八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)18.1.1平行四邊形的性質(zhì)十二大題型（解析版）

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.注意：平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對(duì)；相對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；對(duì)角線有兩條.題型1：平行四邊形的定義1.如圖，在?ABCD中，若EF∥AD，OH∥CD，EF與GH相交于點(diǎn)O，則圖中的平行四邊形一共有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴平行四邊形有：?ABCD，?ABHG，?CDGH，?BCFE，?ADFE，?AGOE，?BEOH，?OFCH，?OGDF共9個(gè)．即共有9個(gè)平行四邊形，故選：D【變式1-1】如圖，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則圖中平行四邊形一共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF∥AB，DF∥BC，DE∥AC，根據(jù)有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形推出即可．【解答】解：有3個(gè)平行四邊形，有平行四邊形ADEF，平行四邊形CFDE，平行四邊形BEFD，理由是：∵D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，∴EF∥AB，DF∥BC，∴四邊形BEFD是平行四邊形，同理四邊形ADEF是平行四邊形，四邊形CFDE是平行四邊形，∴圖中平行四邊形一共有3個(gè)，故選：C【變式1-2】以A、B、C三點(diǎn)為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)作形狀不同的平行四邊形，一共可以作．【分析】連接AB、BC、CA，分別以其中一條線段為對(duì)角線，另兩邊為平行四邊形的邊，可構(gòu)成三個(gè)不同的平行四邊形．【解答】解：①當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，以A、B、C三點(diǎn)為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，不能作形狀不同的平行四邊形；②已知三點(diǎn)為A、B、C，連接AB、BC、CA，分別以AB、BC、CA為平行四邊形的對(duì)角線，另外兩邊為邊，可構(gòu)成的平行四邊形有三個(gè)：?ACBD，?ACEB，?ABCF．綜上所述，可以作0個(gè)或3個(gè)平行四邊形．故答案為：0個(gè)或3個(gè)．平行四邊形的性質(zhì)（1）1.邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；2.角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；注意：①平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；題型2：平行四邊形的性質(zhì)與角度計(jì)算2（2022八下·威縣期末）在平行四邊形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C的度數(shù)是（）A．145° B．65° C．55° D．35°【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=35°，∴∠C=35°，故答案為：D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合∠A=35°求解即可?！咀兪?-1】（2022八下·虎林期末）如圖，在?ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，則AF=（）A．32-1 B．32+1 C．【答案】A【解析】【解答】解：由題意，如圖：在?ABCD中，有AD=BC，AD//BC，∵BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45∴∠BFD=∠BED=90∴∠D=360∴∠A=∠C=45∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，∴BE=CE=3，AF=BF，∴BC=B∴AD=32∴AF=BF=AD-DF=32故答案為：A．

【分析】

四邊形內(nèi)角和求得∠A，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)對(duì)頂角相等即可求得△ABF和△BCE是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可求得?！咀兪?-2】如圖，平行四邊形ABCD中，BD為對(duì)角線，∠C＝60°，BE平分∠ABC交DC于點(diǎn)E，連接AE，若∠EAB＝38°，則∠DBE為度．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，∠C＝60°，∴AD＝BC，∠ADE＝∠ABC＝120°，∠BAD＝60°，∵∠EAB＝38°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠EAB＝22°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝60°，∴△BCE是等邊三角形，∴BE＝BC，∠BEC＝60°，∴BE＝AD，∠BED＝120°＝∠ADE，在△BDE與△AED中，，∴△BDE≌△AED（SAS），∴∠DBE＝∠EAD＝22°，故答案為：22【變式2-3】（2022八下·趙縣期末）在平行四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1【答案】D【解析】【解答】解：∵平行四邊形ABCD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，其中滿足上述條件的為D，故答案為：D．【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)逐項(xiàng)判斷即可。題型3：平行四邊形的性質(zhì)與求線段3.（2022八下·錦州期末）如圖，?ABCD的周長(zhǎng)為36cm，△ABC的周長(zhǎng)為28cm，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．8cm B．9cm C．10cm D．12cm【答案】C【解析】【解答】解：∵?ABCD的周長(zhǎng)是36cm，∴AB+BC＝18cm，∵△ABC的周長(zhǎng)是28cm，∴AB+BC+AC＝28cm，∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+BC）＝28﹣18＝10（cm）．故答案為：C．

