八年級數(shù)學下冊19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式八大題型（解析版）

19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系一次函數(shù)（≠0，為常數(shù)）.當函數(shù)＝0時，就得到了一元一次方程，此時自變量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：當某一個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值.

從圖象上看，這相當于已知直線（≠0，為常數(shù)），確定它與軸交點的橫坐標的值.方程組解的幾何意義1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對應(yīng)兩個函數(shù)的圖象的交點坐標．2．根據(jù)坐標系中兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系，可以看出對應(yīng)的方程組的解的情況：根據(jù)交點的個數(shù)，看出方程組的解的個數(shù)；根據(jù)交點的坐標，求出（或近似估計出）方程組的解．3．對于一個復(fù)雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個數(shù)．題型1：一次函數(shù)圖象與一元一次方程的解1.（2023春·八年級課時練習）如圖是一次函數(shù)的圖象，則關(guān)于的一次方程的解是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象得出一次函數(shù)與軸的交點坐標是，把坐標代入函數(shù)解析式，求出，再求出方程的解即可．【詳解】解：從圖象可知：一次函數(shù)與軸的交點坐標是，代入函數(shù)解析式得：，解得：，即，當時，，解得：，即關(guān)于的一次方程的解是，故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，能求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．【變式1-1】如圖所示，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點P（3，2），則方程kx+b＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．無法確定【分析】根據(jù)點P的坐標即可得出答案．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點P（3，2），∴當y＝2時，x＝3，即方程kx+b＝2的解為x＝3，故選：C．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，理解點P的坐標的意思是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），如表是x與y的一些對應(yīng)數(shù)值，則下列結(jié)論中正確的是（）x…﹣1.5012…y…631﹣1…A．y隨x的增大而增大 B．該函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限 C．關(guān)于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．該函數(shù)的圖象與y軸的交點是（0，2）【分析】先把兩個點的坐標代入y＝kx+b，求出k、b的值，得出函數(shù)解析式是y＝﹣2x+3，再逐個判斷即可．【解答】解：由表可知：函數(shù)圖象過點（0，3），（1，1），把點的坐標代入y＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝3，即函數(shù)的解析式是y＝﹣2x+3，A．∵k＝﹣2＜0，∴y隨x的增大而減小，故本選項不符合題意；B．∵k＝﹣2，b＝3，∴函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項不符合題意；C．當y＝1時，﹣2x+3＝1，解得：x＝1，即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本選項符合題意；D．∵b＝3，∴函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標是（0，3），故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)的性質(zhì)，解一元一次方程等知識點，能熟記一次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【變式1-3】如圖，根據(jù)一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，直接寫出下列問題的答案：（1）關(guān)于x的方程kx+b＝0的解；（2）當x＝1時，代數(shù)式kx+b的值；（3）關(guān)于x的方程kx+b＝﹣3的解．【分析】（1）利用函數(shù)圖象寫出函數(shù)值為0時對應(yīng)的自變量的值即可；（2）利用函數(shù)圖象寫出x＝1時對應(yīng)的函數(shù)值即可（3）利用函數(shù)圖象寫出函數(shù)值為﹣3時對應(yīng)的自變量的值即可．【解答】解：（1）當x＝2時，y＝0，所以方程kx+b＝0的解為x＝2；（2）當x＝1時，y＝﹣1，所以代數(shù)式kx+b的值為﹣1；（3）當x＝﹣1時，y＝﹣3，所以方程kx+b＝﹣3的解為x＝﹣1．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，利用數(shù)形結(jié)合是求解的關(guān)鍵題型2：解一元一次方程與一次函數(shù)坐標軸交點2.一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函數(shù)y＝ax﹣b的圖象與x軸的交點坐標為（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（a，0） D．（﹣b，0）【分析】根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b＝0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當于已知直線y＝ax+b確定它與x軸交點的橫坐標值可得答案．