發(fā)，由另一點結(jié)束。如果圖形的奇點個數(shù)超過兩個，那么圖形不能一筆畫出。3、下面的圖能一筆畫成嗎？如果能，應(yīng)怎樣畫？描一描。分析圖〔1〕有兩個奇點，兩個偶點，可以一筆畫，須由A開始或由B開始到B結(jié)束或到A結(jié)束。圖〔2〕有10個奇點，大于2，不能一筆畫成。圖〔3〕有4個奇點，1個偶點，因此也不能一筆畫成。解圖〔1〕的畫法見下列圖。4、下列圖是一個公園的道路平面圖，要使游客走遍每條路而又不重復(fù)，出、人口應(yīng)該設(shè)在哪里？【解析】：要使游客走遍每一條路而又不重復(fù)，也就是一筆畫出上圖，公園的出入口就是一筆畫的起點和終點，觀察圖形，圖中只有I和E兩個奇點〔每個點連接3條線〕，因此公園的出入口應(yīng)設(shè)在這兩個點上，以其中一個點為入口，以另一個點為出口。有趣的一筆畫姓名：下面的這些簡筆