【分析】根據(jù)平行四邊形周長(zhǎng)公式和三角形的周長(zhǎng)公式可得AB+BC＝18cm，AB+BC+AC＝28cm，再利用線段的和差可得答案?！咀兪?-1】（2022八下·文山期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，則AC的長(zhǎng)為（）A．10 B．213 C．5 D．【答案】A【解析】【解答】解：令?ABCD對(duì)角線交點(diǎn)為O，如圖所示：在?ABCD中，OB=OD=1在RtΔAOB中，AB＝4，BO＝3，BD⊥AB，則OA=A∴AC=2OA=10，故答案為：A．【分析】先求出OB=OD=1【變式3-2】（2022八下·豐南期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，若AB=8，AC=12，則BD的長(zhǎng)是（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=12，∴AO=12AC=6∵AB⊥AC，∴在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=A∴BD=2BO=20．故答案為：C．【分析】先利用勾股定理求出BO的長(zhǎng)，再利用平行四邊形的性質(zhì)可得BD=2BO=20。平行四邊形的性質(zhì)（2）1.對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；2．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.注意：（1）對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.（2）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.（3）對(duì)角線性質(zhì)的拓展∶①兩條對(duì)角線將平行四邊形分為面積相等的四個(gè)三角形;②過平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)作直線與平行四邊形的一組對(duì)邊或?qū)叺难娱L(zhǎng)線相交，得到線段總相等;③過對(duì)角線交點(diǎn)的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分.且與對(duì)角線圍成的三角形相對(duì)的兩個(gè)全等.題型4：平行四邊形的性質(zhì)與求周長(zhǎng)4.（2022八下·仁懷月考）如圖，已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于22cm，AC=8cm，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A．11cm B．15cm C．16cm D．19cm【答案】D【解析】【解答】解：∵?ABCD的周長(zhǎng)是22cm，∴AB＋BC＝11cm，∵AC＝8cm，∴△ABC的周長(zhǎng)為AC＋（AB＋BC）＝8＋11＝19（cm），故答案為：D.【分析】根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)等于兩鄰邊和的2倍可得AB+BC=11cm，進(jìn)而根據(jù)三角形周長(zhǎng)的計(jì)算方法即可算出答案.【變式4-1】（2022八下·蕪湖期末）如圖，在?ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，則△AOD的周長(zhǎng)是（）A．32 B．23 C．21 D．20【答案】C【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，BC=AD=10，AO=CO=12AC=4，BO=DO=1∴△AOD的周長(zhǎng)是：AD+AO+DO=10+4+7=21，故答案為：C．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可?！咀兪?-2】已知□ABCD的周長(zhǎng)為36，且AB：AD=1：2，則AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．12 D．24【答案】B【解析】【解答】解：∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為36，

∴AB=CD，AD=BC

∴2（AB+AD）=36，

∴AB+AD=18；

∵AB：AD=1：2，

∴AD=2AB，

∴3AB=18，

解之：AB=6.

故答案為：B.