【解答】解：∵一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，∴函數(shù)y＝ax﹣b的圖象與x軸的交點坐標為（3，0），故選：A．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是掌握方程ax+b＝0的解就是一次函數(shù)y＝ax+b與x軸交點的橫坐標值．【變式2-1】（2023·陜西·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的方程的解是，則直線一定經(jīng)過點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方程可知當x=2，y=0，從而可判斷直線y=-2x+b經(jīng)過點（2，0）．【詳解】解：由方程的解可知：當x=2時，-2x+b=0，即當x=2，y=0，∴直線y=-2x+b的圖象一定經(jīng)過點（2，0），故選：A．【點睛】本題主要考查的是一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，掌握一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·全國·八年級專題練習）已知方程的解為，則一次函數(shù)的圖象與軸交點的坐標為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】關(guān)于的一元一次方程的根是，即時，函數(shù)值為，所以直線過點，于是得到一次函數(shù)的圖象與軸交點的坐標．【詳解】解：方程的解為，則一次函數(shù)的圖象與軸交點的坐標為，故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程：任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為，為常數(shù)，的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為時，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線確定它與軸的交點的橫坐標的值．【變式2-3】已知一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象如圖所示，請根據(jù)圖象解決下列問題：（1）寫出一次函數(shù)的圖象與x軸y軸的交點坐標；（2）寫出方程2x﹣1＝3的解；【分析】確定坐標軸的交點坐標、觀察圖象與x軸的位置關(guān)系，即可求解．【解答】解：（1）從圖象看，x＝0，y＝﹣1；y＝0，x＝；故一次函數(shù)的圖象與x軸y軸的交點坐標分別為（，0），（0，﹣1）；（2）從圖象看，當x＝2時，y＝3；∴方程2x﹣1＝3的解為x＝2；【點評】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)的性質(zhì)，通過觀察圖象求解不等式問題，是此類問題的一般方法一次函數(shù)與一元一次不等式由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應(yīng)的自變量的取值范圍.注意：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍.如何確定兩個不等式的大小關(guān)系：（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時的自變量取值范圍直線在直線的上方對應(yīng)的點的橫坐標范圍．題型3：一次函數(shù)圖象與一元一次不等式解集3.（2023·福建寧德·?？级＃┲本€的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象可確定時，圖象所在位置，進而可得答案．【詳解】解：當時，．∴函數(shù)圖象與x軸交于點，一次函數(shù)，當時，圖象在x軸上方，∴不等式的解集為，故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，掌握函數(shù)值即為直線在x軸上方是解題的關(guān)鍵【變式3-1】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過A、B兩點，則kx+b＜2的解集是（）A．x＜0 B．x＞2 C．x＞﹣3 D．﹣3＜x＜2【分析】根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．【解答】解：如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點B（0，2），則kx+b＜2的解集是x＜0．故選：A．【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是學會利用圖象確定不等式的解集，屬于中考?？碱}型．【變式3-2】（2023春·上海靜安·市北校考期中）直線交坐標軸于、兩點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系得到的解集即為不等式的解集，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵直線，∴，∴不等式即為，∴的解集即為不等式的解集，∵直線交坐標軸于、兩點，且，∴y隨x的增大而增大，時，∴當時，，∴不等式的解集為，故選：A．【點睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，正確理解一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】若k﹣3＞0，則一次函數(shù)y＝（3﹣k）x+k﹣3的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】先求出k的取值范圍，再判斷出3﹣k及k﹣3的符號，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵k﹣3＞0，解得k＞3，∴3﹣k＜0，k﹣3＞0，∴一次函數(shù)y＝（3﹣k）x+k﹣3的圖象過一、二、四象限．故選：D．【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象，熟知一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．一次函數(shù)與二元一次方程組每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.注意：

