山西省太原市同心外國語學校高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

山西省太原市同心外國語學校高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，，若當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：D略2.若純虛數(shù)滿足,則實數(shù)等于

（

）（A）-2

（B）2

（C）-8

（D）8

參考答案：D略3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）單調(diào)遞增的函數(shù)是(

) A．y=3x B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=參考答案：B考點：函數(shù)奇偶性的判斷；奇偶性與單調(diào)性的綜合．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：根據(jù)偶函數(shù)和單調(diào)性的定義分別進行判斷即可．解答： 解：A．y=3x在（0，+∞）單調(diào)遞增，但為非奇非偶函數(shù)，不成立．B．y=|x|+1為偶函數(shù)，當x＞0時，y=|x|+1=x+1，為增函數(shù)，滿足條件．C．y=﹣x2+1為偶函數(shù)，當x＞0時，函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件．D．y=在（0，+∞）單調(diào)遞增，但為非奇非偶函數(shù)，不成立．故選：B．點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)．4.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點O到平面ABC1D1的距離為

（

）

A．

B.

C．

D．參考答案：B5.若,則“的圖象關(guān)于成中心對稱”是“”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B6.已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F1、F2，點F2關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點A在該雙曲線的左支上，則此雙曲線的離心率為A．

B．

C．2

D．參考答案：D設，漸近線方程，對稱點，，，解得：，，代入到雙曲線方程得:,化簡得：，選.

7.將函數(shù)的圖象按向量平移后所得的圖象關(guān)于對稱，則向量的坐標可能為：A．

B．C．

D．

參考答案：B略8.的漸近線方程為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C9.設向量，，且，則等于Ａ．

B．

Ｃ．

D．參考答案：D10.已知向量滿足，若對于每一確定的的最大值和最小值分別為,則對任意的最小值是（▲）A. B. C. D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，若，則實數(shù)的值為____________．參考答案：6略12.已知，，與的夾角為，與的夾角為銳角，求的取值范圍________參考答案：且試題分析：，由于與的夾角為銳角，因此且，與不共線同向，，解得，當與共線時，，即，，得，由于不共線，所以的取值范圍且考點：向量夾角的應用．13.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點（橫坐標、縱坐標均為整數(shù)）坐標是

.參考答案：答案：

14.已知中，若為的重心，則

．參考答案：415.已知向量滿足且、則與

的夾角為

參考答案：16.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項_______________.參考答案：

17.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點O為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點的極坐標為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．則點到曲線上的點的距離的最小值為

．

參考答案：4：由點的極坐標為，得點的直角坐標即M（4，4），由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)得普通方程為：，∴圓心為A（1，0），半徑r=1，由于點M在曲線C外，故點M到曲線C上的點的距離的最小值為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e是白然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…（I）若函數(shù)φ（x）=f（x）﹣求函數(shù)φ（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設直線l為函數(shù)f（x）的圖象上一點A（x0，f（x0）處的切線，證明：在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g（x）相切．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；導數(shù)的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求導函數(shù)，確定導數(shù)恒大于0，從而可得求函數(shù)φ（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先求直線l為函數(shù)的圖象上一點A（x0，f（x0））處的切線方程，再設直線l與曲線y=g（x）相切于點（x1，），進而可得lnx0=，再證明在區(qū)間（1，+∞）上x0存在且唯一即可．【解答】（Ⅰ）解：φ（x）=f（x）﹣=lnx﹣，φ′（x）=+，∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0，∴函數(shù)φ（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（1，+∞）；（Ⅱ）證明：∵f′（x）=，∴f′（x0）=，∴切線l的方程為y﹣lnx0=（x﹣x0），即y=?x+lnx0﹣1，①設直線l與曲線y=g（x）相切于點（x1，），∵g'（x）=ex，∴=，∴x1=﹣lnx0．∴直線l也為y﹣=（x+lnx0），即y=?x++，②由①②得lnx0﹣1=+，∴l(xiāng)nx0=．下證：在區(qū)間（1，+∞）上x0存在且唯一．由（Ⅰ）可知，φ（x）=lnx﹣在區(qū)間（1，+∞）上遞增．又φ（e）=lne﹣=＜0，φ（e2）=lne2﹣=＞0，結(jié)合零點存在性定理，說明方程φ（x）=0必在區(qū)間（e，e2）上有唯一的根，這個根就是所求的唯一x0．故結(jié)論成立．【點評】本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)知識的運用，函數(shù)的單調(diào)性，考查曲線的切線，同時考查零點存在性定理，綜合性比較強．19.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)（Ⅰ）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當時，設函數(shù)，若，求證參考答案：（Ⅰ）………………1分，即在上恒成立設，時，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時，有最大值………………3分，所以………………5分（Ⅱ）當時，,,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)……………6分因為，所以即同理………………8分所以又因為當且僅當“”時，取等號………………10分又，………………12分所以所以所以：………………15分20.（本小題滿分12分）已知中，所對的邊分別是a,b,c,且，(1)求的值；(2)若，，求b的值。參考答案：（1）；（2）【知識點】余弦定理；正弦定理．解析：（1）由余弦定理得，則．

…………………4分(Ⅱ)由A+B+C=π有C=π-(A+B)，于是由已知sinB+sinC=得，即，將，代入整理得．①………7分根據(jù)，可得．代入①中，整理得8sin2B-4sinB+5=0，解得．

……………10分∴由正弦定理有．

………………12分【思路點撥】（1）利用余弦定理求出cosA，再利用平方關(guān)系，求sinA的值；（2）運用三角形的內(nèi)角和定理和兩角和的正弦公式及同角公式，即可求得sinB，再由正弦定理，即可得到b．21.已知梯形ABCD頂點B，C在以AD為直徑的圓上，AD＝4米．（1）如圖1，若電熱絲由三線段AB，BC，CD組成，在AB，CD上每米可輻射1單位熱量，在BC上每米可輻射2單位熱量，請設計BC的長度，使得電熱絲的總熱量最大，并求總熱量的最大值；（2）如圖2，若電熱絲由弧，和弦BC這三部分組成，在弧，上每米可輻射1單位熱量，在弦BC上每米可輻射2單位熱量，請設計BC的長度，使得電熱絲輻射的總熱量最大．圖1

圖2

參考答案：

解：設，

-------1分（1），------2分，----------3分總熱量單位--------5分當時，取最大值，

此時米，總熱量最大9（單位）.-----6分答：應設計長為米，電熱絲輻射的總熱量最大，最大值為9單位.-----7分（2）總熱量單位，，----10分

-----11分令，即，因，所以，-------12分當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，----14分當時，取最大值，此時米.-----15分答：應設計長為米，電熱絲輻射的總熱量最大.----16分22.正項數(shù)列中，，其前項和滿足：.

（Ⅰ）求與；