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可證得AB=CD，AD=BC，結(jié)合已知可求出AB+AD的長(zhǎng)；再根據(jù)題意可得到AD=2AB，然后解方程組求出AB的長(zhǎng).題型5：平行四邊形的性質(zhì)與面積5.如圖，在?ABCD中，BC＝13，過點(diǎn)A作AE⊥DC于E，AE＝12，CE＝10．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求?ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理得出DE，進(jìn)而解答即可；（2）根據(jù)平行四邊形的面積公式解答即可．【解答】解：（1）在?ABCD中，AB＝CD，AD＝BC＝13，在Rt△ADE中，，＝．∴CD＝DE+CE＝5+10＝15．∴AB＝15；（2）S?ABCD＝CD×AE＝15×12＝180【變式5-1】（2022八下·東港期末）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，EF和GH過點(diǎn)O，且點(diǎn)E，H在邊DC上，點(diǎn)G，F(xiàn)在邊AB上，若?ABCD的面積為10，則陰影部分的面積為（）A．6 B．4 C．3 D．5【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，EF和GH過點(diǎn)O，∴△OEH與△OFG關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，∴S△OEH=S△OFG，∴陰影部分的面積=S△OCD=14故答案為：D．【分析】先求出△OEH與△OFG關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，再求出S△OEH=S△OFG，最后求解即可?！咀兪?-2】如圖所示，□ABCD的面積是12，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE=EF=FC，則△BEF的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解析】【解答】解：∵平行四邊形ABCD，

∴AD=BC，AB=DC，

在△ADC和△CBA中

AD=BCAB=DCAC=CA

∴△ADC≌△CBA（SSS）

∴S△ADC=S△CBA=12S平行四邊形ABCD=12×12=6；

∵AE=EF=FC

∴S△BEF=13S△CBA=13×6=2.

故答案為：A.

【變式5-3】（2021八下·成華期末）如圖，?ABCD的面積為S，點(diǎn)P是它內(nèi)部任意一點(diǎn)，△PAD的面積為S1，△PBC的面積為S2，則S，S1，S2之間滿足的關(guān)系是（）A．S1+S2>12S【答案】C【解析】【解答】解：過點(diǎn)P作EF⊥AD交AD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∴S=BC?EF，S1＝AD?PE2，S2＝BC?PF∵EF=PE+PF，AD=BC，∴S1+S2=S2故答案為：C.【分析】過點(diǎn)P作EF⊥AD交AD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，利用平行四邊形的性質(zhì)可證得AD=BC，利用平行四邊形的面積公式和三角形的面積公式，分別表示出S，S1，S2，再根據(jù)EF=PE+PF，AD=BC，可得到S，S1，S2之間的關(guān)系.題型6：平行四邊形的性質(zhì)與三邊關(guān)系6.（2022八下·涼山期末）在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于O，AC＝10，BD＝8，則AD的長(zhǎng)度的取值范圍是（）A．AD＞1 B．1＜AD＜9 C．AD＜9 D．AD＞9【答案】B【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OA=OC=12AC=5，OB=OD=12BD=4，

∵OA-OD<AD<OA+OD，

∴1＜AD＜9.

故答案為：B.【變式6-1】（2021八下·嶗山期末）如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=6，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則OA的取值范圍是（）A．2<OA<10 B．1<OA<5 C．4<OA<6 D．2<OA<8【答案】B【解析】【解答】∵AB=4，BC=6，∴6-4<AC<6+4，即：2<AC<10，∵在?ABCD中，OA=OC，∴1<OA<5，故答案為：B．【分析】根據(jù)兩邊之長(zhǎng)大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得到OA長(zhǎng)的取值范圍?！咀兪?-2】（2021八下·銅官期中）已知平行四邊形一邊長(zhǎng)為5，一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，則它的另一條對(duì)角線α的取值范圍為（）A．1＜α＜11 B．4＜α＜16C．10＜α＜12 D．以上答案都錯(cuò)誤【答案】B【解析】【解答】如圖，已知平行四邊形中，AB=5，AC=6，求BD的取值范圍，即α的取值范圍．∵平行四邊形ABCD∴α=2OB，AC=2OA=6∴OB=12∴在△AOB中：AB-OA＜OB＜AB+OA2＜OB＜8∴4＜α＜16故答案為：B．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得OB=12BD=12α，OA=題型7：平行四邊形的性質(zhì)與角平分線7.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AF交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接BE，若BE⊥AF，EF＝2，，則AB的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證AB＝BF，在Rt△BEF中，由勾股定理可求BF，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠F＝∠BAE，∴AB＝BF，∵BE⊥AF，EF＝2，，∴BF＝＝＝4，∴AB＝BF＝4，故選：D【變式7-1】（2022八下·成都期末）如圖，?ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD，則EC之長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC=8，∴∠DAE=∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，∴EC=BC-BE=8-6=2，故答案為：D.【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC=8，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAE=∠AEB，由角平分線的概念可得∠BAE=∠DAE，則∠BAE=∠AEB，推出AB=BE=6，然后根據(jù)EC=BC-BE進(jìn)行計(jì)算.【變式7-2】（2022八下·上虞期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)F，則線段EF的長(zhǎng)是（）A．3 B．3 C．2 D．3【答案】C【解析】【解答】解：∵AE和BF分別是∠DAB和∠CBA的角平分線∴∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF∵AB∥CD∴∠DEA=∠BAE，∠CFB=∠ABF∴∠DAE=∠DEA，∠CFB=∠CBF，