1.兩個一次函數(shù)圖象的交點與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應(yīng)的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象的交點.2.當二元一次方程組無解時，相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應(yīng)的二元一次方程組就無解.3.當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線重合，反之也成立.題型4：一次函數(shù)圖象與二元一次方程組的解4.（2022秋·安徽·八年級期末）如圖，直線與相交于點，則關(guān)于x的方程的解是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用函數(shù)解析式求出m的值，然后再根據(jù)點橫坐標就是關(guān)于x的方程的解可得答案．【詳解】解：∵直線與相交于點，∴，∴，∴，∴關(guān)于x的方程的解是，故選：B．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是求得兩函數(shù)圖象的交點坐標．【變式4-1】已知直線和直線相交于點，則方程的解是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩直線的交點的橫坐標為兩直線解析式所組成的方程的解，可以得到關(guān)于x方程的解．【詳解】解：∵直線和直線相交于點，∴的解是，故選：A．【點睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式4-2】（2023·陜西西安·校考二模）在同一平面直角坐標系中，直線與相交于點，則關(guān)于x，y的方程組的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找到方程組的解與直線交點坐標的關(guān)系即可．【詳解】解：由題意得：方程組的方程與直線與的表達式相同，直線的交點坐標即為方程組的解，將帶入中，解得：，方程組的解為：．故選：C【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，熟悉兩者之間的關(guān)系并進行靈活轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．【變式4-3】已知：如圖一次函數(shù)y1＝﹣x﹣2與y2＝x﹣4的圖象相交于點A．（1）求點A的坐標；（2）若一次函數(shù)y1＝﹣x﹣2與y2＝x﹣4的圖象與x軸分別相交于點B、C，求△ABC的面積．【分析】（1）將兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立得到方程組，解此方程組即可求出點A的坐標；（2）先根據(jù)函數(shù)解析式求得B、C兩點的坐標，可得BC的長，再利用三角形的面積公式可得結(jié)果；（3）根據(jù)函數(shù)圖象以及點A坐標即可求解．【解答】解：（1）解方程組，得，所以點A坐標為（1，﹣3）；（2）當y1＝0時，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，則B點坐標為（﹣2，0）；當y2＝0時，x﹣4＝0，x＝4，則C點坐標為（4，0）；∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，∴△ABC的面積＝×6×3＝9；【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．也考查了兩直線相交時交點坐標的求法以及三角形的面積題型5：函數(shù)的交點坐標與一元一次不等式的解集5.（2023春·四川德陽·八年級四川省德陽市第二中學校?？计谥校└鶕?jù)圖象，可得關(guān)于x的不等式的解集是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖像，寫出直線在直線下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】解：從圖象可知：兩函數(shù)的圖象的交點坐標是，所以關(guān)于的不等式的解集是，故選：A【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，根據(jù)兩個函數(shù)的交點坐標及圖像確定不等式的解集是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】如圖，已知直線y＝ax+2與直線y＝mx+b的交點的橫坐標是﹣2．根據(jù)圖象有下列四個結(jié)論：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得a＞0；b＜0；直線y＝ax+2與直線y＝mx+b的交點的橫坐標是﹣2，即方程ax+2＝mx+b的解為x＝﹣2；當x＞﹣2時，直線y＝ax+2在直線y＝mx+b的上方，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．【解答】解：由圖象可知，a＞0，b＜0，故①②正確；直線y＝ax+2與直線y＝mx+b的交點的橫坐標是﹣2，即方程ax+2＝mx+b的解為x＝﹣2，故③正確；當x＞﹣2時，直線y＝ax+2在直線y＝mx+b的上方，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2，故④正確；故選：D．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及與一元一次不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵【變式5-2】（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考期中）如圖，直線與的交點的橫坐標為，根據(jù)圖象信息，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．當時，【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得；；根據(jù)兩直線與y軸交點的情況，可判斷C選項；直線與的交點的橫坐標為，當時，直線在直線的上方可判斷D選項．