圓周運動(二)圓周運動中的動力學(xué)問題

第第頁圓周運動(二)圓周運動中的動力學(xué)問題圓周運動(二)圓周運動中的動力學(xué)分析1.向心力的來源：向心力是依據(jù)力的作用效果命名的，它可以是重力、彈力或摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避開再另外添加一個向心力.如圖甲所示的圓錐擺和火車以規(guī)定速率拐彎時.向心力由重力和彈力的合力提供；圖乙中隨圓盤一起轉(zhuǎn)動的物體和汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎那么是由靜摩擦力提供向心力.2.向心力的確定(1)確定圓周運動的軌道所在的平面，確定圓心的位置.(2)分析物體的受力狀況，找出全部的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力.

例題1.有一種叫“飛椅”的游樂項目，示意圖如下圖，長為L的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑為r的水平轉(zhuǎn)盤邊緣，轉(zhuǎn)盤可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動.當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)，與豎直方向的夾角為θ,不計鋼繩的重力，求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω與夾角θ的關(guān)系.

解析：設(shè)座椅的質(zhì)量為m,勻速轉(zhuǎn)動時，座椅的運動半徑為R=r+Lsinθ,受力分析如右圖，由牛頓第二定律，有F合=mgtanθ,F合=mω2R三式得轉(zhuǎn)盤角速度ω與夾角θ的關(guān)系gtanθω=.r+Lsinθ

答案：ω=

gtanθr+Lsinθ

題后反思(1)應(yīng)首先確定圓心位置及半徑，然后畫出圓軌跡，為確定向心力打下基礎(chǔ).(2)勻速圓周運動的合力就是向心力.實際應(yīng)用中，畫出物體受力示意圖后，一般按“正交分解”的方法，把各力沿半徑方向以及垂直于半徑方向(在圓軌跡所在平面內(nèi))分解，那么沿半v2徑指向圓心方向有F向=F合=mR,垂直于半徑(沿切線)有F合=0.

課堂探究小結(jié):解決圓周運動問題的主要步驟

(1)審清題意，確定討論對象；明確物體做圓周運動的平面是至關(guān)重要的一環(huán).(2)分析物體的運動狀況，即物體的線速度、角速度、周期、軌道平面、圓心、半徑等；(3)分析物體的受力狀況，畫出受力示意圖，確定向心力的來源；(4)依據(jù)牛頓運動定律及向心力公式列方程.

1.在光滑水平面上，一根原長為l的輕質(zhì)彈簧的一端與豎直軸O連接，另一端與質(zhì)量為m的小球連接，如圖17所示.當(dāng)小球以O(shè)為圓心做勻速圓周運動的速率為v1時，彈簧的長度為1.5l;當(dāng)它以O(shè)為圓心做勻速圓周運動的速率為v2時，彈簧的長度為2.0l.求v1與v2的比值.

解析；設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k,當(dāng)小球以v1做勻速圓周運動時有：k(1.5l-l)=mv12/1.5L當(dāng)小球以v2做勻速圓周運動時有：k(2.0l-l)=mv22/2.0L兩式之比得：v1∶v2=√3∶2√2

2.“飛車走壁”是一種傳統(tǒng)的雜技藝術(shù)，演員騎車在傾角很大的桶面上做

圓周運動而不掉下來。如下圖，已知桶壁的傾角為θ,車和人的總質(zhì)量為m,做圓周運動的半徑為r,假設(shè)使演員騎車做圓周運動時不受桶壁的摩擦力，求1).人和車的速度；2).桶面對車的彈力.

解析：對人和車進行受力分析如下圖，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系和向心力公式可列方程：mgtanθ=mv2/r,FNcosθ=mg,解得v=√grtanθ,FN=mg/cosθ。

3.質(zhì)量為m的飛機以恒定速率v在空中水平回旋，如下圖，其做勻速圓周運動的半徑為R,重力加速度為g,那么此時空氣對飛機的作用力大小為析飛機在空中水平回旋時在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，受到重力和空氣的作用力兩個力的作用，其合力提供向心力F向=mv2/R.飛機受力狀況示意圖如圖所示，依據(jù)勾股定理得：F=m√(g2+v4/R2).

學(xué)科素養(yǎng)培育二.用極限法分析圓周運動的臨界問題1.有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯說明題述的過程中存在著臨界點.

2.假設(shè)題目中有“取值范圍”、“多長時間”、“多大距離”等詞語，說明題述的過程中存在著“起止點”,而這些起止點往往就是臨界狀態(tài).