∴DA=DE，CF=CB∵AD=BC=5，AB=8∴DE=CF=5，CD=8∴EF=DE+CF-CD=2.故答案為：C.【分析】根據(jù)角平分線的概念可得∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF，由平行線的性質(zhì)得∠DEA=∠BAE，∠CFB=∠ABF，則∠DAE=∠DEA，∠CFB=∠CBF，推出DA=DE，CF=CB，結(jié)合已知條件可得DE=CF=5，CD=8，然后根據(jù)EF=DE+CF-CD進(jìn)行計(jì)算.【變式7-3】（2020八下·扶風(fēng)期末）如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE相交于CD上的一點(diǎn)E．求證：AE⊥BE．【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC,∴∠DAB+∠CBA=180°∵AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,∴∠EAD=12∠DAB,∠EBA=1∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，即AE⊥BE.【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠DAB+∠CBA=180°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠EAB+∠EBA=90°，從而求得∠AEB=90°，即可求解.題型8：平行四邊形的性質(zhì)與垂直平分線8.在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，連接CE．若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為30cm，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝15cm，繼而可得△CDE的周長(zhǎng)等于AD+CD．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為30cm，∴AD+CD＝15（cm），∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△CDE的周長(zhǎng)為：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝15（cm）．故選：C【變式8-1】如圖，在?ABCD中，D在AB的垂直平分線上，且?ABCD的周長(zhǎng)為42cm，△BCD的周長(zhǎng)比?ABCD的周長(zhǎng)少12cm，則AB＝cm，S?ABCD＝cm2．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知，AD＝DB，由于△ABD的周長(zhǎng)比?ABCD的周長(zhǎng)少10cm，所以可求出BD＝9cm，再根據(jù)周長(zhǎng)的值求出AB，根據(jù)勾股定理求出高DE，即可求出答案．【解答】解：∵AB的垂直平分線EF經(jīng)過點(diǎn)D，∴DA＝DB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DA＝CB，∵△ABD的周長(zhǎng)比?ABCD的周長(zhǎng)少10cm∴BD＝9cm，∴ADBC＝BD＝9cm，∵?ABCD的周長(zhǎng)為42cm，∴AB＝DC＝×42cm﹣9cm＝12cm，在△ADB中，AD＝BD＝9cm，AB＝12cm，∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝90°，AE＝BE＝6cm，由勾股定理得：DE＝＝3（cm），∴S平行四邊形ABCD＝AB×DE＝12cm×3cm＝36cm2，故答案為：12，36．【變式8-2】（2021八下·江津期末）如圖，在平行四邊形ABCD，O是AC、BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O與AC垂直的直線交邊AD于點(diǎn)E，若△CDE的周長(zhǎng)為11cm，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm【答案】B【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE=CE，∵△CDE的周長(zhǎng)為11cm，∴CE+DE+CD=11cm，∴AE+DE+CD=11cm，即AD+CD=11cm，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2(AD+CD)=22cm，故答案為：B.【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OC，再根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)可得AE=CE，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式可得AD+CD=11cm，最后根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)公式即可得.題型9：平行四邊形的性質(zhì)與最值9.（2021八下·邢臺(tái)月考）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長(zhǎng)度的最小值為（）A．6 B．8 C．22 D．【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AQ＝PC，∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP取得最小值，∵∠BAC＝45°，∴∠ACP=∠BAC=45°，設(shè)PA=PC=x，在Rt△APC中，AB＝AC＝8，則PA2+P解得x=42故答案為：D．