【詳解】解：∵直線與y軸的交點在原點上方，∴，故選項A不符合題意；∵直線過二、四象限，∴，故選項B不符合題意；由圖象可知，，∴，故C符合題意；當時，直線在直線的上方，∴，即，故D不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及與一元一次不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過點A（﹣5，0），B（﹣1，4）（1）求直線AB的表達式；（2）求直線CE：y＝﹣2x﹣4與直線AB及y軸圍成圖形的面積；（3）根據(jù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；（2）聯(lián)立兩直線解析式，解方程組即可得到點C的坐標；（3）根據(jù)圖形，找出點C右邊的部分的x的取值范圍即可．【解答】解：（1）∵直線y＝kx+b經(jīng)過點A（﹣5，0），B（﹣1，4），，解得，∴y＝x+5（2）∵若直線y＝﹣2x﹣4與直線AB相交于點C，∴，解得，故點C（﹣3，2）．∵y＝﹣2x﹣4與y＝x+5分別交y軸于點E和點D，∴D（0，5），E（0，﹣4），直線CE：y＝﹣2x﹣4與直線AB及y軸圍成圖形的面積為：DE?|?x|＝×9×3＝．（3）根據(jù)圖象可得x＞﹣3．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及一次函數(shù)的交點，一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，關(guān)鍵是正確從函數(shù)圖象中獲得正確信息題型6：一次函數(shù)與方程的面積問題6.（2023春·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與正比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求的面積；(2)利用函數(shù)圖象直接寫出當時，的取值范圍．【答案】(1)(2)當時，的取值范圍為【分析】（1）先求出，再求出點B的坐標，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（2）根據(jù)圖象，寫出在圖象上方時的自變量的取值范圍即可求解．【詳解】（1）∵一次函數(shù)的圖象過點，∴，∴，∴一次函數(shù)的表達式為.當時，，∴，∴.（2）解：∵交于點點，根據(jù)函數(shù)圖象可得當時，【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，以及利用圖象求不等式的解集，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，已知直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，與直線交于點，直線與x軸交于點A．(1)求直線的解析式；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)10【分析】（1）由直線求得P的坐標，代入即可得到結(jié)論；（2）由直線的解析式求得B、C的坐標，由直線求得A的坐標，然后根據(jù)四邊形的面積等于的面積減去的面積即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵直線過點，∴，∴，把代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)表達式為：．（2）解：把代入，得：，解得，∴，把代入得：，∴，∴，把代入得：，∴，∴，∴，過P點作軸于H，如下圖所示：∴四邊形的面積為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題及三角形的面積公式等，熟練掌握一次函數(shù)的圖形性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·河北承德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線的函數(shù)關(guān)系式為，且與x軸交于點D，直線經(jīng)過點，，直線與交于點C．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)求點C的坐標；(3)設(shè)點P在y軸上，若，求點P的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）設(shè)出直線的函數(shù)關(guān)系式，因為直線過，兩點利用代入法求出k，b，從而得到關(guān)系式；（2）聯(lián)立和的解析式，再解方程組可得C點坐標；（3）設(shè)與y軸的交點為E，首先求出點C和點D的坐標，然后設(shè)點P的坐標為，根據(jù)列方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為：，∵直線過點，，∴解得：，∴直線的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）∵直線和交于點C．∴，解得，∴；（3）如圖，設(shè)與y軸的交點為E，當時，∴點C的坐標為當時，，解得∴點D的坐標為設(shè)點P的坐標為∵∴，即∴，解得或．∴點P的坐標為或．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)與坐標軸的交點，與兩個函數(shù)的交點問題，題目綜合性較強，難度不大，比較典型．題型7：一元一次函數(shù)與數(shù)形結(jié)合的綜合問題7.如圖：直線l1：y＝kx與直線l2：y＝mx+n相交于點P（1，1），且直線l2與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，△POA的面積是1．（1）求△POB的面積；（2）直接寫出kx＞mx+n的解集．【分析】（1）先根據(jù)△POA的面積是1求出A點坐標，再將A、P兩點的坐標代入y＝mx+n，得到直線l2的解析式，再求出B點坐標，進而求出△POB的面積；（2）利用函數(shù)圖象，寫出直線l1在直線l2上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：（1）∵△POA的面積是1，直線l1：y＝kx與直線l2：y＝mx+n相交于點P（1，1），∴OA×1＝1，∴OA＝2，∴A（2，0）．將A（2，0），P（1，1）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直線l2的解析式為：y＝﹣x+2，∴x＝0，y＝2，∴B（0，2）．