3.假設(shè)題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，說明題述的過程中存在著極值，這些極值點也往往是臨界狀態(tài).

【例1】如圖7所示，用一根長為l=1m的細線，一端系一質(zhì)量為m=1kg的小球(可視為質(zhì)點),另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ=37,當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為FT.(g取10m/s2,結(jié)果可用根式表示)求：(1)假設(shè)要小球離開錐面，那么小球的角速度ω0至少為多大？(2)假設(shè)細線與豎直方向的夾角為60,那么小球的角速度ω′為多大？FT

解析指導(dǎo)

(1)小球離開錐面：支持力為零

2FTsinm0r

mg考點定位圓周運動的臨界問題

rlsinFTcosmg

g502rad/slcos2

(2)當(dāng)細線與豎直方向成60角時

解題技巧找到臨界狀態(tài)

FTsin600m2rrlsin6000FTcos60mg

g25rad/s0lcos60

課堂探究【例2】(2022重慶8)如圖5所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合.轉(zhuǎn)臺以肯定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60,重力加速度大小為g.圖5FN60

mg

解析(1)對小物塊受力分析FNcos60=mgFNsin60=mR′ω20

(1)假設(shè)ω=ω0,小物塊受到的摩擦

力恰好為零，R′=Rsin60求ω0;(2)假設(shè)ω=(1k)ω0,且0k1,求小物塊受到的摩擦力大小和方向.聯(lián)立解得：ω0=2gR

課堂探究【例2】(2022重慶8)如圖5所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合.轉(zhuǎn)臺以肯定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過圖5fmg30

FN60

(2)由于0k1,當(dāng)ω=(1

一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對+k)ω時，物塊受摩擦力方0罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾向沿罐壁切線向下.由受力角θ為60,重力加速度大小為g.分析可知：FN′cos60=mg+fcos30(1)假設(shè)ω=ω0,小物塊受到的摩擦力恰好為零，F(xiàn)′sin60+fsin30=NmR′ω2求ω0;R′=Rsin60(2)假設(shè)ω=(1k)ω0,且0k1,求小物塊受3k2+k聯(lián)立解得：f=mg2到的摩擦力大小和方向.

課堂探究【例2】(2022重慶8)如圖5所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合.轉(zhuǎn)臺以肯定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過圖5FN60

f

mg

當(dāng)ω=(1-k)ω0時，物塊受摩一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對擦力方向沿罐壁切線向上.由罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾受力分析和幾何關(guān)系知角θ為60,重力加速度大小為g.

FN″cos60+f′sin60=mg-f′cos60=(1)假設(shè)ω=ω0,小物塊受到的摩擦力恰好為零，F(xiàn)N″sin60mR′ω2求ω0;R′=Rsin60(2)假設(shè)ω=(1k)ω0,且0k1,求小物塊受3k2-k所以f′=mg.2到的摩擦力大小和方向.

例題3

如下圖，長度為L的細繩上端固定在天花板上

O點，下端拴著質(zhì)量為m的小球.當(dāng)把細繩拉直時，細繩與豎直線夾角為θ=60,此時小球靜止于光滑的水平面上.

(1)當(dāng)球以角速度ω1=

gL做圓錐擺運動時，細繩的張力

FT為多大？水平面受到的壓力FN是多大？(2)當(dāng)球以角速度ω2=4gL做圓錐擺運動時，細繩的張力

FT′及水平面受到的壓力FN′各是多大？

誘思啟導(dǎo)(1)角速度越大，θ也越大.ω多大時對水平面無壓力？(2)小球?qū)λ矫嬗袎毫盁o壓力時，它的受力狀況各怎樣？

【解析】

小球?qū)λ矫鎰偤脽o壓力時，重力與繩的張力

FT的合力提供向心力.mgtan60=mω20Lsin60解得ω0=2gL

(1)因ω1ω0.小球受重力、支持力及繩的拉力.豎直方向：FN+FTcos60-mg=0水平方向：FTsin60=mω21Lsin601解得FT=mg,FN=mg2由牛頓第三定律可知，

繩子張力大小FT=mg,水平面受1的壓力大小為mg2

(2)因ω2ω0,小球已離開水平面，設(shè)繩與豎直成α角.2F′Tsinα=mω2Lsinα

∴F′T=4mg,FN=0由牛頓第三定律可知F′T=FT=4mg,FN′=FN=0【答案】(1)FT=mg1FN=mg2

(2)FT′=4mg

FN′=0