【分析】設(shè)PA=PC=x，利用勾股定理可得PA2+P【變式9-1】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，求DE的最小值．【分析】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分、垂線段最短知，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，DE線段取最小值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴OD＝OE，OA＝OC，∴當(dāng)OD取最小值時(shí)，DE線段最短，此時(shí)OD⊥BC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD＝AB＝2，∴ED＝2OD＝4；則DE的最小值是4．題型10：平行四邊形的性質(zhì)與折疊問題10.如圖，將?ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在B′處，若∠1＝∠2＝44°，則∠B為（）A．66° B．104° C．114° D．124°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性質(zhì)求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠B即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折疊的性質(zhì)得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故選：C【變式10-1】如圖，在?ABCD中，∠A＝70°，將?ABCD折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處（點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則∠AMF等于（）A．70° B．40° C．30° D．20°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AM＝MD＝MF，得出∠MFA＝∠A＝70°，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠AMF．【解答】解：根據(jù)題意得：AM＝MD＝MF，∴∠MFA＝∠A＝70°，∴∠AMF＝180°﹣70°﹣70°＝40°；故選：B【變式10-2】如圖，把平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，這時(shí)點(diǎn)D落在D1，折痕為EF，若∠BAE＝55°，則∠D1AD＝．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠D1AE＝∠BAD，得出∠D1AD＝∠BAE＝55°即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠C，由折疊的性質(zhì)得：∠D1AE＝∠C，∴∠D1AE＝∠BAD，∴∠D1AD＝∠BAE＝55°；故答案為：55°．題型11：平行四邊形的性質(zhì)與證明題11.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，連接BE，DF．證明：BE＝DF．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AB∥CD，進(jìn)而利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵E，F(xiàn)是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，∴AE＝CF，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．【變式11-1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，∠1＝∠2．（1）求證：BE＝DF；（2）線段AF與CE有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出∠5＝∠3，∠AEB＝∠4，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，進(jìn)而得出四邊形AECF是平行四邊形，即可得出答案．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）AE＝CF且AF∥CE，理由如下：由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE．【變式11-2】如圖，在?ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E、F，AE、BF相交于點(diǎn)M．（1）求證：AE⊥BF；（2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以證明．【分析】（1）只要證明∠MAB+∠MBA＝90°即可；（2）結(jié)論：DF＝CE．只要證明AD＝DE，CF＝BC，可得DE＝CF即可解決問題；【解答】（1）證明：∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，∴∠EAB＝∠DAB，∠ABF＝∠ABC，∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠EAB+∠ABF＝×180°＝90°，∴AE⊥BF．（2）DF＝CE．證明：∵AE平分∠DAB∴∠EAB＝∠EAD，∵DC∥AB，∴∠EAD＝∠EAD，∴AD＝DE，同理：FC＝BC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∴DE＝FC，∴DF＝CE兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值.（2）平行線間的距離處處相等任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長(zhǎng)度.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.題型12：平行線的距離12.（2022八下·順平期末）在同一平面內(nèi)，設(shè)a、b、c是三條互相平行的直線，已知a與b間的距離為5cm，b與c間的距離為2cm，則a與c間的距離為（）cm．A．3 B．7 C．3或7 D．2或3【答案】C【解析】【解答】①當(dāng)直線c在直線a、b外時(shí)，∵a與b間的距離為5cm，b與c間的距離為2cm，∴a與c間的距離為5+2=7(cm)；②直線c在直線a、b之間時(shí)，∵a與b間的距離為5cm，b與c間的距離為2cm，∴a與c間的距離為5-2=3(cm)；綜上，a與c間的距離為3cm或7cm，故答案為：C．