∴S△BOP＝×2×1＝1；（2）由圖象可知，當x＞1時，直線l1在直線l2上方，即kx＞mx+n，所以kx＞mx+n的解集為x＞1．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．也考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積．【變式7-1】如圖，直線l是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象，點A、B在直線l上，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）寫出方程kx+b＝0的解；（2）寫出不等式kx+b＞2的解集；（3）若直線l上的點P（m，n）在線段AB上移動，則m、n的取值范圍分別是什么？【分析】（1）利用函數(shù)圖象寫出函數(shù)值為0對應(yīng)的自變量的范圍即可；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出函數(shù)值大于2對應(yīng)的自變量的范圍即可；（3）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）當x＝﹣2時，y＝0，所以方程kx+b＝0的解為x＝﹣2；（2）當x＞2時，y＞2，所以不等式kx+b＞2的解集為x＞2；（3）﹣2≤m≤2，0≤n≤2．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．【變式7-2】如圖，直線y＝kx+2與直線y＝x相交于點A（3，1），與x軸交于點B．（1）求B點坐標；（2）根據(jù)圖象寫出不等式組0＜kx+2＜x的解集．【分析】（1）根據(jù)直線y＝kx+2與直線y＝x相交于點A（3，1），與x軸交于點B可以求得k的值和點B的坐標；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接寫出不等式組0＜kx+2＜x的解集．【解答】解：（1）∵直線y＝kx+2與直線y＝x相交于點A（3，1），與x軸交于點B，∴3k+2＝1，解得k＝，∴，當y＝0時，，得x＝6，∴點B的坐標為（6，0）；（2）由圖象可知，0＜kx+2＜x的解集是3＜x＜6．【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．題型8：實際應(yīng)用問題8.甲騎自行車、乙騎摩托車沿相同路線由A地到B地，行駛過程中路程y（千米）與時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖：（1）誰先出發(fā)？先出發(fā)多長時間？誰先到達終點？先到多長時間？（2）分別求出甲、乙兩人的行駛速度；（3）請根據(jù)圖象回答：在甲行駛途中，在什么時間段內(nèi)：①甲在乙的前面？②兩人相遇？③甲在乙的后面？（不包括起點和終點）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象解答即可；（2）根據(jù)速度＝總路程÷總時間，列式計算即可得解；（3）根據(jù)函數(shù)圖象解答即可，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式分別求解即可．【解答】解：（1）甲先出發(fā)，先出發(fā)10分鐘．乙先到達終點，先到達30﹣25＝5（分鐘）；（2）甲的速度為：y甲＝＝12（千米/小時），乙的速度為：y＝＝24（千米/時）；（3）由圖象可得：10＜x＜25時，兩人均行駛在途中（不包括起點和終點）．設(shè)y甲＝kx，∵y甲＝kx經(jīng)過，（30，6），∴30k＝6，解得k＝，所以，y甲＝x；設(shè)y乙＝k1x+b，∵y乙＝k1x+b經(jīng)過（10，0），（25，6），∴，解得，所以y乙＝x﹣4．聯(lián)立得，解得，∴0＜x＜20時，甲在乙的前面；x＝20時，甲與乙相遇；20＜x＜30時，甲在乙后面．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及識別函數(shù)圖象的能力【變式8-1】如圖所示，L1，L2分別表示一種白熾燈和一種節(jié)能燈的費用y（費用＝燈的售價+電費，單位：元）與照明時間x（h）的函數(shù)關(guān)系圖象，假設(shè)兩種燈的使用壽命都是2000h，照明效果一樣．（1）根據(jù)圖象分別求出L1，L2的函數(shù)關(guān)系式．（2）當照明時間為多少時，兩種燈的費用相等？（3）小亮房間計劃照明500h，他買了一個白熾燈和一個節(jié)能燈，觀察圖象，用哪種燈照明最省錢？（簡要說明理由即可）．【分析】（1）理由待定系數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為解方程組即可．（2）根據(jù)題意列出方程即可解決問題．（3）觀察圖象，可知17＜26，由此即可判斷．【解答】解析：（1）設(shè)L1的解析式為y1＝k1x+b1，L2的解析式為y2＝k2x+b2．由圖可知L1過點（0，2），（500，17），∴，∴k1＝0.03，b1＝2，∴y1＝0.03x+2（0≤x≤2000）．由圖可知L2過點（0，20），（500，26），同理y2＝0.012x+20（0≤x≤2000）（2）兩種費用相等，即y1＝y(tǒng)2，則0.03x+2＝0.012x+20，解得x＝1000．∴當x＝1000時，兩種燈的費用相等．（3）用白熾燈，理由：由圖象可知，17＜26，∴y1＜y2，∴用白熾燈便宜．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法，一元一次方程等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型【變式8-2】甲、乙兩列火車分別從A、B兩城同時勻速駛出，甲車開往B城，乙車開往A城．由于墨跡遮蓋，圖中提供的是兩車距B城的路程S甲（千米）、S乙（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)圖象的一部分．（1）分別求出S甲、S乙與t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出t的取值范圍）；（2）求A、B兩城之間的距離，及t為何值時兩車相遇；（3）當兩車相距300千米時，求t的值．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可以分別求得S甲、S乙與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）將t＝0代入S甲＝﹣180t+600，即可求得A、B兩城之間的距離，然后將（1）中的兩個函數(shù)相等，即可求得t為何值時兩車相遇；（3）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得t的值．【解答】解：（1）設(shè)S甲與t的函數(shù)關(guān)系式是S甲＝kt+b，，得，即S甲與t的函數(shù)關(guān)系式是S甲＝﹣180t+600，設(shè)S乙與t的函數(shù)關(guān)系式是S甲＝at，則120＝a×1，得a＝120，即S乙與t的函數(shù)關(guān)系式是S甲＝120t；（2）將t＝0代入S甲＝﹣180t+600，得S甲＝﹣180×0+600，得S甲＝600，令﹣180t+600＝120t，解得，t＝2，即A、B兩城之間的距離是600千米，t為2時兩車相遇；（3）由題意可得，|﹣180t+600﹣120t|＝300，解得，t1＝1，t3＝3，即當兩車相距300千米時，t的值是1或3．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．一、單選題1．一次函數(shù)的圖像如圖所示，則一元一次不等式解集為(

)A．＞-2 B．＜-2 C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)圖像可得一次函數(shù)與x軸的交點為（-2,0），然后即可得解.【詳解】根據(jù)圖像，得一次函數(shù)與x軸的交點為（-2,0），∴當＞-2時，故答案為A.【點睛】此題主要考查根據(jù)一次函數(shù)圖像求解不等式的解集，熟練掌握，即可解題.2．如圖，函數(shù)y=3x與y=kx+b的圖象交于點A（2,6）,則不等式3x＜kx+b的解集為（

）A．x＜4 B．x＜2 C．x＞2 D．x＞4【答案】B【詳解】試題分析：由題意可知y=3x＜y=kx+b時，即為不等式的解集，因此根據(jù)圖像可知不等式的解集為x＜2．故選B考點：一次函數(shù)圖像與不等式的解集3．直線與直線的交點為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立兩直線的解析式求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得則直線與直線的交點為．故答案為B．【點睛】本題主要考查了直線的交點坐標，掌握直線交點的坐標即為兩直線解析式組成方程組的解．4．關(guān)于一次函數(shù)y=x﹣1，下列說法：①圖象與y軸的交點坐標是（0，﹣1）；②y隨x的增大而增大；③圖象經(jīng)過第一、二、三象限；④直線y=x﹣1可以看作由直線y=x向右平移1個單位得到．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①將x=0代入一次函數(shù)解析式中求出y值，由此可得出結(jié)論①符合題意；②由k=1＞0結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出y隨x的增大而增大，即結(jié)論②符合題意；③由k、b的正負結(jié)合一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得出該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，即結(jié)論③不符合題意；④根據(jù)平移“左加右減”即可得出將直線y=x向右平移1個單位得到的直線解析式為y=x-1，即結(jié)論④符合題意．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】①當x=0時，y=-1，∴圖象與y軸的交點坐標是（0，-1），結(jié)論①符合題意；②∵k=1＞0，∴y隨x的增大而增大，結(jié)論②符合題意；③∵k=1＞0，b=-1＜0，∴該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，結(jié)論③不符合題意；④將直線y=x向右平移1個單位得到的直線解析式為y=x-1，∴結(jié)論④符合題意．故選C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象與幾何變換，逐一分析四條結(jié)論是否符合題意是解題的關(guān)鍵．5．如圖所示，直線l1：y1＝與直線l2：y2＝交于點P（﹣2，3），不等式＞的解集是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2【答案】A【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系可知，即求解直線l1在直線l2上方部分的取值范圍，觀察圖形可得．【詳解】不等式為：＞，即直線l1在直線l2上方部分的取值范圍由圖形可知：當x＞－2時，直線l1在直線l2上方部分故選：A．【點睛】本題考查一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是確定不等式與函數(shù)圖像的關(guān)系，根據(jù)圖像找出取值范圍．二、填空題6．如圖，已知函數(shù)和的圖象交點為，則不等式的解集為______．【答案】x＞1【分析】根據(jù)圖象直接解答即可．【詳解】解：從圖象上得到函數(shù)y=x+b和y=ax+3的圖象交點P，點P的橫坐標為1，在x＞1時，函數(shù)y=x+b的值大于y=ax+3的函數(shù)值，故可得不等式x+b＞ax+3的解集x＞1．故答案為：x＞1．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，認真體會一次函數(shù)與一元一次方程及一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b和y＝mx＋n的圖象交于點P（1，2），則不等式（k﹣m）x≥n﹣b的解集是____．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象交點右側(cè)直線圖象在直線：圖象的上面，即可得出不等式，通過變形即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線，與直線：交于點（1，3），∴不等式的解集為的解集為故答案為：【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）的自變