【分析】分兩種情況①當(dāng)直線c在直線a、b外時(shí)，②直線c在直線a、b之間時(shí)，據(jù)此分別求解即可.【變式12-1】如圖，在?ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，求：（1）AB與CD的距離；（2）AD與BC的距離．【分析】（1）在直角三角形中，由勾股定理解直角三角形，再利用三角形的面積公式求解即可；（2）由面積相等建立等式關(guān)系，進(jìn)而可求解其距離．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝＝＝8，∴AB與CD的距離＝AC＝8；（2）∵在Rt△ABC中，AC＝8，∴AD、BC之間的距離為6×8÷10＝4.8【變式12-2】如圖，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB邊上的高．【答案】解：S△ABC=AB?BC=×4?BC=12，解得BC=6，∵AB∥CD，∴點(diǎn)D到AB邊的距離等于BC的長(zhǎng)度，∴△ABD中AB邊上的高等于6cm【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積求出△ABC的邊AB上的高BC，再根據(jù)平行線間的距離相等解答．一、單選題1．（2021八下·昌圖期末）下列性質(zhì)中，平行四邊形不具有的是（）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分C．相鄰兩角互補(bǔ) D．兩組對(duì)邊分別相等【答案】A【解析】【解答】解：A、平行四邊形不具有對(duì)角線相等的性質(zhì)，符合題意；B、平行四邊形具有對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，不符合題意；C、平行四邊形具有相鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)，不符合題意；D、平行四邊形具有兩組對(duì)邊分別相等的性質(zhì)，不符合題意，故答案為：A．【分析】平行四邊形的對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)、對(duì)角線互相平分，據(jù)此逐一判斷即可.2．（2022八下·滕州期末）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AC＝6，BD＝8，則AB的長(zhǎng)可能是（）A．10 B．8 C．7 D．6【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝12AC＝3，OB＝1在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的長(zhǎng)可能為6．故答案為：D．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA＝12AC＝3，OB＝13．（2021八下·崇川月考）如圖，?ABCD中，對(duì)角線AC?BD相交于點(diǎn)O,OE⊥AC交CD于點(diǎn)E，連接AE，若?ABCD的周長(zhǎng)為28，則△ADE的周長(zhǎng)為（）A．28 B．24 C．21 D．14【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC∵OE⊥AC∴OE是線段AC的垂直平分線∴AE=CE∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為28，即2（AD+CD）=28∴AD+CD=14∴△ADE的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=14故答案為：D.【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知條件可得：OE是線段AC的垂直平分線，則AE=CE，由平行四邊形的周長(zhǎng)可得AD+CD=14，據(jù)此解答即可.4．（2022八上·新泰期末）如圖，?ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)O分別與BC，AD交與點(diǎn)M，N，下列結(jié)論中，不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．BM=AN C．AN=CM D．OM=ON【答案】B【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，A成立，不符合題意；∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴OA=OC，∵∠AON=∠COM，∴△AON?△COM，∴AN=CM，OM=ON，C、D成立，不符合題意；BM=AN不一定成立，B符合題意；故答案為：B．

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。5．（2020八下·古冶期中）如圖，在?ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，則?ABCD的周長(zhǎng)是（）A．12cm B．20cm C．16cm D．24cm【答案】B【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵AD＝6cm，AB＝4cm，∴AB＝CD＝4cm，AD＝BC＝6cm，則?ABCD的周長(zhǎng)為AB+BC+CD+AD＝4+6+4+6＝20（cm），故答案為：B．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：對(duì)邊相等，再利用周長(zhǎng)計(jì)算方法求解即可。二、填空題6．如圖，DE∥BC，AE＝EC，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連結(jié)AF，F(xiàn)C，CD，則圖中的平行四邊形有．【答案】四邊形ADCF和四邊形BCFD【解析】【解答】∵AE=EC，EF=DE，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵四邊形ADCF是平行四邊形，∴AB∥CF，又∵DE∥BC，，

∴四邊形BCFD是平行四邊形．故填四邊形ADCF和四邊形BCFD.【分析】利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出第一個(gè)平行四邊形，利用兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形得出第二個(gè)平行四邊形．7．（2019八下·東臺(tái)月考）在平行四邊形ABCD中，若∠B＝50°，則∠D＝°【答案】50【解析】【解答】根據(jù)“平行四邊形的對(duì)角相等”可知：∠D=∠B=50°.故答案為：50.

【分析】由平行四邊形的對(duì)角相等可求解。8．（2020九上·鎮(zhèn)海開學(xué)考）如圖，平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，若AD=6，AC+BD=16，則△BOC的周長(zhǎng)為.【答案】14【解析】【解答】解：∵平行四邊形ABCD，

∴AC=2OC，BD=2OB，AD=BC=6

∵AC+BD=16

∴2OC+2OB=16

∴OC+OB=8

∴△BCO的周長(zhǎng)為OC+OB+BC=8+6=14.

故答案為：14.

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可知AC=2OC，BD=2OB，AD=BC=6，由AC+BD=16，可求出OC+OB的值，然后可求出△BOC的周長(zhǎng)。9．（2019八下·尚志期中）如圖，EF過平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，已知AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四邊形EFCD的周長(zhǎng)是．【答案】12【解析】【解答】解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得AO=OC，∠EAO=∠FCO，又∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴OF=OE=1.5，CF=AE，

根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，得CD=AB=4，AD=BC=5，

故四邊形EFCD的周長(zhǎng)=EF+FC+ED+CD=OE+OF+AE+ED+CD=1.5+1.5+5+4=12．

故答案為：12.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)相等的邊和角，證明△AOE≌△COF，即可得到OF=OE=1.5，CF=AE，進(jìn)而利用平行四邊形的對(duì)邊相等可計(jì)算出四邊形EFCD的周長(zhǎng).三、解答題10．如圖所示，已知在平行四邊形ABCD中，BE=DF求證：AE=CF．【答案】證明：∵BE=DF，∴BE﹣EF=DF﹣EF，∴DE=BF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中DE=BF∴△ADE≌△CBF（SAS），∴AE=CF．【解析】【分析】由BE=DF，可得DE=BF，在平行四邊形ABCD中有AD=BC，AD∥BC，故可由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADE=∠CBF，從而可利用SAS證得△ADE≌△CBF，即可由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=CF．11．（2022八下·阜新期末）如圖所示，在?ABCD中，∠ABC=60°，且AB=BC，∠MAN=60°．請(qǐng)?zhí)剿鰾M，DN與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】解：如圖，連接AC，∵?ABCD，∠ABC=60°，∴AB=CD，∠BAD=120°，AB∥CD，∵∠MAN=60°，∴∠MAC+∠NAC=60°，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠BCA=60°，AB=BC=AC，∴∠BAM+∠NAC=60°，∴∠BAM=∠NAC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA=60°，∵∠BAM=∠NAC，AB=AC，∠ABC=∠DCA=60°，∴△ABM≌△CAN，∴BM=CN，∵AB=CD，∴BM+DN=CN+DN=CD=AB.【解析】【分析】連接AC，先證明△ABC為等邊三角形，可得∠BAC=∠BCA=60°，AB=BC=AC，再證明△ABM≌△CAN，可得BM=CN，再結(jié)合AB=CD，利用線段的和差及等量代換可得BM+DN=CN+DN=CD=AB。12．已知ABCD是平行四邊形，用尺規(guī)分別作出△BAC與△DAC共公邊AC上的高BE、DF．求證：BE=DF．【答案】證明：如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠DFC=90°．在△ABE和△CDF中，AB=DC∠BAC=∠DCA∠AEB=∠DFC，∴△ABE≌△CDF（A